modul geometri analitikrepo.stkip-pgri-sumbar.ac.id/id/eprint/4912/2/naskah...alfi yunita –...

Alfi Yunita – Hamdunah i

MODUL

GEOMETRI ANALITIK

ii Geometri Analitik

Alfi Yunita – Hamdunah iii

MODUL

GEOMETRI ANALITIK Alfi Yunita - Hamdunah

iv Geometri Analitik

Modul Geometri Analitik Alfi Yunita - Hamdunah

Copyright © by Alfi Yunita dan Hamdunah, 2017

Editor: Yusrina Sri Desain Sampul: Tim Rumahkayu Pustaka Utama Ilustrasi sampul dan dalam: Freepik Tata layout: Alizar Tanjung xiv+229 Hlm; 25 cm Cetakan Pertama, Juli 2017 ISBN: 978-602-6506-17-7 Diterbitkan Oleh Penerbit Erka CV. Rumahkayu Pustaka Utama Anggota IKAPI Jalan Bukittinggi Raya, No. 758, RT 01 RW 16 Kelurahan Surau Gadang, Kecamatan Nanggalo, Padang. 25146. Telp. (0751) 4640465 Handphone 085278970960 Email [email protected] http: //www.erkapublishing.com dan http: //www.rumahkayu.co Fanpage : Penerbit Erka Twitter : @bukuerka IG : rumahkayu_id

Undang Undang Republik Indonesia Nomor 19 Tahun 2002 Tentang Hak Cipta

Ketentuan Pidana: Pasal 72

1. Barangsiapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan perbuatan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 2 ayat (1) atau Pasal 49 ayat (1) dan ayat (2) dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp 1.000.000,00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah).

2. Barangsiapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu Ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait sebagaimana dimaksud pada ayat (1) dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).

mailto:[email protected]

Alfi Yunita – Hamdunah v

KATA

PENGANTAR

Bismillaahirrahmaanirrahiim Puji dan syukur penulis panjakan kehadiran Allah SWT yang telah memberikan

karunia serta nikmat yang tiada terhingga. Alhamdulillah berkat izin-Nya, penulis dapat menyelesaikan modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa memberikan ridho dan maghfirah-Nya.

Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Zulkardi, M. I. Komp., M.Sc dan Bapak Dr. Muhafzan yang telah memberikan arahan, meluangkan waktu untuk membimbing kepada penulis dalam penulisan modul ini. Semoga ilmu yang telah diberikan kepada penulis menjadi amalan yang baik.

Modul ini memuat materi Geometri Analitik Bidang dan Ruang yang meliputi sistem koordinat di bidang dan di ruang, persamaan garis lurus di bidang dan di ruang, bidang rata, persamaan lingkaran dan bola dan irisan kerucut berupa parabola, elips serta hiperbola. Modul ini dikembangkan untuk membantu mahasiswa dalam mampu menentukan sistem koordinat di bidang dan di ruang, persamaan garis lurus di bidang dan di ruang, bidang rata, persamaan lingkaran dan bola dan irisan kerucut berupa parabola, elips serta hiperbola, sehingga perkuliahan bisa berjalan dengan baik.

Modul ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca agar lebih menyempurnakan penyajian selanjutnya. Akhirnya penulis berharap modul ini dapat bermanfaat.

Padang, Mei 2015 Penulis

vi Geometri Analitik

Alfi Yunita – Hamdunah vii

PRAKATA

Modul ini memuat materi Geometri Analitik Bidang dan Ruang yang meliputi

sistem koordinat di bidang dan di ruang, persamaan garis lurus di bidang dan di ruang, bidang rata, persamaan lingkaran dan bola dan irisan kerucut berupa parabola, elips serta hiperbola. Modul ini dikembangkan untuk membantu mahasiswa dalam mampu menentukan sistem koordinat di bidang dan di ruang, persamaan garis lurus di bidang dan di ruang, bidang rata, persamaan lingkaran dan bola dan irisan kerucut berupa parabola, elips serta hiperbola, sehingga perkuliahan bisa berjalan dengan baik.

Penyajian materi dalam modul ini diharapkan dapat dengan mudah dipahami oleh mahasiswa STKIP PGRI Sumatera Barat. Untuk itu dalam setiap kegiatan belajar, penulis memaparkan materi dalam bentuk kegiatan kelompok antara mahasiswa dengan bantuan software wingeom, memberikan contoh soal yang sudah dibahas dengan rinci, latihan mandiri dalam bentuk soal essay serta tes formatif berupa soal objektif agar mahasiswa bisa berlatih dan mengukur sejauh mana tingkat kemampuan mereka dalam menyelesaikan persoalan dalam mata kuliah geometri analitik.

Modul ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca agar lebih menyempurnakan penyajian selanjutnya. Akhirnya penulis berharap modul ini dapat bermanfaat.

Padang, Mei 2015 Penulis

viii Geometri Analitik

Alfi Yunita – Hamdunah ix

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .............................................................................................. v

PRAKATA ............................................................................................................... vii

DAFTAR ISI ........................................................................................................... ix

PENDAHULUAN .................................................................................................. 1

Deskripsi .............................................................................................................. 1

Petunjuk Penggunaan ............................................................................................ 1

Tujuan Akhir ........................................................................................................... 2

Penjelasan Umum Geometri Analitik ................................................................... 3

Modul 1. Sistem Koordinat Kartesius .............................................................. 5

Kegiatan Belajar 1. Sistem Koordinat .............................................................. 8

A. Sistem Koordinat Tegak Lurus ................................................................ 8

1.1 Koordinat Kartesius di Bidang ............................................................ 8

1.2 Koordinat Kartesius di Ruang ............................................................ 11

B. Persamaan Bidang Rata Sumbu Koordinat ............................................ 15

Latihan 1 ..................................................................................................... 16

Rangkuman ................................................................................................. 17

Tes Formatif 1 .............................................................................................. 19

Umpan Balik ............................................................................................... 22

Kunci Jawaban Tes Formatif 1 .................................................................... 22

Kegiatan Belajar 2. Jarak Dua Titik .................................................................. 23

A. Jarak Antara Dua Titik di Bidang ............................................................. 23

B. Jarak Antara Dua Titik di Ruang.............................................................. 25

x Geometri Analitik

C. Koordinat Titik yang Membagi Luas Garis PQ Atas Perbandingan

m:n ............................................................................................................ 26

2.1. Pembagian Luas Garis Dalam Bidang ............................................... 26

2.2. Pembagian Luas Garis Dalam Ruang ................................................ 26

Latihan 2 ........................................................................................................ 30

Rangkuman .................................................................................................... 31

Tes Formatif 2 ................................................................................................ 31

Umpan Balik................................................................................................... 33

Kunci Jawaban Tes Formatif 2 ...................................................................... 33

Modul 2. Garis Lurus ........................................................................................... 34

Kegiatan Belajar 3. Persamaan Garis Lurus .................................................... 36

A. Gradien ........................................................................................................ 36

B. Persamaan Garis Lurus di Bidang ............................................................. 39

C. Persamaan Garis Lurus di Bidang .............................................................. 43

Latihan 3 ........................................................................................................ 48

Rangkuman .................................................................................................... 49

Tes Formatif 2 ................................................................................................ 50

Umpan Balik................................................................................................... 51


Kegiatan Belajar 4. Kedudukan Dua Garis Lurus, Sudut dan

Jarak ...................................................................................................................... 52

A. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan Ruang .............................. 52

4.1. Kedudukan Dua garis Lurus di Bidang .......................................... 52

4.2. Kedudukan Dua garis Lurus di Ruang .......................................... 55

B. Garis Lurus Memotong Dua Garis Lain di Bidang

dan di Ruang ........................................................................................... 58

4.1. Garis Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang .............. 58

4.2. Garis Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Ruang ................ 59

C. Sudut Antara Dua Garis Lurus di Bidang dan Ruang ........................... 60

D. Jarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan Ruang ....... 63

E. Jarak Antara Dua Garis Lurus di Ruang ................................................ 66

Latihan 4 ........................................................................................................ 69

Rangkuman .................................................................................................... 70

Tes Formatif 4 ................................................................................................ 71

Umpan Balik................................................................................................... 72


Alfi Yunita – Hamdunah xi

Modul 3. Bidang Rata .......................................................................................... 73

Kegiatan Belajar 5. Persamaan Bidang Rata ................................................... 74

Materi ............................................................................................................. 74

Latihan 5 ........................................................................................................ 87

Rangkuman .................................................................................................... 87

Tes Formatif 5 ................................................................................................ 88

Umpan Balik................................................................................................... 89


Kegiatan Belajar 6. Sudut dan Jarak Antara Dua Bidang Rata .................... 91

Materi ............................................................................................................. 91

Latihan 6 ........................................................................................................ 101

Rangkuman .................................................................................................... 102

Tes Formatif 6 ................................................................................................ 102

Umpan Balik................................................................................................... 104


Modul 4. Lingkaran dan Bola ............................................................................. 105

Kegiatan Belajar 7. Persamaan Lingkaran dan Bola ..................................... 107

A. Menentukan Persamaan Lingkaran ...................................................... 107

B. Menentukan Persamaan Bola ................................................................. 110

C. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran ............................. 113

D. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Bola ....................................... 115

Latihan 7 ........................................................................................................ 118

Rangkuman .................................................................................................... 119

Tes Formatif 7 ................................................................................................ 119

Umpan Balik................................................................................................... 121


Kegiatan Belajar 8. Garis Singgung Lingkaran............................................... 122

A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Berpusat di (0,0) dan (a,b) bergradien m ............................................. 123

B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui

Titik ( ) Pada Lingkaran yang Berpusat di (0,0)

dan (a,b) .................................................................................................. 125

C. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui

Titik ( ) di Luar Lingkaran .............................................................. 128

D. Kuasa Lingkaran ...................................................................................... 130

E. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran ............................................................ 130

xii Geometri Analitik

F. Garis Kuasa .............................................................................................. 132

G. Titik Kuasa ............................................................................................... 133

H. Berkas Lingkaran ..................................................................................... 134

Latihan 8 ........................................................................................................ 135

Rangkuman .................................................................................................... 135

Tes Formatif 8 ................................................................................................ 137

Umpan Balik................................................................................................... 137


Kegiatan Belajar 9. Bola dan Bidang Rata ....................................................... 139

Kedudukan Bola dan Bidang Rata ................................................................ 140

Latihan 9 ........................................................................................................ 147

Rangkuman .................................................................................................... 148

Tes Formatif 9 ................................................................................................ 148

Umpan Balik................................................................................................... 150


Modul 5. Irisan Kerucut ...................................................................................... 151

Kegiatan Belajar 10. Persamaan Parabola ....................................................... 153

Materi ............................................................................................................. 153

Latihan 10 ...................................................................................................... 159

Rangkuman .................................................................................................... 160

Tes Formatif 10 ............................................................................................... 160

Umpan Balik................................................................................................... 162

Kunci Jawaban Tes Formatif 10 ..................................................................... 162

Kegiatan Belajar 11. Persamaan Garis Singgung Parabola ........................... 163

A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola yang

Berpuncak di O(0,0) dan P(a,b) dengan Gradien m ............................. 163


Titik ( ) Pada parabola yang Berpuncak di O(0,0)

dan P(a,b) ................................................................................................ 166

C. Menentukan Persamaan Garis Singgung di Titik

( ) di luar parabola ....................................................................... 168

Latihan 11 ....................................................................................................... 170

Rangkuman .................................................................................................... 171

Tes Formatif 11 ................................................................................................ 171

Umpan Balik................................................................................................... 173


Alfi Yunita – Hamdunah xiii

Kegiatan Belajar 12. Persamaan Elips .............................................................. 174

Materi ............................................................................................................. 174

Latihan 12 ....................................................................................................... 184

Rangkuman .................................................................................................... 184

Tes Formatif 12 ............................................................................................... 185

Umpan Balik................................................................................................... 187


Kegiatan Belajar 13. Persamaan Garis Singgung Elips .................................. 188

A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips yang

Berpuncak di O(0,0) dan P(p,q) dengan Gradien m ............................ 188


Titik ( ) Pada Elips yang Berpuncak di O(0,0) dan P(p,q) ........... 191


( ) di luar Elips ............................................................................. 194

Latihan 13 ........................................................................................................ 197

Rangkuman .................................................................................................... 197

Tes Formatif 13 ............................................................................................... 198

Umpan Balik................................................................................................... 199


Kegiatan Belajar 14. Persamaan Hiperbola ..................................................... 201

Materi ............................................................................................................. 201

Latihan 14 ....................................................................................................... 211

Rangkuman .................................................................................................... 212

Tes Formatif 14 ............................................................................................... 212

Umpan Balik................................................................................................... 214


Kegiatan Belajar 15. Persamaan Garis Singgung Hiperbola ........................ 215

A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola

yang Berpuncak di O(0,0) dan P(p,q) dengan Gradien m .................. 215


Titik ( ) Pada Hiperbola yang Berpuncak di O(0,0) dan P(p,q) .. 218


( ) di luar Hiperbola .................................................................... 221

Latihan 15 ........................................................................................................ 224

Rangkuman .................................................................................................... 224

Tes Formatif 15 ............................................................................................... 225

xiv Geometri Analitik

Umpan Balik................................................................................................... 226


DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................... 228

PROFIL .................................................................................................................... 229

Alfi Yunita – Hamdunah 1

PENDAHULUAN

Modul ini berkaitan dengan materi Geometri Analitik dengan kompetensi

utama yang dibahas adalah “menentukan sistem koordinat di bidang (dimensi 2) dan di ruang (dimensi 3), jarak antara dua titik di bidang dan di ruang, persamaan garis di bidang dan di ruang, persamaan bidang rata, lingkaran dan bola, dan irisan kerucut”.

Sebelum menggunakan modul ini, perhatikan dan ikuti petunjuk cara

mempelajarinya, baik untuk mahasiswa maupun dosen. 1. Bagi mahasiswa

a. Pelajari secara berurutan, mulai dari kegiatan belajar 1 sampai kegiatan belajar 15.

b. Untuk memahami konsep-konsep geometri analitik dan masalah-masalah yang diberikan, pelajari setiap kegiatan dan contoh-contoh yang diberikan dengan teliti. Kemudian kerjakan latihan dan tes formatif di setiap kegiatan belajar.

c. Setelah selesai mengerjakan tes formatif, hitung tingkat penguasaan Anda dengan cara mencocokan jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif. Apabila tingkat penguasaan Anda telah mencapai minimal 80%, lanjutkan pada kegiatan belajar berikutnya. Akan tetapi, bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80%, maka pelajari kembali dengan baik terutama pada materi kegiatan yang belum dikuasai.

d. Dalam mempelajari materi ini pada setiap kegiatan belajar, ikutilah dengan mengerjakan soal-soal latihan dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan, ulangi mempelajari materi yang terkait.

Deskripsi

Petunjuk Penggunaan

Modul

2 Geometri Analitik

e. Jika Anda masih belum dapat memecahkannya, catat semua permasalahan tersebut. Kemudian diskusikan dengan dosen pada saat kegiatan tatap muka atau diskusikan dengan sesama mahasiswa atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

2. Peran Serta Dosen Dalam kegiatan belajar dengan sistem modul ini, dosen mempunyai

peran sebagai berikut a. membimbing mahasiswa dalam merencanakan proses belajar. b. membimbing mahasiswa dalam menjelaskan materi yang ada dalam

kegiatan belajar. c. memfasilitasi mahasiswa melalui diskusi dalam menyelesaikan soal-soal

latihan. d. melakukan proses penilaian dan mencatat hasil penilaian pada tes formatif.

Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. menggambarkan sistem koordinat di bidang dan di ruang, 2. menghitung jarak antara dua titik di bidang, dan di ruang 3. mengkaji titik koordinat pada ruas garis dengan perbandingan , 4. menentukan gradien dan persamaan garis lurus di bidang, dan di ruang, 5. menentukan kedudukan dua garis lurus, sudut antara dua garis lurus dan

jarak antara dua garis lurus yang sejajar di bidang dan di ruang, 6. menentukan persamaan bidang rata dan sudut antara dua bidang rata, 7. menghitung jarak titik dan garis ke bidang dan dua bidang, 8. menentukan persamaan lingkaran dan bola, 9. menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran, 10. menentukan persamaan bidang singgung bola dan kuasa bola, 11. menentukan persamaan parabola, 12. menentukan garis singgung parabola, 13. menentukan persamaan elips 14. menentukan garis singgung elips, 15. menentukan persamaan hiperbola

16. menentukan garis singgung hiperbola.

Tujuan Akhir


PENJELASAN UMUM

GEOMETRI ANALITIK

Geometri berasal dari bahasa Yunani yaitu geo dan metro. Geo berarti bumi,

dan metro berarti mengukur. Jadi, geometri menurut Wright (2002:181) adalah ilmu yang mempelajari tentang sifat-sifat, pengukuran-pengukuran, dan hubungan titik, garis, bidang dan bangun ruang. Geometri merupakan satu cabang dalam ilmu matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) yang berkenaan dengan relasi ruang.

Geometri Analitik merupakan suatu cabang ilmu matematika yang mengkombinasikan antara konsep aljabar dan geometri. Pengkombinasian antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan titik-titik secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih bermakna. Masalah-masalah geometri akan diselesaikan secara Aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gambar Geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara Aljabar. Di samping itu juga sangat dimungkinkan menyelesaikan masalah Aljabar secara Geometri, tetapi model bentuk Geometri jauh lebih penting daripada sekedar penyelesaian masalah tersebut, khususnya jika bilangan dikaitkan dengan konsep pokok geometri. Sebagai contoh, panjang suatu segmen garis atau sudut antara dua garis. Jika garis dan titik secara geometrik diketahui, maka bilangan yang menyatakan panjang atau besar sudut antara dua garis pada hakekatnya hanyalah nilai pendekatan dari suatu

4 Geometri Analitik

pengukuran. Tetapi metoda aljabar memandang bilangan itu sebagai perhitungan yang eksak (bukan pendekatan).

Pada awal abad ke-17, terdapat dua perkembangan penting dalam geometri, yang pertama dan yang terpenting adalah penciptaan geometri analitik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Descartes dikenal sebagai Renatus Cartesius dalam literatur berbahasa Latin, merupakan seorang filosuf dan matematikawan Perancis. Beliau mempersembahkan sumbangan yang penting yaitu penemuannya tentang geometri analitis, yang akhirnya dikenal sebagai pencipta “Sistem koordinat Cartesius”, yang sangat berpengaruh dalam perkembangan kalkulus modern dan menyediakan jalan buat Newton menemukan Kalkulus. Beliau memberikan kontribusi yang besar dalam kemajuan di bidang matematika, sehingga dipanggil sebagai "Bapak Matematika Modern".

Berdasarkan pengertian dari geometri di atas, maka dapat diketahui penerapan geometri dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya adalah 1. Digunakan dalam pengukuran panjang atau jarak dari suatu tempat ke tempat

yang lain. 2. Menetapkan satuan panjang dan satuan luas. 3. Berpikir geometri dan berpikir visual dalam seni, arsitek, desain, grafik, animasi

serta puluhan bidang kejuruan lainnya. Geometri Analitik pada dasarnya terbagi menjadi dua bagian, yaitu Geometri

Analitik Bidang dan Geometri Analitik Ruang. Geometri Analitik bidang berkaian dengan sistem koordinat di ruang dimensi dua, garis, lingkaran, irisan kerucut yang meliputi parabola, ellips, dan hiperbola. Geometri Analitik Ruang meliputi sistem koordinat di ruang (dimensi 3), bidang rata, garis di ruang, bola, dan lain-lain. Kedua bagian ini satu sama lainnya saling berhubungan erat dan tidak bisa dipisah-pisahkan.


MODUL I SISTEM KOORDINAT

KARTESIUS

Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut. Sistem koordinat ini sangat banyak diterapkan dalam kehidupan nyata. Salah satu di antaranya, seperti diilustrasikan pada Gambar 1 berikut.

6 Geometri Analitik

Gambar 1. Peta Alamat Rumah Dosen “X”

Afdhal dan Riki ingin berkunjung ke rumah dosennya. Namun, mereka belum

tahu alamat rumahnya secara pasti. Dosennya hanya memberikan informasi bahwa rumahnya berjarak 1,7 km dari Jalan Diponegoro dan berjarak 2 km dari Jalan Sudirman. Afdhal dan Riki berangkat bersama dari kampus, mereka menempuh jalan yang berbeda, warna merah adalah rute perjalanan yang dilalui Afdhal, warna biru adalah rute perjalanan yang dilalui Riki seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1. Ternyata Afdhal berhasil menemukan rumah dosen tersebut terlebih dahulu. Mengapa Riki lebih lambat menemukan rumah dosennya? Permasalahan seperti ini dapat diselesaikan dengan menggunakan sistem koordinat.

Suatu garis yang titik-titiknya dikaitkan dengan bilangan-bilangan real disebut garis bilangan real (atau sumbu real). Skala yang ditempatkan pada garis bilangan disebut koordinat garis. Bilangan yang menyatakan suatu titik yang diberikan disebut koordinat titik tersebut, dan titik itu disebut grafik dari bilangan.

Untuk merepresentasikan titik pada sebuah bidang dengan pasangan bilangan, maka ditentukan dua garis bilangan bersilangan dan , dan tentukan skala pada masing-masing garis itu. Titik potong kedua garis itu digunakan sebagai titik pusat (titik acuan). Bilangan positif ditempatkan pada sebelah kanan titik garis mendatar dan sebelah atas titik garis ke vertikal . Sedangkan bilangan negatif ditempatkan pada sebelah kiri titik garis mendatar dan sebelah bawah titik garis ke vertikal . Biasanya arah positif ditandai dengan tanda panah pada garis bilangan. Garis disebut sumbu-x dan garis disebut sumbu-y. Titik disebut titik pusat koordinat. Dua garis yang bersilangan itu disebut sumbu


koordinat. Sebuah titik di bidang, biasanya dinyatakan dengan pasangan berurutan ( ). Bilangan pada ( ) dinamakan absis yang menyatakan jarak titik ( ) ke sumbu , dan bilangan y menyatakan jarak titik ( ) ke sumbu . Sebagai contoh, misalkan sebuah titik ( ) dilukiskan pada Gambar 2 berikut.

Gambar 2. Menyajikan Titik A (a,b) pada bidang kartesius

Pada Gambar 2, posisi titik A(a, b) adalah berjarak a satuan ke sumbu y, dan

berjarak b satuan ke sumbu x. Sistem koordinat kartesius dapat pula diperluas pada dimensi-dimensi yang

lebih tinggi, misalnya dimensi 3, dengan menggunakan tiga sumbu koordinat yang sering disebut sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

Istilah kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah nama latin untuk Descartes). Ide dasar ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes yang pada bagian kedua dari tulisannya, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain.

Modul 1 ini terdiri atas 2 kegiatan belajar. Tujuan dari kedua kegiatan belajar ini adalah Anda akan menggambarkan sistem koordinat di bidang, dan di ruang, kemudian menghitung jarak antara dua titik di bidang, dan di ruang serta dapat mengkaji sebuah titik yang terletak pada suatu ruas garis dengan perbandingan .

8 Geometri Analitik

KEGIATAN BELAJAR

1

SISTEM KOORDINAT

Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat di bidang dan di ruang.

A. Sistem Koordinat Tegak Lurus 1.1 Koordinat Kartesius di Bidang

Agar anda dapat memahami cara menentukan koordinat kartesius di bidang, bacalah ilustrasi di bawah ini.

Ilustrasi 1.1

Pernahkah Anda menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain? Perhatikanlah peta pulau Jawa berikut ini.

Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan

mampu:

1. Menentukan posisi titik dalam koordinat kartesius di bidang dan di

ruang.

2. Menerapkan konsep persamaan bidang khusus dalam menyelesaikan

permasalahn persamaan bidang khusus.


Y

1 2 3 4 5 6 7 8

Gambar 1.1 Peta Pulau Jawa

Jika garis berarah mendatar adalah sumbu dan garis berarah vertikal adalah sumbu , maka Kota Jakarta berada pada koordinat berapa? Pilihlah satu dari empat jawaban di bawah ini.

a. ( ) c. ( ) b. ( ) d. ( )

Dari ilustrasi 1.1 tersebut dengan menggunakan sistem koordinat anda dapat menentukan letak atau posisi atau koordinat dari suatu wilayah. Agar lebih pahamnya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 1.1. Menggambarkan koordinat Suatu Titik Pada bidang Misalkan kita ingin menentukan koordinat titik ( ) Caranya, lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Gambarlah dua garis yang saling tegak lurus. Garis pertama mendatar

(horizontal) beri nama sumbu dan garis kedua tegak (vertikal), beri nama sumbu

2. Beri nama titik pada titik potong dua sumbu tersebut atau sering juga disebut titik asal atau awal atau pusat ( ).

3. Dari titik ke kanan atau ke atas disebut arah positif, maka tulis bilangan real positif dengan jarak yang sama. Dari titik ke kiri atau ke bawah disebut arah negatif, maka tulis pula bilangan real negatif dengan jarak yang sama juga.

