geometri euclid(1)

7/24/2019 Geometri Euclid(1)

1/52

Euclid Geometry

BAB I PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Geometri adalah struktur matematika yangmembicarakan unsur dan relasi

yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, danruang merupakan bendaabstrak yang menjadi unsur dasar geometri.Berdasarkan unsur -unsur inilah,didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar

pada pengertian-pengertianbaru sebelumnya.

Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitusifat-sifat pertama yang

tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaituaksioma dan posulat.Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannyaditerima tanpa melalui

pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapatditurunkan sifat-sifat yangdisebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat jugadibentuk berdasarkan dalilsebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yangkebenarannya dapatditerima melalui serangkaian pembuktian.

imbol atau lambang merupakan alat bantuyang mengandung suatupengertian. uatu lambang tertentu digunakan untukmenyatakan hal tertentusedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkandengan bermacam-macamlambang. eperti titik dilambangkan dengan hurufkapital misalnya A, B, ! dan


2/52

seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecilmisalnya garis k, l, atau dapat

"""diladen

duaABgar

lambang-lambang yang lainseperti AB yangmenunjukkansegmen AB.

Euclid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya

klasik matematika darijaman purbakala yang paling terkenal, dan jugamenjadi buku teks matematikatertua yang selalu digunakan dunia. edikit yang bisadiketahui tentang Euclid,kecuali fakta bah&a dia hidup di Ale'andria sekitartahun ()) *. +okok

persoalan utama dari karyanya adalah geometri,perbandingan dan teori bilangan.

Telah diperlihatkan bah&a bukti geometrikdengan cara menggambarkan

kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggaptidak memuaskan. Buktitersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak,Euclid, yang merupakan


3/52

Euclid Geometryahli logika ternama, bergantung sepenuhnya

pada pembuktian menggunakangambar.

+ostulat sejajar Euclid, yakni berupasatu kalimat penting dalam sejarah

kontroersi intelektual, dapat dinyatakansebagai berikut $ ika dua garis dibagi

oleh garis transersal sedemikian sehinggajumlah dua sudut interiornya #sudutdalam% pada sisi transersal adalah kurang dari/) , garis tersebut akan bertemu o

pada sisi transersal tersebut.ejarah pentingnya postulat sejajartersebut didasarkan pada peran

pentingnya dalam teori Euclid. 0leh karenaitu, pertama dimulai dengan

mensketsa teori geometri bidang Euclid.Agar menjadi bukti, penting dilakukan

pemeriksaan terhadap struktur teori ini.+erlakuan yang dilakukan tidak mengikutidetailnya perkembangan Euclid, tetapimenekankan pada ide dasarnya denganmenggunakan istilah yang lebih moderndan juga perlakuan yang cukup sesuaidengan hasil kerjanya yang sekarang,

sehingga banyak dipakai di berbagai bukuajar.


4/52

1


5/52

Euclid Geometry

BAB II

PEMBAHASAN

A.

GEOMETRI EUCLID

Tidakbanyakorangyang

beruntungmem


6/52

pero

lehkemas

yhuranya

nga

badi

se

pert


7/52

iEu

clid,ahl

iilmuuk

ur2unani

yang


8/52

besa

r.*eski

p

unsemasa

hidu

pnya

tokoh


9/52

-tok

ohse

pert

i

3a

poleo

n,*artin

4uthe


10/52

r,A

le'ander

yangAgun

g,

jauhl

ebiht


11/52

erke

nalketim

bangEucl

idteta

pi

dalam


12/52

jan

gka

pan

ja

ngketena

rannya

mungkin mengungguli semua mereka yangdisebut itu.

elain kemasyhurannya, hampir tak adaketerangan terperinci mengenai

kehidupan Euclid yang bisa diketahui.*isalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagaiguru di Ale'andria, *esir, di sekitar tahun()) *, tetapi kapan dia lahir dan


13/52

kapan dia &afat betul-betul gelap. Bahkan, kitatidak tahu di benua apa dan dikotaapa dia dilahirkan. *eski dia menulis

beberapa buku dan diantaranya masih ada

yang tertinggal, kedudukannya dalamsejarah terutama terletak pada bukunyayang hebat mengenai ilmu ukur yang bernamaThe Elements.

