bab 8 pengantar geometri non-euclides · pdf filepelajaran geometri netral dengan memberikan...

Pengantar Geometri Non-Euclides/

191

BAB 8

PENGANTAR GEOMETRI NON-EUCLIDES

Riemann belajar di Universitas Gottingen, Jerman

dan masuk fakultas Teologi. Riemann sangat tertutup

dengan keluarganya dan dia selalu meminta izin ayahnya

jika akan mengerjakan sesuatu.pada tahun 1847, Riemann

belajar di universitas berlin Jerman. dia di ajar para tokoh-

tokoh terkenal di dunia seperti Steiner, Jacobi, Dirichlet, dan

Einstein. hal ini merupakan waktu yang paling penting buat

Riemann karena dia bias belajar banyak dari Einstein dan

diskusi tentang variable komplek dalam teori fungsi

eliptik.Riemann merupakan matematikawan jerman yang

membuat kontribusi penting untuk analaisis dan geometri

differensial.

Teori-teorinya yang mempengaruhi perkembangan

matematika adalah geometri Riemann, geometri aljabar dan

teori manifold kompleks. Teori Riemann awalnya dipelajari

oleh Felix Klein dan Adolf Hurwit berdasarkan pada toologi.

Pada awal abad 20an teorinya dapat diaplikasikan pada fisika

matematika. Pada tahun 1853 Gauss menanyakan pada

Riemann untuk mempelajari Habilitation Schrift pada dasar-

dasar geometri. Kemudian Riemann mengembangkan

teorinya tentang dimensi tak hingga.

Riemann dilahirkan pada tanggal 17 September 1826 di Breselenz, sebuah desa di dekat Dannenberg di kerajaan Han-nover Jerman. Ayahnya bernama Friedrich Bernard Riemann dan ibunya bernama charlotte Ebell. Riemann mempunyai 5 saudara, 1 laki-laki dan 4 perempuan. pada tahun 1846,

/Pengantar Geometri Non-Euclides 192

Saccheri meninggal tahun 1733. Hasil karyanya

nampaknya hanya sedikit mempengaruhi

perkembangan geometri sebab para penggantinya

sampai dengan abad 19 terus mencoba membuktikan

postulat kesejajaran Euclides. Pada gilirannya usaha-

usaha pembuktian pada abad itu dilakukan oleh ahli-

ahli matematika sekaliber Gauss (1777 – 1855) dan

Legendre (1752 – 1833). Meskipun demikian,

kegagalan-kegagalan yang terjadi pada abad 20 pada

akhirnya menimbulkan keraguan di benak para ahli

matematika. Sehingga pada tahun 1830, J. Bolyai (1802

– 1860), seorang perwira AD Hungaria, N.I

Lobachevsky (1793 – 1856), seorang profesior

matematika Rusia pada Universitas Kazan, dan Si

Raksasa Gauss sendiri telah mengembangkan teori-

teori Geometri yang berdasarkan pada suatu

kontradiksi postulat kesejajaran Euclides. Secara

khusus, mereka beranggapan bahwa ada lebih dari

satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu

yang melalui suatu titik di luar garis tersebut. Gauss,

yang tidak suka pertentangan, enggan menerbitkan

ide-idenya, oleh karena itu Bolyai dan Lobacheskylah

yang biasanya dianggap sebagai pencipta teori baru

itu. Selanjutnya pada tahun 1854 ahli matematika

terkenal dari Jerman B. Riemann (1826 – 1866)

memperkenalkan suatu teori baru non-Euclides yang

lain yang mendasarkan pada asumsi bahwa tidak ada

garis-garis yang sejajar.

Pada bab ini diberikan tentang pengenalan

dasar teori-teori klasik dari Bolyai, Lobachevsky, dan

Rieman.

A. Geometri Lobachevsky


193

Sekarang, diperkenalkan geometri non-Euclides

dari Bolyai, dan Lobachevsky, sebagai teori formal y

ang mendasarkan pada beberapa postulat. Teori ini

dinamakan Geometri Lobachevsky untuk memudahkan

dan menandai karya Lobachevsky. Geometri

Lobachevsky dapat digolongkan pada geometri netral

dengan memandang bahwa setiap segitiga jumlah

besar sudutnya kurang dari 1800. Meskipun demikian,

kita lebih suka mengikuti sejarah perkembangannya

dan mempelajarinya secara langsung dalam

hubungannya dengan postulat kesejajaran Euclides.

Jadi, untuk menggolongkan pada geometri

Lobachevsky hanyalah dengan menerima semua

postulat geometri Euclides dengan membuang postulat

kesejajarannya dan mengganti dengan postulat berikut

ini :

Postulat Kesejajaran Lobachevsky

Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu

garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut.

Jelaslah, geometri Lobachevsky merupakan jenis

dari geometri netral. Sebagai akibatnya, kita lanjutkan

pelajaran geometri netral dengan memberikan suatu

batasan tambahan. Jadi, teorema-teorema pada

geometri netral juga berlaku pada geometri

Lobachevsky dan juga dapat dipakai pada

pembuktian-pembuktian kita.

B. Teorema non-metrical

Teorema pertama geometri Lobachevsky

merupakan teorema dasar yang tidak melibatkan ide-

ide metrical (sistim perhitungan dengan dasar angka


10) seperti jarak, ketegak-lurusan, atau luas. Teorema

tersebut mengenai kedudukan atau sifat garis.

Teorema 6.1

Sebarang garis seluruhnya berada di dalam sudut

tertentu.

Bukti :

Misalkan diketahui garis l. tentukan titik P di luar l.

tentukan titik P diluar l. Menurut postulat

kesejajaran geometri Lobachevsky ada garis m dan

n yang melalui P dan sejajar l.

Garis m dan n membagi bidang itu menjadi 4

daerah, masing-masing merupakan bagian dalam

suatu sudut, yakni bagian dalam APB‟, A‟PB.

A‟PB‟, dengan P terletak diantara A dan A‟ pada

garis m dan diantara B dan B‟ pada garis n.

Misalkan Q adalah titik pada l. Karena l tidak

memotong m atau n, berarti Q tidak terletak pada

m atau n.

Jadi Q berada pada salah satu dari 4 bagian dalam

sudut di atas, misalnya A‟PB.

Sekarang, dimana letak l ?

Karena salah satu titiknya yaitu titik Q berada pada

bagian dalam A‟PB dan l tidak memotong sisi-sisi

sudutnya, yakni PA‟ dan PB. Jadi jelaslah bahwa l

berada di dalam A‟PB yang berarti garis l

seluruhnya termuat di dalam A‟PB.