4. Buatlah garis putus-putus vertikal yang melalui bilangan real positif ( ) pada sumbu dan garis putus-putus horizontal yang melalui bilangan real negatif ( ) pada sumbu . Pertemuan antara kedua garis putus-putus tersebut merupakan koordinat dari titik ( ) tersebut.

Dari kegiatan 1.1 tersebut Anda telah dapat menggambarkan koordinat suatu

titik di bidang (dimensi 2).

A

B

C

X

10 Geometri Analitik

Gambar 1.2. Titik ( ) pada Sistem Koordinat di Bidang

CATATAN (1) Misalkan suatu titik di bidang di tulis ( ). Bilangan pada ( ) disebut absis titik yang menyatakan jarak titik ( ) terhadap sumbu . Bilangan pada ( ) disebut ordinat titik yang menyatakan jarak titik ( ) terhadap sumbu . Koordinat-koordinat titik adalah pasangan bilangan terurut ( ). Sumbu-sumbu datar dan tegak membagi bidang datar menjadi 4 bagian/daerah yang masing-masing disebut kuadran. Sebuah titik ( ) terletak pada:

kuadran I : Jika absis , dan ordinat , atau * ( )| +.

kuadran II : Jika absis , dan ordinat , atau * ( )| +

kuadran III : Jika absis , dan ordinat , atau * ( )| +

kuadran IV : Jika absis , dan ordinat , atau * ( )| +.

Y

X

Gambar 1.3 Kuadran di bidang

𝑥 𝑦

Kuadran I

𝑥 𝑦

Kuadran II:

𝑥 𝑦

Kuadran IV:

𝑥 𝑦

Kuadran III:


Perhatikan masalah 1.1 di bawah ini, jika memungkinkan berikan penyelesaian yang berbeda terhadap masalah tersebut. Masalah 1.1 Gambarlah sepasang sumbu koordinat dan gambarlah titik-titik dengan koordinat ( ) ( ) ( ) dan ( ) serta tuliskan koordinat-koordinatnya di samping titik-titik tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sesuai dengan kegiatan 1.1 kita dapat menyelesaikan masalah 1.1 tersebut dengan mengikuti langkah-langkah pada kegiatan 1.1, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut.

Gambar 1.4 Jawaban Masalah 1.1

1.2 Koordinat Kartesius di Ruang

Lakukanlah kegiatan 1.2 berikut ini agar Anda dapat menentukan koordinat kartesius di ruang (dimensi 3). Kegiatan 1.2. Menggambarkan koordinat koordinat suatu titik pada ruang

Andaikan kita ingin menggambarkan koordinat suatu titik ( ). Caranya, lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Gambarlah tiga buah garis yang saling tegak lurus. Garis pertama dibuat

mendatar (horizontal) dan beri nama sumbu . Garis kedua dibuat tegak (vertikal) dan beri nama sumbu . Sedangkan garis ketiga dibuat miring memotong kedua sumbu dan sumbu dan diberi nama sumbu .

2. Beri nama titik pada perpotongan ke tiga sumbu tersebut. Titik ini sering disebut dengan titik asal atau titik awal atau titik pusat ( ).

3. Dari titik pada sumbu yang mengarah miring ke anda, pada sumbu ke kanan, dan pada sumbu ke atas disebut arah positif, maka tulis bilangan real


positif dengan jarak yang sama. Dari titik 0 pada sumbu yang miring berlawanan arah dengan Anda, pada sumbu ke bawah, dan pada sumbu ke kiri disebut arah negatif, maka tulis pula bilangan real negatif dengan jarak yang sama juga. (Bolehkah satuan jarak bilangan antara sumbu berbeda? Jawabannya boleh. Kenapa?)

4. Letakkan pena Anda pada bilangan di sumbu , lalu jalankan pena tersebut ke kanan sejajar dengan sumbu sejauh satuan. Selanjutnya jalankan pena Anda tersebut ke atas sejauh satuan.

5. Dari langkah tersebut maka titik terakhir pada pena Anda tersebut adalah merupakan tempat atau posisi dari titik ( ).

Dari kegiatan 1.2 tersebut Anda telah dapat menggambarkan koordinat suatu titik di ruang (dimensi 3). Seperti yang terlihat pada Gambar 1.5

Gambar 1.5. Posisi titik ( ) di ruang

CATATAN (2) Misalkan sebuah titik di ruang dinyatakan dengan titik ( ). Bilangan pada ( ) disebut absis titik ( ) yang menyatakan jarak titik ( ) ke bidang . Bilangan y pada ( ) disebut ordinat titik ( ) yang menyatakan jarak titik ( ) ke bidang . Bilangan z pada ( ) disebut aplikat titik ( ) yang menyatakan jarak titik ( ) ke bidang . Ketiga sumbu , sumbu , dan sumbu membagi ruang atas tiga bidang koordinat, yaitu bidang yang dibentuk oleh perpotongan sumbu dengan sumbu , bidang yang dibentuk oleh perpotongan sumbu dengan sumbu , dan bidang yang dibentuk oleh perpotongan sumbu dengan sumbu . Gambar 1.6 adalah satu bentuk penggambaran ke tiga sumbu koordinat di ruang dimensi tiga.


Gambar 1.6 Sistem koordinat kartesius di ruang

Ketiga bidang , , dan membagi ruang menjadi 8 bagian atau daerah yang masing-masing disebut oktan. Suatu titik ( ) di ruang dimensi tiga dikatakan terletak pada:

Oktan I : jika absis , ordinat , dan aplikat atau * ( )| +

Oktan II : jika absis , ordinat , dan aplikat atau * ( )| +

Oktan III : jika absis , ordinat , dan aplikat atau * ( )| +.

Oktan IV : jika absis , ordinat , dan aplikat atau * ( )| +

Oktan V : jika absis , ordinat , dan aplikat atau * ( )| +.

Oktan VI : jika absis , ordinat , dan aplikat atau * ( )| +

Oktan VII : jika absis , ordinat , dan aplikat atau * ( )| +

Oktan VIII : jika absis , ordinat , dan aplikat atau * ( )| +.


Gambar 1.7 Pembagian Bidang Sistem koordinat kartesius di ruang

Perhatikan masalah 1.2 di bawah ini, jika memungkinkan berikan penyelesaian yang berbeda terhadap masalah tersebut. Masalah 1.2 Gambarlah sumbu-sumbu koordinat dan gambarlah titik-titik dengan koordinat ( ) ( ) ( ) ( ), serta tuliskan koordinat-koordinatnya di samping titik-titik tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sesuai dengan kegiatan 1.2 kita dapat menyelesaikan masalah 1.2 tersebut dengan mengikuti langkah-langkah pada kegiatan 1.2, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut.


Gambar 1.7 Jawaban Masalah 1.2

B. Persamaan Bidang Rata Sejajar Bidang Koordinat

Lakukanlah kegiatan 1.3 berikut ini agar anda dapat menentukan persamaan bidang rata sumbu koordinat Kegiatan 1.3. Menentukan persamaan bidang rata sejajar bidang koordinat

Untuk menentukan persamaan bidang rata sejajar bidang koordinat lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah 8 titik pada ruang sehingga titik-titik tersebut merupakan titik-titik

sudut dari balok ( ), dimana titik-titik tersebut bercirikan sebagai berikut.

a. titik ( ) yang mempunyai ordinat dan aplikat sehingga titik tersebut berada pada sumbu

b. titik ( ) yang mempunyai aplikat , sehingga titik tersebut berada pada bidang .

c. Titik ( ) yang mempunyai absis dan aplikat , sehingga titik tersebut berada pada sumbu

d. Titik ( ) yang mempunyai , sehingga titik tersebut berada pada titik asal.

e. Titik ( ) yang mempunyai , sehingga titik tersebut berada pada bidang XOZ

f. Titik ( ) yang titik tersebut sejajar sumbu dengan titik dan tegak lurus sumbu dengan titik sehingga titik tersebut sama panjang dengan garis .

g. Titik ( ) yang mempunyai , sehingga titik tersebut berada pada bidang YOZ


h. Titik ( ) yang mempunyai sehingga titik tersebut berada pada sumbu .

2. Dari ciri-ciri titik di atas Anda dapat menggambar sebuah balok bukan? 3. Coba bandingkan hasil gambar yang Anda buat dengan gambar teman di

samping Anda, apakah sama atau berbeda? Masalah 1.3 Gambarkanlah titik F( ) serta tuliskan koordinat-koordinat yang lain tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sesuai dengan kegiatan 1.3 kita dapat menyelesaikan masalah 1.3 tersebut dengan memperhatikan langkah-langkah yang ada pada kegiatan 1.2, sehingga diperoleh sebuah gambar balok seperti di bawah ini.

Gambar 1.8. Balok di Ruang

Setelah melakukan kegiatan di atas, selanjutnya kerjakanlah latihan berikut ini.

1. Gambarlah dua buah titik yang masing-masing berada di kuadran I dan

kuadran III (titik tersebut tidak boleh sama dengan teman di sebelah Anda). 2. Gambarkanlah titik-titik di bawah ini pada satu sumbu koordinat.

a. ( ) d. ( )

Latihan 1


b. ( ) e. ( )

c. ( ) f. ( ) 3. Gambarlah dua buah titik yang masing-masing berada di Oktan III dan Oktan

VIII (titik tersebut tidak boleh sama dengan teman disebelah Anda). 4. Gambarkanlah titik-titik di bawah ini pada satu sumbu koordinat.

a. ( ) d. ( ) b. ( ) e. ( ) c. ( ) f. ( )

5. Diketahui titik ( ) dan ( ) . Tentukanlah titik-titik yang belum diketahui pada gambar di bawah ini!

6. Gambarkanlah titik-titik ( ) jika

a. b.

1. Sistem koordinat kartesius pada bidang (dimensi 2) ditentukan dari dua garis yang saling tegak lurus. Garis yaitu garis yang mendatar (horizontal) disebut absis dan garis yaitu garis yang tegak (vertikal) yang disebut ordinat, serta adalah titik potong dari sumbu .

2. Koordinat kartesius di bidang terdiri atas 4 kuadran.

Rangkuman


Y

X

3. Sistem koordinat kartesius pada ruang (dimensi 3) ditentukan dari tiga garis

yang saling tegak lurus. Garis yaitu garis yang memotong sumbu dan disebut absis dan garis yaitu garis yang mendatar (horizontal) disebut ordinat dan garis yaitu garis yang tegak (vertikal) yang disebut aplikat, serta adalah titik potong dari sumbu .

4. Koordinat kartesius di bidang terdiri atas 8 oktan, yaitu Oktan I : jika absis , ordinat , dan aplikat atau

* ( )| + Oktan II : jika absis , ordinat , dan aplikat atau

* ( )| + Oktan III : jika absis , ordinat , dan aplikat atau

* ( )| +. Oktan IV : jika absis , ordinat , dan aplikat atau

* ( )| + Oktan V : jika absis x > 0, ordinat , dan aplikat atau

* ( )| +. Oktan VI : jika absis , ordinat , dan aplikat atau

* ( )| + Oktan VII : jika absis , ordinat , dan aplikat atau

* ( )| +

𝑥 𝑦

Kuadran I

𝑥 𝑦

Kuadran II:

𝑥 𝑦

Kuadran IV:

𝑥 𝑦

Kuadran III:


Oktan VIII : jika absis , ordinat , dan aplikat atau * ( )| +.

1. Titik ( ) ( ) masing-masing secara berurutan terletak pada kuadran… a. I dan II b. I dan III c. I dan IV d. II dan IV

2. Manakah dari gambar berikut ini yang menyatakan titik ( ) ( )

Y

2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

-4

-6

a.

X

Y

2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

-4

-6

b.

X

Y

2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

-4

-6

c.

X

Y

2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

-4

-6

d.

3. Dari titik-titik ( ) ( ) ( ), maka titik yang terletak pada

kuadran II adalah ….

a. b. c. d.

4. Di antara titik-titik berikut ini yang terletak pada sumbu adalah ….

a. ( )

Tes Formatif 1


b. ( ) c. ( ) d. ( )

5. Di antara titik-titik berikut ini yang terletak pada sumbu X adalah ….

a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( )

6. Titik ( ) ( ) secara berurutan masing-masing terletak pada oktan… a. VI dan VII b. VII dan VIII c. VIII dan V d. V dan VII

7. Manakah dari gambar berikut ini yang menyatakan titik ( ).

X

Y2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

-4

-6

Z

2

a.

X

Y2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

-4

-6

Z

2

b.


X

Y

2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

-4

-6

Z

2

c.

X

Y

2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

-4

-6

Z

2

d.

-2

-4

-6

8. Dari titik-titik O( ) ( ), ( ), dan ( ), maka

titik yang terletak pada oktan VII adalah ….

a. b. c. d.


a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( )


a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( )


Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda? Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat pada akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Rumus:

i at e uasaa u a a a a a e ar

u a s a

Arti tingkat penguasa Anda :

90 100% = baik sekali 80 89% = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda? Apabila tingkat

penguasaan Anda mencapai atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus !!! Jika masih di bawah , Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

Kunci Jawaban Tes Formatif 1:

1. D 6. D

2. C 7. A

3. A 8. D

4. B 9. B

5. A 10.C


KEGIATAN BELAJAR

2

JARAK DUA TITIK

A. Jarak Antara Dua Titik di Bidang

Agar anda dapat memahami bagaimana cara menentukan jarak dua titik di bidang, bacalah ilustrasi di bawah ini. Ilustrasi 2.1 Perhatikanlah gambar 2.1 berikut ini.


mampu:

1. Merumuskan persamaan jarak antara dua titik di bidang dan di ruang.

2. Mengkaji sistem koordinat titik pada satu ruas garis 𝑃𝑄 dengan

perbandingan 𝑚 𝑛 di bidang dan di ruang.


Gambar 2.1. Tiga anak berdiri membentuk segitiga siku-siku

Pada gambar 2.1 tersebut pernahkan anda mengukur berapa jarak antara orang A dengan orang B? Untuk menjawab pertanyaan ilustrasi 2.1 tersebut anda bisa menggunakan rumus jarak antara dua titik di bidang. Kita misalkan anak yang menggopor bola adalah titik ( ) dan anak yang menerima bola adalah titik ( ). Untuk menemukan rumus jarak antara dua titik tersebut, lakukanlah kegiatan 2.1 di bawah ini. Kegiatan 2.1. Menentukan jarak antara dua titik di bidang

Untuk menentukan jarak antara titik ( ) dan ( ) lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang (dimensi 2). 2. Buatlah tiga buah titik berupa segitiga siku-siku 3. Beri nama segitiga tersebut segitiga , di mana titik tersebut yaitu titik

yaitu titik ( ), titik yaitu ( ) dan titik adalah titik ( ) atau ( ) dengan titik sebagai titik sudut siku-siku.

4. Kita akan peroleh | | | | | | | |

5. karena merupakan segitiga siku-siku di maka kita bisa menggunakan Teorema Phytagoras yaitu:

| | | | | | | | ( )

( )

√( ) ( )

6. sehingga kita peroleh jarak antara titik ( )) ke ( )) adalah 7.

√( ) ( )

Dari kegiatan 2.1 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua

buah titik di bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.1 berikut ini.

…(1)


Masalah 2.1 Tentukan jarak antara titik ( ) ( ). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.1 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.1 dengan menggunakan rumus pada persamaan (1) tersebut, sehingga diperoleh

√( ) ( )

√( ) ( ( ))

√

√

Jadi, jarak antara titik adalah 13. B. Jarak Antara Dua Titik di Ruang

Lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini agar anda dapat menetukan jarak dua titik di ruang. Kegiatan 2.2. Menentukan jarak dua titik di ruang

Untuk menentukan jarak antara titik ( ) ( ) lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang (dimensi 3). 2. Buatlah bangun datar berupa balok, yang semua titik tersebut berada pada

oktan I. 3. Beri nama titik balok tersebut dengan titik dengan titik P

terhubung pula dengan titik B dan titik Q. 4. Kita akan peroleh

| | | | | | | | | | | |

5. Berdasarkan Teorema Phytagoras maka diperoleh , karena bidang , berarti sehingga diperoleh:

( )

( ) ( )

6. Sehingga diperoleh jarak antara titik ( ) ( ) adalah

√( ) ( )

( )

7. selanjutnya jika jarak antara titik asal ( ) ke titik ( )) maka

diperoleh persamaan:

√( ) ( ) ( )

√

…(3)

…(2)


Dari kegiatan 2.2 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua

buah titik di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.2 berikut ini. Masalah 2.2 Tentukan jarak antara titik ( ) dan ( ) pada gambar di bawah ini.

Z

Y

X

C

A B

EF

D

P(1,2,2)

Q(3,5,4)

Gambar 2.2. Balok pada ruang (dimensi 3)

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.2 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.2 dengan menggunakan rumus pada persamaan (2) tersebut, sehingga diperoleh Titik ( ) dan ( )

Jarak , jarak dan jarak

√

Jadi, jarak antara titik ke adalah √ . C. Koordinat Titik yang Membagi Ruas Garis Atas Perbandingan 2.1 Pembagian Ruas Garis dalam Bidang lakukanlah kegiatan 2.3 di bawah ini agar anda dapat menetukan pembagian ruas garis dalam bidang. Kegiatan 2.3. Pembagian Ruas Garis Di Bidang Untuk menentukan koordinat suatu titik yang terletak pada garis sehingga , maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang (dimensi 2). 2. Buatlah 3 titik dengan ( ) dan ( ) dan ( ) terletak pada

garis sehingga , seperti terlihat pada gambar dibawah ini.


Gambar 2.3. Garis AB pada bidang (dimensi 2)

3. Selanjutnya, Perhatikan dan . Karena sebangun dengan

maka mengakibatkan , sehingga

( ) ( )( ) ( )

4. Selanjutnya dengan cara yang sama,

( ) ( )( ) ( )

5. Dari langkah 3 dan 4 diperoleh koordinat titik T adalah

( ) (

)

6. Jika berada di tengah-tengah garis maka membagi atas

perbandingan sehingga diperoleh koordinat titik adalah

( ) (

)

Dari kegiatan 2.3 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik di

bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.3 berikut ini.

Masalah 2.3 Tentukan titik yang terletak pada dengan ( ) dan ( ), sehingga Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut?

…(4)

…(5)


Dari kegiatan 2.3 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.3 dengan menggunakan rumus pada persamaan (4) tersebut, dengan diketahui dan sehingga diperoleh

(

)

4 ( ) ( )

( ) ( )

5

(

)

(

)

Setelah memahami masalah di atas, lanjutkanlah dengan mempelajari

pembagian ruas garis di ruang di bawah ini.

2.2. Pembagian Ruas Garis Di Ruang Lakukanlah kegiatan 2.4 di bawah ini agar anda dapat menentukan

pembagian ruas garis di ruang.

Kegiatan 2.4. Pembagian Ruas Garis di Ruang Untuk menentukan koordinat suatu titik yang terletak pada garis

sehingga , maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang (dimensi 3). 2. Buatlah dua buah titik sembarang yaitu titik ( ) dan ( ). Titik

R terletak pada garis , sedemikian sehingga , seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

Gambar 2.4. Titik R sebagai titik potong dan

3. Proyeksikan garis terhadap bidang dengan hasil proyeksinya .


4. Buat garis yang melalui sejajar dengan ( ) 5. Perhatikan ∆ dan ∆ . Karena sebangun dengan maka

mengakibatkan , sehingga diperoleh

( ) ( ) ( )

6. Dengan cara yang sama, jika garis diproyeksikan ke bidang maka diperoleh persamaan

7. Dan jika garis diproyeksikan ke bidang maka diperoleh persamaan:

8. Sehingga diperoleh koordinat titik adalah

( ) (

)

9. Jika berada di tengah-tengah garis maka membagi atas

perbandingan sehingga diperoleh koordinat titik adalah

( ) .

/

10. Jika , maka sehingga diperoleh persamaan koordinat titik

adalah

( ) (

)

Di mana CATATAN (1) Syarat :

Jika maka terletak di antara dan .

Jika maka terletak di perpanjangan (pada pihak ).

Jika maka menunjukkan suatu titik di tak berhingga.

Jika maka terletak di perpanjangan (pada pihak ).

Dari kegiatan 2.4 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.4 berikut ini. Masalah 2.4 Tentukan koordinat titik sehingga membagi dengan ( ) ( ) dibagi atas

Gradien Garis lurus

…(6)

…(8)

…(7)


Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.4 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.4 dengan menggunakan rumus pada persamaan (6) tersebut, dengan diketahui sehingga diperoleh

(

)

4( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )5

(

)

( ). Karena berarti titik terletak di perpanjangan (pada pihak ). Selanjutnya, kerjakanlah latihan 2 di bawah ini untuk mencoba menyelesaikan sendiri persoalan yang diberikan.

1. Hitunglah jarak antara dua titik berikut ini!

a. ( ) ( ) b. ( ) ( ) c. ( ) ( ) d. ( ) ( )

e. (√ √ ) ( √ √ ) 2. Hitunglah jarak antara dua titik berikut ini.

a. ( ) ( ) b. ( ) ( )

3. Diketahui titik ( ) ( ) sedangkan titik terletak pada garis dengan maka tentukan koordinat titik .

4. Dari segitiga ( ) ( ) ( ) apabila dari titik dibuat sebuah garis berat, maka tentukan panjang garis berat tersebut.

5. Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) adalah segitiga sama kaki!

6. Diketahui ( ) ( ) ( ) K titik tengah dan titik tengah . Tentukan koordinat titik dan !

7. Buktikan bahwa segitiga yang titik sudutnya ( ) ( ) ( ) adalah segitiga sama kaki. Hitunglah luas segitiga tersebut!

8. Tunjukkan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah ( ) ( ) dan ( ) adalah segitiga siku-siku. Hitunglah luas segitiga tersebut!

9. Tunjukkan bahwa ( ) ( ) ( ) adalah titik-titik sudut segitiga sama sisi.

Latihan 2


1. Jarak antara 2 titik, misalkan titik ( ) ke ( ) adalah

√( ) ( )

2. Jarak antara 2 titik, misalkan titik ( ) ke ( ) adalah

√( ) ( )

( )

3. Jika titik asal O(0,0,0) ke titik ( ) diperoleh persamaan

√

4. Koordinat titik yang terletak pada garis sehingga adalah

( ) (

)

5. Jika berada di tengah-tengah garis maka membagi atas perbandingan sehingga diperoleh koordinat titik adalah

( ) (

)

6. Koordinat titik yang terletak pada garis sehingga adalah

( ) (

)

7. Jika berada di tengah-tengah garis maka membagi atas perbandingan sehingga diperoleh koordinat titik adalah

( ) (

)

8. Jika , maka sehingga diperoleh persamaan koordinat titik adalah

( ) (

)

Di mana

1. Jarak antara dua titik ( ) ( ) adalah …. a. 2

b. √ c. 74

d. √ 2. Jarak antara dua titik ( ) ( ) adalah ….

a. 5

b. √

c. √ d. 13

3. Diketahui titik ( ) ( ) sedangkan titik terletak pada garis dengan maka koordinat titik adalah ….

Tes Formatif 2

Rangkuman


a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( )

4. Diketahui titik ( ) ( ) sedangkan titik terletak pada garis dengan maka koordinat titik adalah ….

a. √

b. √

c. √

d. √ 5. Segitiga yang titik-titik sudutnya ( ) ( ) ( ) adalah segitiga ….

a. Tumpul b. Siku-siku c. Lancip d. Sama kaki

6. Jarak antara dua titik ( ) ( ) adalah ….

a. √

b. √

c. √

d. √

7. Jarak antara dua titik ( ) ( ) adalah ….

a. √

b. √

c. √

d. √ 8. Diketahui titik ( ) ( ) sedangkan titik terletak pada garis

dengan maka koordinat titik adalah …. a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( )

9. Diketahui titik ( ) ( ) sedangkan titik C terletak pada garis AB dengan maka koordinat titik C adalah …. a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( )

10. Segitiga yang titik-titik sudutnya ( ) ( ) ( ) adalah segitiga … a. Tumpul b. Siku-siku c. Lancip d. Sama kaki


Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda? Cocokkanlah jawaban

Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat pada akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Rumus:


u a s a

Arti tingkat penguasaan :

90-100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % = kurang




1. D 6. D

2. D 7. B

3. A 8. C

4. A 9. B

5. D 10. B


MODUL 2 GARIS LURUS

Gambar 3. Mesin Antrian Bank

Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan garis lurus sebagai dasar pembuatan program, contohnya adalah program pascal.