5ebanyakan teorema yang disajikandalam buku The Elements tidak

ditemukan sendiri oleh Euclid, tetapimerupakan hasil karya matematika&an2unani a&al seperti +ythagoras #dan para

pengikutnya%, 6ippocrates dari !hios,Theaetetus dari Athena, dan Eudo'us dari!nidos. Akan tetapi, secar a umumEuclid dihargai kar ena telah menyusunteorema-teorema ini secara logis, agardapat ditunjukkan #tak dapat disangkal,tidak selalu dengan bukti teliti sepertiyang dituntut matematika modern% bah&acukup mengikuti lima aksioma

sederhana. Euclid juga dihargai karenamemikirkan sejumlah pembuktian jeniusdari teorema-teorema yang telah ditemukansebelumnya, misalnya Teorema 7/ diBuku 8.

(


14/52

Euclid GeometryArti penting buku The Elements

tidaklah terletak pada pernyataanrumus-

rumus pribadi yang dilontarkannya. 6ampirsemua teori yang terdapat dalam bukuitu sudah pernah ditulis orang sebelumnya,dan juga sudah dapat dibuktikan

kebenarannya. umbangan Euclid terletakpada cara pengaturan dari bahan-bahandan permasalahan serta formulasinya secaramenyeluruh dalam perencanaan

penyusunan buku. Di sini tersangkut, yangpaling utama, pemilihan dalil-dalilserta perhitungan-perhitungannya, misalnyatentang kemungkinan menarik garislurus diantara dua titik. esudah itu dengan

cermat dan hati-hati dia mengatur dalilsehingga mudah difahami oleh orang-orangsesudahnya. Bilamana perlu, diamenyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan danmengembangkan percobaan-percobaanterhadap permasalahan yang terle&atkan.+erlu dicatat bah&a buku The Elementsselain terutama merupakan

pengembangan dari bidang geometri yangketat, juga di samping itu mengandung

bagian-bagian soal aljabar yang luas berikutteori penjumlahan.

Buku The Elements sudah merupakanbuku pegangan baku lebih dari 1)))


15/52

tahun dan tak syak lagi merupakan buku yangpaling sukses yang pernah disusunmanusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun

bukunya sehingga dari bentuknya

saja sudah mampu menyisihkan semuabuku yang pernah dibuat orangsebelumnya dan yang tak pernah digubrislagi. Aslinya ditulis dalam bahasa2unani, kemudian buku The Elements ituditerjemahkan ke dalam berbagai

bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 7/1,sekitar () tahun sebelum penemuanmesin cetak oleh Gutenberg. ejak penemuan

mesin itu dicetak dan diterbitkanlahdalam beribu-ribu edisi yang beragam corak.

ebagai alat pelatih logika pikiranmanusia, buku The Elements jauh lebih

berpengaruh ketimbang semua risalahAristoteles tentang logika. Buku itumerupakan contoh yang komplit sekitarstruktur deduktif dan sekaligusmerupakan buah pikir yang menakjubkan dari

semua hasil kreasi otak manusia.Adalah adil jika kita mengatakan

bah&a buku Euclid merupakan faktorpenting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuanmodern. 8lmu pengetahuan bukanlahsekedar kumpulan dari pengamatan-

pengamatan yang cermat dan bukan pulasekedar generalisasi yang tajam serta bijak.6asil besar yang direnggut ilmu