Catatan : Sangat menarik bahwa Legendra membuktikan

postulat kesejajaran Euclides dengan mengasumsikan bahwa

suatu garis yang memuat suatu titik dalam suatu sudut

pasti memotong sudut tersebut.


195

Teorema akibat

Ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu

garis yang melalui suatu titik di luar garis itu.

Bukti :

Misalkan diketahui garis l dan titik P.

Gunakan teorema l dan misalkan R sebarang titik

yang terletak di dalam daerah APB (Gambar 4.1).

Maka garis PR (kecuali titik P) seluruhnya termuat

dalam daerah APB dan A‟PB‟ dan tidak

memotong garis l yang termuat dalam A‟PB. Jadi

PR / / l.

Karena terdapat tak berhingga garis yang seperti

PR, berarti teorema akibat terbukti.

Sungguh menarik kalau kita bandingkan

Teorema 6.1 di atas dengan situasi dalam geometri

Euclides (yang hanya sebagian garis dapat termuat

dalam daerah suatu sudut). Karena dalam geometri

bidang Euclides sebuah garis yang melalui titik dalam

daerah sudut akan memotong sudut di dua titik atau

satu titik. Jadi hanya sebuah segmen garis saja yang

bisa termuat dalam daerah sudut, atau hanya sebuah

sinar garis saja.

Teorema di atas menunjukkan perbedaan yang

jelas antara geometri Euclides dan geometri

Lobachevsky jika dipandang dari sifat-sifat nonmetrik.

Hal ini seharusnya tidaklah terlalu mengherankan,


karena postulat kesejajaran Euclides (dalam bentuk

postulat Playfair) dan postulat kesejajaran

Lobachevsky memang berbeda sifat khusus grafiknya.

Perhatikan, hasil yang tak terhindarkan pasti terjadi,

jika kita mengasumsikan postulat Lobachevsky.

C. Sanggahan

Anda mungkin keberatan bahwa Teorema 6.1

ternyata valid secara abstrak, tetapi tidak sesuai

dengan kenyataan fisiknya. Jadi, konklusi di atas

memang secara logis diperoleh dari postulat

kesejajaran Lobachevsky, tetapi asumsi itu secara fisik

keliru. Jika anda membuat pernyataan demikian,

berarti anda mulai mengikuti jejak para ahli geometri

non-Euclides. Karena jika mereka mulai

mengembangkan teori mereka, mereka pasti telah

meragukan validitas empirik dari postulat kesejajaran

yang baru itu. Yang diperlukan bagi seseorang untuk

berpikir secara matematis adalah asumsi-asumsi

(postulat-postulat) yang secara logis dapat

menghasilkan konklusi (teorema). Validitas argumen

matematis tidak bergantung pada benar atau salahnya

asumsi dasar yang digunakannya.

Meskipun demikian, wajarlah kita memilih

asumsi yang akan menimbulkan kekeliruan jika

diterapkan pada dunia nyata? Jawabnya sudah jelas,

tetapi kenyataannya hal ini merupakan pertanyaan

yang sulit dan rumit yang tidak mungkin dijawab

dengan “ya” atau “tidak” saja. Harus ada beberapa

penjelasan.

Pertama, ahli matematika seharusnya bebas

memilih postulat dan mempelajari konsekuensinya,


197

bebas dari pertimbangan kegunaan praktisnya

maupun validitas empirisnya.

Kedua, proporsi matematika itu abstrak; untuk

mengujinya secara empiris kita harus menafsirkan

istilah-istilah dasarnya. Meskipun tampaknya salah

dalam suatu interpretasi (penafsiran), mungkin

menjadi benar dalam intepretasi yang lain. Sebagai

contoh, suatu postulat menjadi salah jika “garis”

diinterpretasikan sebagai “tali yang tegang”, mungkin

jadi benar jika diinterpretasikan sebagai “sinar lampu”.

Akhirnya, janganlah kita lupa bahwa penentuan

kebenaran empiris dari pernyataan geometris bukanlah

urusan kita sebagai ahli matematika – sebab hal itu

bukanlah merupakan percobaan mental yang dapat

disimpulkan secara santai. Hal itu termasuk dalam

bidang pengetahuan tentang percobaan dan penelitian

yang dilaksanakan oleh ahli fisika, astronom dan para

peneliti.

Untuk menentukan kebenaran pernyataan

secara empiris, seringkali merupakan masalah yang

sulit, dan seringkali hanya memperoleh

pendekatannya saja atau kebenarannya secara statistik

saja. Sebagai contoh yang klasik, perhatikan postulat

kesejajaran Euclides : postulat itu telah digunakan

turun-temurun oleh para ilmuwan dan insinyur;

postulat tersebut telah mengalami pengujian waktu itu.

Kita merasa yakin bahwa itu merupakan fakta empiris.

Dengan proses berpikir yang sama kita yakin

bahwa postulat kesejajaran Lobachevsky secara

empiris adalah salah. Marilah kita renungkan masalah

ini sebentar – apa saja yang terlibat dalam pernyataan-

pernyataan ini ? Adakah kita menyatakan bahwa, jika


diketahui garis (secara fisik) l dan titik P (secara fisik)

di luar l, maka ada garis m (secara fisik) yang tidak

memotong l tetapi melalui P yang tidak terletak pada l?

Bagaimana kita menguji hal itu?

Akankah kita gunakan tali, garis-garis di papan

tulis, atau sinar lampu? Ingat, betapa lebih sulit lagi

membuktikan secara empiris bahwa hanya ada satu garis

yang demikian? Misalkan ada satu garis yang

memenuhi, yaitu garis m.

Apakah kita benar-benar tahu sifat-sifat fisiknya

sehingga dapat menunjukkan hanya ada satu garis

seperti itu ?

Misalkan m‟ a dalah garis (secara fisik) yang melalui P

dan membentuk sudut yang sangat kecil dengan m;

dapatkah kita nyatakan bahwa secara fisik m‟ pasti

memotong l?

Pernyataan tentang kebenaran empiris postulat

kita memang sulit di jawab dan akan dibahas lebih

lanjut pada bab 8. Saat ini kita puas jika kita telah

dapat menghilangkan keraguan dan mempunyai

secara empiris. Postulat kesejajaran Euclides pasti

benar dan postulat kesejajaran Lobachevsky pasti

salah. Kita harapkan hal ini cukup dengan

menghilangkan perasaan bahwa geometri

m’

P

m

l


199

Lobachevsky hanyalah abstrak yang jauh dari dunia

nyata.

D. Jumlah sudut segitiga dalam geometri

Lobachevsky

Teorema 1 menunjukkan bagaimana kedudukan

atau sifat-sifat non metrical dalam geometri non-

Euclides tentu berbeda dengan geometri Euclides.