Pernahkan anda ke bank? Apa yang pertama kali anda lakukan sewaktu berada di dalam bank? Pasti semua jawaban anda adalah mengambil kertas antrian


pada mesin antrian bukan?. Program yang digunakan untuk menjalankan mesin antrian tersebut menggunakan persamaan garis dan bisa diprogram menggunakan turbo pascal. Dalam ilmu lain aplikasi persamaan garis lurus juga banyak digunakan di antaranya adalah perhitungan kecepatan jarak dan waktu dalam ilmu fisika, perhitungan harga barang dan titik impas dalam ilmu ekonomi. Jadi, Karena banyaknya manfaat mempelajari persamaan garis lurus, maka anda perlu mempelajari persamaan garis lurus sebagai dasar pengetahuan anda.

Modul 2 ini terdiri atas 3 kegiatan belajar. Tujuan dari ketiga kegiatan belajar ini adalah anda akan menentukan persamaan gradien garis lurus, menentukan persamaan vektor dan persamaan parameter garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan persamaan umum garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang, dan menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang.


KEGIATAN BELAJAR

3

PERSAMAAN GARIS LURUS

A. Gradien

Perhatikanlah ilustrasi 3.1 agar anda dapat memahami konsep gradien pada persamaan garis lurus.

Ilustrasi 3.1

Pernahkan anda melihat suatu bangunan miring? misalnya Menara Miring Pisa (bahasa Italia: Torre pendente di Pisa atau disingkat Torre di Pisa, atau yang terkenal di Italia yang terletak pada posisi miring. Menurut penelitian, kemiringan menara Pisa tersebut adalah 5,5 derajat. Setiap tahunnya kemiringan menara bertambah 1 milimeter dihitung secara vertikal dari puncak menara ke tanah. Bangunan tersebut menjadi bangunan yang unik, bersejarah dan diminati oleh seluruh masyarakat dunia untuk melihatnya. Tahukah anda negara kita sendiri

Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. menentukan persamaan gradien garis lurus,

2. menentukan persamaan vektor dan persamaan parameter garis

lurus di bidang dan di ruang,

3. menentukan persamaan umum garis lurus di bidang dan di

ruang.


Indonesia juga mempunyai bangunan berupa menara miring? Menara miring yang terletak di Indonesia bernama menara Syahbandar. Perhatikanlah gambar 3 berikut ini.

Gambar 3.1. Menara Syahbandar

Menara Syahbandar tersebut dibangun oleh VOC pada tahun 1839 yang

terletak di Muara Ciliwung, Jakarta Utara. Menurut Mohammad Isa, salah satu petugas jaga museum, pada tahun 2001 kemiringan menara ini 2,5 derajat dan sekarang kemiringannya mencapai 4 derajat. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan kemiringan? Dalam kegiatan belajar ini anda diharuskan untuk merumuskan persamaan gradien dan persamaan garis lurus di bidang dan di ruang. Anda dapat menentukan gradien suatu garis lurus dengan melakukan kegiatan berikut ini.

Kegiatan 3.1. Persamaan Gradien Suatu Garis Lurus

Untuk menentukan gradien suatu garis lurus lakukan langkah-langkah berikut. 1. Tentukan 2 titik sebarang pada bidang koordinat, beri nama kedua titik

tersebut, misal titik A dan titik B. 2. Hubungkanlah 2 titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis, beri nama garis

tersebut dengan nama garis . 3. Hitunglah selisih absis dari dua titik tersebut. 4. Hitunglah selisih ordinat dari dua titik tersebut. 5. Carilah selisih ordinat dibagi selisih absis dua titik tersebut dengan

menggunakan hasil pada langkah 3 dan 4. 6. Tentukan 2 titik yang lain pada garis , namakan titik C dan D. ulangi langkah-

langkah 3 sampai dengan 5 di atas.


7. Tentukan 2 titik yang lain lagi pada garis , namakan titik E dan F. ulangi langkah-langkah 3 sampai dengan 5 di atas.

8. Berdasarkan hasil pada langkah 5, 6 dan 7, apa yang dapat anda simpulkan? 9. Jika hasil langkah 5, 6 dan 7 dinamakan gradien, coba jelaskan apa yang

dimaksud dengan gradien? 10. Berdasarkan kegiatan di atas, jelaskan bagaimana cara mencari gradien dari

garis lurus yang melalui dua titik ( ) dan ( ).

Kegiatan 3.1 di atas, jika anda perhatikan garis-garis tersebut mempunyai kemiringan atau kecondongan. Kemiringan dari suatu garis lurus disebut gradien dari garis lurus tersebut. Jika titik ( ) dan ( ) terletak pada suatu garis , sehingga komponen pada garis adalah dan komponen pada garis adalah . Dengan demikian gradien garis lurus yang melalui titik ( ) dan ( ) adalah:

Jika dari kegiatan 1 yang anda lakukan maka diperoleh:

(1) suatu garis membentuk sudut lancip dengan sumbu positif, maka koefisien arahnya positif. Sedangkan garis yang membentuk sudut tumpul dengan sumbu positif, maka koefisien arahnya negatif.

(2) garis tersebut sejajar dengan sumbu , maka koefisien arahnya adalah nol, sedangkan garis tersebut sejajar dengan sumbu , maka koefisien arahnya adalah tidak terdefinisikan.

(3) jika , maka inklinasinya adalah sudut lancip; jika , maka inklinasinya adalah sudut tumpul; jika , maka inklinasinya adalah 0o dan jika tidak terdefinisikan, maka inklinasinya adalah 90o.

Masalah 3.1

Tentukan nilai jika garis yang menghubungkan titik-titik ( ) dan ( ) mempunyai gradien 2. Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Dari masalah 3.1 di atas dapat dilihat bahwa untuk menentukan gradien yang melalui dua titik kita temukan pada kegiatan 3.1 yaitu:

Karena nilai gradiennya adalah 2 maka,

…(1)


Sehingga diperoleh nilai

B. Persamaan Garis Lurus di Bidang Anda dapat menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter

garis lurus di bidang dengan melakukan kegiatan berikut ini.

Kegiatan 3.2. Persamaan Garis Lurus di Bidang Untuk menentukan persamaan parameter dan persamaan vektoris garis

lurus di bidang, lakukan langkah-langkah berikut. 1. Buatlah suatu garis yang melalui titik-titik ( ) dan ( ) dengan

atau . 2. Ambil sebarang titik ( ) yang terletak pada garis , sehingga dapat kita

peroleh panjang , panjang , panjang dan panjang

. 3. Dari langkah 2, untuk setiap titik sebarang ( ) pada garis maka berlaku

, dimana adalah suatu parameter, yaitu bilangan yang berubah-

ubah. 4. Catatan: Perlu kita ketahui apabila , maka titik berimpit dengan titik

; jika , maka titik berimpit dengan titik ; jika , maka titik terletak pada setengah garis yang menembus titik melalui titik (sinar garis ); dan jika , maka titik terletak pada setengah garis yang menembus

titik dalam arah yang berlawanan dengan .

5. Dari langkah 1, jika diperhatikan gambar garis tersebut terlihat bahwa

. 6. Kesimpulan apa yang dapat kalian peroleh berdasarkan jawaban yang di

temukan pada langkah-langkah di atas?

Dari kegiatan 3.2 di atas, kita perhatikan garis yang melalui titik ( ) dan ( ) diperoleh persamaan vektoris garis lurus dibidang adalah

, - , - , -

sedangkan persamaan parameter suatu garis lurus diperoleh dari penjabaran persamaan vektoris garis lurus yaitu,

, -

, -

CATATAN (1) 1) Koordinat dan dinyatakan linier kepada . 2) Bilangan-bilangan arah , - dan , - adalah sepasang

bilangan arah yang terletak pada garis itu. 3) Koordinat dan adalah koordinat suatu titik yang terletak pada garis

tersebut.

…(2)

…(3)


Dari persamaan (3), kita bisa mendapatkan persamaan garis lurus dengan menentukan nilai terlebih dahulu,

dan

Sehingga diperoleh persamaan umum garis lurus di bidang yang melalui titik ( ) dan ( ) adalah:

Jika kita teruskan persamaan di atas, kita peroleh suatu persamaan baru yaitu:

( )

( ) Sehingga di peroleh suatu persamaan garis lurus yang melalui titik ( ) dan bergradien adalah

( ) Kerjakan kegiatan dibawah ini dengan berkelompok. 1. Dari persamaan 5, jika titik ( ) di ganti dengan titik ( ), apa yang dapat

anda peroleh? 2. Jika titik ( ) diganti dengan titik ( ), apa yang dapat anda peroleh? 3. Dari kegiatan 1 dan 2 tersebut apa yang dapat anda simpulkan berdasarkan

jawaban di atas?

Berdasarkan kegiatan tersebut dapat disimpulkan bahwa persamaan garis lurus yang melalui titik ( ) dan mempunyai gradien adalah

Sedangkan persamaan garis lurus melalui titik ( ) dan mempunyai gradien adalah

Masalah 3.2

Diketahui garis melalui titik ( ) dan titik ( ). Tentukan nilai

jika gradien garis adalah

, selanjutnya tentukan persamaan garis tersebut.

Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, perhatikan langkah-langkah di bawah ini.

…(4)

…(5)

…(6)

…(7)


1. Misalkan gradien garis adalah , selanjutnya gunakan persamaan gradien yang melalui dua titik yang telah kita peroleh pada kegiatan sebelumnya, yaitu:

( )

Karena gradien garis di ketahui yaitu

, sehingga diperoleh

( )

Jadi, nilai , maka titik ( ).

2. Selanjutnya ditentukan persamaan garis , karena garis melalui titik ( )dan ( ), maka kita menggunakan persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu:

( )

( )

( ) ( )

Jadi, persamaan garis adalah .

Kegiatan 3.3. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal) Untuk menentukan persamaan garis normal, lakukan langkah-langkah berikut.


Gambar 3.2. Persamaan Garis Hesse

1. Perhatikan Gambar 3.2, garis yang melalui titik ( )dan ( ), kemudian tarik garis melalui titik sedemikian sehingga garis tegak lurus dengan garis maka kita namakan dengan garis .

2. Karena garis , maka persamaan tersebut dinamakan dengan persamaan garis normal.

3. Perhatikan garis , kita misalkan | | , disebut panjang garis normal dan sudut yang dibentuk oleh dengan sumbu positif adalah .

4. Perhatikan segitiga , siku-siku di , sehingga diperoleh nilai

karena sudut adalah .

5. Perhatikan segitiga , siku-siku di , sehingga diperoleh nilai

.

6. Karena garis memotong sumbu dan sumbu di titik ( )dan ( ), maka diperoleh persamaan garis .

7. Selanjutnya substitusikan langkah 4 dan 5 ke langkah 6, sehingga diperoleh suatu persamaan garis normal.

Berdasarkan kegiatan 3.3 di atas, diperoleh suatu persamaan garis normal yaitu . Dengan Catatan (3): 1. Karena positif (jarak titik ( ) ke garis ) maka suku ke-3 selalu negatif. 2. Koefisien dan koefisien maka . 3. , = panjang normalnya, yaitu garis yang melalui titik asal dan tegak lurus

garis dengan garis . Dimana √ dan adalah sudut yang diapit garis normalnya dengan sumbu .

Untuk mempermudah kita mengingat kedua persyaratan di atas, setiap persamaan dapat diubah ke Persamaan Normal Hesse dengan cara: Apabila kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan , maka diperoleh: Jika dibandingkan dengan persamaan normal, maka diperoleh hubungan,

( )

√

(Untuk nilai positif jika nya negatif. Dan untuk nilai negatif jika nya positif). Sehingga persamaan normal dari adalah

(

√

√

√ )

Dari persamaan normal ini dapat disimpulkan bahwa jarak titik asal ke garis lurus dengan persamaan garis adalah


|

√ |

Masalah 3.3

Ubahlah persamaan garis ke dalam persamaan normal Hesse. Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Langkah penyelesaian

( kalikan dengan (-1))

Cari nilai dengan cara:

√

√

√

Karena adalah bilangan bulat negatif, maka nilai yang dipilih adalah yang

bertanda positif, yaitu

.

Jadi dapat disimpulkan bahwa bentuk normalnya adalah:

C. Persamaan Garis Lurus Di Ruang

Anda dapat menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di ruang dengan melakukan kegiatan berikut ini. Kegiatan 3.4. Persamaan Garis Lurus di Ruang

Untuk menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di ruang, lakukan langkah-langkah berikut. 1. Buatlah suatu garis yang melalui titik-titik ( ) dan ( )

dengan , atau . 2. Ambil sebarang titik ( ) yang terletak pada garis , sehingga dapat kita

peroleh panjang , panjang , panjang dan panjang

. 3. Dari langkah 2, untuk setiap titik sebarang ( ) pada garis maka berlaku

, di mana adalah suatu parameter, yaitu bilangan yang berubah-

ubah. Perlu diingat, apabila maka titik berimpit dengan titik ; jika , maka titik berimpit dengan ; jika positif maka titik terletak di sebelah kanan ; dan jika negatif maka titik terletak di sebelah kiri . Berarti dapat disimpulkan bahwa nilai bergantung kepada letak titik pada

garis yang memuat .


4. Dari langkah 1, jika diperhatikan gambar garis tersebut terlihat bahwa

. 5. Kesimpulan apa yang dapat anda peroleh berdasarkan jawaban yang di

temukan pada langkah-langkah di atas? Dari kegiatan 3.4 di atas, perhatikan gambar garis yang melalui titik ( ) dan ( ) diperoleh persamaan vektor garis lurus diruang adalah

, - , - , - Sedangkan persamaan parameter suatu garis lurus diperoleh dari penjabaran persamaan vektor garis lurus yaitu,

{

, -

, -

, -

Dari persamaan parameter di atas kita bisa mendapatkan persamaan garis lurus dengan menentukan nilai terlebih dahulu,

dan

Dengan demikian diperoleh persamaan umum garis lurus di ruang yang melalui titik ( ) dan ( ) sebagai berikut:

i a a

Karena garis lurus memiliki vektor arah yaitu , - maka kita dapat mengubah persamaan (10) menjadi:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis lurus yang melalui ( ) dengan vektor arah , - adalah:

dengan a b dan c

CATATAN (2)

Persamaan garis lurus tidak selalu dapat digunakan, jika beberapa bilangan arahnya sama dengan nol. Jika salah satu bilangan arahnya sama dengan nol, yaitu: 1) Jika , maka persamaan garis lurusnya menjadi:

a

Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan bidang . 2) Jika , maka persamaan garis lurusnya menjadi:

a

Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan bidang .

…(8)

…(9)

…(10)

…(11)

…(12)


3) Jika , maka persamaan garis lurusnya menjadi:

a

Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan bidang . 4) Jika dan , maka persamaan garis lurusnya menjadi:

a Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu .

5) Jika dan , maka persamaan garis lurusnya menjadi: a

Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu . 6) Jika dan , maka persamaan garis lurusnya menjadi:

a Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu .

Masalah 3.4 Tentukan persamaan vektoris, persamaan parameter dan persamaan garis

lurus yang melalui titik ( ) dan ( ). Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Persamaan vektoris garis lurus melalui titik-titik ( ) dan ( ) adalah: , - , - , - , - , - , ( ) ( ) ( )- , - , - , - Jadi, persamaan vektoris garis lurus adalah

, - , - , -. Dari persamaan vektoris garis lurus di atas, dapat kita peroleh suatu persamaan parameter garis lurus adalah

{

Berdasarkan persamaan parameter tersebut bisa kita peroleh persamaan garis lurus yang melalui dua titik sebagai berikut

Kegiatan 3.5. Cosinus Arah dan Bilangan Arah

Untuk menentukan cosinus arah dan Bilangan Arah garis lurus di ruang, pahami langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sudut dan di ruang. Arah dari sebuah garis dalam ruang

ditunjukkan dengan tiga sudut yaitu dan , ketiga sudut ini disebut sudut arah dari garis tersebut.

2. Sudut atau garis itu melalui titik asal yang sejajar dengan garis tersebut dibuat dengan menggunakan sumbu koordinat. Seperti Gambar 3.3(a) di bawah ini, di


mana ketiga sudut tersebut sudah menunjukkan arah garis pada ruang dengan menggunakan sudut dan .

Gambar 3.3(a)

Sudut-sudut arah dan di mana masing-masing sudut antara arah positif di sumbu dan garis berarah (positif berarah ke atas).

3. sudut arah dari garis ini ketika diarahkan berlawanan arah seperti yang terlihat pada Gambar 3.3(b) adalah , dan .

Gambar 3.3(b)

Dengan demikian, sebuah garis yang tidak berarah mempunyai dua himpunan sudut-sudut arah dan , dan dua himpunan cosinus arah , - dan , - karena ( ) .

4. Supaya tidak ada kebingungan antara membedakan koordinat titik dengan cosinus arah garis maka cosinus arah garis diberi tanda kurung siku-siku seperti ini [ ], sehingga arah garis tersebut dapat ditulis menjadi , - untuk menunjukkan garis yang cosinus arahnya adalah a, b, c.


5. Cosinus arah dari dapat ditentukan dengan mengambil dua buah titik sebarang yang berada pada garis tersebut yaitu titik ( ) dan ( ). Garis tersebut diarahkan dari ke yang dapat dilihat pada Gambar 3.4.

Gambar 3.4. Balok

Berdasarkan gambar di atas, dapat ditentukan nilai dan .

Karena nilai sama maka di peroleh persamaan garis lurus adalah:

Dan persamaan parameter garis lurus adalah:

{

Dimana adalah jarak antara titik ( ) ke titik ( ). Jumlah dari kuadrat cosinus arah dari sebarang garis sama dengan 1, yaitu

Akibat langsungnya adalah bahwa paling sedikit satu dari cosinus arah dari sebarang garis bukanlah 0.

…(13)

…(14)

…(15)


Masalah 3.5 Tentukan cosinus arah garis yang melalui titik–titik ( )dan ( )? Penyelesaian


Berdasarkan permasalahan di atas, kita dapat menentukan persamaan vektoris garis lurus yang melalui titik-titik ( ) dan ( ) yaitu , - , - , - dan persamaan parameternya adalah , dan . Jika di eliminasi maka di peroleh persamaan garis lurus yaitu,

| | √ ( ) √

, - , -

| |

Vektor cosinus dari garis di atas adalah

√ , - atau [

√

√

√ ]

Berarti persamaan garis dapat di tulis:

√

√

√

selanjutnya kerjakanlah latihan berikut ini.

Untuk memperdalam pemahaman anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Diketahui koordinat titik ( ) ( ) dan ( )

a. Gambarlah garis lurus yang melalui titik ke titik , titik ke titik dan titik ke titik

b. Hitunglah dan c. Apa yang dapat disimpulkan tentang ketiga titik tersebut?

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui: a. ( )dan ( ) b. ( ) dan ( ) c. ( ) dengan tanjakan

3. Tentukan persamaan garis mendatar (sejajar sumbu ) yang memotong sumbu di titik sejauh satuan di atas titik asal!

4. Tentukan persamaan normal suatu garis lurus dengan panjang normal 5 satuan dan besar sudut apit garis tersebut dengan sumbu arah positif adalah .

Latihan 3


5. Ubahlah persamaan-persamaan garis lurus berikut menjadi bentuk persamaan normal. a. b.

6. Tentukan persamaan vektoris, persamaan parameter dan persamaan linier garis lurus yang melalui titik-titik: a. ( ) dan ( ) b. ( )dan ( ) c. ( ) dan ( )

7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik a. ( ) dan memotong tegaklurus sumbu . b. ( ) dan memotong tegaklurus sumbu . c. ( ) dan memotong tegaklurus sumbu .

1. Gradien garis lurus yang melalui titik ( ) dan ( ) adalah

2. Persamaan vektoris garis lurus di bidang yang melalui dua buah titik adalah , - , - , -

Dengan persamaan parameter garis lurusnya adalah:

, -

, -

Sedangkan persamaan vektoris garis lurus di ruang yang melalui dua buah titik adalah:

, - , - , - Dengan persamaan parameter garis lurusnya adalah:

{

, -

, -

, -

3. Persamaan linier garis lurus yang melalui titik ( ) dengan vektor arah , - adalah:

i a a a

4. Persamaan linier garis lurus yang melalui titik ( ) dan ( ) adalah:

5. Persamaan garis lurus yang melalui titik ( ) dan bergradien adalah: ( )

6. Persamaan garis lurus yang melalui titik ( ) dan mempunyai gradien adalah

Sedangkan persamaan garis lurus melalui titik ( ) dan mempunyai gradien adalah

Rangkuman


Pilihlah suatu jawaban yang paling tepat, kemudian berilah alasan pemilihan jawaban tersebut! 1. Persamaan parameter garis yang melalui titik ( ) dengan vektor arah

, - adalah …. A. B. C. D.

2. Persamaan garis yang melalui titik-titik ( )dan ( ) adalah

3. Persamaan garis lurus yang mengapit sudut dengan sumbu arah positif dan melalui titik ( ) adalah …. A. B. C. D.

4. Persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ( )dan ( ) adalah …. A. B. C. D.

5. Persamaan garis lurus yang melalui ( ) dengan gradien

adalah ….

A. B. C. D.

6. Panjang normal dari garis adalah …. A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

7. Persamaan vektor garis lurus yang melalui titik-titik ( ) dan ( ) adalah…. A. , - , - , - B. , - , - , -

Tes Formatif 3


C. , - , - , - D. , - , - , -

8. Persamaan parameter dari soal No. 7 adalah ….

A. B. C. D.

9. Titikpotong garis dengan sumbu dan sumbu adalah ….

A. dan

B. dan

C. dan

D.

10. Persamaan garis lurus yang melalui titik ( ) yang sejajar garis adalah …. A. B. C. D.




u a s a

Arti tingkat penguasaan : 90-100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda? Apabila tingkat penguasaan Anda mencapai atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 4. Bagus !!! Jika masih di bawah , Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.


1. D 6. A

2. D 7. A

3. D 8. A

4. D 9. A

5. A 10. B


KEGIATAN BELAJAR

4

KEDUDUKAN

DUA GARIS LURUS,

SUDUT DAN JARAK

A. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Hubungan dua garis lurus dapat kita kaitkan dengan situasi sehari-hari. Jika

terdapat dua garis lurus, maka ada beberapa hubungan atau situasi yang bisa terjadi. Kedua garis tersebut dapat sejajar, saling tegak lurus, berimpit, atau berpotongan.

Kegiatan 4.1. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang

Untuk menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang, lakukan langkah-langkah berikut.


1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang

2. Sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang

3. Menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang

4. Menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang.


1. Pilih dua titik pada bidang koordinat, missal titik A dan B, kemudian hubungkan kedua titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis lurus AB, namakan garis .

2. Hitunglah gradien garis . 3. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis , pilihlah dua titik pada garis ,

kemudian hitunglah gradien garis . 4. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis , pilihlah dua titik pada garis ,

kemudian hitunglah gradien garis . 5. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis , pilih dua titik pada garis ,

kemudian hitunglah gradien garis . 6. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai garis-garis dan ? 7. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai gradien dari garis-garis dan .

Dari kegiatan 4.1 di atas, jika kita perhatikan garis-garis dan adalah

garis-garis yang saling sejajar, dan jika hitung gradiennya maka mempunyai nilai gradien yang sama sehingga dapat di simpulkan bahwa garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama yaitu :

Masalah 4.1

Diketahui persamaan garis , tentukan gradien garis tersebut, kemudian tentukan gradien garis yang sejajar dengan garis Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari masalah di atas, gradien garis adalah 3. Maka gradien garis yang sejajar dengan garis adalah 3. Kegiatan 4.2. Persamaan Gradien Garis Lurus Jika Garisnya Tegak Lurus

Untuk menentukan gradien garis-garis yang saling tegak lurus maka lakukan langkah-langkah berikut. 1. Gambarlah grafik garis dengan persamaan 2. Hitunglah gradien garis . 3. Gambarlah grafik garis dengan persamaan 4. Hitunglah gradien garis . 5. Selidiki apakah garis tegak lurus pada garis ? 6. Tentukan hasil kali antara gradien garis dengan gradien garis 7. Apa yang dapat kalian simpulkan dari hasil langkah ke-6 berdasarkan

kedudukan garis dan ?

…(16)


Dari kegiatan 4.2 di atas, jika kita perhatikan garis dan diperoleh hasil kali gradien-gradien yang saling tegak lurus adalah -1. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. Persamaan garis-garis yang saling tegak lurus adalah:

Masalah 4.2

Diketahui titik ( ) dan titik ( ). Jika garis tegak lurus dengan garis , tentukan gradien garis . Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Berdasarkan permasalahan di atas, pertama sekali kita menghitung nilai gradien yang melalui titik ( ) dan titik ( ) dengan menggunakan persamaan gradien pada kegiatan 3.1 yaitu:

Maka di dapat nilai gradiennya adalah

Setelah memperoleh nilai gradien , karena garis tegak lurus dengan maka kita menggunakan persamaan pada kegiatan 3 yaitu:

maka,

Sehingga diperoleh,

Apabila dan adalah dua buah garis lurus pada bidang XOY, maka hubungan yang mungkin terjadi antara kedua garis tersebut adalah 1. berimpit dengan

Misalkan dan maka g1 dan g2 dikatakan berimpit jika dan hanya jika:

2. sejajar dengan (tidak berimpit) Misalkan dan maka g1 dan g2 dikatakan sejajar jika dan hanya jika:

3. berpotongan dengan Misalkan dan maka dan dikatakan berpotongan jika dan hanya jika:

…(17)


Masalah 4.3

Diketahui garis , dan . Tentukan kedudukan antara garis dengan dan garis dengan , apakah sejajar, berimpit atau berpotongan. Penyelesaian:


Garis , dan

Kerena nilainya sama maka garis berimpit dengan garis .