7


16/52

Euclid Geometrypengetahuan modern berasal dari kombinasiantara kerja penyelidikan empiris dan

percobaan-percobaan di satu pihak, dengananalisa hati-hati dan kesimpulan yang

punya dasar kuat di lain pihak.5ita masih bertanya-tanya apa sebabilmu pengetahuan muncul di Eropa dan

bukan di !ina, tetapi rasanya aman jika kitamenganggap bah&a hal itu bukanlahsemata-mata lantaran soal kebetulan.*emanglah, peranan yang digerakkan olehorang-orang brilian seperti 3e&ton, Galileodan !opernicus mempunyai maknayang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orangini muncul di Eropa. *ungkin sekali faktor

historis yang paling menonjol apasebab mempengaruhi Eropa dalam segiilmu pengetahuan adalah rasionalisme2unani, bersamaan dengan pengetahuanmatematika yang di&ariskan oleh 2unanikepada Eropa. +atut kiranya dicatat bah&a!ina9meskipun berabad-abad lamanyateknologinya jauh lebih maju ketimbangEropa9tak pernah memiliki struktur

matematika teoritis seperti halnya yangdipunyai Eropa. Tak ada seorangmatematikus !ina pun yang punya hubungandengan Euclid. 0rang-orang !inamenguasai pengetahuan yang bagus tentangilmu geometri praktis, tetapi


17/52

pengetahuan geometri mereka tak pernahdirumuskan dalam suatu skema yangmengandung kesimpulan.

Bagi orang-orang Eropa, anggapan

bah&a ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanyaberasal, tampaknya hal yang &ajarkarena mereka punya contoh Euclid yang

berada di belakang mereka. +adaumumnya orang Eropa tidak beranggapangeometrinya Euclid hanyalah sebuahsistem abstrak, melainkan mereka yakin

benar bah&a gagasan Euclid --dan

dengan sendirinya teori euclid-- memangbenar-benar merupakan kenyataan yangsesungguhnya.

+engaruh Euclid terhadap ir 8saac3e&ton sangat kentara sekali, sejak

3e&ton menulis buku tersohornya ThePrincipia dalam bentuk kegeometrian,mirip dengan The Elements . Berbagaiilmu&an mencoba menyamakan diri dengan

Euclid dengan jalan memperlihatkanbagaimana semua kesimpulan mereka secaralogis berasal mula dari asumsi asli. Takkecuali apa yang diperbuat oleh ahlimatematika seperti :ussel, ;hitehead danfilosof pino


18/52

Euclid Geometry5ini, para ahli matematika sudah

memaklumi bah&a geometri Euclid,bukan satu-satunya sistem geometri yangmemang jadi pegangan pokok dan teguhserta yang dapat direncanakan pula, mereka

pun maklum bah&a selama =) tahunterakhir banyak orang yang merumuskan

geometri bukan a la Euclid. ebenarnya,sejak teori relatiitas Einstein diterimaorang, para ilmu&an menyadari bah&ageometri Euclid tidaklah selamanya benardalam penerapan masalah cakra&alayang sesungguhnya. +ada kedekatan sekitar>4ubang hitam> dan bintang neutron --misalnya-- dimana gaya berat berada dalamderajat tinggi, geometri Euclid tidak

memberi gambaran yang teliti tentangdunia, ataupun tidak menunjukkan

penjabaran yang tepat mengenai ruangangkasa secara keseluruhan. Tetapi,contoh-contoh ini langka, karena dalam

banyak hal pekerjaan Euclid menyediakankemungkinan perkir aan yang mendekatikenyataan. 5emajuan ilmu pengetahuanmanusia belakangan ini tidak mengurangi

baik hasil upaya intelektual Euclidmaupun dari arti penting kedudukannya dalamsejarah.

The Elements terdiri atas tiga belasbuku. Buku menguraikan proposisi-

proposisi dasar dari geometri bidang datar,


19/52

termasuk tiga kasus dalam halkekongruenan segitiga, macam-macamteorema tentang garis-garis sejajar,teorema mengenai jumlah sudut-sudut

dalam sebuah segitiga dan teorema+ythagoras. Buku 1 berkenaan denganaljabar geometris, kar ena kebanyakanteoremanya tidak lebih tentang penafsiranaljabar sederhana. Buku ( menyelidikilingkaran dan sifat-sifatnya, dan termasukteorema tentang tangent dan sudut-sudut yang digambarkan. Buku 7 terkaitsegibanyak beraturan dan lingkaran-

lingkaran yang mengelilinginya. Buku =mengembangkan teori aritmetika tentang

perbandingan. Buku ? menerapkan teoriperbandingan kepada geometri bidangdatar, dan memuat teorema-teorema bilangankembar. Buku @ menguraikan teori

bilangan dasar$ misalnya bilangan prima,faktor persekutuan terbesar, dan lain-lain. Buku / terkait dengan deret geometri.