Akan ditunjukkan dalam Teorema 7.2 bagaimana sifat

metrical, jumlah besar sudut dalam segitiga, tentu

berubah jika kita mengubah postulat kesejajarannya.

Kita awali dengan dua “lemma” yang valid

dalam geometri netral. Kita tangguhkan

pengenalannya karena kedua lemma tersebut hanya

digunakan untuk menetapkan Teorema 7.2. Lemma 7.1

merupakan pengulangan kembali Teorema Saccheri

Legendre

Lemma 7.1.

Jumlah besar dua sudut dalam segitiga adalah kurang atau

sama dengan besar sudut luar yang tida bersisian dengan

sudut tersebut.

Bukti :

Perhatikan ABC. Menurut Teorema Sacheri-

Legendre :

A + B + C < 1800.

Jika kedua ruas ketidaksamaan dikurangi dengan

C diperoleh : A B + < 1800 - C. Lemma

tersebut berlaku karena sudut luar C sama dengan

1800 - C.

Lemma 7.2

Misalkan diketahui garis l, titik P di luar l, titik Q pada l.


Misalkan diberikan sisi PQ. Maka ada titik R di l yang

terletak satu pihak dengan PQ, sehingga PQR sekecil

yang kita inginkan.

Bukti :

Misalkan a adalah sudut yang kecil.

Akan kita tunjukkan bahwa ada titik R pada l yang

terletak di sebelah kanan PQ sedemikian hingga

PRQ < a.

Pertama, kita bentuk barisan sudut-sudut :

PR1Q, PR2Q, ……..,

yang setiap suku tidak lebih besar dari suku

sebelumnya.

Perhatikan gambar berikut ini.

Q

P

R

l


201

Misalkan R1 titik pada l dan berada di sebelah

kanan sisi PQ sedemikian hingga QR1 = PQ

(Gambar 4.5).

Tarik PR1. Maka PQR1 adalah sama kaki dan

QPR1 = PR1Q = b1.

Misal besar sudut luar PQR1 di Q = b. Menurut

Lemma 7.1

b1 + b1 = 2b1 < b,

berarti :

b1 < 21 b ………….(1)

Sekarang dibentuk segitiga baru dan diulang lagi

argumen di atas. Perpanjang QR1 melalui R1 ke R2,

sedemikian hingga R1R2 = PR1.

Tarik PR2. Maka PR1R2 adalah samakaki dan

R1PR2 = PR2R1 = PR2Q = b2

Jadi, sesuai dengan Lemma 6.1

b2 + b2 = 2b2 < b1

berarti :

b2 < 21 b1

sesuai dengan persamaan (1) diperoleh :

b2 < 22

1b

Dengan melanjutkan proses di atas sebanyak n kali,

maka akan diperoleh titik Rn pada l dan di sebelah

kanan sisi PQ sedemikian hingga :

bn = PRnQ < n2

1b

Dengan memilih n cukup besar maka bisa

diperoleh n2

1b < a.


Dengan demikian PRnQ < a. Jadi teorema berlaku

untuk R = Rn.

Teorema 7.2

Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut

kurang dari 1800.

Bukti :

Misalkan l suatu garis dan P di luar l. Kita buat

garis m melalui P sejajar l dengan cara biasa sebagai

berikut :

Misal PQ l di Q, dan m PQ di P.

Menurut postulat kesejajaran Lobachevsky ada

garis lain yaitu garis n yang melalui P dan sejajar l.

Salah satu sudut yang dibentuk n dengan PQ

adalah lancip.

Misalkan : X titik pada n sedemikian hingga QPX

lancip

Y titik pada m dan n di sebelah kanan sisi PQ

seperti X.

a = XPY.

Maka QPX = 900 – a


203

Sekarang gunakan Lemma 7.2. Misalkan R pada l

dan berada di sebelah kanan sisi PQ yang memuat

X, sedemikian hingga PRQ < a.

Perhatikan PQR. Kita punya :

PQR = 900

QRP < a

RPQ < XPQ = 900 – a

Jika dijumlahkan diperoleh :

PQR + QRP + RPQ < 900 + a + 900 – a =

1800

Jadi PQR mempunyai jumlah besar sudut kurang

dari 1800 dan teorema terbukti.

Urutan pembuktian di atas sungguh sangat

sederhana. Untuk mengetahui lebih dalam, perhatikan

dulu situasi yang sama dalam geometri Euclides.

Misal : l dan m tegak lurus pada PQ di Q dan P.

R sebarang titik pada l, di sebelah kanan sisi PQ

Jika R menjauhi PQ sampai tak terhingga, maka QRP

mendekati 00 dan QPR mendekati 900.

Dalam geometri Lobachevsky agak sedikit

berbeda. Kita masih punya garis l dan m tegak lurus

pada PQ di Q dan P sedemikian hingga m / / l. Tetapi

sekarang (seperti pada pembuktian Teorema 2) ada

garis lain PX yang sejajar l, sedemikian hingga :

P

Q R

m

l


QPX < 900. Misalkan R sebarang titik pada l di

sebelah kanan PQ seperti X.

Jika R menjauhi PQ sampai tak terhingga, maka

QRP mendekati 00 seperti pada geometri Euclides.

Tetapi QPR tidak mendekati 900, karena QPR selalu

kurang dari QPX.

Jadi, jika R cukup jauh, PQR akan memiliki jumla

besar sudut kurang dari 1800. Sebagai contoh, jika

QPX = 890 kita hanya perlu menempatkan R

sedemikian hingga QRP < 10.

Akhirnya, Anda mungkin menolak bahwa kita

tidak akan dapat mendapatkan QPR < QPX, yakni

sinar PR terletak dalam QPX.

Perhatikan bahwa sinar PR dan sinar PX adalah

berbeda dan keduanya berada di dalam sudut yang

dibentuk oleh sinar PQ dengan sinar yang lain.

Misalkan sinar PX terletak di dalam QPR, maka sinar

PX akan memotong QR dan sudah tentu memotong l.

Karena hal ini tidak mungkin terjadi, berarti sinar PR

harus berada di dalam QPX.

Teorema berikut merupakan teorema yang

penting, dan merupakan konsekuensi langsung dari

Teorema 7.2.

Q

. X

m

l

R

P


205

Teorema 7. 3

Jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari 1800.

Bukti :

Menurut akibat 2 teorema 6.6 (geometri netral) :

Jika ada sebuah segitiga yang jumlah besar

sudutnya kurang dari 1800, maka setiap segitiga

jumlah besar sudutnya juga kurang dari

1800…………… (1)

Menurut Teorema 7.2 (geometri Lobachevsky) :

Ada sebuah segitiga yang jumlah besar sudutnya

kurang dari 1800……………. (2)

Berdasarkan (1) dan (2) maka jumlah besar sudut

setiap segitiga kurang dari 1800.