Garis ,

Karena nilainya tidak sama maka garis berpotongan dengan garis .

4.1 Kedudukan Dua Garis Lurus di Ruang Misalkan , - , - , - dan

, - , - , - Ada beberapa kemungkinan kedudukan antara garis dan .

1. Garis sejajar ( ) jika dan hanya jika : , - , - atau

2. Garis berimpit dengan jika dan hanya jika:

, - , - , - , -

Masalah 4.4

Tunjukkan bahwa garis sejajar dengan garis .

dan

Penyelesaian



Vektor arah garis adalah , - dan vektor arah adalah , -. Karena vektor arah sama dengan vektor arah berarti kedua garis tersebut sejajar tetapi tidak berimpit, karena hasil penggurangan , - , - , - , - . 3. Jika , - , -, maka garis dan mungkin saja berpotongan

atau bersilangan. Misalkan berpotongan dengan , berarti ada titik potong ( ). sehingga ( ) dan ( ) sebagai titik potong garis dan . Jika ( ) maka , - , - , - …..(1) Jika ( ) maka , - , - , - …..(2) Dari persamaan (1) dan (2) jika di kurangkan menjadi: , - , - , - , - atau

Berdasarkan teori persamaan linier, nilai dan ada, jika nilai determinannya:

|

|

Merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada suatu titik. Jika nilai determinannya tidak sama dengan nol maka kedua garis tersebut bersilangan. Sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis dan adalah:

|

|

Masalah 4.5

Tunjukkan bahwa garis berpotongan dengan garis . Jika berpotongan maka tentukan titik potong kedua garis tersebut serta tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut.

dan

Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. , - , - , - , - , - , - Jika kita perhatikan vektor arah kedua garis tersebut tidak berkelipatan berarti kedua garis tersebut tidak sejajar dan tidak berimpit. Untuk menunjukkan kedua

…(18)

…(19)


garis tersebut berpotongan, kita harus mencari determinannya terlebih dahulu, dan nilai determinannya harus sama dengan nol.

|

|

|

( ) ( )

|

|

|

|

*( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) Karena determinannya sama dengan nol maka garis berpotongan dengan garis . Titik potong kedua garis tersebut diperoleh dari persamaan: Cukup kita ambil dua persamaan, sehingga diperoleh nilai dan dengan cara mengeliminasikan kedua persamaan tersebut. Setelah di eliminasi maka diperoleh nilai dan . Untuk memperoleh titik potong kedua garis tersebut kita menggunakan persamaan: , - , - , - , - , - , - , - , - Jika kita menggunakan persamaan: , - , - , - , - , - ( ), - , - , - Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah ( ) Bidang rata yang memuat garis dan adalah:

|

|

|

|

|

* ( ) ( ) ( )( )+ * ( ) ( ) ( )( )+ = 0 Jadi, persamaan bidang yang memuat kedua garis tersebut adalah .


B. Garis Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di Ruang 4.1. Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Bidang

Misalkan dan . Untuk menentukan persamaan garis lain kita menggunakan persamaan berkas garis, berkas garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan. Persamaan berkas garis adalah

dimana disebut dengan parameter dan harus linier.

Titik potong S kedua garis dan terletak pada garis , berarti

koordinat titik potong tersebut memenuhi ke dalam persamaan garis maupun ke dalam garis . Serta untuk tiap-tiap harga bentuk selalu linier, sehingga menghasilkan sebuah garis lurus yang melalui S. Jadi dapat disimpulkan bahwa semua garis yang didapat dari persamaan selalu melalui titik potong kedua garis dan . Masalah 4.6

Diketahui dua garis lurus dan

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut. Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Buatlah berkas garis sehingga dapat di tulis menjadi:

( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

Karena garis tersebut melalui titik pangkal yaitu ( ) maka diperoleh:

sehingga di dapatlah nilai

.

Subsitusikan nilai

ke persamaan (1) yaitu:

( )

(

)

( ) (

)

…(20)


Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis

tersebut adalah

.

4.2 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Ruang

Jika dan maka persamaan umum dari garis lurus yang memotong dan adalah

dan Masalah 4.7

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik ( ) dan memotong garis-garis lurus , dan serta dan . Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Persamaan umum garis lurus yang memotong dan adalah: dan Pertama kita menggunakan persamaan ( ) ( ) ( ) Karena melalui titik ( ) maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (1), ( ) ( )( ) ( ) Subsitusikan nilai ke persamaan (1) sehingga diperoleh persamaan garis: ( ) ( ) Jadi, persamaan garis lurus adalah . Kedua kita menggunakan persamaan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Karena melalui titik ( ) maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (2), ( )( ) ( )( ) ( ) Subsitusikan nilai ke persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan garis:

( ( )) ( ( )) ( ( ))

Jadi, persamaan garis lurus adalah .

…(21)

…(1)

…(2)


C. Sudut Antara Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sekarang kita perhatikan sudut yang merupakan sudut diantara dua garis

lurus di bidang seperti yang terlihat pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1. sudut antara dua garis lurus

Jika dan . Sudut adalah sudut perpotongan antara kedua garis tersebut. dan ( )

karena dan maka di peroleh suatu persamaan:

Supaya sudut selalu lancip, maka harus bernilai positif, oleh karena itu diambil harga mutlaknya yaitu:

|

|

CATATAN (4)

Jika , maka . Ini berarti dua garis tersebut sejajar atau berimpit. Dua garis tersebut akan sejajar apabila dan dua garis tersebut berimpit, apabila .

Jika harga besarnya tak berhingga, yaitu , maka atau . Ini berarti kedua garis tersebut saling tegak lurus.

…(22)

…(23)


Masalah 4.8 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik ( ) dan mengapit

sudut yang besarnya dengan garis .

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba

anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Perhatikan gambar 4.2 di bawah ini adalah sketsa dari ketentuan-ketentuan dalam soal dan garis dan adalah garis-garis yang mengapit sudut yang besarnya dengan garis

Gambar 4.2. garis yang melalui titik ( )

Tanjakan garis adalah

. Misalkan tanjakan garis yang

dicari adalah , maka

|

|

| .

/

. /|

(

)


Jadi, persamaan garis adalah garis dengan gradien

dan melalui titik

( ), yaitu: ( )

( )

persamaan garis adalah garis dengan gradien dan melalui titik ( ) adalah

( ) ( )

Berdasarkan proses di atas, persamaan garis lurus yang melalui titik ( ) adalah dan .

Sedangkan sudut antara garis dan di ruang adalah sudut antara vektor-vektor arah , - dan , - yaitu:

, - , -

|, -|| |

√(

)(

)

Jadi, persamaan untuk menentukan sudut antara dua garis lurus di ruang adalah:

√(

)(

)

CATATAN (5)

Jika kedua garis dan saling tegak lurus apabila dot product vektor arah mereka sama dengan nol sehingga diperoleh suatu persamaan: , - , - Masalah 4.9

Tentukan sudut antara garis , - , - , - dan garis , - , -. Penyelesaian


…(24)

…(25)


Sudut antara garis dan garis adalah

√(

)(

)

√( ( ) )( )

√( )( )

√

Jadi, sudut antara garis dan garis adalah

.

D. Jarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di Ruang

Sebelumnya kita sudah mempelajari kegiatan 3.3 yaitu persamaan normal Hesse adalah dengan adalah jarak dari titik pangkal ke garis dan adalah sudut antara jarak tersebut dengan sumbu positif serta titik ( ) yang berjarak dari garis seperti yang terlihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.

Gambar 4.3. Garis Lurus sejajar dengan garis

Dari persamaan normal Hesse tersebut dapat ditentukan persamaan normal

garis yang melalui titik ( ) dan sejajar dengan garis . Jelas bahwa panjang normal dari normal dari garis adalah ( ), maka persamaan normal garis adalah ( ) .

Karena titik ( ) pada garis , maka koordinat-koordinat titik memenuhi persamaan garis , sehingga diperoleh ( ) . Jadi, .


Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula jarak tersebut apabila titik-titik dan terletak sepihak terhadap garis , sehinga diperoleh ( ). Karena adalah jarak, maka nilainya harus positif, sehingga harus diambil harga mutlaknya.

| |

Jika persamaan garisnya merupakan persamaan umum, maka untuk menentukan jarak suatu titik pada garis tersebut harus diubah ke persamaan normal. Karena persamaan normal garis adalah

(

√

√

√ )

Maka jarak titik ( ) ke garis tersebut adalah

|

√ |

Bentuk persamaan normal garis adalah

(

√ )

Maka jarak titik ( ) ke garis adalah

|

√ |

Masalah 4.10

Tentukan jarak titik ( ) ke garis Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Jarak titik ( ) ke garis adalah

|

√ ( ) |

| ( ) ( )

√ |

|

√ |

|

|

Sedangkan jarak titik ke garis di ruang, kita misalkan titik ( ) dan garis tersebut berada di ruang. Menentukan jarak titik ke garis di ruang dengan cara sebagai berikut:

1. Buat bidang melalui yang tegak lurus garis .

2. Cari titik , titik ini adalah titik tembus garis pada bidang .

…(26)

…(27)

…(28)


3. Setelah dapat titik maka hubungkan titik ke sehingga terbentuklah sebuah garis lurus yaitu garis . Garis adalah suatu garis yang tegak lurus garis dan melalui titik sehingga panjang adalah jarak titik ke garis . Seperti yang terlihat pada Gambar 4.4 di bawah ini.

Gambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis

4. Untuk mencari panjang kita menggunakan persamaan jarak antara dua titik

yaitu | | √( ) ( )

( ) .

Masalah 4.11

Tentukan jarak titik ( ) ke garis lurus

Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk mencari jarak titik ke garis lurus kita ikuti langkah-langkah di atas: 1. Buat bidang melalui titik ( ) yang tegak lurus garis

Persamaan bidang rata yang melalui titik ( ) adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Karena bidang maka sehingga diperoleh

, - , - , - , - Berarti dan , subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu ( ) ( ) ( ) ………(1)

2. Cari titik , titik ini adalah titik tembus garis pada bidang . Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang , kita gunakan persamaan parameter garis lurus yaitu

{


{

………..(2)

Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), untuk memperoleh niai . ( ) ( ) ( ) Subsitukan nilai ke persamaan (2), sehingga diperoleh

{

Jadi, titik adalah ( ). 3. Jarak antara titik ( ) ke titik ( ) adalah

| | √( ) ( )

( )

| | √( ) ( ) ( )

| | √( ) ( ) ( )

| | √

| | √ Jadi, jarak titik ke garis tersebut adalah 6 satuan panjang.

E. Jarak Antara Dua Garis Lurus di Ruang

Untuk mencari jarak antara dua garis lurus dan di ruang ada beberapa hal yang harus di perhatikan yaitu: 1. Jika dan sejajar, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti

langkah-langkah berikut ini. a. Pilihlah sebarang titik pada garis berarti ( ) b. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis , yang

dengan sendirinya juga tegak lurus pada pada garis . Seperti yang terlihat pada Gambar 4.5 di bawah ini.

Gambar 4.5. Bidang rata tegak lurus terhadap dua garis yang sejajar

c. Tentukan titik , titik adalah titik tembus garis pada .


d. Setelah titik di dapat maka carilah panjang dimana panjang ini adalah jarak antara garis dan garis . Seperti yang terlihat pada Gambar 4.5 di atas.

e. Mencari panjang dengan menggunakan persamaan jarak antara dua

titik yaitu: | | √( ) ( )

( )

2. Jika dan bersilangan, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan

mengikuti langkah-langkah berikut ini. a. Buat bidang rata yang melalui garis dan sejajar dengan garis .

Seperti yang terlihat pada gambar 4.6 di bawah ini.

Gambar 4.6. Bidang rata sejajar dengan garis lurus

b. Pilih sebarang titik pada garis . c. Tentukan jarak titik ke bidang , jarak ke bidang ini adalah jarak

antara garis dan garis . d. Untuk menghitung jarak titik ke bidang , kita menggunakan persamaan

jarak antara titik ke bidang rata yaitu

|

√ |

Masalah 4.12

Tentukan jarak antara garis lurus dan dibawah ini.

Penyelesaian


Pertama-tama kita perhatikan apakah kedua garis tersebut sejajar atau bersilangan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka kita menggunakan langkah yang pertama, dan jika tidak maka kita menggunakan langkah yang kedua. Perhatikan vektor arah kedua garis lurus tersebut, apakah sama atau tidak. Ternyata kedua garis

…(29)


tersebut memiliki vektor arah yang sama yaitu , -, berarti kedua garis tersebut sejajar. Karena maka kita menggunakan langkah yang pertama yaitu:

1. Pilihlah sebarang titik pada garis , berarti ( ) Titik ( ) yang terletak pada garis berarti ( ) .

2. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis yang juga akan tegak lurus dengan garis . Persamaan bidang rata yang melalui titik ( ) adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Karena bidang maka

sehingga di peroleh

, - , - , - , - Berarti dan , subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu ( ) ( ) …..(1)

3. Tentukan titik , titik adalah titik tembus garis pada . Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang rata adalah dengan menggunakan persamaan parameter garis lurus yaitu

{

{

…….(2)

Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai yaitu ( ) ( ) ( ) Subsitusikan nilai ke persamaan (2) sehingga diperoleh

{

( )

( )

Jadi titik adalah ( ). 4. Jarak antara titik ( ) ke titik ( ) adalah

| | √( ) ( )

( )

| | √( ) ( ) ( )

| | √( ) ( ) ( )

| | √

| | √

Jadi, jarak antara garis ke garis adalah √ satuan panjang.


Untuk memperdalam pemahaman anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik ( ) jika garis itu

berpotongan, berimpit dan sejajar? Serta tentukan titik potong garis-garis dan .

2. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus berikut sejajar, berimpit atau berpotongan. Jika kedua garis tersebut berpotongan maka tentukan titik potong kedua garis tersebut, serta tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut.

dan

dan

3. Selidiki apakah garis-garis , dan melalui satu titik? Titik manakah itu?

4. Diketahui titik ( ), ( ) dan adalah titik tengah . Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dan melalui .

5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis dan serta sejajar dengan garis !

6. Diketahui dan Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik potong dan serta tegak lurus !

7. Tentukan persamaan garis lurus yang mengapit sudut dengan sumbu arah positif dan melalui titik ( ).

8. Apabila adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis-garisn dan garis . Tentukan .

9. Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( ) dan mengapit sudut dengan garis .

10. Tentukan jarak titik ke garis , apabila diketahui: a. dan ( ) b. dan ( )

11. Tentukan jarak: a. Titik ( ) ke garis lurus b. Titik ( ) ke garis lurus ( ) ⁄ ⁄ ⁄ .

12. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus ini sejajar, dan hitung jaraknya:

dan

13. Tentukan jarak antara garis dan 14. Tentukan panjang semua garis tinggi dari segitiga yang mempunyai titik-titik

sudut ( ) ( ) dan ( ). 15. Tentukan sedemikian hinga jarak dari garis terhadap titik

( ) sama dengan 6.

Latihan 4


1. Kedudukan dua garis lurus di Bidang,

Jika garis sejajar dengan garis maka

Jika garis tegak lurus dengan garis maka

Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika dan .

Garis berpotongan dengan garis jika dan . 2. Kedudukan dua garis lurus di Ruang,

Jika garis sejajar dengan garis maka

Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika

dan

, -

Garis berpotongan dengan garis jika dan hanya jika

.

3. Persamaan garis lurus yang perpotongan dengan dua buah garis lurus di bidang adalah sedangkan persamaan garis lurus yang berpotongan dengan garis lain adalah dan .

4. Sudut antara dua buah garis lurus di bidang adalah

|

|

sedangkan sudut antara dua buah garis lurus di ruang adalah

4√

54√

5

5. Jarak sebuah titik ( ) ke garis adalah

|

√ |

Pilihlah suatu jawaban yang paling tepat, kemudian berilah alasan pemilihan

jawaban tersebut! 1. Diketahui titik ( ) dan titik ( ). Sebuah titik pada garis

, sehinga panjang . Titik adalah ….

A. .

/

B. .

/

C. .

/

D. .

/

2. Diketahui trapesium dengan ( ) ( ) dan ( ) sedangkan dan . Titik sudut adalah …. A. ( ) B. ( )

Tes Formatif 4

Rangkuman


C. ( ) D. ( )

3. Jarak antara titik ( ) dan garis adalah …. A. 3 C. 5

B. 4 D. √ 4. Jarak titik ( ) ke garis adalah ….

A. 2 C. 4 B. 3 D. 5

5. Persamaan garis yang melalui titik asal dan tegak lurus pada garis yang melalui titik-titik ( ) dan ( ) adalah …. A. B. C. D.

6. Garis tegak lurus dengan garis ….

7. Garis yang tegak lurus dengan sumbu adalah garis dengan persamaan …. A. B. C. D.

8. Persamaan garis yang melalui titik ( ) dan memotong tegak lurus pada sumbu adalah …. A. B. C. D.

9. Jarak garis dan garis adalah ...

A.

C.

B.

D.

10. Panjang normal dari garis adalah .... A. 14 C. 12 B. 13 D. 11


Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda? Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 4 yang terdapat pada akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 4. Rumus:


u a s a






1. B 6. D

2. A 7. A

3. A 8. D

4. B 9. C

5. C 10. B


MODUL 3

BIDANG RATA

Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3 ini terdiri atas 2 kegiatan belajar. Tujuan dari kedua kegiatan belajar ini adalah anda akan menentukan persamaan bidang rata dan sudut antara dua bidang rata, dan menghitung jarak titik dan garis ke bidang dan dua bidang.


KEGIATAN BELAJAR

5

PERSAMAAN BIDANG

Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan diketahui tiga buah titik pada bidang rata V. Untuk menentukan Persamaan Vektoris Bidang Rata V, Persamaan Linear Bidang Rata, Vektor Normal dari Bidang Rata dan Persamaan Normal Bidang Rata, maka lakukanlah kegiatan-kegiatan berikut ini. Kegiatan 5.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata V

Untuk menentukan persamaan vektoris bidang rata, pahami dan lakukan langkah-langkah berikut. 1. Misalkan diketahui tiga buah titik pada bidang rata yaitu titik ( )

( ) dan ( ). 2. Ambil sebarang titik ( ) yang berada pada bidang rata V, berarti titik

( ) . 3. Perhatikan Gambar 5.1 di bawah ini.


1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata

2. Menentukan persamaan linier bidang rata

3. Vektor normal dari bidang rata 𝑉 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝐶𝑧 𝐷

4. Persamaan normal bidang rata


4. Tentukan panjang | | | | | | | |.

5. Untuk setiap titik sebarang ( ) pada bidang rata maka berlaku

dimana dan merupakan parameter bidang rata dengan dan .

6. Terlihat jelas pada Gambar 5.1 bahwa 7. Apa kesimpulan yang dapat anda peroleh berdasarkan langkah 6 tersebut. Berdasarkan kegiatan 5.1 di atas, jika kita menemukan panjang

| | , -, | | , -,

| | , - dan | | , - . Pada langkah 6 kita menemukan suatu

persamaan , jika disubsitusikan persamaan ke

dalam persamaan sehingga diperoleh suatu persamaan vektoris bidang rata yang melalui tiga buah titik adalah , - , - , -

, - Kedua vektor dan di sebut vektor-vektor arah bidang ( setiap dua vektor yang tidak segaris pada bidang merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Secara umum:

Jika , - dan , - adalah vektor-vektor arah bidang rata , maka persamaan bidang rata melalui titik ( ) adalah:

, - , - , - , - , - , - Dengan dan Berdasarkan persamaan (2) diperoleh suatu persamaan parameter bidang rata adalah

…(1)

…(2)

…(3)

…(4)

…(5)


Kegiatan 5.2. Persamaan Linier Bidang Rata

Untuk menentukan persamaan linier bidang rata, lakukan langkah-langkah berikut. 1. Eliminasikan nilai dan nilai dari persamaan (3) dan persamaan (4) yang

telah kita temukan pada kegiatan 1. 2. Setelah di eliminasi nilai dan nilai , kita akan memperoleh nilai

|

|

3. Kemudian nilai dan nilai pada langkah 1, kita subsitusikan ke persamaan (5). 4. Dari prosedur di atas kita akan mendapatkan nilai dan nilai serta nilai . 5. Apa yang dapat anda simpulkan dari prosedur tersebut. Berdasarkan kegiatan 5.2 di atas, jika kita mengeliminasikan persamaan (3) dan (4) diperoleh:

( ) ( )

dimana

( ) ( )

Kita subsitusikan nilai dan ke persamaan (5) diperoleh: ( )

{( ) ( )

} {

( ) ( )

} ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) * +( ) ( )( ) ( )( ) * +( )

|

| ( )

|

| ( )

|

| ( )

Sehingga dapat kita peroleh suatu persamaan bidang rata yang melalui titik ( ) adalah

( ) ( ) ( ) Persamaan (6) di atas dapat kita tulis menjadi: , di mana = konstanta

…(6)


Sehingga diperolehlah suatu persamaan linier (umum) dari suatu bidang rata adalah

Kegiatan 5.3 Vektor Normal Bidang Rata

Kita sudah menemukan persamaan umum bidang rata adalah

Untuk membuktikan kebenaran bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan bidang rata, maka perhatikan langkah-langkah berikut: 1. kita tentukan sebarang titik, misalkan titiknya ( ) yang terletak pada

bidang tersebut. Sehingga diperoleh bahwa , maka .

2. Subsitusikan nilai ke persamaan umum bidang rata yaitu: ( ) ( ) ( ) ( )

3. Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( )

Jika hanya jika ( ) .( ) ( ) ( ) /

Hal ini berarti bahwa merupakan suatu vektor yang sudah tertentu

besar dan arahnya, sedangkan ( ) ( ) ( ) adalah vektor yang

berpangkal pada ( ) dan selalu tegak lurus vektor serta berubah arah tergantung posisi ( ). 4. Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah koordinat titik-titik yang terletak

pada bidang yang melalui titik ( ) dan tegak lurus

, yang selanjutnya disebut dengan normal bidang rata yang disimbolkan dengan . Perhatikan Gambar 5.2 di bawah ini.

Gambar 5.2

Kesimpulan yang dapat kita peroleh dari proses di atas adalah jika sebuah

bidang rata melalui ( ) dan mempunyai normal maka

persamaan bidang rata tersebut adalah

( ) ( ) ( )

5. Terbukti bahwa persamaan umum bidang rata adalah dengan vektor normalnya adalah , -

…(7)


Masalah 5.1 Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik ( ) ( )

dan ( )! Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Pertama kita cari persamaan vektoris bidang rata yaitu: , - , - , - , - , - , - , - , - Persamaan linier bidang rata adalah

|

| ( )

|

|

|

| ( )

|

|

|

| ( )

|

|

( )( ) ( )( ) ( ) Jadi, persamaan linier bidang rata adalah atau . Kedudukan Istimewa

Hal-hal khusus dari bidang rata . 1. Bila maka bidang rata dan bidang rata tersebut

melalui pusat koordinat ( ). Atau setiap bidang rata yang melalui titik ( ) akan berbentuk .

Masalah 5.2 Untuk Bidang Rata yang melalui titik ( ),

( ) dan ( ). Lukislah persamaan bidang rata tersebut ke dalam sistem koordinat kartesius. Penyelesaian:


Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, perhatikan langkah-langkah sebagai berikut.


(1) Pertama kita cari dulu persaman bidang rata yang melalui tiga titik tersebut dengan menggunakan persamaan 7 sehingga diperoleh persamaan bidang ratanya adalah .

(2) Kemudian kita buat gambar garis di bidang, seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini.

Gambar 5.3. Persamaan Garis lurus di Bidang

(3) Setelah kita melukis garis lurus di bidang baru kita memindahkan ke tiga garis

tersebut ke ruang, seperti yang terlihat pada gambar 5.4.

Gambar 5.4. Bidang Rata yang melalui titik asal

2. Apabila persamaan dapat ditulis menjadi

Misalkan

dan

, sehingga didapat sebuah persamaan

yaitu:


Yang mana memotong sumbu di ( ), sumbu di ( ), sumbu di ( ).

Masalah 5.3 Gambarkanlah Bidang rata .