Buku memuat macam-macamaplikasi dari hasil dua buku sebelumnya,dan memuat teorema-teoremaketakterhinggaan bilangan prima, maupunrumus jumlah deret geometri. Buku )

berusaha menggolongkan besaran yang takdapat dibandingkan #dengan kata lainirasional% menggunakan apa yang disebutmetode keletihanC, suatu rintisan

?


20/52

Euclid Geometryintegral kuno. Buku menghitung olumerelatif dari kerucut, piramida, tabung,dan bola menggunakan metode keletihan.Dan akhirnya, buku ( meneliti apayang biasa disebut lima benda padat platonis.

B. STRUKTUR GEOMETRI EUCLID

Asumsi atau postulat yang ada untukgeometri bidang Euclid adalah $

. esuatu akan sama dengan sesuatu atausesuatu yang sama akan sama satu

sama lainnya.1. ika kesamaan ditambahkan dengankesamaan, maka jumlahnya akan sama.(. ika kesamaan dikurangi dari kesamaan,

selisihnya akan sama.7. 5eseluruhan akan lebih besar daripada

bagiannya.=. Bangun geometrik dapat dipindahkantanpa mengubah ukuran atau

bentuknya.?. etiap sudut memiliki bisektor.@. etiap segmen memiliki titik tengah./. Dua titik hanya berada pada satu satunya

garis.. ebarang segmen dapat diperluas olehsuatu segmen yang sama dengan

segmen yang diberikan.). 4ingkaran dapat digambarkan dengansebarang titik pusat dan radius yang


21/52

diketahui.. emua sudut siku 9 siku sama besar.

Dari postulat 9 postulat di atas dapatdideduksi sejumlah teorema dasar.

Diantaranya adalah $. udut bertolak belakang sama besar.1. ifat kongruensi segitiga # A, AA, %(. Teorema kesamaan sudut dasar segitigasama kaki dan konersinya7. Eksistensi garis yang tegak lurus padagaris pada titik dari garis tersebut=. Eksistensi garis yang tegak lurus pada

garis yang melalui titik eksternal?. +embuktian suatu sudut yang samadengan sudut dengan titik sudut dan sisi

yang telah diberikan sebelumnya.

@


22/52

Euclid Geometry

@. +embentukan segitiga yang kongruendengan segitiga dengan sisi yang sama

pada sisi segitiga yang diketahui.

ekarang akan dibuktikan teoremasudut eksterior, sebagai cara menuju

perkembangan lebih lanjut.

Teorema 1 . Teorema sudut eksterior. uduteksterior segitiga akan lebih besardaripada sudut interior terpencil manapun.

Bukti. *isal AB! adalah segitiga sebarang


23/52

dan misalkan D merupakan"""" B! perpanjangan darimelalui !. +ertama akanditunjukkan bah&a sudut

eksteriorA!D lebih besar dari A. misalkan

E merupakan titik tengah A!, dan misalkanBE merupakan perluasan panjangnya melaluiE hingga . *aka AE E! BE

!E # sudut bertolak belakangsama besar %. adi AEB E danAEB

!

E # A %, dan BAE !E # akibat segitigakongruen %. 5arena A!DF

!E # keseluruhan sudut selalu lebih besardari bagiannya %, maka disimpulkan

bah&a A!D F BAE A.""""ntuk

menunjukkan

bah&aA!DFB,

perlua

s H Hmelalui !hingga 6,yang


24/52

membentuk B!6. 5emudian tunjukkanbah&a B!6 F B, denganmenggunakan prosedur bagian pertama

pembuktian$ misalkan * merupakan titik

"""" """"" B! A*tengah , perluas panjang melalui *,dan lain-lain. ntuk melengkapi bukti,

perhatikan bah&aB!6 dan A!D merupakansudut bertolak belakangsehingga

sudut tersebut sama besar.+ernyataan A!D F !E

bergantung pada diagramnya.ekarang mudah

melakukan pembuktian beberapa hasil yangcukup penting.