Akibat 1 Teorema 7.3

Jumlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang

dari 3600.

Akibat 2 Teorema 7.3

Tidak ada persegipanjang.

Meskipun Teorema 7.3 tersebut berbeda dengan

teorema serupa pada geometri Euclides, mungkin anda

masih tetap berasumsi bahwa jumlah besar sudut

suatu segitiga itu konstan, seperti pada geometri

Euclides. Hal ini tidak mungkin pada geometri

Lobachevsky, di mana jumlah besar sudut suatu

segitiga bervariasi antara 00 dan 1800.

Diskusikan

Buktikan bahwa ada dua segitiga dengan jumlah besar

sudut yang berbeda. Dapatkah anda menjumpai lebih

dari dua ?


(Petunjuk : Gunakan bukti tak langsung).

E. Adakah segitiga-segitiga yang sebangun dalam

geometri Lobachevsky?

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa segitiga-

segitiga yang sebangun tidak ada dalam geometri

Lobachevsky, tetapi yang ada hanyalah segitiga-

segitiga yang kongruen. Hal ini sesuai dengan teorema

berikut ini.

Teorema 7.4

Dua segitiga dikatakan kongruen jika sudut-sudut

yang bersesuaian sama.

„

Bukti :

Andaikan teorema 4 salah. Berarti ada dua segitiga,

misal ABC dan A‟B‟C‟ sedemikian hingga : A =

A‟, B = B‟, C‟ tetapi kedua segitiga tersebut

tidak kongruen. Jadi AB A‟B‟ (Jika AB = A‟B‟ tentu

kedua segitiga tersebut kongruen dengan sd-ss-sd).

Demikian pula jika AC A‟C‟ dan BC B‟C‟.

B’

A’

C’

A

B’’ C’’

B C


207

Perhatikan tripel segmen AB, AC, BC dan A‟B‟,

A‟C‟, B‟C‟. Salah satu dari tripel segmen tersebut pasti

terdiri atas dua segmen yang lebih besar dari dua

segmen yang bersesuaian dari tripel yang lain.

Akibatnya, kita dapat memisalkan AB > A‟B‟ dan AC >

A‟C‟. Selanjutnya tentukan titik B” pada AB dan C”

pada AC sedemikian hingga A‟B‟ = AB” dan A‟B‟ =

AC”

Jadi AB”C” kongruen A‟B‟B‟.

Akibatnya : BB”C” = B‟ = B.

Berarti BB”C” adalah suplemen B dan B”C”C

adalah suplemen C, dengan demikian segiempat

BB”C”C mempunyai jumlah besar sudut sama dengan

3600 (bertentangan dengan akibat 1 teorema 7.3).

Di sini telah kita lihat perbedaannya dengan

geometri Euclides. Sesuai dengan Teorema 7.4, dalam

geometri Lobachevsky tidak ada teori tentang gambar-

gambar sebangun yang didasarkan pada definisi biasa,

karena jika dua segitiga sebangun maka sudut-sudut

yang bersesuaian sama, dan oleh karena itu kedua

segitiga pasti kongruen. Secara umum, dua gambar

yang sebangun pasti kongruen, dan juga mempunyai

ukuran yang sama.

F. Teori Luas Lobachevsky

Ukuran luas dalam geometri Lobachevsky

berbeda dengan geometri Euclides yang menggunakan

satuan luas persegi, karena persegi tidak ada dalam

geometri Lobachevsky. Untuk perhitungan besarnya

luas dapat digunakan metode perhitungan besarnya

luas dapat digunakan metode perhitungan integral dan


metode pendekatan tertentu. Untuk penyederhanaan,

kita batasi dengan luas segitiga saja.

Tanpa memperhatikan bagaimana luas

didefinisikan yang pasti luas memiliki sifat-sifat

berikut :

a) kepositifan:

Setiap segitiga ditentukan secara tunggal oleh

bilangan positif yang dinamakan luasnya.

b) invariansi terhadap kongruensi :

segitiga-segitiga yang kongruen memiliki luas yang

sama.

c) sifat aditif (penambahan) :

Jika segitiga T dibelah menjadi segitiga T1 dan T2,

maka luas T adalah jumlah luas T1 dan T2.

Akibatnya, setiap pengukuran luas menentukan

fungsi bernilai real yang didefinisikan pada semua

segitiga yang memenuhi sifat a), b), dan c). Hal ini

menunjukkan bahwa kita definisikan konsep

pengukuran luas atau fungsi luas pada segitiga yang

mempunyai ketiga sifat tersebut, lepas dari proses

pengukurannya. Jadi kita tentuan definisi berikut.

Definisi 7.1

Perhatikan suatu fungsi yang memasangkan setiap

segitiga dengan bilangan real tertentu sedemikian

hingga sifat a), b) dan c) terpenuhi. Fungsi tersebut

dinamakan fungsi luas atau ukuran luas (untuk segitiga).

Jika adalah fungsi semacam itu dan ABC adalah

segitiga, maka (ABC) menyatakan suatu nilai yang

dipasangkan oleh dengan segitiga ABC, dan disebut

luas atau ukuran segitiga ABC yang ditetapkan oleh .

Sudah tentu definisi di atas tidak terbatas pada

geometri Lobachevsky saja; tapi juga berlaku untuk


209

sebarang geometri netral. Dalam geometri Euclides

telah kita kenal rumus luas segitiga (= 21 a.t) yang

menghasilkan sebuah fungsi luas, dengan

memasangkan setiap segitiga dengan bilangan 21 x alas

x tingginya.

Kita lanjutkan dengan mengamati sifat aditif c)

dari fungsi luas, yang dapat dikembangkan sampai

sejumlah suku-suku yang berhingga.

Teorema 7.5 (Penjumlahan berhingga)

Misalkan sebuah segitiga dipecah menjadi suatu

himpunan berhingga segitiga-segitiga yang tidak

saling menutupi 1, 2, ……, n. Maka fungsi luas

nya :

() = (1) + (2) + ………. + (n).

Hasilnya akan sama pentingnya baik pada

geometri Euclides maupun geometri Lobachevsky. Kita

kenalkan idea fungsi luas dalam geometri Lobachevsky

tanpa memberikan suatu contoh tertentu. Ada suatu

contoh yang hanya penting dan dikenal pada geometri

Euclides, tetapi umumnya dinyatakan dalam sudut-

sudut segitiga. Secara formal kita nyatakan definisi

berikut.

Definisi 7.2:

Defect ABC adalah 180 – ( A + B + C). Di sini

A, B, C, diambil dari besar derajat dari sudut-

sudut yang dimaksud. Jadi defect suatu segitiga adalah

bilangan real bukan bilangan derajat.