Penyelesaian


Secara grafis bidang dapat disajikan yaitu dengan memotongkan bidang tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat, setiap dipotongkan dengan sebarang sumbu dianggap sumbu yang lain sama dengan nol (0). a. Titik potong dengan sumbu , jika adalah maka

Berarti titiknya ( ) b. Titik potong dengan sumbu , jika adalah maka

Berarti titiknya ( ) c. Titik potong dengan sumbu , jika dalah maka

Berarti titiknya ( ) Sehingga Gambar bidang rata tersebut adalah:

Gambar 5.5. Gambar Bidang Rata jika

3. Apabila berarti bidang rata sejajar dengan sumbu .

Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.6.


Gambar 5.6. Bidang Rata sejajar dengan sumbu

Apabila , berarti bidang rata sejajar dengan sumbu . Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.7.


Apabila , berarti bidang rata sejajar dengan sumbu . Hal itu dapat di lihat pada Gambar 5.8.



4. Apabila , berarti bidang rata sejajar dengan bidang

. Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.9.

Gambar 5.9. Bidang Rata sejajar dengan Bidang

Apabila , berarti bidang rata sejajar dengan bidang . Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.10.

Gambar 5.10. Bidang Rata sejajar dengan Bidang

Apabila , berarti bidang rata sejajar dengan bidang . Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.11.

Gambar 5.11. Bidang Rata sejajar dengan bidang


Berdasarkan persamaan (6) yang telah di peroleh kita dapat menentukan persamaan bidang rata yang melalui titik ( ). Untuk menentukan persamaan bidang rata yang melalui titik ( ), perhatikan langkah-langkah di bawah ini: 1. Buatlah persamaan bidang rata yang melalui titik ( ) yaitu:

( ) ( ) ( ) dengan

|

|

|

|

|

|

( )( ) ( )( ) ( )( ) , - , - ( ) , - ( )

2. Dengan adalah vektor posisi pada sebarang titik ( ) di diperoleh,

( ) dengan

( ) ( ) , - , - , - , - , -

|

|

3. Sehingga dapat di simpulkan bahwa persamaan bidang rata secara determinan yang melalui titik ( ) dan vektor arahnya , -

dan , - adalah

|

|

4. Dari persamaan di atas kita juga bisa menentukan persamaan bidang rata yang melalui tiga titik yaitu: Jika , - , -

dan , - , - maka secara determinan di peroleh suatu persamaan:

|

|

5. Sehingga dapat disimpulkan Persamaan Bidang Rata yang melalui tiga

titik yaitu ( ), ( ) dan ( ) adalah:

|

|

Sedangkan Jika empat buah titik ( ), ( ), ( ) dan ( ) akan sebidang (rata) jika dan hanya jika

…(10)

…(11)


|

|

Selanjutnya, perhatikan dan pahamilah masalah 5.4 berikut ini. Masalah 5.4 a. Tentukan persamaan melalui titik ( ), ( ), dan ( ) b. Selidiki apakah titik ( ) terletak pada bidang rata tersebut. Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. a. Untuk menentukan persamaan bidang rata yang melalui tiga titik, kita

menggunakan persamaan (11) yaitu:

|

|

|

|

|

|

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, persamaan bidang rata

b. Untuk menyelidiki apakah titik ( ) terletak pada bidang rata tersebut atau tidak, dengan cara mensubsitusikan titik tersebut kedalam bidang rata sehingga di peroleh suatu kesimpulan bahwa titik ( ) tidak berada pada bidang rata tersebut.

kegiatan 5.4. Persamaan Normal Bidang Rata

Untuk menentukan persamaan normal bidang rata, pahami langkah-langkah berikut ini. 1. Misalkan vektor normal bidang rata adalah

, -. Sudut antara vektor normal dengan sumbu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan dengan vektor dan ) adalah dan , sedangkan , dan disebut dengan cosinus-cosinus arah dari , seperti yang terlihat pada Gambar 5.12 di bawah ini.

…(12)


Gambar 5.12. sudut-sudut pada bidang rata

2. Berdasarkan Gambar 5.12 di atas, dapat terlihat jelas bahwa:

| || |

karena , - dan | |

| || |

karena , - dan | |

| || |

karena , - dan | |

| |

| |

| |

| |

| | )

Maka vektor , - adalah satuan searah . Persamaan (13) dapat juga kita namakan dengan vektor normal yang panjangnya satu.

3. Misalkan adalah jarak dari titik ( ) ke bidang rata , sedangkan adalah sudut-sudut arah yang tegak lurus terhadap bidang rata . Seperti yang terlihat pada Gambar 5.13.

Gambar 5.13. Titik ke bidang rata

…(13)


Kita ambil , - yang panjangnya sama dengan

√ , sebagai vektor normal satuan dari bidang rata . 4. Perhatikan , -. Proyeksi pada adalah

| | |, - , -| | | (harus positif atau ). Sehingga diperoleh suatu Persamaan Normal HESSE dari suatu Bidang Rata adalah Catatan : Bila bidang rata melalui ( ) maka Dapat disimpulkan bahwa persamaan normal bidang rata adalah

5. Untuk mengubah persamaan umum Bidang Rata ke bentuk normal adalah sebagai berikut: Hubungan antara bilangan arah dan cosinus arah adalah:

misalkan

Sehingga diperoleh suatu persamaan: dan

sedangkan ( ) maka di peroleh nilai,

√

√

√

√ dan

√

Tanda dipilih salah satu sehingga nilai bertanda positif. Masalah 5.5

Carilah persamaan normal dari bidang rata . Penyelesaian


Persamaan normal bidang rata adalah . Pertama kita cari dulu nilai dari masing-masing persamaan di atas, yaitu:

√

√

√

√

√

Jadi, diperoleh persamaan normal bidang rata adalah

√

√

√

√

…(14)


Untuk memperdalam pemahaman anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Terangkanlah hal-hal istimewa pada bidang rata berikut, serta berikan

gambarnya! a. b.

2. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier bidang rata yang melalui tiga titik: a. ( ) ( ) dan ( ) b. ( ) ( ) dan ( )

3. Tunjukkan apakah keempat titik ( ), ( ), ( ) dan ( ) sebidang, jika sebidang tentukan persamaan linier bidang rata?

4. Dari bidang-bidang berikut, carilah vektor normal dan persamaan normal bidang ratanya. a. b. c.

5. Carilah persamaan linier bidang rata , - , - , -

1. Persamaan umum Bidang Rata adalah

2. Persamaan bidang Rata yang melalui titik ( ) adalah

( ) ( ) ( )

3. Persamaan Bidang Rata secara determinan yang melalui titik ( ) dan

vektor arahnya , - dan , - adalah

|

|

4. Persamaan Bidang Rata yang melalui tiga titik yaitu ( ),

( ) dan ( ) adalah:

|

|

5. Empat buah titik ( ), ( ), ( ) dan ( ) akan

sebidang (rata) jika dan hanya jika

Latihan 5

Rangkuman


|

|

6. Bentuk normal bidang rata adalah

, -

7. Persamaan normal bidang rata adalah

Pilihlah suatu jawaban yang paling tepat, kemudian berilah alasan pemilihan jawaban tersebut! 1. Persamaan vektoris bidang rata yang melalui titik

( ) ( ) dan ( ) adalah …. A. , - , - , - , - B. , - , - , - , - C. , - , - , - , - D. , - , - , - , -

2. Persamaan linier bidang rata , - , - , - adalah …. A. B. C. D.

3. Tentukan persamaan parameter yang melalui titik ( ) ( ) dan ( ) adalah …. A. B. C. D.

4. Tentukan persamaan normal Bidang Rata adalah ….

√

√

√

√

√

√

√

√

5. Persamaan vektor normal dari bidang rata adalah ….

√

√

√

√

Tes Formatif 5


√

√

√

√

6. Vektor normal dari bidang adalah … A. , - B. , - C. , - D. , -

7. Persamaan bidang berikut ini yang sejajar dengan sumbu adalah … A. B. C. D.

8. Persamaan bidang rata berikiut ini yang tegak lurus pada bidang adalah … A. B. C. D.

9. Persamaan bidang rata yang melalui titik-titik ( ), ( ) dan ( ) adalah … A. B. C. D.

10. Persamaan bidang yang melalui ( ) dengan vektor normal , - adalah … A. B. C. D.

Bagaimana mengukur tingkat pengguasaan Anda? Cocokkanlah

jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 5 yang terdapat pada akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 5.


u a s a






1. D 6. A

2. A 7. B

3. A 8. C

4. B 9. C

5. A 10. C


KEGIATAN BELAJAR

6

SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA

Sebelumnya kita sudah mempelajari bentuk normal bidang rata dan

persamaan normal bidang rata. Sekarang kita akan membahas sudut antara dua bidang rata, dan kedudukan dua bidang rata, jarak sebuah titik ke bidang rata dan jarak antara dua bidang rata yang sejajar, garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata dan persamaan berkas bidang rata serta jaringan bidang rata. Untuk memahami materi tersebut perhatikan dan lakukanlah kegiatan-kegiatan di bawah ini.


1. Menentukan sudut antara dua bidang rata

2. Menentukan jarak sebuah titik dan sebuah bidang rata dan jarak antara

dua bidang rata yang sejajar

3. Menentukan persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang

rata

4. Menentukan persamaan berkas bidang rata dan jaringan bidang rata.


Kegiatan 6.1. Sudut antara dua bidang rata Sudut antara dua bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor normalnya.

Misalkan bidang-bidang dan , maka vektor normalnya adalah , - dan , -. Sudut antara dua bidang rata adala

| || |

, -, -

4√

54√

5

4√

54√

5

Masalah 6.1

Tentukan sudut antara bidang dan . Penyelesaian


Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan vektor normal bidang rata. Misalkan maka , - dan maka , -. Sudut antara dua bidang tersebut adalah

| || |

, -, -

4√

54√

5

, -, -

(√ )(√ )

( √ )(√ )

Jadi, dapat disimpulkan bahwa sudut antara dua buah bidang tersebut adalah .

Pada sub pokok bahasan ini, juga membahas mengenai Kedudukan Dua Buah Bidang Rata. Misalkan dan , maka vektor normalnya adalah , - dan , -. 1) Bila sejajar dengan maka vektor normal sama (atau kelipatan) dengan

vektor normal . Berarati maka , - , - dimana Atau dapat juga di tulis:

…(15)

…(16)


Masalah 6.2

Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik ( ) dan sejajar dengan bidang rata . Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat menggunakan persamaan (6) yaitu ( ) ( ) ( ) . Kita misalkan bidang rata ( ) ( ) ( ) …..(1) Maka vektor normal bidang rata tersebut adalah , -. Dan maka vektor normal , -. Subsitusikan titik ( ) kepersamaan (1) sehingga diperoleh, ( ) ( ) ( ) Karena maka , - , -, berarti , - , - Sehingga diperoleh suatu persamaan bidang rata dengan mensubtitusikan nilai parameter bidang rata yaitu dan yaitu

( ) ( ) ( )

Dapat disimpulkan, persamaan bidang rata yang melalui titik ( ) dan sejajar dengan bidang rata adalah . Selain cara di atas Anda juga bisa mencoba mencari persamaan bidang rata dengan menggunakan persamaan bidang rata yang lain yaitu , dengan cara mensubtitusikan titik tersebut kedalam persamaan bidang rata tersebut sehingga diperoleh nilai . 2) Apabila berlaku a maka bidang rata

berimpit. 3) Bila tegak lurus dengan maka vektor normalnya akan saling tegak lurus.

Berarti atau sehingga diperoleh suatu persamaan

Masalah 6.3 Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik ( ) dan ( ) serta tegak lurus terhadap bidang . Penyelesaian


Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita misalkan persamaan bidang rata ….. (1) dengan vektor normalnya , - dan dengan vektor normalnya , -. Langkah berikutnya kita subtitusikan kedua titik yang melalui bidang rata tersebut

…(17)


ke dalam persamaan bidang rata sehingga diperoleh suatu persamaan:

.….(2) …..(3)

Karena maka persamaan (2) menjadi …..(4) Pada permasalahan di atas, menyatakan bahwa bidang rata tegak lurus dengan bidang rata , berarti vektor normal

sehingga .

, - , - ….. (5)

Langkah selanjutnya, kita eliminasi persamaan (4) dan (5) di peroleh nilai

dan . Setelah itu, subtitusikan nilai

, dan ke

persamaan (1) diperoleh suatu persamaan bidang rata

. Jadi, persamaan bidang rata .

Kegiatan 6.2. Jarak Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Bagaimana menemukan persamaan jarak sebuah titik dan sebuah bidang rata? Serta jarak antara dua bidang sejajar? Untuk memperoleh persamaan jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang rata tersebut, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1. Misalkan persamaan bidang rata , dengan

adalah jarak titik ( ) ke bidang rata . Ambil sebarang titik ( ), dimana .

2. Untuk menentukan jarak titik ( ) ke bidang dengan cara membuat bidang rata melalui titik ( ) yang sejajar dengan . Berarti vektor normal dan sama. Seperti yang terlihat pada Gambar 6.1 di bawah ini.

Gambar 6.1. Bidang Rata sejajar dengan

3. Misalkan adalah jarak bidang rata dengan titik ( ) maka jarak

( ) ke adalah artinya (a) jika ( ) di antara ( )


di maka jarak ( ) ke adalah , dan (b) jika ( ) tidak di antara ( ) dan maka jarak ( ) ke adalah .

4. Akibat dari pernyataan no. 3 di peroleh suatu persamaan bidang rata . Karena titik ( ) pada berarti terpebuhi persamaan:

Atau Jadi, jarak sebuah titik ( ) ke bidang rata adalah

| |

5. Jika , maka jarak titik ( ) ke adalah

|

√ |

Masalah 6.4 Hitunglah jarak antara bidang rata dengan titik ( ). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan persoalan di atas, dengan menggunakan persamaan (15) yaitu:

|

√ |

Subtitusikan nilai dan titik ke dalam persamaan tersebut sehingga diperoleh,

|

√ ( ) |

|

√ |

|

|

Jadi, jarak titik ( ) ke bidang rata adalah 4.

Sedangkan untuk menentukan jarak antara dua bidang rata yang sejajar, maka perhatikan langkah-langkah berikut. 1. Misalkan dan 2. Jika bidang rata sejajar dengan bidang rata maka jarak antara dan

dapat dihitung dengan cara mencari sebuah titik pada , misalkan titiknya adalah ( ) Kemudian kita dapat menghitung jarak titik ( ) ke bidang rata .

…(18)

…(19)


3. Begitu juga sebaliknya jika kita mencari sebuah titik pada misalkan titiknya adalah ( ). Kemudian kita dapat menghitung jarak titik ( ) ke bidang rata .

4. Perlu diingat bahwa, jarak titik ( ) ke bidang rata dan jarak titik ( ) ke bidang rata , akan memiliki jarak yang sama, karena kedua bidang rata tersebut sejajar.

Masalah 6.5

Hitung jarak antara bidang rata dan bidang rata Penyelesaian


Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita buktikan apakah kedua bidang rata tersebut sejajar atau tidak? 1. Syarat dari bidang rata adalah memiliki vektor normal yang sama atau

. Perhatikan vektor normal kedua bidang rata yaitu , - dan , -, karena berarti .

2. Ambil sebarang titik pada bidang rata yaitu ( ). Subtitusikan titik tersebut ke bidang rata sehingga di peroleh nilai . Jadi, titik ( )

3. Kemudian carilah jarak titik ( ) ke bidang rata dengan menggunakan persamaan (19) yaitu:

|

√ |

Subtitusikan nilai dan ke dalam persamaan yaitu:

|

√ |

|

√ |

√ Jadi, jarak antara bidang rata dan bidang rata

adalah √ . Kegiatan 6.3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Sebelumnya Anda sudah mempelajari kegiatan 3 mengenai persamaan garis lurus di bidang dan di ruang. Sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengubah bentuk persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata ke bentuk umum . Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai perpotongan dua buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut.


Bagaimana cara mengubah bentuk persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata ke bentuk umum, perhatikan uraian kegiatan 6.4 di bawah ini. 1. Kita misalkan garis lurus adalah perpotongan dua buah bidang rata

dan seperti yang terlihat pada Gambar 6.2 di bawah ini.

Gambar 6.2. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Berdasarkan Gambar 6.2 di atas, maka bentuk persamaan garis lurus dapat di tulis menjadi:

2. Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, perhatikan Gambar 6.3 berikut:

Gambar 6.3. Vektor Normal Bidang Rata

3. Dari Gambar 6.3 di atas, terlihat vektor normal bidang rata adalah

, - dan , -. Jelas bahwa merupakan vektor arah dari garis adalah:

, - |

|

[|

| |

| |

|] …(20)


Untuk mempermudah kita menginggat persamaan di atas, dapat di tulis menjadi:

4. Untuk mengubah bentuk persamaan menjadi bentuk persamaan

umum garis lurus yaitu:

Dan menentukan koordinat titik ( ). 5. Untuk menentukan koordinat titik ( ), ambil sebarang titik pada garis

lurus. Biasanya titik yang diambil adalah titik potong dengan bidang berkoordinat, misalnya pada bidang maka , diperoleh persamaan:

6. Untuk mencari nilai dan dari persamaan di atas, dapat diselesaikan dengan menggunakan determinan atau dengan cara eliminasi dan subtitusi. Jika persamaan di atas diselesaikan dengan cara determinan dapat dilakukan dengan cara:

|

|

|

|

dan |

|

|

|

Jadi, diperoleh titik ( ). Masalah 6.6

Persamaan dan adalah persamaan-persamaan garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-bidang dan Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita cari vektor arah dari persamaan dan adalah:

Dimana |

|

|

|

|

|

Jadi, vektor arah garis lurus adalah , -

…(21)


Sekarang kita cari titik ( ) dengan cara determinan. Ambil maka diperoleh suatu persamaan dan .

|

|

|

|

|

|

|

|

Jadi, titik yang melalui garis lurus tersebut merupakan perpotongan ke dua buah bidang rata dan adalah ( ). Sehingga diperoleh persamaan garis lurus adalah , - , - , -. Kegiatan 6.4. Berkas Bidang Rata Dan Jaringan Bidang Rata

Bagaimana menemukan persamaan berkas bidang rata? Serta persamaan jaringan bidang rata? Untuk memperoleh persamaan berkas bidang rata dan jaringan bidang rata, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1. Misalkan ada 2 buah bidang rata berpotongan

dengan , maka perpotongannya berbentuk garis lurus seperti yang terlihat pada Gambar 6.4 di bawah ini.

Gambar. 6.4. Perpotongan Dua Buah Bidang Rata

2. Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi persamaan

, dimana dan adalah parameter. Persamaan di atas merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong dan bila , sehingga dapat kita tulis menjadi:

Jadi, persamaan berkas bidang melalui garis potong antara bidang rata dan adalah

…(22)


Jika bidang rata sejajar dengan bidang rata maka persamaan berkas bidang rata dapat di tulis menjadi: atau

Masalah 6.7 Carilah persamaan bidang yang melalui titik ( ) dan melalui garis potong bidang-bidang dan . Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita tentukan persamaan bidang rata dengan menggunakan persamaan (22) yaitu: ( ) ( ) ………….(1) Dari persamaan (1) kita kelompokkan berdasarkan variabelnya (variabel yana sama) seperti ( ) ( ) ( ) . Karena bidang rata melalui titik ( ) maka kita substitusikan titik tersebut ke persamaan ( ) ( ) sehingga diperoleh nilai . Setelah di peroleh nilai , kita subsitusikan ke persamaan (1) diperoleh persamaan

– . Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang rata adalah .

Sedangkan untuk memperoleh persamaan jaringan bidang rata perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1. Pandang bidang-bidang dan yang tidak melalui satu garis

lurus yang sama (bukan dalam satu berkas). Seperti yang terlihat pada Gambar 6.5.

Gambar 6.5. Perpotongan 3 buah Bidang Rata

…(23)


2. Bentuk yang menyatakan kumpulan bidang-bidang yang melalui titik potong ke 3 bidang tersebut. Pada Gambar 6.7 titik potong ke 3 bidang tersebut adalah titik . Dan kumpulan bidang-bidang tersebut disebut dengan jaringan bidang.

Masalah 6.8

Tentukan persamaan bidang rata yang sejajar dengan bidang dan melalui titik potong bidang-bidang dan . Penyelesaian


Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan memisalkan persamaan bidang rata subsitusikan ketiga bidang rata tersebut kepersamaan sehingga diperoleh suatu persamaan, ( ) ( ) ……..(1)

Karena bidang rata sejajar dengan bidang rata maka vektor normal bidang rata sama dengan vektor normal bidang rata yaitu , - , -. Sehingga diperoleh nilai dan . Nilai dan tersebut kita substitusikan ke persamaan (1) menjadi . Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang rata adalah .

Untuk memperdalam pemahaman anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Carilah persamaan bidang rata yang melalui titik:

a. ( ) ( ) dan tegak lurus dengan bidang rata b. ( ) dan tegak lurus dengan kedua bidang rata

dan . 2. Tentukan jarak:

a. Titik ( ) ke bidang rata b. Titik ( ) ke bidang rata c. Antara dua bidang rata dan bidang rata

. 3. Tentukanlah persamaan bidang rata yang sejajar dengan bidang rata

berjarak dari titik ( ) 4. Tentukanlah persamaan bidang rata yang melalui titik potong bidang-bidang

, dan dan sejajar dengan bidang rata .

Latihan 6


5. Tentukan sudut antara bidang dengan bidang

6. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui garis potong bidang rata dan serta tegak lurus dengan bidang rata .

1. Sudut antara dua buah bidang rata adalah

| || |

, -, -

4√

54√

5

2. Jarak titik ( ) ke bidang rata adalah

|

√ |

3. Jika sejajar dengan maka vektor normal sehingga diperoleh suatu persamaan , - , - dimana

4. Jika tegak lurus dengan maka vektor normal sehingga diperoleh suatu persamaan,

, - , - atau 5. Persamaan berkas bidang rata adalah

6. Persamaan jaringan bidang rata adalah


jawaban tersebut! 1. Sudut antara bidang rata dan bidang rata

adalah …. A. 1 B. 0 C. Tidak terdefenisi D.

2. Persamaan bidang rata yang melalui titik ( ) dan sejajar bidang rata adalah …. A. B. C. D.

3. Persamaan bidang rata yang sejajar dengan bidang rata dan berjarak 4 dari titik adalah ….

Tes Formatif 6

Rangkuman


A. B. C. D.

4. Jarak titik ( ) ke bidang rata adalah ….

√

√

. √

5. Jarak bidang rata dan bidang rata adalah ….

√

6. Persamaan bidang rata yang melalui garis potong bidang-bidang rata dan serta titik ( ) adalah …. A. B. C. D.

7. Jarak antara titik ( ) ke bidang rata adalah ….

8. Persamaan bidang rata yang melalui titik ( ) dan ( ) serta tegak lurus dengan bidang rata adalah A. B. C. D.

9. Jarak antara bidang rata dengan bidang rata adalah ….


10. Persamaan linier bidang rata yang melalui titik ( ) dan tegak lurus dengan garis lurus , - , - adalah …. A. B. C. D.




u a s a






1. D 6. C

2. B 7. A

3. C 8. A

4. B 9. B

5. A 10. C


MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

Sumber: www.google.co.id

Gambar 4. Benda berbentuk lingkaran dan bola

Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran. Contohnya gambar di atas, yaitu bola, ban, cd, cincin dan masih banyak lagi. Benda-benda tersebut adalah benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran. Dalam matematika, lingkaran didefinisikan

http://www.google.co.id/


sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar XY) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Bola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (pada bidang XYZ).

Pada bab ini terdiri atas 3 kegiatan belajar. Tujuan dari ke tiga kegiatan belajar ini adalah anda akan merumuskan persamaan lingkaran dan bola, bentuk umum persamaan lingkaran dan bola, menentukan garis singgung lingkaran dan menentukan bidang singgung bola.


KEGIATAN BELAJAR

7

PERSAMAAN

LINGKARAN DAN BOLA

Dalam kehidupan sehari-hari, tentu Anda banyak sekali melihat atau

menemukan bangun-bangun yang permukaanya berbentuk lingkaran, bola, dan sebagainya. Coba Anda catat bangun-bangun apa saja yang permukaannya berbentuk lingkaran, bukan lingkaran, bola dan bukan bola. Pelajari ciri-ciri apa saja yang Anda temukan pada bangun-bangun yang termasuk lingkaran dan bola.

Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan lingkaran dan bola.

A. Menentukan Persamaan Lingkaran Ilustrasi 7.1:

Anda tentu sangat mengenal sekali benda yang bernama sepeda. Sepeda merupakan salah satu alat transportasi yang memanfaatkan bangun berbentuk lingkaran untuk bergerak. Bangun lingkaran pada sepeda diantaranya terdapat pada roda depan, roda belakang, roda-roda gigi depan dan belakang. Perhatikan gambar sepeda di bawah ini (Gambar 7.1).


mampu menentukan persamaan lingkaran dan bola


Sumber: www.google.co.id Gambar 7.1 sepeda balap

Lingkaran-lingkaran tersebut mempunyai ukuran dan letak yang berbeda-

beda. Ukuran lingkaran ditentukan oleh panjang jari-jarinya sedangkan letaknya ditentukan oleh posisi titik pusatnya. Definisi 1:

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran (radius).