/


25/52

Euclid Geometry

Teorema 2 . ika dua garis dibagi olehgaris transersal sehingga membentuk

pasangan sudut interior dalam berseberangan,maka garis tersebut sejajar.

Bukti. 8ngat kembali bah&a dua garis dalambidang yang sama dikatakan sejajarjika garis tersebut tidak bertemu#berpotongan%. *isalkan garis transersal

membagi dua garis l, m pada titik A, Bsehingga membentuk pasangan sudutinterior dalam berseberangan, dan 1,yang sama besar, dan misalkan garis ldan garis m tidak sejajar. *aka garis l dangaris makan


26/52

bertemu di titik ! yangmembentuk AB!. ! terletak pada satu sisiAB atau pada sisi yang lainnya.ntuk kasus lainnya, sudut eksterior AB!

sama dengan sudut interior terpencil.#misalkan, jika ! pada sisi AB yang samasebagai 1 maka sudut eksterior

samadengansudutinterior

terpencil1 %.6alinikontradiksidengan

teorema

sebelumnya. 0leh karena itu garis l dan garism sejajar.Akiat 1. Dua garis tegak lurus terhadap garisyang sama pasti sejajar.ebagai akibat langsung akibat adalahAkiat 2 . 6anya ada satu garis yangtegak lurus terhadap garis melalui titik

eksternal.Akiat ! . #Eksistensi garis sejajar%. ikatitik + tidak berada pada garis l, makaakan ada setidaknya satu garis yang melalui +yang sejajar dengan l.


27/52


28/52

Euclid Geometry

Bukti . Dari + hilangkan garis tegak luruspada garis l yang memiliki kaki di I,dan di +

buatgaris

m yangtegak

lurus

terhadap +I. *aka garis m sejajar dengangaris l menurut akibat .

Teorema !. umlah dua sudut segitiga kurangdari /) . o

Bukti. *isalkan AB! merupakan sebarangsegitiga. Akan ditunjukkan bah&a

A J B K /) . +erluas !B melalui Bhingga ke D. maka ABD merupakan osudut eksterior AB!. Dengan menggunakanteorema , ABD F A, tetapi

ABD /) -B.dengan mensubstitusikan untuk ABD padarelasi pertama, o


29/52

maka $/) - B F A, atau /) FA J B. adi, A J B K/) , dan o oo

teorema tersebut terbukti.

Pe"##a"ti Po$tu%at Se&a&ar Eu'%i(

+ostulat sejajar Euclid biasanyadigantikan oleh pernyataan berikut ini $

Hanya ada satu garis sejajar pada garis

yang melalui titik bukan pada garis

tersebut.+ernyatan ini disebut dengan postulat

+layfair. +ostulat ini bisa dihubungkandengan postulat sejajar Euclid karenasebenarnya dua pernyataan ini tidak sama.+ernyataan sebelumnya merupakan

pernyataan tentang garis sejajar, danpernyataan kedua mengenai garis bertemu.

Bahkan kedua pernyataan tersebutmemainkan peran yang sama dalamperkembangan logis geometri. Dikatakanpernyataan ini ekialen secara logis. 6alini berarti bah&a jika pernyataan

pertama dianggap sebagai postulat #bersamadengan semua postulat Euclid kecuali

postulat sejajar%, kemudian pernyataankedua dapat dideduksi sebagai teoremaL

dan konersinya, jika pernyataan keduadianggap sebagai postulat #bersamadengan semua postulat Euclid kecuali postulatsejajar%, maka pernyataan pertama

)


30/52


31/52

Euclid Geometry

dapat dideduksi sebagai teorema. adi secaralogis, tidak penting dua pernyataanmana yang akan diasumsikan sebagai

postulat dan yang mana yang akandideduksi sebagai suatu teorema.

Eki)a%e"$i Po$tu%at Eu'%i( (a" P%a*+air

Akan dibuktikan ekialensi postulatEuclid dan postulat +layfair.+ertama, dengan mengasumsikan

postulat sejajar Euclid, maka akandideduksi postulat +layfair.

