TEOREMA PYTHAGORAS

Disusun

(Text ,Gambar dan Animation)

Oleh R. SITIO

A. PENGERTIAN TEOREMA PYTHAGORASTeorema Pythagoras adalah Rumus yang berkaitan dengan Luas Persegi pada Sisi Segitiga Siku-siku.Pada setiap segitiga siku-siku terdapat 2 sisi siku-sikudan 1 sisi miring.

Pada ∆ABC , ∠A = 900 , maka :Sisi siku-siku : AB dan AC.

Sisi Miring : BC

Catatan :Sisi Miring selalu didepan sudut siku-siku dan merupakan sisi yang terpanjang pada setiap segitiga siku-siku.Jadi pada ∆ABC dikiri ini sisi miring tetapBC kalaupun segitiga itu diputar.

A B

C

900

• Luas PersegiRumus untuk menghitung luas Persegi adalah :

Contoh :

1. Hitunglah Luas Persegi jika panjang sisinya 25 cm.

2. Tentukan masing-masing Luas persegi (i) dan (ii) dikanan ini!

Jawab :1. L = (25cm)2 = 625 cm2

2. L(i) = AB2

L(ii) = BC2

Luas = sisi x sisi , atau L = s2

Persegi (i)

Persegi (

ii)

A B

C

B. TEOREMA(RUMUS) PYTHAGORAS

Pada ∆ ABC ,Siku-siku di A , maka :AB dan AC sisi siku-siku dan BC sisi miringnya.Luas Persegi :1). L (i) = AB2

2). L(ii) = AC2

3). L(iii) = BC2

Jadi :

L(i) + L(ii) = L(iii)

atau

AB2 + AC2 = BC2

(iii)

A B

C

(i)

(ii)

Jadi Teorema (Rumus) Pythagoras berlaku untuk setiap segitiga

siku-siku sebagai berikut :

Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya

Pada ∆ ABC :1). Sudut A = sudut siku-siku = 900

2). AB dan AC adalah Sisi siku-siku

3). BC = Sisi miring(Hipotenusa)

4). Rumus : BC2 = AB2 + AC2

Catatan :

Sisi miring selalu didepan sudut siku-sikunya

A

B

C

Sisi

did

epan

sudu

t sik

u-si

ku

Sudut siku-siku

Contoh 1 :Gunakan teorema Pythagoras untuk menentukan panjangdiagonal AC pada persegi panjang ABCD berikut ini!

Penyelesaian :Pada ∆ ABC : Dik. : Siku-siku di B , maka sisi miring = AC

Sisi siku-siku : AB = 24 cm dan AC = 7 cmDit. : AC = …?Jawab :BC2 = AB2 + AC2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625Maka : BC = √625 = 25

Jadi panjang diagonal persegi panjang

ABCD adalah 25 cm 7 cm

24

cm

A

B

D

C

Contoh 2 :

Segitiga ABC adalah sama sisi dengan tinggi DC.

Apabila panjang sisinya = 10 cm , tentukanlah AD!

Jawab :

Karena ∆ABC sama sisi , maka :

AC = AB = BC = 10 cm dan

AD = DB = ½ AB = 5 cm

Pada ∆ADC :

AC2 = AD2 + DC2

↔ 102 = 52 + DC2

↔ 100 = 25 + DC2

↔ DC2 = 100 – 25 = 75

↔ DC = √75 = 5√3

Jadi tinggi ∆ABC = DC = 5√3 cm

A B

C

D5 cm

10 c

m

5√3

cm

5 cm

10 cm

Catatan :

Pada Contoh 2 Panjang sisi ∆ABC = 10 cm

dan tingginya = 5√3 cm

Pada setiap segitiga sama sisi :

Jika sisinya = S , maka tingginya = ½S√3

Misalnya :Sebuah segitiga sama sisi panjang sisinya = 36 cm , maka :tingginya = ½.36√3 cm = 18√3 cm

Contoh 3 :

Kubus KLMN.OPQR panjang rusuknya = 8 cm.