Sekarang kita pindahkan gambar roda sepeda (Gambar 7.1) pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 7.2 di bawah ini.


Gambar 7.2 roda sepeda balap dan lingkaran pada koordinat cartesius

Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan lingkarannya? Untuk menentukan persamaan lingkaran berdasarkan panjang jari-jari dan letak titik pusatnya, lakukanlah kegiatan berikut ini.




Kegiatan 7.1 Menentukan Persamaan lingkaran dengan pusat ( ) Langkah-langkahnya:

1. Gambarkan sebuah lingkaran dengan mengambil titik pusat di sebarang titik selain titik ( ) (beri nama titik tersebut yaitu titik ( )) dan jari-jarinya .

2. Kemudian buatlah sebuah titik sebarang pada lingkaran tersebut, misalkan

( ). Jarak antara titik T dan titik P adalah √( ) ( ) . 3. Karena jarak titik T dan titik P merupakan jari-jari lingkaran yaitu , maka

diperoleh hubungan yaitu √( ) ( ) atau

( ) ( ) Karena ( ) sebarang titik pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran tersebut memenuhi persamaan (1). Sehingga diperoleh persamaan (1) adalah kumpulan titik itu membentuk persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( ) dengan jari-jari satuan. Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat lingkaran ( ) adalah ( ), maka persamaan (1) menjadi:

( ) ( ) sehingga diperoleh persamaan

Persamaan (2) merupakan persamaan lingkaran dengan pusat ( ) dan jari-jari . Cara lain dalam menemukan konsep persamaan lingkaran yang berpusat ( ) yaitu dengan menggunakan rumus translasi sumbu koordinat seperti yang terlihat pada Gambar 7.3 di bawah ini.

Gambar 7.3. Translasi (0,0) (a,b)

Menemukan hubungan antara dan serta dan . Garis , adalah sumbu baru sejajar sumbu lama dan melalui ( ). Dengan menggeser titik pusat ( ) ke titik ( ), maka didapat hubungan bahwa:

…(1)

…(2)


(

) . / .

/ .

/ (

) .

/

Terhadap sistem , maka persamaa lingkaran ( ) yang oleh sistem dinyatakan dengan ( ) dan jari-jari adalah ( ) ( ) yang jika dinyatakan dalam susunan sistem menjadi:

( ) ( ) Jika diganti dengan dan diganti dengan maka persamaan di atas sama

dengan bentuk pada persamaan (1) yaitu ( ) ( ) . Masalah 7.1

Tentukan koordinat pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari persamaan akan dibentuk menjadi persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) yaitu ( ) ( ) . Maka persamaan dibagi 4 pada kedua ruas sehingga

diperoleh

.

Selanjutnya

dijadikan kuadran sempurna yaitu

Sehingga diperoleh .

/ ( )

Jadi koordinat pusat lingkaran adalah .

/ dan jari-jari adalah 3.

Setelah memahami persamaan lingkaran di atas, sekarang Anda lanjutkan untuk memahami materi bola di bawah ini. B. Menentukan Persamaan Bola Ilustrasi 7.2:

Mungkin Anda tidak asing dengan benda yang namanya bola. Benda yang berbentuk bola ini sering Anda gunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dalam permainan basket, voly, sepak bola, golf, kasti, dan lain sebagainya. Bola memiliki ukuran yang berbeda-beda tergantung jenis permainannya. Perhatikan Gambar bola di bawah ini.



Gambar 7.4 Bola Sesuai dengan namanya, bola termasuk bangun ruang. Tahukah Anda apa itu bola? Definisi 2: Bola (permukaan bola) adalah himpunan titik-titik di ruang dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut dengan jari-jari bola sedangkan titik tertentu itu dinamakan dengan titik pusat bola. Definisi 3: Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik ujung vektor di dalam ruang yang titik pangkalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik pangkal tertentu itu disebut titik pusat bola, dan panjang vektor yang konstan itu disebut jari-jari bola. Sekarang kita pidahkan gambar bola tersebut pada Koordinat Cartesius tiga dimensi. Seperti yang terlihat pada (Gambar 7.5) di bawah ini. Sumber: www.google.co.id

Gambar 7.5 bola sepak dan bola pada sistem koordinat Tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan bola jika unsur-unsur

bolanya diketahui? Untuk menentukan persamaan bola dengan pusat ( ) lakukanlah kegiatan 7.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Kegiatan 7.2 Menentukan Persamaan bola dengan pusat ( ) Langkah-langkahnya:



http://1.bp.blogspot.com/-Bnm76XDe1Ec/U3Q9VqNmOHI/AAAAAAAAKOY/j5W348QxWF8/s1600/bola.png







1. Gambarkan sebuah bola pada ruang dimensi tiga, dengan titik pusat ( ) dan jari-jari .

2. Ambil atau buat sebuah titik sebarang ( ) pada permukaan bola tersebut.

Gambar 7.6 Bola pada sistem koordinat

3. Vektor ⟨ ⟩ dengan ,

| | ⟨ ⟩ Kemudian kuadratkan vektor tersebut, sehingga persamaannya menjadi

| | √( ) ( ) ( )

| | jari jari bola

atau ( ) ( ) ( )

4. Karena ( ) adalah sebarang titik pada permukaan bola, maka persamaan ( ) ( ) ( ) merupakan persamaan bola dengan pusat ( ) dan jari-jari = .

Persamaan bola dengan pusat ( ) dan jari-jari = adalah

( ) ( ) ( ) Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat persamaan bola

( ) ( ) ( ) adalah titik pangkal ( ), maka persamaan itu menjadi:

( ) ( ) ( ) atau

Sehingga persamaan (4) merupakan persamaan bola dengan pusat ( ) dan jari-jari = . Masalah 7.2 Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik (1,2,3) dan melalui titik (2,4,1). Penyelesaian

…(3)

…(4)


Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Jari-jari bola adalah jarak dua titik yang diketahui tersebut, yaitu

√( ) ( ) ( ) √ Dari kegiatan 7.4 diketahui bahwa persamaan bola yaitu

( ) ( ) ( ) Selanjutnya dengan menggunakan persamaan tersebut substitusikan jari-jari 3 dan titik pusat (1,2,3) sehingga diperoleh

( ) ( ) ( ) Sehingga diperoleh persamaan bola yaitu

( ) ( ) ( ) Setelah memahami persamaan lingkaran dan persamaan bola di atas, kita

lanjutkan materi selanjutnya, yaitu bentuk umum persamaan lingkaran dan bola. C. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan bola jika unsur-unsur bolanya diketahui? Untuk menentukan persamaan bola dengan pusat ( ) lakukanlah kegiatan 7.3 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Kegiatan 7.3. Menentukan persamaan umum lingkaran

Langkah-langkahnya: 1. Tulis kembali bentuk persamaan lingkaran pada kegiatan 9.1 yang berpusat di

( ) yang telah dilakukan, yaitu ( ) ( )

2. Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh

3. kemudian semua variabel dipindahkan ke ruas kiri sehingga diperoleh persamaan

4. dengan memisalkan persamaan di atas dengan dan

atau

√(

)

(

)

Sehingga diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran adalah

Dengan pusat di .

/ dan jari-jari √.

/

.

/

Sehingga diperoleh √

Dari persamaan (5) dan jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga kemungkinan, yaitu:

…(3)


1. Jika

atau

, maka lingkaran itu dinamakan

lingkaran nyata (sejati).

2. Jika

atau

, maka lingkaran itu disebut

lingkaran khayal.

3. Jika

atau

, maka lingkaran itu disebut

lingkaran titik. Jadi, lingkaran titik adalah lingkaran yang mempunyai jari-jari .

Masalah 7.3:

Jika diketahui tiga buah titik ( ) ( ) dan ( ) yang tidak segaris pada suatu persamaan umum lingkaran, yaitu

yang mengandung tiga parameter yaitu dan , bagaimanakah bentuk persamaan lingkaran tersebut?

Gambar 7.7. Lingkaran Yang Melalui Tiga Buah Titik

Penyelesaian


untuk menentukan persamaan umum lingkaran tersebut dapat digunakan cara determinan dan cara subsitusi-eliminasi. Misalkan tiga buah titik ( ) ( ) dan ( ) yang tidak segaris pada suatu persamaan umum lingkaran, yaitu

yang mengandung tiga parameter yaitu dan .


a. Dengan cara Determinan Secara determinan menentukan persamaan lingkaran yang melalui ke tiga

titik dengan menggunakan rumus di bawah ini.

||

||

Substitusikan nilai ( ) ( ) dan( ) ke dalam persamaan (6) dan cari determinan dari L tersebut menggunakan ekspansi kofaktor.

b. Dengan cara Substitusi-eliminasi Misalkan bentuk umum persamaan lingkaran yang akan ditentukan:

( ) pada , berarti:

……(7.1)

( ) pada , berarti:

……(7.2) ( ) pada , berarti:

……(7.3)

Dari persamaan (7.1), (7.2), dan (7.3), tentukan nilai dan . Atau dengan menggunakan persamaan lingkaran yaitu:

( ) ( )

Dimana ( ) begitu juga sebaliknya untuk ( ) . ( ) pada , berarti: ( ) ( ) ……(8.1) ( ) pada , berarti: ( ) ( ) ……(8.2) ( ) pada , berarti: ( ) ( ) ……(8.3)

Dengan mensubstitusi nilai ( ) pada persamaan (8.1), nilai ( ) pada

persamaan (8.2), dan nilai ( ) pada persamaan (8.3) maka diperoleh nilai dan . Setelah memperoleh nilai dan maka substitusi dan ke persamaan (8), selanjutnya persamaan (8) dijabarkan sehingga terbentuk persamaan umum lingkaran seperti persamaan (7).

Setelah memahami materi di atas, selesaikanlah masalah 7.3 dengan

menggunakan cara determinan dan eliminasi-substitusi dengan teman Anda. Buatlah dikertas kegiatan Anda.

D. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Bola

Untuk menentukan bentuk umum bola lakukanlah kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 7.4. Menentukan persamaan umum bola Langkah-langkahnya: 1. Tulis kembali bentuk persamaan bola pada kegiatan 1.2 yang berpusat di

( ) yang telah dilakukan, yaitu ( ) ( ) ( )

2. Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh

…(6)

…(7)

…(8)


3. Kemudian dimisalkan

dan Maka persamaan bola tersebut dapat ditulis menjadi,

Dari bentuk umum persamaan bola tersebut maka dapat disimpulkan bahwa

persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam dan dengan ciri-ciri sebagai berikut a. Tidak memuat suku-suku , atau b. Koefisien-koefisien selalu sama.

Selanjutnya, akan ditentukan koordinat titik pusat dan jari-jari dari bola dari

persamaan . Persamaan ini diubah dalam bentuk kuadrat sempurna dari , dan sebagai berikut:

.

/ .

/ .

/

Selanjutnya, persamaan tersebut dijadikan ke dalam bentuk

(

)

(

)

(

)

Persamaan di atas sama bentuknya dengan persamaan bola yang telah diperoleh pada kegiatan 1.2, dari persamaan tersebut diperoleh titik pusat bola yaitu

.

/ dan jari-jarinya adalah √

.

atau Dari persamaan umum bola , dengan

, , dan , maka diperoleh

,

, dan

. Berarti pusat bola itu adalah

( ) (

)

Kemudian , atau

.

/

.

/

.

/

Maka √

, ini merupakan rumus untuk menghitung jari-

jari bola. Dari persamaan dan jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga kemungkinan, yaitu:

(i) Jika

maka . Kondisi ini memperlihatkan bentuk

bola yang disebut bola nyata (sejati).

…(9)


(ii) Jika

, maka . Kondisi ini memperlihatkan bentuk

bola yang disebut dengan bola titik.

(iii) Jika

, maka imajiner. Kondisi ini memperlihatkan

bentuk bola yang disebut dengan bola khayal (imajiner). Masalah 7.4:

Jika diketahui tiga buah titik ( ) ( ) ( ) dan ( ) yang tidak sebidang pada suatu persamaan umum bola, yaitu

yang mengandung empat parameter yaitu , dan D bagaimanakah bentuk persamaan bola tersebut?. Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. untuk menentukan persamaan umum bola tersebut dapat digunakan cara determinan dan cara subsitusi-eliminasi.

Misalkan empat buah titik yaitu ( ), ( ), ( ) dan ( ) yang tidak sebidang. Maka persamaan bola tersebut dapat dicari dengan menggunakan cara di bawah ini.

a. Dengan cara determinan Secara determinan menentukan persamaan bola yang melalui ke empat

titik dengan menggunakan rumus di bawah ini.

|

|

|

|

Substitusikan nilai ( ), ( ), ( ) dan ( ) ke dalam persamaan (9) dan cari determinan dari S tersebut menggunakan ekspansi kofaktor.

b. Dengan eliminasi atau subsitusi-eliminasi Misalkan bentuk umum persamaan bola yang akan ditentukan:

.........(10) ( ) pada , berarti:

…(1 .1)

( ) pada , berarti:

…(1 .2) ( ) pada , berarti:

…(1 .3)

( ) pada , berarti:

…(1 .4) Dari persamaan (10.1), (10.2), dan (10.3), tentukan nilai dan . Atau

…(10)


dengan menggunakan persamaan bola yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) pada , berarti:( ) ( ) ( ) ..(11.1) ( ) pada , berarti: ( ) ( ) ( ) ..(11.2) ( ) pada , berarti:( ) ( ) ( ) .(11.3) Dengan mensubstitusi nilai ( ) pada persamaan (11.1), nilai ( ) pada persamaan (11.2), dan nilai ( ) pada persamaan (11.3) maka diperoleh nilai dan . Setelah memperoleh nilai dan maka substitusi dan ke persamaan (11), selanjutnya persamaan (11) dijabarkan sehingga terbentuk persamaan umum lingkaran seperti persamaan (10).

Setelah memahami materi di atas, selesaikanlah masalah 7.4 dengan menggunakan cara determinan dan eliminasi-substitusi dengan teman Anda. Buatlah dikertas kegiatan Anda.

Setelah Anda memahami materi yang diuraikan pada kegiatan 7.1, kegiatan 7.2, kegiatan 7.3, kegiatan 7.4, dan masalah 7.1 sampai masalah 7.4 di atas, maka lanjutkan dengan mengerjakan soal latihan 7 di bawah ini. 1. Tentukanlah persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 5 2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat ( )) dan jari-jari 2 3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( ) dan melalui titik

( ) 4. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari lingkaran

. 5. Tentukan persamaan dan pusat lingkaran yang pusatnya terletak pada:

a. Kuadran I, menyinggung sb dan sb , yang berjari-jari . b. Kuadran III, menyinggung sb dan sb , yang berjari-jari . c. Yang pusatnya pada sb , berjari-jari 4, dan melalui titik pangkal.

6. Tentukan persamaan bola yang berpusat (-6,2,-3) dan jari-jarinya 2. 7. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan

8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik ( ), ( ) dan ( ). 9. Tentukan pusat dan jari-jari bola dengan persamaan

10. Tentukan persamaan dan pusat bola yang pusatnya terletak pada:

a. Oktan III, jari-jari , menyinggung ke tiga bidang koordinat. b. Oktan VI, jari-jari , menyinggung ke tiga bidang koordinat.

Latihan 7

…(11)


c. Oktan VIII, jari-jari , menyinggung ke tiga bidang koordinat. 1. Lingkaran adalah himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak

tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

2. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) adalah

3. Persamaan lingkaran dengan pusat ( ) dan berjari-jari r adalah

( ) ( ) 4. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah

dengan pusat di .

/ dan

jari-jari √.

/

.

/

5. Bola adalah himpunan titik-titik di ruang dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut jari-jari bola dan titik tertentu itu disebut titik pusat bola. Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik ujung vektor di dalam ruang yang titik pangkalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik pangkal tertentu itu disebut titik pusat bola, dan panjang vektor yang konstan itu disebut jari-jari bola.

6. Persamaan bola dengan pusat (0,0,0) adalah

7. Persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (a,b,c) adalah

( ) ( ) ( ) 8. Bentuk umum persamaan bola adalah

dengan titik pusat bola yaitu .

/ dan jari-jarinya adalah

√

.

Pilihlah satu jawaban yang tepat untuk setiap pertanyaan di bawah ini. 1. Lingkaran berikut ini yang berjari-jari 4 adalah ….

A. B. C. D.

2. Lingkaran berikut ini yang bertitik pusat di titik (1,-5) adalah ….

Tes Formatif 7

Rangkuman


A. B. C. D.

3. Persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1,-2) dan melalui titik (4,2) adalah …. A. ( ) ( ) B. ( ) ( ) C. ( ) ( ) D. ( ) ( )

4. Jari-jari lingkaran adalah ….

A.

B.

C.

D.

5. Persamaan lingkaran yang melalui ( ), ( ) dan ( ) adalah …. A. B. C. D.

6. Persamaan bola yang berpusat di ( ) dan berjari-jari adalah …. A. ( ) B. C. ( ) D. ( )

7. Persamaan bola yang berjari-jari 3 dan menyinggung bidang di titik ( ) adalah … A. ( ) B. ( ) ( ) ( ) C. ( ) ( ) ( ) D. ( ) ( )

8. Titik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan adalah …. A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

9. Titik pusat dan jari-jari bola dari persamaan bola adalah …. A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

10. Persamaan bola yang diameternya merupakan ruas garis yang menghubungkan titik-titik (5,-2,4) dan (3,0,2) adalah A. ( ) ( ) ( )


B. ( ) ( ) ( ) C. ( ) ( ) D. ( ) ( ) ( )


Tes Formatif Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar. Rumus:

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali 80% - 89% = baik 70% - 79% = cukup < 70% = kurang


penguasaan Anda mencapai tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 8. Bagus!!! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi lagi kegiatan belajar 7, ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.


1. C 6. A

2. B 7. C

3. C 8. B

4. A 9. B

5. C 10. D


KEGIATAN BELAJAR

8

GARIS SINGGUNG

LINGKARAN

Pernahkah Anda memperhatikan suatu benda yang berbentuk lingkaran yang berada pada suatu daerah datar seperti yang terlihat pada gambar 8.1 di bawah ini?


Gambar 8.1 lingkaran menyinggung suatu daerah datar

Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu

menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran.



Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan garis

singgung lingkaran bergradien , persamaan garis singgung melalui titik ( ) pada lingkaran, dan persamaan garis singgung melalui titik ( ) di luar lingkaran. Jika Gambar 8.1 di atas kita pindahkan gambar lingkaran yang menyinggung suatu daerah datar pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 8.2 di bawah ini.

Gambar 8.2 lingkaran dengan pusat ( ) jari-jari dan

Menyinggung garis

Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut? A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di ( ) dan

( ) bergradien . Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0)

dan ( ) bergradien lakukanlah kegiatan 8.1 dan perhatikan Gambar 8.3 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.


Gambar 8.3 lingkaran dengan pusat ( ) jari-jari dan sebuah garis di luarnya

Kegiatan 8.1. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (0,0) Langkah-langkahnya: 1. potonglah antara lingkaran dan garis sebagai berikut.

2.

} dipotongkan

3. Subsitusikan garis ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh:

( ) ( )

4. Persamaan (13) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel . Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (12) mempunyai nilai:

Diskriminan ( ) positif atau , diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis memotong lingkaran pada dua titik.

, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis tidak memotong lingkaran atau garis berada di luar lingkaran.

, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis menyinggung lingkaran pada suatu titik.

5. Agar garis menyinggung lingkaran , maka ambil , yaitu:

( ) ( )( )

( )

( )

√ Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien atau yang sejajar dengan garis memiliki dua buah garis singgung yaitu:

√ √

Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) dengan gradien . Geser titik pusat lingkaran ( ) ke titik ( ).

Akibatnya persamaan garis singgung √ bergeser menjadi

( ) √ atau ( ) ( √ )

…(12)

…(13)


Dan persamaan garis singgung √ bergeser menjadi

( ) √ atau ( ) ( √ ). Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran

( ) ( ) dengan gradien atau yang sejajar dengan garis memiliki dua buah garis singgung yaitu:

( ) √ ( ) √ Masalah 8.1 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang sejajar dengan sumbu . Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok Anda dari hasil temuan di bawah ini. Coba Anda perhatikan dan pahami, serta adakah Anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok Anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita misalkan persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah (karena sejajar dengan sumbu ), maka substitusikan persamaan ke persamaan lingkaran sehingga didapat: atau . Karena garis tersebut menyinggung lingkaran maka , akibatnya

( )

Maka atau Jadi persamaan garis singgung lingkaran adalah dan B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik ( ) Pada

Lingkaran yang berpusat di ( ) dan ( ) Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0)

dan ( ) yang melalui titik ( ) lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Kegiatan 8.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0) 1. Misalkan persamaan lingkaran dan titik ( ) dan ( )

yang terletak pada lingkaran. 2. Sehingga persamaan garis BC adalah

( )

3. Karena titik ( ) dan ( ) berada pada lingkaran maka berlaku persamaan berikut

…(14)

…(15)


Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan

atau

(

)

( )( ) ( )( )

4. Subsitusikan persamaan (16) ke persamaan (15) sehingga diperoleh:

( )

( )

5. Apabila titik ( ) bergerak mendekati titik ( ), sehingga titik ( ) dan ( ) berimpit, dan garis akan menjadi garis singgung lingkaran di titik ( ), akibatnya dan . Sehingga persamaan (18) menjadi:

( )

( )( )

( ) (kalikan semuanya dengan )

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada lingkaran adalah:

Perhatikan perubahan persamaan lingkaran menjadi:

kita menggunakan kaidah membagi adil. Kaidah Membagi Adil:

Digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik ( ). Penerapannya dengan cara mengubah variabel pada persamaan lingkaran dengan aturan sebagai berikut: diubah menjadi diubah menjadi ( ) diubah menjadi ( )( ) ( ) diubah menjadi ( )( )

diubah menjadi

( )

diubah menjadi

( )

Caranya dengan prinsip translasi yaitu dengan menggeser pusat lingkaran ( ) ke ( ) seperti yang terlihat pada Gambar 8.4 di bawah ini.

…(16)

…(17)

…(18)


Gambar 8.4 Tranlasi ( ) ke ( )

Maka persamaan garis singgung atau ( )( ) ( )( ) berubah menjadi: ( )( ) ( )( ) Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran ( ) ( ) dengan titik singgung ( ) adalah: ( )( ) ( )( ) Dengan menggunakan Kaidah Membagi Adil yang tertera di atas, maka persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada lingkaran

adalah:

( )

( )

Masalah 8.2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik ( ). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok Anda dari hasil temuan di bawah ini. Coba Anda perhatikan dan pahami, serta adakah Anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok Anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan cara:

.

/ berarti peusat lingkaran adalah ( ) sedangkan jari-jari

lingkaran adalah:

√

√ ( ) ( )

√ maka . Jadi jari-jari lingkaran adalah .

…(19)

…(20)


Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat ( ) adalah ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Jadi, persamaan garius singgung lingkaran adalah . C. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik ( ) di Luar

Lingkaran Agar dapat menentukan persamaan garis singgung melalui titik ( ) di

luar lingkaran, maka diskusikan kegiatan 8.3 dengan teman Anda.

Kegiatan 8.3. Menentukan Kuasa Titik ( ) Terhadap Lingkaran

Jika titik ( ) terletak di luar lingkaran yang berpusat di ( ) seperti yang terlihat pada Gambar 8.5 di bawah ini:

Gambar 8.5 Titik di Luar Lingkaran

Persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut denagn langkah-langkahnya adalah: 1. Titik ( ) berada di luar lingkaran . 2. Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran yaitu dan . Garis

menyinggung lingkaran di ( ); garis menyinggung lingkaran di ( ). Jadi, titik merupakan titik potong garis singgung dan .

3. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu . Titik ( ) pada , sehingga diperoleh . Itu berarti ( ) pada garis ….(1)


4. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung diperoleh . Itu berarti ( ) pada persamaan ….(2)

5. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis (garis penghubung antara titik dan ) yaitu , yang juga di sebut garis kutub atau garis polar dari titik ( ) terhadap lingkaran adalah

Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1. Persamaan garis kutub (polar) dari titik ( ) terhadap lingkaran

( ) ( ) adalah ( )( ) ( )( )

2. Persamaan garis kutub (polar) dari titik ( ) terhadap lingkaran

adalah

Kegiatan 8.4. Menentukan persamaan garis singgung dari titik ( ) di luar lingkaran baik yang berpusat di ( ) maupun yang berpusat di ( ) diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Membuat garis kutub (polar) dari titik terhadap lingkaran. 2. Mencari koordinat titik potong garis kutub dengan lingkaran. 3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis kutub

(polar) dan lingkaran tersebut. Masalah 8.3 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang dapat ditarik dari titik ( ). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok Anda dari hasil temuan di bawah ini. Coba Anda perhatikan dan pahami, serta adakah Anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok Anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita ikuti langkah-langkah yang ada pada kegiatan 8.4 adalah sebagai berikut: 1. Pertama sekali kita buat persamaan garis polar lingkaran. Pusat lingkaran

adalah ( ) maka persamaan garis polarnya adalah sehingga diperoleh,

….(1) 2. Kemudian substitusikan persamaan (1) ke persamaan lingkaran

sehingga diperoleh, ( )

…(21)

…(22)

…(23)


( )( ) dan Kemudian substitusikan nilai dan ke persamaan (1) sehingga diperoleh nilai dan . Jadi titik koordinat titik potong garis polar dengan lingkaran adalah ( ) dan ( ).

3. Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik ( ) adalah , dan Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik ( ) adalah .

D. Kuasa Lingkaran Masalah 8.4

Roda telah digunakan dalam transportasi selama lebih dari lima tahun, kendaraan pertama pribadi praktis dengan menggunakan roda yaitu sepeda, ditemukan lebih dari seratus tahun yang lalu. Sepeda moderen adalah salah satu transportasi yang paling efisien, dengan jumlah energi yang diperlukan untuk membawa sejumlah berat. Untuk mencegah rangka sepeda goyang, maka posisi titik temu rangka harus diperhitungkan dengan tepat dan memperhatikan posisi roda pula.

Bidang olah raga juga menggunakan konsep kuasa lingkaran untuk memperhitungkan posisi pemain untuk melakukan lemparan, tendang dan lainnya. Contohnya dalam kasus berikut: Misalkan seorang pemain bola berlari di garis sisi lapangan dan dia ingin melepaskan tendangan. Pada posisi mana seharusnya dia menendang sehingga memberikannya kesempatan terbaik menggolkannya.

Permasalahan di atas adalah menentukan titik pada garis sisi lapangan sehingga memaksimumkan sudut terhadap garis gawang. Diilustrasikan pada Gambar 8.6 di bawah ini:

Gambar 8.6 titik pada garis sisi lapangan

E. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran Definisi 2.1:

Misalkan persamaan lingkaran ( ) dan titik ( ). Kuasa titik ( ) terhadap lingkaran adalah suatu konstanta dengan ( )

.

Ada tiga jenis kemungkinan nilai , yaitu:


, berarti titik ( ) di luar lingkaran

, berarti titik ( ) pada lingkaran

, berarti titik ( ) di dalam lingkaran

Selanjutnya kita akan membahas mengenai kuasa suatu titik terhadap lingkaran. Agar lebih memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut ini.

Kegiatan 8.5 Kuasa suatu titik terhadap lingkaran 1. Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat , jari-jari , satu titik diluar

lingkaran dan 4 titik berada pada lingkaran yang terlihat pada gambar di bawah ini.

Gambar 8.7 Titik di Luar Lingkaran

2. Perhatikan gambar 8.7 di atas, melalui titik dapat ditarik banyak sekali garis-

garis yang memotong lingkaran masing-masing di dua titik, dan menyinggung lingkaran dititik dan . Gambar di atas dalam geometri berlaku bahwa: | || | | || | | || | | | | | | | . Maka hasil kali ini disebut kuasa titik terhadap lingkaran. Sekarang akan dihitung besarnya kuasa titik terhadap lingkaran tersebut. Misalkan ( ) dan persamaan lingkaran adalah dengan pusat

.

/dan kuadrat jari-jarinya adalah

.

Kuasa titik T terhadap lingkaran tersebut adalah | || | (| | )(| | )

| |

(

)

(

)

Jadi, kuasa titik ( ) pada lingkaran adalah adalah

Kuasa suatu titik dapat bernilai positif, nol


atau negatif berturut-turut apabila titik itu di luar, pada atau di dalam lingkaran.

Jika persamaan lingkaran dalam bentuk ( ) ( ) , maka kuasa titik ( ) terhadap adalah:

( ) ( ) F. Garis Kuasa Defenisi 2.2

Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap dua buah lingkaran.

Sudut perpotongan dua lingkaran adalah sudut antara garis singgung-garis singgung pada salah satu titik potong ke dua lingkaran itu, atau sudut antara jari-jari yang mengarah ke titik potong tersebut.

Gambarkan dua lingkaran dan yang masing-masing berpusat di dan . Misalkan ke dua lingkaran itu berpotongan di titik dan .

Gambar 8.8. perpotongan antara dua lingkaran

adalah sentral ke dua lingkaran. Garis (atau garis ) adalah garis singgung lingkaran dan garis (atau garis ) adalah garis singgung lingkaran . Misalkan adalah sudut antara dan (yaitu sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis singgung dan ). Beberapa sifat dari garis kuasa adalah sebagai berikut: 1. Garis kuasa dari dua buah lingkaran selalu tegak lurus terhadap garis

sentralnya. 2. Apabila kedua lingkarannya saling bersinggungan, maka garis kuasanya adalah

garis singgung di titik singgungnya. 3. Jika kedua lingkaran saling berpotongan, maka garis kuasanya adalah tali busur

persekutuannya. 4. Tiga buah lingkaran hanya mempunyai satu kuasa, yaitu titik potong dari garis

kuasa setiap dua buah lingkaran.

…(24)


Masalah 8.5 Tentukan garis kuasa lingkaran dengan . Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok Anda dari hasil temuan di bawah ini. Coba Anda perhatikan dan pahami, serta adakah Anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok Anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat menggunakan persamaan sehingga diperoleh, ( ) ( ) Jadi, persamaan garis kuasa lingkaran adalah G. Titik Kuasa

Misalkan adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut titik kuasa seperti yang terlihat pada Gambar 8.9 di bawah ini, dan dilambangkan dengan:

atau {

Gambar 8.9 tiga buah lingkaran membentuk satu titik kuasa

Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar, dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga.


H. Berkas Lingkaran

Misalnya diketahui 2 buah lingkaran dan sembarang yang saling berpotongan, maka kumpulan dari semua lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran tersebut dinamakan dengan berkas lingkaran.

Persamaan dari berkas lingkaran yang melalui titik potong dan adalah:

Di mana adalah konstanta. Masalah 8.6 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik potong lingkaran dan dan pusatnya terletak pada garis Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok Anda dari hasil temuan di bawah ini. Coba Anda perhatikan dan pahami, serta adakah Anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok Anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita misalkan dan Lingkaran yang melalui titik potong dan akan membentuk berkas lingkaran dengan persamaan sehingga diperoleh,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik :

(

)

(

( )

}

( )

})

Selanjutnya, karena pusat lingkaran terletak pada garis sehingga diperoleh nilai dengan mensubstitusikan titik pusat lingkaran ke persamaan garis tersebut, menjadi:

(

( )) (

( ))

…(25)


Jadi, diperoleh nilai . Setelah diperoleh nilai , substitusikan ke persamaan (1) menjadi,

( ) ( )( )

Jadi, persamaan lingkaran adalah

Setelah memahami materi di atas, lanjutkan dengan mengerjakan latihan di bawah ini. 1. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik ( ) pada

lingkaran 2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui

titik ( ) 3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di

titik ( ) 4. Tentukan harga k, agar dan lingkaran .

a. berpotongan di dua titik b. bersinggungan c. tidak berpotongan.

5. Tentukan kuasa titik ( ) terhadap lingkaran dan tentukan pulaletak titik terhadap lingkaran.

6. Tentukan sebuah titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap ketiga lingkaran ( ) ( ) , ( ) dan ( ) .

1. Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran dengan gradien m dititik pusat O(0,0) adalah

√ dan √

2. Persamaan lingkaran garis singgung lingkaran lingkaran dengan gradien m dititik (a,b) adalah

( ) √ dan ( ) √

3. Persamaan garis singgung lingkaran di titik ( ) yang berpusat di O(0,0) adalah

4. Persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) di titik ( ) yang berpusat di (a,b) adalah

( )( ) ( )( )

5. Persamaan garis singgung lingkaran di titik ( ) yang berpusat di (a,b) adalah

Latihan 8

Rangkuman


( )

( )

6. Lingkaran dengan pusat membagi dua lingkaran , maka siku-siku,

sehingga | |

.

7. Persamaan berkas lingkaran adalah

Pilihlah satu jawaban yang tepat untuk setiap pertanyaan di bawah ini. 1. Persamaan garis singgung pada lingkaran ( ) ( ) yang sejajar

dengan garis adalah …. A. B. C. D.

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran di titik ( ) adalah …. A. B. C. D.

3. Persamaan garis singgung pada lingkaran di titik ( ) adalah …. A. B. C. D.

4. Titik yang terletak di dalam lingkaran ( ) ( ) adalah …. A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

5. Lingkaran yang tegak lurus pada lingkaran adalah A. B. C. D.

6. Persamaan garis singgung lingkaran di titik ( )

adalah …. A. B. C. D.

Tes Formatif 8


7. Lingkaran ( ) ( ) memotong garis . Garis singgung yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah… A. dan B. dan C. dan D. dan

8. Persamaan lingkaran yang berpusat di ( ) dan menyinggung garis adalah …. A. B. C. D.

9. Persamaan lingkaran yang melalui pusat ( ) dan menyinggung sumbu adalah…. A. ( ) ( ) B. ( ) ( ) C. ( ) ( ) D. ( ) ( )

10. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) yang sejajar dengan garis adalah …. A. B. C. D.


Tes Formatif Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.

Rumus:




Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda? Apabila Anda mencapai tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.


1. B 6. D

2. C 7. C

3. D 8. C

4. A 9. A

5. A 10. A


KEGIATAN BELAJAR

9

BOLA

DAN BIDANG RATA

Pernahkah Anda memperhatikan pertandingan sepak bola seperti yang terlihat pada Gambar 9.1 di bawah ini? Bola di sepak pada suatu daerah/bidang datar yaitu lapangan bola yang berumput.

Gambar 9.1 Bola dan bidang Rata


menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola.


Pada kegiatan belajar 9 ini kita akan membahas tentang kedudukan suatu bola pada bidang rata. Untuk lebih memahami materi tentang kedudukan bola dan bidang rata, selesaikanlah masalah di bawah ini. A. Kedudukan Bola dan Bidang Rata Masalah 9.1 Jika Bola ( ) ( ) ( ) berjari-jari , pusat ( ). Bidang rata , dengan adalah jarak antara pusat bola ( ) ke bidang rata , maka ada 3 kemungkinan kedudukan antara bola dengan bidang . Bagaimana hubungan bola dengan bidang rata? Untuk menentukan hubungan antara bola dan bidang rata lakukan kegiatan 9.1 di bawah ini. Kegiatan 9.1. Hubungan antara bola dan bidang rata Langkah-langkahnya: 1. Lukislah suatu lingkaran dengan , berarti bola berpotongan dengan

bidang rata , seperti yang terlihat pada Gambar 9.1 di bawah ini.

Gambar 9.1 Bola berpotongan dengan Bidang Rata

Perpotongan Bola dengan bidang rata akan membentuk sebuah lingkaran dengan persamaan lingkaran adalah:

2

Bagaimanakah cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut? Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran berpotongan tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini.

a. Perhatikan siku-siku di . adalah titik pusat lingkaran. b. Untuk menentukan jari-jari lingkaran kita dapat menggunakan dalil pythagoras

yaitu sehingga diperoleh:


√ Jadi, jari-jari lingkaran yang disimbolkan dengan adalah:

√

c. Untuk menyatakan persamaan lingkaran di dalam ruang, kita dapat mengambil sebuah bola dan sebuah bidang rata yang saling berpotongan menurut lingkaran tersebut. Jadi, persamaan lingkaran dinyatakan dengan dua persamaan yaitu:

2

d. Selain berpotongan bola dan bidang rata, suatu lingkaran dapat pula

dinyatakan sebagai berikut: (1) Perpotongan antara bola dengan bola (2) Perpotongan silinder (tabung) atau kerucut lingkaran tegak lurus dengan

bidang paralelnya(=bidang yang tegak lurus poros) seperti yang terlihat pada Gambar 9.2(a) dan 9.2(b) di bawah ini.

Gambar 9.2(a) Bidang Rata dan Tabung

…(26)

…(27)


Gambar 9.2(b) Bidang Rata dan Kerucut

e. Dari persamaan (27) di atas, kita dapat menentukan titik pusat lingkaran tersebut yaitu dengan cara: (1) Pusat lingkaran adalah titik tembus antara garis dengan bidang rata

. Garis tegak lurus dengan bidang rata , berarti vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata atau dapat ditulis menjadi , - , -.

Persamaan garis {

…… (1)

(2) Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan bidang rata sehingga diperoleh nilai .

(3) Setelah nilai didapatkan maka substitusikan nilai tersebut ke persamaan (1) sehingga diperoleh titik pusat lingkaran.

2. berarti bola menyinggung bidang rata , seperti yang terlihat

pada Gambar 9.3 di bawah ini.

Gambar 9.3 Bola Menyinggung Bidang Rata

Jika bidang rata menyinggung bola maka bidang rata disebut juga dengan bidang singgungnya. Bagaimana menentukan bidang singgung tersebut? Untuk menentukan bidang singgung tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini dan diskusikanlah dengan teman Anda. a. Misalkan dengan pusat bola

(

) dan ( ) adalah titik singgung bola dan

bidang rata .

b. Vektor tegak lurus terhadap bidang rata , berarti vektor arah garis

sama dengan vektor normal bidang rata yaitu: , - , - sehingga diperoleh:

0

1 …..(1)

Bidang rata melalui titik ( ) maka persamaan bidang rata adalah:


( ) ( ) ( ) …..(2) c. Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan

bidang singgung bola di titik ( ) adalah:

(

) (

) (

)

Berdasarkan proses di atas, dapat di simpulkan bahwa: 1) Jika , maka persamaan bidang

singgung di titik ( ) adalah:

(

) (

) (

)

2) Jika ( ) ( ) ( ) , maka persamaan bidang singgung di titik ( ) adalah:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 3) Jika , maka persamaan bidang singgung di titik

( ) adalah:

Persamaan bidang singgung di atas mengikuti kaidah “Me a i A i ” yaitu pergantian: menjadi , menjadi , menjadi

menjadi

( ), menjadi

( ), menjadi

( )

menjadi

( ).

3. berarti bola tidak memotong dan tidak menyinggung bidang rata

seperti yang terlihat pada Gambar 9.4 di bawah ini.

Gambar 9.4 bola tidak memotong maupun

menyinggung bidang rata Kuasa Titik

…(28)


Misalkan bola ( ) dan misalkan titik ( ). Definisi 1: Kuasa titik ( ) terhadap bola ( ) di defenisikan sebagai:

( )

ada 3 kemungkinan nilai yaitu:

Titik di luar bola jika dan hanya jika

Titik pada bola jika dan hanya jika

Titik di dalam bola jika dan hanya jika Anti Geometri dari Kuasa Titik Masalah 9.2 Misalkan bola ( ) dan titik ( ) adalah titik sebarang. Bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung bola jika titiknya di luar bola. Untuk menentukan persamaan garis lurus tersebut lakukanlah kegiatan di bawah ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Perhatikan Gambar 9.5 di bawah ini.

Gambar 9.5. Titik di Luar Bola

2. Tarik garis melalui ( ). Misalkan cosinus arah garis adalah:

, - sehingga persamaan parameter garis adalah:

{

………… (1)

Garis ada yang menembus bola, ada yang menyinggung bola, dan ada yang tidak menyinggung atau tidak menembus bola.

3. Andaikan garis tersebut menembus bola pada titik dan untuk mencari titik tembus, subsitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan bola sehingga di peroleh:


2.

/ .

/ .

/ 3

……. (2)

Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalam , ada beberapa ketentuan persamaan kuadrat tersebut yaitu: (1) Jika maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar

dan yang berbeda. (2) Jika maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar

dan yang konstan (sama). (3) Jika maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar

dan yang imaginer. 4. Andaikan persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar yang berbeda yaitu

dan . Berarti garis menembus bola pada dua titik. Misalkan titik itu adalah titik dan dengan: ( ) dan ( )

√( ( )) ( ( )) ( ( ))

√

√ ( )

√

| | ……………. kar dari persamaan kuadrat (1)

√( ( )) ( ( )) ( ( ))

√

√ ( )

√

| | ……………. kar dari persamaan kuadrat (1)

( ) ( ) | || |

|

|

|

|

Jadi, ( ) ( ) | ( )|

||

||

harga mutlak kuasa titik ( ) terhadap Bola

Atau :

…(29)


Bila dari titik tertentu ditarik garis sebarang yang memotong bola di dan maka harga ( ) ( ) adalah konstan. Kalau di luar bola maka harganya sama dengan kuasa , dan kalau di dalam bola maka harga negatifnya sama dengan kuasa . Bidang Kutub Masalah 9.3 Misalkan persamaan Bola ( ) dan sebarang titik ( ). Bagaimanakah persamaan bidang kutubnya? Untuk menentukan persamaan bidang kutub, lakukanlah kegiatan di bawah ini. Kegiatan 9.4. Persamaan Bidang Kutub Langkah-langkahnya adalah: 1. Perhatikan Gambar 9.6(a) di bawah ini.

Gambar 9.6(a) Bola dan garis

2. Tarik garis melalui titik ( ) sehingga menembus bola di dan . 3. Misalkan titik ( ) pada garis sehingga titik dan sekawan

haromonis dengan titik dan . Artinya jika maka . Seperti yang terlihat pada Gambar 9.6(b) di bawah ini.


Gambar 9.6(b) Bola dan garis

4. Jika garis digunakan, maka tempat kedudukan titik merupakan suatu bidang rata, yang disebut dengan bidang kutub (bidang polar) bola , dengan titik kutubnya adalah titik .

5. Misalkan persamaan Bola , dengan titik kutubnya ( ) maka koordinat titik adalah

(

) ( )

Agar maka ………..(2) 6. Subsitusikan persamaan (1) ke (2) sehingga diperoleh persamaan bidang kutub

adalah

Setelah memahami materi di atas, lanjutkan kegiatan anda dengan mengerjakan latihan di bawah ini. 1. Carilah persamaan bola yang bersinggungan yang titik-titik pusatnya berturut-

turut ( ) dan ( ) dan jari-jarinya sama 2. Carilah persamaan bola dengan pusat ( ) dan menyinggung bidang

. 3. Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik ( ), ( ) dan

( ) yang titik pusatnya terletak pada bidang .

4. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola ( ) ( ) ( ) yang sejajar dengan bidang .

Tes Formatif 10

Latihan 9


1. Persamaan bidang singgung bola ( ) ( ) ( ) yang melalui titik ( ) adalah:

( )( ) ( )( ) ( )( )

2. Persamaan bidang singgung bola yang melalui titik ( ) adalah:

( )

( )

( )

3. Kuasa suatu titik ( ) terhadap persamaan bola adalah:

4. Jika titik ( ) terletak pada, di dalam atau di luar bola, maka kuasa titik terhadap bola berturut-turut mempunyai nilai nol, negatif atau positif.

Pilihlah satu jawaban yang tepat untuk setiap pertanyaan di bawah ini.

1. Persamaan bidang singgung pada bola di titik ( ) adalah …. A. B. C. D.

2. Diketahi bola dan titik-titik ( ) ( ) maka …. A. R terletak pada bola B. T di dalam bola C. R diluar bola D. T di luar bola

3. Persamaan garis tengah yang sejajar dengan garis adalah ….

4. Persamaan bidang singgung pada bola yang sejajar dengan bidang adalah …. A.

Tes Formatif 9

Rangkuman


B. C. D.

5. Diketahui persamaan bola , berada di manakah Titik ( ) adalah …. A. Terletak di luar bola B. Terletak di dalam bola C. Terletak pada bola D. Tidak ada jawaban

6. Sebuah bola berpusat di titik ( ) menyinggung bidang . Persamaan bola tersebut adalah … A. A. B. C. D.

7. Bola yang berpusat di ( ) menyinggung bidang adalah di titik …. A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

8. Sebuah bola berpusat di ( ) menyinggung sumbu , maka persamaan bola tersebut adalah …. A. B. C. D.

9. Kuasa titik ( ) terhadap bola adalah .… A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

10. Kuasa titik ( ) terhadap bola adalah …. A. B. C. D.



Tes Formatif Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar. Rumus:



Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda? Apabila Anda mencapai tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.


1. C 6. A

2. D 7. B

3. B 8. B

4. D 9. C

5. A 10. D


MODUL 5 IRISAN KERUCUT (CONICS)

Gambar 5. Kurva Irisan Kerucut

Irisan kerucut (conics sections) merupakan kurva yang terbentuk ketika

sebuah bidang memotong permukaan kerucut tegak. Kurva dari irisan kerucut berupa lingkaran, parabola elips, dan hiperbola. Khusus lingkaran telah dipelajari pada kegitan 7 dan 8. Parabola, elips dan hiperbola akan dipelajari pada modul 5 ini. Pembelajaran dari irisan kerucut mulai dikembangkan 2000 tahun yang lalu yang diperkenalkan oleh Apollonious dari Perga (262-190 sM). Baru pada abad ketujuh belas, irisan kerucut sangat penting untuk bidang fisika dan kimia. Seperti yang terlihat pada Gambar 6.


Sumber : www.google.com

Gambar 6. Jalan Layang Foto udara dari jalan layang dapat menggambarkan suatu fungsi parabola,

hiperbola maupun elips. Jalan layang tersebut dibuat dengan bentuk yang sangat dinamis dengan memperhatikan ketepatan pengukuran jarak terhadap titik acuan tertentu. Irisan kerucut merupakan tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jaraknya ke titik tertentu dan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai yang tetap.

Pada modul 5 ini, terdapat enam kegiatan yang akan dibahas yaitu mengenai persamaan parabola, persamaan garis singgung parabola, persamaan elips, persamaan garis singgung elips, persamaan hiperbola, persamaan asimtot dan persamaan garis singgung hiperbola.

http://www.google.com/


KEGIATAN BELAJAR

10

Anda tentu sangat mengenal sekali benda yang bernama parabola. Parabola

digunakan untuk memperoleh sinyal siaran televisi. Perhatikan gambar parabola di bawah ini (Gambar 10.1).

Sumber: www.google.co.id Gambar 10.1 Parabola


1. Menentukan persamaan Parabola

2. Melukis Persamaan Parabola



Definisi 1: Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik (himpunan titik) yang berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut Fokus ( ) dan garis tertentu itu disebut Direktrik.

Sekarang kita pindahkan gambar parabola (Gambar 10.1) pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 10.2 di bawah ini.

Gambar 10.2. Parabola pada koordinat cartesius

Jika unsur-unsur parabola tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan parabolanya? Untuk menentukan persamaan parabola berdasarkan titik api atau fokus dan garis direktriknya yang sejajar dengan sumbu , lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 10.1. Menentukan Persamaan Parabola dengan puncak ( ) 1. Gambarkan sebuah parabola dengan memisalkan titik Fokus ( ) dan garis

direktrik sejajar dengan sumbu seperti yang terlihat pada Gambar 10.3 di bawah ini.

Gambar 10.3. Parabola terbuka ke kanan atau horizontal


2. Perpotongan garis dengan sumbu adalah titik , dan puncak adalah titik tengah dan sumbu simetri sejajar dengan sumbu yaitu , seperti yang terlihat pada Gambar 10.3 di atas.

3. Misalkan jarak | | , berarti titik Fokusnya adalah .

/. Sehingga

persamaan garis adalah

.

4. Ambil sembarang titik pada parabola yaitu titik ( ), maka berlaku persamaan | | = jarak ke garis atau

√4 (

)5

( ) (

)

5. Kuadratkan kedua ruas dan dijabarkan sehingga diperoleh suatu persamaan

( ) ( )

Persamaan (1) di atas merupakan persamaan parabola dengan puncak ( ). Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika puncak parabola ( ) adalah ( ), maka persamaan (1) menjadi:

( ) ( ) sehingga diperoleh persamaan parabola,

Persamaan (2) merupakan persamaan parabola dengan puncak ( ). CATATAN (1)

Untuk persamaan parabola dan ( ) ( )

Jika , maka parabola tersebut terbuka ke kanan

Jika , maka parabola tersebut terbuka ke kiri Masalah 10.1

Tentukan persamaan parabola jika diketahui koordinat fokus .

/ dan

persamaan direktriksnya

!

Penyelesaian. Perhatikan hasil temuan di bawah ini. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan nilai parameter parabola tersebut dengan menggunakan persamaan fokus yaitu

.

/ .

/ berarti . Persamaan direktriks

atau

.

Jadi,persamaan parabola adalah berarti . Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.