Diketahui garis l dan titik + tidak pada l#gambar 1.=%, maka akan ditunjukkan

bah&a hanya ada satu garis melalui + yangtidak pada l. diketahui bah&a ada garismelalui + yang sejajar dengan l, dandiketahui juga bagaimana caramenggambarnya #akibat (,teorema 1%. Dari +,dihilangkan garis tegak lurus pada l

dengdan padtegak tegak

pada Hgaris m


32/52

sejajar garis l.5emudian misalkan gar is n sebaranggaris melalui + yang berbeda dengan

garis m. maka akan ditunjukkan bah&a garis

n bertemu dengan garis l. *isalkan

menunjusudut garis

bertemu H H . *a

bukanmerupakan sudut siku-siku untuk sebaliknya

garis n dan garis m berimpit,berla&anan dengan asumsi. adi atau1 adalah sudut lancip, misalnya yang merupakan sudut lancip.

:ingkasannya, garis l dan garis ndibagi oleh garis transersal sehingga

membentuk sudutlancip dan sudutsiku 9 siku, yang

merupakan sudutinterior

pada sisi yang sama dari garis transersaltersebut. 5arena jumlah sudut tersebutkurang dari /) , postulat sejajar Eucliddapat diaplikasikan dan disimpulkan o


33/52

bah&a garis n bertemu dengan garis l .adi garis m hanya satu 9 satunya garis


34/52

Euclid Geometry

yang melalui + yang sejajar dengan garis ldan

dideduksikan bah&a postulat+layfair dari postulat sejajar Euclid.

ekarang dengan mengasumsikanpostulat +layfair, akan dideduksipostulat

sejajar Euclid.

Gamar

2.,

*isalkgaris tramembent

dan 1, pasangan sudut interior pada


35/52

satu sisi garis transersal yangmemiliki

jumlah sudut kurang dari /) # gambar 1.? %,adalah $ o

#% J1 K /) o

*isalkan (menunjukkan tambahan yangterletak pada sisi berla&anan

H H dari dan 1 # gambar 1.? %, maka$

#1% J ( /) oDari hubungan #%, #1% maka $

#(% 1 K (+ada titik +, bentuk I+: yang samadengan dan yang interior dalam

bererangandengan(. *aka K +Isehingga

H berbedari gam.

H H menurut teorema1, sejajar dengan l .5arenanya menurut

postulat +layfair, mtidak sejajar dengan l. 0leh karena itu, garism dan l bertemu.

eandaingaris

bertemu berla&andari d


36/52

1 merupakan sudut eksterior+IE, karenanya 1, katakanlah di titik Emaka

1 F ( , berla&anan dengan #(%. Akibatnya,

pengandaian tadi salah, jadi garis m

HHdan

l

bertemu

padasis

igaris


37/52

tran

sersalya

ngmemuat

dan1.

adi


38/52

1


39/52

Euclid Geometrypostulat sejajar Euclid mengikuti postulat+layfair dan akibatnya dua postulattersebut menjadi ekialen.

C. PERAN POSTULAT SE-A-AR

EUCLID

Dengan mengasumsikan postulatsejajar Euclid berikut ini merupakan

beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan $. ika dua garis sejajar dibagi oleh garistransersal, sebarang pasangan sudut

interior dalam berseberangan yangterbentuk akan sama besar.

1. umlah sudut sebarang segitiga adalah/)M.(. isi bertolak belakang dari jajaran genjangadalah sama besar.7. Garis sejajar selalu berjarak sama.=. Eksistensi segi empat dan bujur sangkar.?. Teori luas menggunakan unit persegi.@. Teori segitiga yang sama, yangtermasuk eksistensi bangun dengan ukuran

sebarang yang sama dengan bangun yangdiketahui.

+ostulat sejajar Euclid merupakansumber untuk banyak hasil yangsangat

penting. Tanpa postulat tersebut #atau


40/52

ekialennya%, kita tidak akan memiliki teoriluas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan,dan teori +ythagoras yang terkenalitu.