Defect suatu segitiga berlaku seperti pengukuran luas :


Teorema 7.6

Defect adalah fungsi luas pada segitiga.

Bukti :

Sesuai dengan Teorema 7.3, sifat a) berlaku, sifat b)

juga memenuhi, karena segitiga-segitiga yang

kongruen mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian

sama, sehingga jumlah sudutnya sama dan defectnya

juga sama.

Untuk menyelidiki sifat c) misalkan diketahui

ABC, dan D suatu titik pada BC sedemikian hingga AD

memecah ABC menjadi ABD, dan ADC. Jumlah

defect kedua segitiga ini adalah :

180 – ( BAD + B + BDA) + 180 – ( CAD + C +

CDA).

Dengan menyusun kembali, dan memperhatikan

bahwa BDA + CDA = 180, kita dapatkan jumlah

defect kedua segitiga tersebut adalah

180 - ( BAD + CAD + B + C).

= 180 - ( BAC + B + C).

yang merupakan defect ABC.

Teorema di atas menunjukkan bahwa fungsi

luas ada. Kita tentunya heran jika ada fungsi luas yang

lain, dan seberapa banyak variasinya. Metode

pembuatan fungsi luas yang baru akan diberikan pada

A

C D B


211

teorema berikut, yang merupakan akibat langsung dari

definisi fungsi luas.

Teorema 7.7

Perkalian fungsi luas dengan bilangan positif juga

menghasilkan fungsi luas.

Perkalian fungsi luas dengan bilangan positif

mengakibatkan perubahan satuan ukurannya (yakni :

sebarang segitiga mempunyai ukuran 1), tetapi tidak

mengubah ratio ukuran segitiganya. Jika kita memakai

satuan yang berbeda untuk ukuran sudut dan

mendefinisikan “defec” dengan cara alami, kita akan

memperoleh perkalian suatu defect dengan konstanta

seperti yang kita definisikan semula.

Sebagai contoh, misalkan kita ubah satuan sudut

dari derajat ke menit. Maka hal tersebut akan

menyebabkan dua macam peruahan :

(1) setiap ukuran sudut harus dikalikan dengan 60.

(2) angka kunci 180 harus diganti dengan 60 kali 180

atau 10800.

Jadi definisi yang tepat untuk “defect” adalah 60 kali

defect yang kita definisikan semula.

Sayangnya teorema terakhir tidak menjawab

pertanyaan kita tentang macam-macam fungsi luas

yang mungkin. Kita bahas kemungkinan fungsi luas

yang bukan merupakan perkalian defect dengan suatu

konstanta.

Kita mungkin merasa bahwa defect akan

dibuang dan bukan merupakan fungsi luas tertentu,

sementara fungsi luas yang lain mungkin diperoleh

secara tidak proporsional terhadap defect. Jika hal itu

yang terjadi, maka akan ada dua segitiga yang


mempunyai luas yang sama karena ditentukan oleh

suatu fungsi luas tertentu, dan mempunyai luas yang

tidak sama oleh fungsi luas yang lain. Dalam

praktiknya, hal ini mungkin meresahkan : harga

sebuah rumah yang bergantung pada sistem ukuran

yang digunakannya. Untungnya, hal seperti itu tidak

pernah terjadi dalam geometri Lobachevsky.

Contoh 7.1

Jika diketahui ∆ABC dan ∆PQR di dalam ∆ABC,

buktikan bahwa defect ∆ABC > defect ∆PQR

Bukti : Buat Segitiga ABC

Hubungkan titik A pada ∆ABC

dengan titik P pada ∆PQR.

Hubungkan titik A pada ∆ABC

dengan titik Q pada ∆PQR

Hubungkan titik B pada ∆ABC

dengan titik Q pada ∆PQR

Hubungkan titik B pada ∆ABC

dengan titik R pada ∆PQR

Hubungkan titik C pada ∆ABC

dengan titik R pada ∆PQR

Hubungkan titik C pada ∆ABC

dengan titik P pada ∆PQR

Berdasarkan Teorema 7.3

∆ABC : A3 + B1 + Q2 < 180

∆BQR : B2 + Q3 + R1 < 180

∆BCR : B3 + R2 + C1 < 180

∆CPR : C2+ P4 + R3 < 180

∆CPA : C3 + A1 + P1 < 180

A B

Q

C

P

R


213

∆APQ : A2 + P2 + Q1 < 180

A123 + B123 + C123 + Q123 + R123+ P124 <

6.180

A + B + C + P124+ Q123 + R123 <

6.180

A + B + C < 6.180 – ( P124+ Q123 + R123)

A + B + C < 3.360 – [(360- P3)+(360- Q4)

+(360- R4)]

A + B + C < 3.360 – 3.360+ P3 + Q4 +

R4

A + B + C < P3 + Q4 + R4

- (A + B + C) > 180 - (P3 + Q4 + R4)

Defect ∆ ABC > defect ∆ PQR ………. Terbukti

Teorema 7.8

Sebarang dua fungsi luas adalah proporsional.

Buktinya tidak dibahas, karena agak sulit dan

memang merupakan bagian dari mata kuliah Analisis

Real.

Jika kita lihat teorema 7.6 dan 7.8, sangat mungkin

mendefinisikan luas segitiga dengan menggunakan

defectnya; dengan mengabaikan faktor

proporsionalnya. Menarik untuk diperhatikan bahwa

dalam geometri Euclides tiga-dimensi, jumlah sudut

segitiga bola adalah lebih besar dari 1800, dan luas

segitiga bola didefinisikan sebagai “kelebihannya”,

yakni jumlah derajat ukuran sudut-sudutnya dikurang

180. Kita dapat menyimpulkan bahwa teorema 7.8 juga

benar untuk geometri Euclides dan diperlukan untuk

memvalidasikan teori luas Euclides yang sudah kita

kenal itu.


G. Garis-Garis Yang Sejajar Dan Sama Jaraknya

Dalam geometri Euclides, ciri penting dari dua

garis yang sejajar adalah bahwa kedua garis itu

jaraknya sama di mana-mana. Hal itu tidak ada dalam

geometri Lobachevsky, sesuai dengan teorema berikut

ini.

Teorema 7.9

Tidak ada dua garis sejajar yang jaraknya sama di

mana-mana.

Bukti:

Akan kita tunjukkan bahwa untuk sebarang dua

garis l dan l‟, maka tidak ada tiga titik di l yang

jaraknya sama dari titik di l‟. Misalkan A, B, dan C

adalah tiga titik berbeda pada l, dengan B di antara

A dan C.

Dari A, B, dan C tarik garis tegaklurus ke l‟, yang

masing-masing memotong l‟ di A‟, B‟ dan C‟.

