STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah

Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar serta jumlah

dan hasil kali akar-akar persamaan suku

banyak.

Jika f(x) adalah suku banyak,

Maka (x – k) merupakan

faktor dari P(x);

jika dan hanya jika P(k) = 0

Teorema Faktor

Artinya: 1. Jika (x – k) merupakan

faktor, maka nilai P(k) = 0,

2. jika P(k) = 0 maka (x – k)

merupakan faktor

Contoh 1:

Tunjukan (x + 1) faktor dari

x3 + 4x2 + 2x – 1

Jawab:

(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0

P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1

= -1 + 4 – 2 – 1 = 0

Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

Cara lain untuk menunjukan

(x + 1) adalah faktor dari

x3 + 4x2 + 2x – 1 adalah dengan

pembagian horner:

1 4 2 -1 koefisien

-1

1

-1 3

-3 -1

1

0 P(-1) = 0

berarti (x + 1)

faktornya artinya dikali (-1)

Suku banyak +

Contoh 2:

Tentukan faktor-faktor dari

P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6

Jawab:

Misalkan faktornya (x – k), maka

nilai k yang mungkin adalah

pembagi bulat dari 6, yaitu

pembagi bulat dari 6 ada 8

yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.

Nilai-nilai k itu kita substitusikan

ke P(x), misalnya k = 1

diperoleh:

P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6

= 2 – 1 – 7 + 6

= 0

Oleh karena P(1) = 0, maka

(x – 1) adalah salah satu faktor

dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6

Untuk mencari faktor yang lain,

kita tentukan hasil bagi P(x)

oleh (x – 1) dengan

pembagian horner:

Koefisien sukubanyak

P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6

adalah

2 -1 -7 6

k = 1

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6

+

2

2

1

1

-6

-6 0

Koefisien hasil bagi

Karena hasil baginya adalah

H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)

dengan demikian

2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)

2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)

Jadi faktor-faktornya adalah

(x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

Contoh 3:

Diketahui (x – 2) adalah faktor

P(x) = 2x3 + x2 + ax - 6.

Salah satu faktor yang lainnya adalah…. a. x + 3 b. x – 3 c. x – 1 d. 2x – 3 e. 2x + 3

Jawab:

Kita tentukan terlebih dahulu

koefisien x2 yaitu a = ?

Jika (x – 2) faktornya P(x) maka

P(2) = 0

2.23 + 22 + 2a - 6 = 0

16 + 4 + 2a - 6 = 0 2a + 14 = 0

2a = -14 a = -7

P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6

berarti koefisien P(x) adalah

2 1 -7 -6

k = 2

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3

= (2x + 3)(x + 1)

Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3

+ 2

4

5

10

3

6

0 Koefisien hasil bagi

Contoh 4:

Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2

mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi

oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai

a + b adalah….

a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9

Jawab:

Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2

(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0

1 – a + b – 2 = 0

-a + b = 1….(1)

dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36

(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36

(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36

- 8 – 4a – 2b – 2 = -36

- 4a – 2b = -36 + 10

-4a – 2b = -26

2a + b = 13….(2)

Persamaan (1): -a + b = 1

Persamaan (2): 2a + b = 13

-3a = -12

a = 4

b = 1 + 4 = 5

Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 9

Salah satu penggunaan teorema

faktor adalah mencari akar-akar

sebuah persamaan sukubanyak,

karena ada hubungan antara

faktor dengan akar-akar

persamaan sukubanyak

Akar-akar persamaan Suku banyak

Jika P(x) adalah sukubanyak;

(x – k) merupakan faktor dari

P(x)

jika dan hanya jika k akar dari

persamaan P(k) = 0

k disebut akar atau nilai nol

dari persamaan sukubanyak:

P(x) = 0

Teorema Akar-akar Rasional

Jika

P(x) =anxn + an-1x

n-1 + …+ a1x + ao

dan

(x – k) merupakan faktor dari P(x)

maka

n

0

a daribulat

a daribulat

faktor

faktork

Contoh 1:

Tunjukan -3 adalah salah satu

akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian

tentukan akar-akar yang lain.