!ara dimana Euclid mengaturteoremanya mengimplikasikan bah&a

sesungguhnya Euclid tidak sepenuhnya puasdengan postulat sejajarnya. Euclidmanyatakan hal tersebut di a&al karjanyatetapi pernyataan itu tidak dipakainyasampai akhirnya dia tidak dapat malakukankemajuan tanpa postulat tersebut.Agaknya, Euclid memiliki intuisi bah&a

postulat sejajar tersebut tidak memilikikualitas intuitif ataupun sederhana dari

postulat lainnya. :asa yang demikiandilakukan oleh para ahli geometri dalamselama 1) abad. +ara ahli mencobamendeduksi postulat sejajar dari postulatlainnya, atau menggantikan postulattersebut dengan postulat yang nampaknyalebih pasti.

(


41/52

Euclid Geometry

D. TOKOHTOKOH DALAM

PERKEMBANGAN EUCLID

GEOMETR/

Bukti Pro'%u$ te"ta"# Po$tu%at Se&a&ar

Eu'%i(

+rolus #7)-7/=% memberikan buktiCtentang postulat sejajar Euclid yang

kita ringkas sebagai berikut $5ita asumsikan postulat Euclid bukansebagai postulat sejajar. *isalkan +

merupakan titik tidak berada pada garis l#gambar 1.@%. kita bentuk garis m

melal dendigunaka +lurus denI, dan m tegdengan ekarang

anggaplah ada garis lain n melalui + yangyang sejajar dengan l, maka nmembentuk sudut lancip dengan garis +I,yang terletak katakanlah pada sisi


42/52

kanan +I . Bagian dari n disebelah kanan titik + seluruhnya termuatdalam daerah

+I yang

dibatasi olehgaris l , mdan .ekarangdimisalkanN adalahsebarangtitik

"""" di

m yangletaknyadisebelahkanantitik +,misalkan N2tegak

lurusdenganl di 2

"""""""" """" N2N2 NO dan misalkangaris tersebut bertemudengan garis n di O.*aka F .

""""NO*isalkan Nmundur di


43/52

garism ,makamening

katsecaratidakmenentu,karena

"""" NO setidaknya sama besarnya dengansegmen dari N yang tegak lurus dengan n.

"""" N2 adi juga meningkat secara

tidak menentu. Tetapi jarak antara duagaris sejajar

harus terbatas. 0leh karena itu, akan menjadikontradiksi dan pengandaian salah.adi, m hanya merupakan satu-satunya garisyang melalui + yang sejajar dengangaris l. 5arenanya, postulat +layfair berlaku,dan juga ekialen dengan postulatsejajar Euclid.

7


44/52

Euclid GeometryArgumen +rolus tersebut mencakup (

asumsi $a. jika dua garis saling berpotongan, jarak

pada suatu garis dari satu titik kegaris lainnya akan meningkat secara

tak menentu, karena titik tersebut

mundur (menyusut) tak berujung.

b. segmen terpendek yang menghubungkantitik eksternal pada suatu garismerupakan segmen yang tegak lurus.

c. jarak antara dua garis sejajar adalahterbatas.

#a% dan #b% dapat dibenarkan tanpabantuan postulat sejajar Euclid. adi inti

persoalan pembuktian adalah asumsi #c%.

+roclus mengasumsikan #c% sebagaipostulat tambahan. *ari kita sebut sebagaipostulat asumsi +roclus tersembunyi.5emudian bisa dinyatakan$ postulat +roclusekialen dengan postulat sejajar+roclus. +ostulat sejajar Euclidmengimplikasikan bah&a jarak antara garissejajarselalu konstan, dan terbatas. 5onersinya,

melalui argumen +roclus dapatdinyatakan bah&a postulat +roclusmengimplikasikan postulat sejajar Euclid.adi, +roclus menggantikan postulat sejajardengan postulat yang ekialen, dan

bukan menetapkan aliditas postulat sejajar


45/52

tersebut.