Misalkan AA‟ = BB‟ = CC‟.

Dari AA‟ = BB‟, AA‟B‟ = BB‟A‟ dan A‟B‟ = B‟A‟

Jadi : AA‟B‟ BB‟A.

Akibatnya AB‟ = BA‟

l

C’ B’

l’

A’

C B A


215

Karena BB‟ = AA‟ dan BA = AB maka AB‟B

BA‟A.

Akibatnya :

A‟AB = B‟BA ……(1)

yang berarti sudut-sudut atas (summit) segiempat

AA‟B‟B adalah sama.

Dengan cara dan alasan yang sama, dapat pula

diterapkan pada segiempat CC‟B‟B, yang

mengakibatkan :

C‟CB = B‟BC ……(2)

dengan menjumlahkan (1) dan (2) diperoleh :

A‟AB + C‟CB = B‟BA + B‟BC =

1800.

Jadi jumlah besar sudut dalam segiempat AA‟C‟C

adalah 3600 yang bertentangan dengan akibat 1

Teorema 6.3.

Dengan demikian pemisalan salah, dan yang benar

adalah Teorema 7.9.

Kita simpulkan bagian ini dengan diskusi

tentang jenis-jenis pasangan garis-garis sejajar. Sesuai

bukti teorema di atas: jika dua garis sejajar, maka

hanya ada dua hal yang mungkin :

(1) ada dua titik pada garis yang satu yang jaraknya

sama dari garis yang lain.

(2) tidak ada dua titik pada garis yang satu yang

jaraknya sama dari garis yang lain.

Masalah (1) terjadi jika dan hanya jika kedua

garis itu punya garis tegaklurus persekutuan. Dalam

hal ini kedua garis tersebut memencar (divergen)

sampai tak berhingga baik di sebelah kiri maupun di

sebelah kanan garis tegaklurus persekuruannya.


Sedangkan (2) terjadi jika salah satu garis tersebut

merupakan asimptot dari garis yang lain.

Teorema 7.10

Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan

sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclides,

maka ada sebuah persegipanjang.

Misalkan diketahui garis l dan titik P. PQ tegaklurus

dengan l di Q. Pilih titik R (yang berbeda dengan Q)

yang terletak di l. Buatlah garis m yang tegaklurus

dengan l di R. Buatlah garis melalui P yang tegaklurus

m di S. Maka kita dapatkan segiempat PQRS dengan

sudut Q, R, S yang masing-masing siku-siku.

Akan dibuktikan PQRS persegipanjang.

Bukti :

Karena PS dan l keduanya tegaklurus terhadap m,

maka PS sejajar l (akibat 1 teorema 2 geometri

netral).

Karena PS dan l memenuhi sifat kesejajaran

Euclides, maka PS satu-satunya garis yang melalui

P yang sejajar l (akibat 3 teorema 2 geometri netral).

PQ tegaklurus l di Q dan PS sejajar l, maka PQ

tegaklurus PS di P. Jadi segiempat PQRS adalah

persegipanjang.

l Q

P S

m

R


217

Akibat Teorema 7.10


sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclides

maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah 1800.

Bukti :

Menurut Teorema 7.10: jika ada sebuah garis dan

sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran

Euclides maka ada sebuah persegipanjang.

Sedangkan menurut Teorema 7.5: jika ada sebuah

persegipanjang maka setiap segitiga jumlah

sudutnya adalah 1800.

Dengan menggunakan prinsip silogisma dapat

disimpulkan bahwa :

Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang

memenuhi sifat kesejajaran Euclides maka setiap

segitiga jumlah sudutnya adalah 1800.

Sekarang, perhatikan implikasi dari sifat kesejajaran

Lobachevsky berikut.

Teorema 7.11



Lobachevsky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya

kurang dari 1800.

Bukti :

Teorema ini sesungguhnya sesuai dengan teorema

2 yang telah dibuktikan. Jadi bukti teorema ini juga

bisa menggunakan bukti teorema tersebut.

Akibat teorema 7.11




Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya

kurang dari 1800.

Bukti :

Menurut Teorema 7.11: Dalam geometri netral, jika

ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi

sifat kesejajaran Lobachevsky maka ada segitiga

yang jumlah sudutnya kurang dari 1800.

Menurut akibat 2 Teorema 7.6 : Jika ada sebuah

segitiga yang jumlahnya kurang dari 1800 maka

setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 1800.

Berdasarkan prinsip silogisme dapat disimpulkan

bahwa :

Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang

memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka

setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 1800.

Teorema 7.12



Lobachevsky maka setiap garis dan setiap titik luarnya

tentu memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, yang

berarti geometrinya adalah geometri Euclides.

Bukti :

Andaikan Teorema 7.12 salah. Berarti ada satu garis

dan satu titik yang memenuhi sifat kesejajaran

Lobachevsky.

Menurut akibat Teorema 7.11, jika ada sebuah garis

dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran

Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya

kurang dari 1800.

Tetapi menurut akibat Teorema 7.10, jika ada

sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat


219

kesejajaran Euclides maka setiap segitiga jumlah

sudutnya adalah 1800.

Terjadi kontradiksi, maka pengandaian salah, berati

teorema 7.12 benar.

Akibat 1 teorema 7.12



Lobachevsky maka setiap garis dan setiap titik luarnya

tentu memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, yang

berarti geometrinya adalah geometri Lobachevsky.

Bukti :

Misal diketahui garis l dan titik P memenuhi sifat

kesejajaran Lobachevsky. Misalkan l‟ sebarang garis

dan P‟ sebarang titik yang tidak dapat memenuhi

sifat kesejajaran Lobachevsky. Berarti hal ini

kontradiksi dengan teorema 7.12.


Setiap geometri netral tentu merupakan geometri

Euclides atau geometri Lobachevsky.


Suatu geometri netral merupakan geometri Euclides

atau geometri Lobachevsky, yang berarti jumlah sudut

segitiganya adalah sama dengan atau kurang dari 1800.

Bukti :

Dalam geometri netral, misalkan ada sebuah seigita

yang memiliki jumlah sudut 1800. Maka geometri

tersebut tidak mungkin merupakan geometri

Lobachevsky, dan oleh karena itu tentu merupakan

geometri Euclides (menurut akibat 2 teorema 7.12).

Begitu pula dalam kasus yang lain.



Suatu geometri netral yang memuat persegi panjang,

tentu merupakan geometri Euclides.

H. Pengenalan Geometri Elliptik

Geometri Non-Euclides memuat Geometri

Hiperbolik dan Geometri elliptik. Anda telah

mempelajari Geometri Hiperbolik dari Gauss, Bolyai

dan Lobachevsky yang sering disebut dengan

Geometri Lobachevsky, sedang Geometri Elliptik yang

akan Anda pelajari terkenal dengan Geometri Rieman..