Jawab:

Untuk menunjukan -3 akar dari

P(x), cukup kita tunjukan bahwa

P(-3) = 0

P(x) = x3 – 7x + 6.

P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6

= -27 + 21 + 6

= 0

Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar

dari Persamaan

P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

Untuk menentukan akar-akar yang lain,

kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi

P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3

dengan pembagian Horner sebagai berikut

P(x) = x3 – 7x + 6

berarti koefisien P(x) adalah

1 0 -7 6

k = -3

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2

=(x – 1)(x – 2)

+ 1

-3 -3

9 2

-6 0

Koefisien hasil bagi

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2

= (x – 1)(x – 2)

sehingga persamaan suku banyak

tsb dapat ditulis menjadi:

(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.

Jadi akar-akar yang lain

adalah x = 1 dan x = 2

Contoh 2:

Banyaknya akar-akar rasional

dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0

adalah….

a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o

Jawab:

Karena persamaan suku banyak berderajat 4,

maka akar-akar rasionalnya paling banyak ada

4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor

bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2

Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-

akar rasional persamaan sukubanyak tsb,

kita coba nilai 1

Koefisien x4 – 3x2 + 6 = 0

adalah 1, 0, -3, 0, dan 6

1 0 -3 0 2

k = 1

Ternyata P(1) = 0, berarti

1 adalah akar rasionalnya,

Selanjutnya kita coba -1.

Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2

+ 1

1

1 1 -2

-2 0 -2 -2

1 1 -2 -2

k = -1

Ternyata P(-1) = 0, berarti

-1 adalah akar rasionalnya,

Sehingga:

(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0

+ 1

-1

0 0 -2

2

0

(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0

(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi

(x - √2)(x + √2) = 0

Berarti akar yang lain: √2 dan -√2,

tapi bukan bilangan rasional.

Jadi akar-akar rasionalnya hanya

ada 2 yaitu 1 dan -1.

Jika akar-akar Persamaan Suku banyak:

ax3 + bx2 + cx + d = 0

adalah x1, x2, dan x3 maka

x1 + x2 + x3 =

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =

x1.x2.x3 =

a

b

a

c

a

d

Jumlah & Hasil Kali Akar-akar

Persamaan Suku banyak

Contoh 1:

Jumlah akar-akar persamaan

x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah….

Jawab:

a = 1, b = -3, c = 0, d = 2

x1 + x2 + x3 =

=

a

b

1

3- = 3

Contoh 2:

Hasilkali akar-akar persamaan

2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah….

Jawab:

a = 2, b = -1, c = 5, d = -8

x1.x2.x3 =

=

a

d

4

2

8-

Contoh 3:

Salah satu akar persamaan x3 + px2 – 3x – 10 = 0

adalah -2. Jumlah akar-akar persamaan tersebut

adalah….

Jawab:

-2 adalah akar persamaan

x3 + px2 – 3x - 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan.

Sehingga:

(-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) – 10 = 0

-8 + 4p + 6 – 10 = 0

-8 + 4p + 6 – 10 = 0

4p – 12 = 0 4p = 12 p = 3

Persamaan tersebut:

x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0

Jumlah akar-akarnya:

x1 + x2 + x3 =

a

b

31

3

Contoh 4:

Akar-akar persamaan x3 – 4x2 + x – 4 = 0

adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x2

2 + x32 =….

Jawab:

x12 + x2

2 + x32 =

(x1 + x2 + x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)

x3 – 4x2 + x – 4 = 0

x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4

x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1

x1 + x2 + x3 = 4

x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1

Jadi:

x12 + x2

2 + x32 =

(x1 + x2 + x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)

= 42 – 2.1

= 16 – 2

= 14

• 1001 Soal Matematika, Erlangga

• PSB-SMA Matematika, www.psb-psma.org

• Matematika Dasar, Wilson Simangunsong

Referensi