Per'oaa" Sa''0eri u"tuk

Memerta0a"ka" Po$tu%at Eu'%i(

Girolamo accheri #??@-@((%melakukan studi yang mendalamtentang

geometri dalam buku yang berjudul EuclidesVindicatus, yang diterbitkan di tahunsaat kematiannya. Beliau melakukan

pendekatan terhadap permasalahanpembuktian postulat sejajar Euclid dengan

cara baru yang radikal. +rosedurnyaekialen dengan mengasumsikan bah&a

postulat sejajar Euclid salah, danmenemukan kontradiksi dengan penalaranlogis. 6al ini akan mensahkan postulatsejajar dengan menggunakan prinsip metodetak langsung.

*aksud accheri adalah studi segi empatyang memiliki sisi yang sama

panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga.Tanpa mengasumsikan sebarang

postulat sejajar, beliau melakukan studimendalam tentang segi empat tersebutyang sekarang disebut dengan segi empataccheri. *isalkan AB!D merupakansegi empat accheri dengan AD B! dansudut siku-siku di A, B #gambar 1.)%.

=


46/52

Euclid Geometry

accheri membuktikan bah&a ! D dankemudian mempertimbangkan tiga

kemungkinan yang berhubungan dengan sudut! dan D $. hipotesis tentang sudut siku-siku # ! D )M%1. hipotesis tentang sudut tumpul # ! DF )M%

(. hipotesis tentang sudut lancip # ! DK )M%

ika postulat sejajar Euclid diasumsikan,maka hipotesis sudut siku-sikuakan terjadi #karena postulat sejajarmengimplikasikan bah&a jumlah sudutsebarang segi empat adalah (?)M%. Argumen


47/52

dasar accheri sebagai berikut$Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul

dan hipotesis sudut lancip

keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal

ini akan membentuk hipotesis sudutsikusiku yang eki!alen dengan postulat

sejajar Euclid.

accheri membuktikan menggunakansederetan teorema yang memilikialasan yang tepat, bah&a hipotesis suduttumpul akan menghasilkan kontradiksi.

Beliau mempertimbangkan implikasihipotesis sudut lancip. Di antaranya

ada sejumlah teorema yang tidak umum, duadi antaranya kita nyatakan sebagai

berikut$"umlah sudut sebarang segitiga kurang

dari #$%&.

"ika l dan m merupakan dua garis dalam

bidang, maka salah satu dari

si'at di bawah ini di penuhi

a. l dan m berpotongan, dalam

kasus di mana dua garis tersebutdi!ergen dari titik perpotongan.

b. l dan m tidak berpotongantetapi memiliki garis tegak lurus

yang

sama di mana dua garis

tersebut di!ergen dalam kedua

arah dari

garis tegak lurus yang sama

tersebut.

?


48/52

Euclid Geometryc. l dan m tidak brpotongan dan

tidak memiliki garis tegak lurus

yang

sama, di mana dua garis tersebutkon!ergen dalam satu arah

langkah,

dan di!ergen pada arah lainnya.

accheri tidak memandang sebagaikontradiksi, meskipun beliau pikirharus menganggap sebagai kontradiksi dan

bahkan diketahui pada masa sekarangbah&a teori hipotesis sudut lancip accheribebas kontradikisi seperti geometriEuclid.


49/52


50/52

Euclid GeometryBAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat ditarik daripenyusunan makalah ini adalah sebagaiberikut$

. merupakan sistem aksiomatik,dimana semua teorema Geometri Euclid

#>pernyataan yang benar>% diturunkandari bilangan aksioma yang terbatas,artinya hasil-hasil pentingPteorema-teorema tersebut merupakan akibat dari

postulat sejajar.1. +eran postulat sejajar Euclid adalahsebagai sumber untuk banyak hasil

yang sangat penting. Tanpa postulattersebut #atau ekialennya%, kita tidakakan memiliki teori luas yang sudahlama dikenal, teori kesamaan, dan teori+ythagoras yang terkenal. adi postulatsejajar Euclid akan lebih berperanapabila dideduksi dengan postulat

lainnya atau digantikan dengan postulatlainnya yang lebih pasti.


51/52

/


52/52

geometri euclid(1)

Documents