Bernhard Riemann (1826 – 1866) dari Jerman

dalam tahun 1854 membacakan disertasinya tentang

penemuannya yang baru di Fakultas Filsafat

Gottingen. Ia mulai dengan asumsi : Garis-garis

Euclides maupun dari Geometri Hiperbolik. Postulat

Kesejajaran dari Riemann ialah : Tidak ada garis-garis

yang sejajar dengan garis lain.

Jadi dua garis selalu berpotongan dan tidak ada

dua garis sejajar. Untuk mencari letak perbedaan

utama teori Riemann dengan teori Euclides, maka kita

ingatkan bahwa garis tidak berhingga biasanya dipakai

untuk membuktikan adanya dua garis sejajar, yaitu

suatu teorema dalam geometri Euclides sebagai

berikut.

Teorema 7.13

Dua garis tegaklurus pada satu garis yang sama adalah

sejajar.

Diketahui : garis itu l dan m yang tegaklurus pada n

Akan dibutikan l dan m sejajar.

Bukti :

A B

l m

n

A

B

C

C’

m

n


221

Andaikan l dan m tidak sejajar, maka garis l dan m

berpotongan di C

Pernyataan Alasan

CA diperpanjang

dengan AC‟ = CA

suatu segmen boleh

diper-panjang dua kali.

Dilukis C‟B dua titik menentukan 1

garis

ABC ABC s, sd, s

ABC = ABC‟ unsur yang

berkorespondensi

Jadi, ABC‟ = 900 = ABC, BC dan BC‟

tegaklurus pada AB.

BC dan BC‟ berimpit melalui l titik pada

suatu garis hanya ada l

garis yang tegaklurus

garis itu

Jadi, AC dan BC atau garis l dan m mempunyai titik C

dan C‟ yang berimpit. Terdapat pertentangan dengan

ketentuan, bahwa l dan m berlainan. Jadi pengandaian

salah, berarti l dan m sejajar.

Jika postulat Riemann harus berlaku, maka

tentu ada yang salah dalam bukti di atas yang

menyebabkan hasil yang berbeda. Kiranya langkah ke-

6 yang menyebabkan itu. Dalam bukti ini Euclides

secara diam-diam menggunakan prinsip pemisahan

(“separation principle”), yaitu bahwa setiap garis

membagi bidang dalam 2 setengah bidang (2 daerah),

yang tidak mempunyai titik persekutuan. Jadi dalam

langkah pertama telah dianggap, bahwa C dan C‟

berlainan.

Jika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka

C dan C‟ dapat berimpit dan bukti teorema di atas


kurang benar. Jika prinsip pemisahan tetap digunakan,

C dan C‟ harus berlainan. Kontradiksi dalam langkah 6

dapat dihilangkan, jika kita meninggalkan prinsip,

bahwa dua titik menentukan l garis dan

memungkinkan dua garis berpotongan pada dua titik.

Hal ini menghasilkan teori baru.

Maka timbul 2 kemungkinan :

1) setiap 2 garis berpotongan pada 1 titik dan tidak

ada garis yang memisahkan suatu bidang (tidak

menggunakan prinsip pemisahan)

2) setiap 2 garis berpotongan pada 2 titik dan setiap

garis memisahkan bidang (menggunakan prinsip

pemisahan).

Euclides telah menggunakan prinsip, bahwa setiap

2 garis berpotongan pada 1 titik dan setiap garis

memisahkan suatu bidang (menggunakan prinsip

pemisahan). Maka kemungkinan pertama

menghasilkan Geometri “Single elliptic” dan

kemungkinan kedua menghasilkan Geometri “double

elliptic”.

Kata elliptik dididasarkan atas Klasifikasi Geometri

Proyektif. Geometri Lobachevsky disebut Geometri

Hiperbolik, mengingat bahwa melalui 1 titik diluar

suatu garis dapat dibuat 2 garis yang sejajar garis

tersebut. Geometri Euclides disebut Geometri

Parabolik, mengingat bahwa hanya ada 1 garis yang

sejajar garis tersebut dan Geometri Riemann disebut

Elliptik karena tidak ada garis yang dapat dibuat

sejajar garis tersebut.

Geometri Riemann berguna sekali dalam

Matematika dan Fisika Terapan (“applied Mathematics

and Physics”) dan merupakan dasar matematik dari

teori relativitas dari Einstein.


223

Untuk dapat mudah memahami teorema-teorema

berikut, maka sebagai model dari geometri “double

elliptic” ialah bola dan dari Geometri “single elliptic”

suatu setengah bola.

Dua garis berpotongan pada 2 titik; setiap garis

memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang.

Dua garis berpotongan pada 1 titik garis tidak

memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang;

2 titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik

Penyajian Geometri “double elliptic” pada bola

Euclides

Titik titik pada bola S

garis lingkaran besar bola S

bidang bola S

segmen busur dari suatu lingkaran

besar S

Jarak antara 2

titik

panjang busur terpendek dari

lingkaran besar S yang melalui

kedua titik itu


Sudut antara 2

garis

sudut pada bola (yang

dibentuk oleh dua lingkaran

besar)

Ukuran sudut ukuran sudut pada bola

Dapat dipahami, bahwa urutan tidak berlaku pada

Geometri “double elliptic”, artinya [ABC] dapat sama

dengan [BCA].

Dalam Geometri Elliptic tetap berlaku, bahwa

melalui satu titik pada suatu garis hanya dapat dibuat

1 garis yang tegaklurus garis tersebut. Tetapi hal ini

tidak berlaku, jika titiknya di luar garis tersebut.

Untuk setiap garis l ada katub K sedemikian,

hingga semua garis melalui K tegaklurus pada 1

(gambarannya seperti semua meridian melalui kutub

tegaklurus pada ekuator atau khatulistiwa).

Sifat kutub. Misalkan l suatu garis. Maka ada

suatu titik K, yang disebut kutup dari l sedemikian,

hingga :

a) setiap segmen yang menghubungkan K dengan

suatu titik pada l tegak lurus pada l.

b) K berjarak sama dari setiap titik pada l

Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut

jarak polar. Jarak polar suatu kutub sampai garisnya

adalah konstan, demikian pula panjang suatu garis.

Teorema-teorema dasar yang berlaku untuk Geometri

Elliptic

Teorema 7.14

Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu

pada suatu titik.


225

Teorema 7.15

Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis,

berpotongan pada titik yang disebut kutup dari garis

itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu

garis tegaklurus pada garis itu.