Tentukan panjang : a. KM b. KQ

Jawab :

a. Pada ∆KLM , ∠L = 900

KL = LM = 8 cm , maka :

KM2 = KL2 + LM2

↔ KM2 = 82 + 82

↔ KM2 = 64 + 64

↔ KM2 = 64.2

↔ KM = √64.2 = 8√2

Jadi KM = 8√2 cmK L

MN

O P

QR

8 cm8 cm

8 c

m

b. Pada ∆KMQ , ∠M = 900 maka :

KQ2 = KM2 + MQ2

↔ KQ2 = 64.2 + 82

↔ KQ2 = 64.2 + 64

↔ KQ2 = 64.3

↔ KQ = √64.3 = 8√3

Jadi KM = 8√3 cm

K L

MN

O P

QR

8 cm8 cm

8 c

m

MQ = 8KM2 = 64 X 2

Catatan :Pada setiap kubus yang panjang rusuknya = S ,

maka panjang :

(i). Setiap Diagonal Sisi = S√2

(ii). Setiap Diagonal Ruang = S√3

Misalnya :Sebuah kubus panjang rusuknya = 23 cm.Maka :panjang Diagonal Sisi = 23√2 cmPanjang diagonal Ruang = 23√3 cm

Contoh 4 :

Pada gambar balok dibawah ini , tentukan :

a. Panjang BD b. Panjang BH

A

BC

D

F

E

G

H

12 cm9 cm

8 c

m

Jawaban contoh 4 :

a. Pada ∆ABD , ∠A = 900 , maka :

BD2 = AB2 + AD2 = 92 + 122 = 91 + 144 = 225

BD = √225 = 15

Jadi panjang BD = 15 cmb. Pada ∆ABD , ∠A = 900,

maka :

BH2 = BD2 + DH2

= 225 + 82

= 225 + 64

= 289

BH = √289 = 17

Panjang BH = 17 cmA

BC

D

F

E

G

H

12 cm9 cm

8 c

m

TRIPLE PYTHAGORAS

Triple Pythagoras ialah tiga buah bilangan yang memenuhi

Rumus Pythagoras

Contoh 1 :

Pada segitiga ABC dikanan ini , jika AB = 5 cm,

dan AC = 12 cm , dapat dihitung bahwa

panjang BC = 13 cm.

Maka : bilangan 5 , 12 dan 13 adalah

Triple Pythagoras A B

C

5

1213

Ciri-ciri Triple PythagorasKita telah mengetahui bahwa pada segitiga siku-siku , sisi miring selalu merupakan sisi yang terpanjang.Jika 3 , 5 dan 4 Triple Pythagoras , maka 5 adalah merupakan sisi miring , 3 dan 4 sebagai sisi siku-siku.Sehingga : 52 = 32 + 42

Contoh 1 :Apakah 7 , 24 dan 25 merupakan Triple Pythagoras?Jawab : Bilangan terbesar adalah 25 , maka kita selidiki apakah 252

sama dengan 72 + 242

252 = 625 dan 72 + 242 = 49 + 576 = 625Maka 7 , 24 dan 25 adalah Triple Pythagoras , sebab :252 = 72 + 242 = 625

Contoh 3 :

Manakah kelompok bilangan berikut yang merupakan

Triple Pythagoras?

a. 6 , 8 , 10

b. 14 , 48 , 50

c. 4.5 , 6 , 7.5

Cara Menentukan Triple Pythagoras

• Sisi siku-siku ke 1 = n

Sisi siku-siku ke 2 =

Sisi miring =

• Sehingga : n x k ,

adalah merupakan Triple Pythagoras

n2 – 12

n2 + 12

n2 – 12

x k n2 + 12

x kdan

Untuk n > 1

Contoh :

Jika Sisi siku-siku ke 1 = n = 2 , maka

Sisi siku-siku ke 2 =

=

= = 1,5

Sisi miring = = = 2,5

Sehingga 2x4 , 1,5x4 dan 2,5x4 , yaitu 8 , 6 dan 10 adalah Triple Pythagoras

n2 – 12

22 – 1 2

3 2

n2 + 12

22 + 12