Teorema 7.16

Dalam sebarang segitiga ABC dengan C = 900, sudut

A kurang dari sama dengan atau lebih besar dari 900,

tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan

atau lebih besar dari jarak polar q.

Teorema 7.17

Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar

dari 1800.

Teorema 7.18

Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar

dari 3600.

Teorema 7.19

Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan

tumpul.

Teorema 7.20

Dalam segiempat Lambert ABCD dengan A = B =

C = 900, maka sudut keempat D tumpul.

Teorema 7.21

Tidak ada persegi dalam Geometri Elliptic.

Teorema 7.22

Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen.

Teorema-teorema, di atas tidak kita buktikan di

sini, tetapi dapat kita yakini dengan menggunakan

model.


Dalam geometri Hiperbolik luas suatu segitiga

adalah kelipatan dari defeknya. Maka dalam Geometri

Elliptik luas suatu segitiga adalah kelipatan konstan

dari ekses (“excess”) nyata, yaitu :

= (A + B + C – 180) atau

= (A + B + C – )

tergantung dari satuan-satuan yang dipakai.

Contoh 7.2

Diketahui ABCD segiempat Saccheri, AB = DC ; AE =

ED ; BF = FC ; EF AD dan EF BC karena garis EF

adalah persekutuan dari segiempat Saccheri ABCD

atau karena setiap garis yang melalui kutub G garis g

dan n ABFE dan CDEF segiempat Lambert.

GB = GC = G1B = G1C = jarak polar juga GF

∆ GBF dan ∆ GCF sama kaki ∆ GAD sama kaki karena

GB, GC jarak polar artinya setiap titik di g memiliki

jarak yang sama dengan titik kutub G dan ABCD

adalah ∆ GAD sama kaki karena

segiempat Saccheri dengan AB = CD sehingga GA =

BG – AB

GD = GC - CD

GA = GD (jarak polar karena GA = GB – AB dan

GD = GC – CD

Mengakibatkan D1 = A1

lancip karena ABFE

adalah Lambert dengan B = F = E = 900

Berdasarkan Teorema 7.5 Geometri Elipthik besar

sudut segiempat > 260, sehingga disimpulkan : E >

900 (tumpul)

Karena A2 saling berpelurus dengan A1

Untuk D1 lancip (alasannya analog dengan di

atas menggunakan CDEF)

GA = GD


227

Maka AB < EF karena A2 tumpul

Berdasarkan teorema, bahwa panjang sisi

dihadapannya (EF) lebih panjang sisi AB.

AE < BF karena dengan memperhatikan segiempat

ABEF A2 tumpul berdasarkan teorema, bahwa sisi di

depannya (BF) lebih panjang di banding AE

LATIHAN 7.1

1. Buktikan : a. sisi atas (summit) suatu segiempat

Saccheri adalah lebih besar dari sisi

alasnya.

b. sudut atasnya lancip

c. segmen yang menghubungkan titik-

titik tengah dari sisi atas dan sisi

alasnya lebih kecil dari kakinya.

2. Buktikan jika dua segiempat Saccheri mempunyai

panjang sisi alas sama dan panjang kaki sama

maka kedua segiempat itu kongruen.


panjang sisi alas sama dan sudut atas sama maka

kedua segiempat itu kongruen.


panjang sisi atas sama dan sudut sama maka kedua

segiempat itu kongruen.

5. Buktikan jika dua segitiga mempunyai defect yang

sama, dan sebuah sisi dari kedua segitiga itu sama,

maka kedua segitiga itu ekivalen.

6. Buktikan jika dua segitiga mempunyai defect yang

sama maka kedua segitiga itu ekivalen.

7. Misalkan diketahui : PQ l di Q, PR / / l,

QPR lancip.


R‟ terletak berlawanan dari sisi

PQ terhadap R sehingga

QPR‟ = QPR.

Buktikan : PR‟ / / l.

8. Buktikan segmen garis yang menghubungkan titik-

titik tengah dari dua sisi segitiga adalah lebih kecil

dari setengah dari sisi ketiganya.

9. Misalkan : A, B, C adalah titik-titik pada l,

dengan B terletak di antara A dan C.

A‟, B‟, C‟ adalah titik-titkk pada l‟

sedemikian hingga AA‟, BB‟, CC‟ tegak

lurus l‟, dan AA‟ jika tegaklurus l.

Buktikan bahwa AA‟ < BB‟ < CC‟

Simpulkan bahwa jika dua garis mempunyai dua

garis tegaklurus persekutuan, maka kedua garis itu

divergen (memencar) pada kedua sisi yang tegak lurus

tersebut.

10. Buktikan bahwa ada batas atas untuk luas semua

segitiga.

11. Buktikan bahwa ada segitiga dengan defect kurang

dari suatu bilangan positif tertentu.

12. Jika titik P terletak di dalam ABC, buktikan :

defect (ABC) = defect (PAB) + defect (PBC) +

defect (PAC).

13. Jika P, Q, R terletak pada sisi AB, BC, CA dari

ABC buktikan:

Defect (ABC) = defect (APR) + defect (BQP) +

defect (CRQ) + defect (PQR).

14. Jika diketahui ABC, maka buktikan bahwa ada

A‟B‟C‟ yang ekivalen dengan ABC dan

mempunyai jumlah sudut yang sama, dengan

A‟< 21 A dan A‟ + B‟ = A.


229

15. Jika diketahui ABC. Buktikan bahwa ada

A‟B‟C‟ yang ekivalen dengan ABC dan

mempunyai jumlah sudut yang sama, sedemikian

hingga A‟< 21 A dan A‟ + B‟ = A.

16. Buktikan : sebarang segitiga siku-siku dapat

“diduakalikan”; yakni ada segitiga yang luas

(defect)nya dua kali segitiga tersebut.

17. Buktikan : sebarang segitiga siku-siku dapat

“diparoh” yakni ada segitiga yang luas (defect)nya

separoh segitiga tersbut.

18. Jika diketahui dua buah segitiga, maka buktikan

bahwa ada segitiga yang luas (defect)nya rata-rata

dari luas kedua segitiga tersebut.

LATIHAN 7.2

Jika model dari Geometri “double elliptik adalah

sebuah bola, maka :

1) Berikan gambaran dari teorema 3

2) Berikan juga gambaran teorema 4

3) Berikan juga gambaran teorema 6

4) Bandingkan teorema 4 dengan teorema serupa

untuk Geometri Hiperbolik dan Geometri Euclides.

5) Bandingkan pula segiempat Saccheri dalam

Geometri Elliptik dengan yang dalam Geometri

Hiperbolik dan geometri Euclides.

bab 8 pengantar geometri non-euclides · pdf filepelajaran geometri netral dengan memberikan...

Documents