Pada kegiatan 10.1 kita sudah dapat suatu persamaan parabola ( ) ( ) dan . Sekarang kita juga dapat menentukan

…(1

)

…(2

)


persamaan parabola, jika garis direktriksnya sejajar dengan sumbu seperti yang terlihat pada Gambar 10.4 dengan cara yang sama pada kegiatan 10.1

Gambar 10.4. Parabola terbuka ke atas atau vertikal

1. Misalkan jarak | | , berarti titik Fokusnya adalah .

/. Sehingga

persamaan garis adalah

.

2. Ambil sembarang titik pada parabola yaitu titik ( ), berdasarkan defenisi parabola maka berlaku persamaan | | = jarak ke garis atau

√4 (

)5

( ) (

)

3. Kuadratkan kedua ruas dan dijabarkan sehingga diperoleh suatu persamaan

( ) ( ) Persamaan (3) di atas merupakan persamaan parabola dengan puncak ( ).

Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika puncak parabola ( ) adalah ( ), maka persamaan (3) menjadi:

( ) ( ) sehingga diperoleh persamaan parabola,

Persamaan (4) merupakan persamaan parabola dengan puncak ( ). CATATAN (2)

Untuk persamaan parabola dan ( ) ( )

Jika , maka parabola tersebut terbuka ke atas

Jika , maka parabola tersebut terbuka ke bawah

…(3

)

…(4

)


Masalah 10.2 Titik adalah puncak dan titik adalah titik fokus parabola ( ) ( )! Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di dan berfokus di ! Penyelesaian. Perhatikan hasil temuan dibawah ini. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan titik puncak dan titik fokus untuk persamaan parabola ( ) ( ). Titik

puncaknya adalah ( ) dan fokusnya adalah .

/. Sekarang baru kita

dapat menentukan persamaan parabola baru yaitu ( ) .

/.

Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. Kegiatan 10.2. Menggambar persamaan parabola Perlu diperhatikan apa saja yang dibutuhkan untuk melukis grafik parabola adalah sebagai berikut:

1) Untuk persamaan parabola

Memiliki puncak ( ) dengan titik fokus adalah (

), Garis

direktriknya adalah

dan koordinat titik potong latus rectum (LR)

dengan parabola adalah (

) dan (

)

2) Untuk persamaan parabola ( ) ( )

Memiliki puncak ( ) dengan titik fokus adalah ( .

/ ), Garis

direktriknya adalah


dengan parabola adalah (.

/ ( )) dan (.

/ ( ))

3) Untuk persamaan parabola


) dan Garis

direktriknya adalah



) dan (

)

4) Untuk persamaan parabola ( ) ( )


/) dan Garis

direktriknya adalah

dan koordinat titik potong latus rectum ( )

dengan parabola adalah (( ) .

/) dan (( ) .

/)

Nah, sekarang coba saudara buat gambar parabola dengan mengikuti langkah-langkah dibawah ini dan memperhatikan bagaimana cara menentukan unsur-unsur parabola yang telah ditentukan di atas. 1. Menentukan koordinat puncak; 2. Menentukan koordinat fokus dengan bantuan langkah 1 akan didapat

persamaan sumbu simetri;


3. Menentukan garis direktriks; 4. Menentukan koordinat titik potong laktus rectum ( ); dan 5. Menentukan titik-titik bantu (jika diperlukan) Masalah 10.3 Gambarlah sketsa parabola dengan persamaan ( ) ( )! Penyelesaian Perhatikan hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. Dari persamaan parabola ( ) ( ) dapat di peroleh nilai , dan maka . Untuk melukis Parabola ( ) ( ) ikutilah langkah-langkah di atas. 1. Koordinat puncak ( ) berarti ( ) 2. Persamaan sumbu simetri berarti

3. Persamaan diretriks

berarti

4. Koordinat fokus (.

/ ) berarti ( )

5. Koordinat titik potong latus rectum dengan parabola (.

/ ( )) dan

(.

/ ( )) berarti ( ) dan ( )

6. Panjang latus rectum | | berarti 7. Titik bantu untuk , maka diperoleh titik ( ) dan ( )

Gambar 10.5. Parabola ( ) ( )

Masalah 10.4 Gambarlah sketsa parabola dengan persamaan . Penyelesaian Perhatikan hasil temuan di bawah ini. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita dapat mengubah persamaan ke bentuk persamaan (

) ( ) adalah


( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, persamaan parabola adalah ( ) ( ) Dari persamaan parabola ( ) ( ) dapat di peroleh nilai , dan maka . Untuk melukis parabola ( ) ( ) ikutilah langkah-langkah di atas. 1. Koordinat puncak ( ) berarti ( ) 2. Persamaan sumbu simetri berarti

3. Persamaan diretriks

berarti

4. Koordinat fokus ( .

/) berarti .

/

5. Koordinat titik potong latus rectum dengan parabola (( ) .

/) dan

(( ) .

/) berarti (

) dan (

)

6. Panjang latus rectum | | berarti 7. Titik bantu untuk , maka diperoleh titik ( ) dan ( )

Gambar 10.6. Parabola ( ) ( )

Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.

Untuk memperdalam pemahaman anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Tentukan persamaan parabola apabila diketahui unsure-unsurnya sebagai

berikut! a. Puncak ( ) dan direktriks b. Puncak di ( ) dan direktriks c. Fokus ( ) dan direktriks d. Puncak ( ), fokus pada sumbu serta melalui titik ( )

Latihan 10


e. Puncak di ( ), sumbu simetri sejajar sumbu serta melalui titik ( ) 2. Sketsalah parabola-parabola yang diketahui persamaannya sebagai berikut!

a. b.

1. Untuk persamaan parabola


), Garis

direktriknya adalah



) dan (

)

2. Untuk persamaan parabola ( ) ( )


/ ), Garis

direktriknya adalah


dengan parabola adalah (.

/ ( )) dan (.

/ ( ))

3. Untuk persamaan parabola


) dan Garis

direktriknya adalah

dan koordinat titik potong latus rectum ( )


) dan (

)

4. Untuk persamaan parabola ( ) ( )


/) dan Garis

direktriknya adalah


dengan parabola adalah (( ) .

/) dan (( ) .

/)

Pilihlah suatu jawaban yang paling tepat, kemudian berilah alasan pemilihan jawaban tersebut! 1. Persamaan sumbu simetri dari parabola adalah ….

A. B. C. D.

2. Koordinat fokus dari parabola adalah ….

Tes Formatif 10

Rangkuman


A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

3. Persamaan parabola yang berpuncak pada titik ( ) dengan persamaan direkstriks adalah …. A. B. C. D.

4. Persamaan parabola yang puncaknya di titik ( ) dan melalui titik ( ) adalah …. A. B. C. D.

5. Persamaan parabola yang berpuncak di ( ) dan fokusnya ( ) adalah …. A. B. C. D.

6. Persamaan parabola dengan puncak di ( ), titik fokus terletak pada sumbu , serta melalui titik ( ) berbentuk …. A. B. C. D.

7. Persamaan sumbu simetri dari parabola adalah …. A. B. C. D.

8. Persamaan parabola yang berpuncak ( ) dan fokus ( ) adalah …. A. B. C. D.

9. Koordinat fokus dari persamaan parabola

adalah ….

A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

10. Koordinat fokus dari persamaan parabola ( ) ( ) adalah …. A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )





u a s a






1. B 6. B

2. D 7. A

3. A 8. B

4. C 9. C

5. C 10. A


KEGIATAN BELAJAR

11

PERSAMAAN

GARIS SINGGUNG PARABOLA

Pada kegiatan ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan garis singgung parabola bergradien , persamaan garis singgung melalui titik ( ) pada parabola, dan persamaan garis singgung melalui titik ( ) di luar parabola. Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola pahami dan lakukanlah kegiatan-kegiatan berikut ini.

A. Menentukan Persamaan Garis Singgung parabola yang berpuncak di

( ) dan ( ) dengan gradien Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang berpuncak di

( ) dan ( ) dengan gradien lakukanlah kegiatan 11.1 dan perhatikan Gambar 11.1 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.


Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar


Gambar 11.1 Parabola yang berpuncak di ( ) dan sebuah garis

Kegiatan 11.1. Gradien garis singgung diketahui dan parabola yang berpuncak di ( ) Langkah-langkahnya: 1. Carilah koordinat titik potong antara persamaan parabola dan

persamaan garis sebagai berikut.

} dipotongkan

2. Subsitusikan garis ke persamaan parabola sehingga diperoleh:

( ) ….(1)


Diskriminan ( ) positif atau , maka diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis memotong parabola pada dua titik.

, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis tidak memotong parabola atau garis berada di luar parabola.

, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis menyinggung parabola pada suatu titik.

4. Agar garis menyinggung parabola , maka ambil , yaitu:

( )


Sehingga persamaan garis singgung parabola dengan gradien atau sejajar dengan garis adalah:

Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di

tentukan persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) dengan gradien . Geser titik puncak parabola ( ) ke titik ( ). Akibatnya persamaan garis

singgung

bergeser menjadi:

( )

Sehingga persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) dengan

gradien atau yang sejajar dengan garis adalah:

( )

Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien adalah

dan persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) melalui titik ( ) adalah

( ) Masalah 11.1 Tentukan persamaan garis singgung parabola yang tegak lurus pada garis . Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali tentukan terlebih

dahulu gradien dari persamaan garis yaitu

. Karena tegak

lurus dengan garis tersebut maka gradiennya adalah . Sehingga diperoleh persamaaan garis singgung parabola tersebut adalah

( )

Jadi, persamaan garis singgung parabola adalah atau .

…(5)

…(6)

…(7)

…(8)


B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik ( ) Pada Parabola yang berpuncak di ( ) dan ( )

Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang benpuncak di ( ) dan ( ) yang melalui titik ( ), lakukanlah kegiatan 11.2 dan perhatikan Gambar 11.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Gambar 11.2. Parabola melalui titik singgung

Kegiatan 11.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada parabola yang berpuncak di ( ) 1. Misalkan persamaan parabola dan titik ( ) dan ( ) yang

terletak pada parabola. 2. Sehingga persamaan garis adalah

( )

( ) ( ) 3. Karena titik ( ) dan ( ) berada pada parabola maka berlaku

persamaan berikut:

( )

( ) Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan

( ) ( ) atau

( ) ( )( ) ( )

( )

4. Subsitusikan persamaan (5) ke persamaan (1) sehingga diperoleh: ( )

( ) ( )


5. Apabila titik ( ) bergerak mendekati titik ( ), sehingga titik ( ) dan ( ) berimpit, dan garis akan menjadi garis singgung parabola di titik ( ), akibatnya dan . Sehingga persamaan (4) menjadi:

( )


( )

berdasarkan hasil (2) di peroleh

( )

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada parabola adalah:

( ) Bentuk persamaan garis singgung di titik ( ) pada persamaan parabola ( ) ( ) adalah

( )( ) (( ) ( )) ( )( ) ( )

Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis singgung parabola melalui titik ( ) adalah

( ) Dan persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) melalui titik ( ) adalah

( )( ) ( ) Masalah 11.2 Tentukan persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) di titik yang mempunyai absis ! Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali tentukan terlebih dahulu nilai parameternya yaitu dan puncak parabola adalah ( ). Kemudian kita tentukan nilai ordinat ( ) dengan mensubstitusikan nilai absis ke persamaan parabola ( ) ( ) sehingga diperoleh,

( ) ( ) ( )

√

atau

…(9)

…(10)

…(11)

…(12)


Maka koordinat titik singgung adalah ( ) dan ( ) Persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) dengan titik singgung ( ) adalah,

( )( ) ( ) ( )( ) ( ( ))

( ) ( )

Persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) dengan titik singgung ( ) adalah,

( )( ) ( ) ( )( ) ( ( ))

( ) ( )

Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. C. Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik ( ) di Luar

Parabola Agar dapat menentukan persamaan garis singgung di titik ( ) di luar

parabola, maka diskusikan kegiatan 11.3 dengan memperhatikan Gambar 11.3 di bawah ini. Kegiatan 11.3 Menentukan Titik ( ) dan Garis Polar Jika titik ( ) terletak di luar parabola yang berpuncak di ( ) seperti yang terlihat pada Gambar 11.3 di bawah ini:

Gambar 11.3 Titik di Luar parabola

Persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: Langkah-langkahnya:


1. Titik ( ) berada di luar parabola . 2. Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung parabola yaitu dan . Garis

menyinggung parabola di ( ); garis menyinggung parabola di ( ). Jadi, titik merupakan titik potong garis singgung dan .

3. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu ( ). Titik ( ) pada , sehingga diperoleh ( ). Itu berarti ( ) pada garis ( ) ….(1)

4. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung diperoleh ( ). Itu berarti ( ) pada persamaan ( ) ….(2)

5. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis (garis penghubung antara titik dan ) yaitu ( ), yang juga di sebut garis polar dari titik ( ) terhadap parabola ( ) adalah

( )

Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 3. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap parabola

( ) ( ) adalah ( )( ) ( )

4. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap parabola

adalah ( )

5. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap parabola

( ) ( ) adalah ( )( ) ( )

Menentukan persamaan garis singgung dari titik ( ) di luar parabola baik yang berpuncak di ( ) maupun yang berpuncak di ( ). diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 4. Membuat garis polar dari titik terhadap parabola. 5. Mencari koordinat titik potong garis polar dengan parabola. 6. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis polar dan

parabola tersebut. Masalah 11.3 Tentukan persamaan garis singgung parabola yang melalui titik ( ) yang terletak di luar parabola Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

…(13)

…(14)

…(16)

…(15)


Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu persaman garis polar yaitu,

( ) ( )

( )

Subsitusikan persamaan (1) di atas ke persamaan parabola sehingga diperoleh,

(

)

( )( )

atau

Substitusikan nilai

atau ke persamaan (1) sehingga diperoleh nilai

atau . Sehingga titik singgung parabola adalah .

/ dan ( ).

Setelah kita memperoleh titik singgung maka kita dapat menentukan persamaan

garis singgung parabola dengan titik .

/ adalah:

( )

(

)

Dan persamaan garis singgung parabola dengan titik ( ) adalah: ( ) ( )

Jadi, persamaan garis singgung parabola adalah dan .

Untuk memperdalam pemahaman anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Tentukan persamaan garis singgung parabola berikut ini!

a. di titik ( ) b. di titik ( ) c. di titik ( )

Latihan 11


2. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola ( ) ( ) yang tegak lurus garis

3. Diketahui parabola berpuncak di ( ). Persamaan direktriksnya adalah . dan adalah titik pada latus rectum. a. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik dan titik ! b. Tentukan pula koordinat titik potong kedua garis singgung tersebut!

1. Persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien adalah:

2. Persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) dengan gradien adalah:

( )

3. Persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien adalah:

4. Persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) melalui titik ( )

adalah:

( ) 5. Persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada parabola

adalah: ( )

6. Persamaan garis singgung di titik ( ) pada persamaan parabola melalui titik ( ) adalah:

( ) 7. Persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) melalui titik ( )

adalah: ( )( ) ( )

8. Persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) melalui titik ( ) adalah:

( )( ) ( )


jawaban tersebut! 1. Persamaan garis singgung pada parabola yang melalui titik ( )

berbentuk …. A. B. C.

Tes Formatif 11

Rangkuman


D. 2. Persamaan garis singgung pada parabola yang melalui titik ( )

berbentuk …. A. B. C. D.

3. Persamaan garis singgung pada parabola yang melalui titik berabsis 3 adalah …. A. B. C. D.

4. Persamaan garis singgung pada parabola yang melalui titik berordinat adalah ….

A. B. C. D.

5. Gradien garis singgung parabola di titik ( ) adalah …. A. C. 3

B.

D. 5

6. Persamaan garis singgung yang tegak lurus garis yang melalui titik ( ) dan ( ) adalah …. A. B. C. D.

7. Persamaan garis singgung pada parabola yang sejajar garis berbentuk …. A. B. C. D.

8. Persamaan garis singgung parabola yang bergradien 1 adalah …. A. B. C. D.

9. Persamaan garis singgung parabola ( ) ( ) yang sejajar dengan garis adalah …. A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

10. Persamaan garis singgung parabola ( )( ) yang tegak lurus dengan garis adalah ….


A. B. C. D.




u a s a


90 – 100 % = baik sekali 80 – 89 % = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % = kurang

Berapa persenkah tingkat pengguasaan Anda? Apabila tingkat



1. A 6. C

2. B 7. D

3. B 8. D

4. A 9. C

5. C 10. B


KEGIATAN BELAJAR

12

PERSAMAAN ELIPS

Anda tentu sangat mengenal sekali benda yang bernama telur. Telur ayam

banyak sekali manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan gambar telur ayam di bawah ini (Gambar 12.1).

Sumber: www.google.co.id Gambar 12.1 Telur Ayam


1. Menentukan persamaan elips.

2. Melukis persamaan elips



Definisi 1: Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya dari dua titik tertentu mempunyai nilai tetap. Kedua titik tertentu tersebut disebut Fokus ( ) atau titik api dari sebuah elips.

Sekarang kita pindahkan gambar telur (Gambar 12.1) pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 12.2 di bawah ini.

Gambar 12.2. Elips pada koordinat cartesius

Berdasarkan gambar di atas, dapat kita ketahui bahwa unsur-unsur dari

pembentukkan elips tersebut adalah sebagai berikut: 1) Sumbu adalah sumbu utama dan sumbu adalah sumbu sekawan. 2) Sumbu fokal (focal axis) adalah garis lurus yang menghubungkan kedua titik

fokus elips, yaitu (dengan fokus elips; dan ). 3) Titik fokus elips adalah titik tengah kedua fokus elips. 4) Titik puncak elips adalah dua titik pada perpanjangan sumbu fokus yang

membentuk elips, yaitu dan . 5)

disebut sumbu mayor, dimana sumbu ini pasti melalui kedua titik fokus. disebut sumbu minor, yaitu garis lurus melalui pusat elips dan tegak lurus sumbu mayor. Sumbu mayor sumbu terpanjang dan sumbu minor sumbu terpendek.

6) Titik adalah titik pusat elips 7) Panjang sumbu mayor adalah dan panjang sumbu minor adalah 8)

merupakan latus rectum atau focal chord.

Jika unsur-unsur elips tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan elips? Untuk menentukan persamaan elips berdasarkan koordinat pusat; koordinat puncak; panjang sumbu mayor dan sumbu minor; jarak kedua fokus dan lain-lain, maka lakukanlah kegiatan berikut ini.


Kegiatan 12.1. Menentukan Persamaan Elips yang berpusat di ( ) dan sumbu mayor sejajar dengan sumbu 1. Pertama sekali kita gambar sebuah elips yang berpusat di ( ) dan sumbu

mayornya sejajar dengan sumbu serta unsur-unsur elips diketahui, seperti yang terlihat pada Gambar 12.3 di bawah ini.

Gambar 12.3. Elips Horizontal Berpusat di ( )

2. Jumlah jarak titik sembarang ( ) terhadap kedua fokus sama dengan . 3. Karena titik ( ) terletak pada elips maka diperoleh,

√( ( )) ( ) √( ( )) ( )

√( ( )) ( ) √( ( )) ( )

√( ( )) ( ) √( ( )) ( )

.√( ( )) ( ) /

. √( ( )) ( ) /

( ( )) ( )

√( ( )) ( ) ( ( )) ( )

( ( ))

√( ( )) ( ) ( ( ))

( )

√( ( )) ( )

√( ( )) ( )

( ) . √( ( )) ( ) /

*( ( )) ( ) + * ( ) + ( ) ( )


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Berdasarkan hubungan , maka persamaan di atas menjadi,

( ) ( ) Jika dibagi dengan maka diperoleh suatu persamaan elips yang dapat disederhanakan menjadi

( )

( )

Dengan syarat

Persamaan (17) di atas merupakan persamaan elips dengan pusat ( ). Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat elips ( ) adalah ( ), maka persamaan (17) menjadi:

( )

( )

sehingga diperoleh persamaan elips,

Dengan . Persamaan (18) merupakan persamaan elips dengan pusat ( ).

Pada kegiatan 12.1 kita sudah dapat suatu persamaan elips

dan ( )

( )

. Sekarang kita juga dapat menentukan

persamaan elips, jika sumbu mayornya adalah sumbu Y seperti yang terlihat pada Gambar 12.4 dengan cara yang sama pada kegiatan 12.1

Gambar 12.4. elips Vertikal dengan pusat di ( )

…(17)

…(18)


Berdasarkan gambar di atas, dapat dilihat bahwa jumlah jarak titik sembarang ( ) terhadap kedua fokus sama dengan . Karena titik ( ) terletak pada elips maka diperoleh,

√( ) ( ( )) √( ) ( ( ))

√( ) ( ( )) √( ) ( ( ))

.√( ) ( ( )) /

. √( ) ( ( )) /

( ) ( ( ))

√( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )

√( ) ( ( )) ( ) ( )

√( ) ( ( ))

√( ) ( ( ))

√( ) ( ( ))

√( ) ( ) ( )

. √( ) /

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Berdasarkan hubungan , maka persamaan di atas menjadi,

( ) ( ) Jika dibagi dengan maka di peroleh suatu persamaan elips adalah:

( )

( )

Dengan syarat .

Persamaan (19) di atas merupakan persamaan elips dengan pusat ( ). Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat elips ( ) adalah ( ), maka persamaan (19) menjadi:

( )

( )

sehingga diperoleh persamaan elips,

Dengan . Persamaan (20) merupakan persamaan elips dengan pusat ( ).

…(19)

…(20)


Masalah 12.1 Tentukan koordinat pusat, koordinat puncak, koordinat fokus, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, sumbu utama dan sumbu sekawan dari persamaan elips

Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaiakan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu nilai dan .

berarti sehingga diperoleh nilai √ √

atau √ Karena , maka kita dapat menggunakan persamaan (18) yaitu,

Sehingga dapat disimpulkan bahwa: (i) Koordinat pusat di ( ). (ii) Koordinat puncak ( ), ( ), ( ) dan ( ).

(iii) Koordinat fokus ( √ ) dan ( √ ). (iv) Panjang sumbu mayor . (v) Panjang sumbu minor . (vi) Sumbu utama adalah sumbu dan sumbu sekawan adalah sumbu . Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. Masalah 12.2 Tentukan persamaan elips yang mempunyai fokus ( ) dan ( ) serta mempunyai sumbu panjang ! Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu titik pusat. Titik pusat dapat diperoleh dari titik tengah kedua fokus. Fokus elips adalah ( ) dan ( ) sehingga diperoleh titik pusat adalah,

(

) ( )

Jarak kedua fokus adalah


Mempunyai sumbu panjang adalah , sumbu panjang sumbu mayor , berarti . Karena dan , sehingga diperoleh nilai dengan menggunakan teorema phytagoras yaitu,

√ Jadi, persamaan elips adalah

( )

( )

Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. Persamaan Direkstriks, Eksentrisitas dan panjang latus rectum Untuk menentukan persamaan direktriks, eksentrisitas dan panjang latus rectum, perhatikan ganbar elips di bawah ini.

Gambar 12.5. elips dengan pusat ( )

Dari definisi elips, elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jarak dari titik tersebut ke fokus dan jarak dari titik tersebut ke garis tertentu tetap sebesar dengan

Persamaan di atas, dinamakan dengan eksentrisitas dan dilambangkan dengan . Persamaan elips atau

Dengan . Persamaan di bagi dengan diperoleh:

√

…(21)


√

Dan nilai

Jadi, dapat disimpulkan bahwa persamaan eksentrisitas adalah

Berarti,

√

Kedua garis dan disebut dengan garis direktris dengan persamaan:

Sehingga persamaan menjadi,

persamaan (24) adalah persamaan garis direktris dengan pusat elips ( ). Sedangkan persaman garis direktriks elips dengan pusat ( ) adalah:

Garis dan disebut latus rectum dengan persamaan dan . Apabila garis kita potongkan pada elips

( )

√

Jadi, panjang latus rectum adalah

| 4

5|

Masalah 12.3 Tentukan persamaan garis direktriks, persamaan eksentrisitas, dan panjang latus rectum dari persamaan elips

( )

( )

…(22)

…(23)

…(25)

…(24)

…(26)


Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu nilai dan . Nilai , , sehingga

√

√ √ . Sekarang kita dapat menentukan persamaan garis direktriksnya dengan mensubsitusikan nilai dan ke persamaan garis direktriks yaitu,

Jadi persamaan garis direktriks adalah

Sedangkan persamaan eksentrisitas adalah

dan panjang latus rektumnya

adalah .

/ .

/

Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. Kegiatan 12.2. Menggambar persamaan elips Perlu diperhatikan apa saja yang dibutuhkan untuk melukis sketsa elips adalah sebagai berikut: 1. Mengubah persamaan ke dalam bentuk

( )

( )

2. Menentukan koordinat pusat elips. 3. Menentukan sumbu panjang (sumbu mayor) dan sumbu terpendek (sumbu

minor) 4. Menentukan nilai dan untuk:

a. Menentukan koordinat titik fokus. b. Menentukan koordinat titik puncak . c. Menentukan koordinat titik potong sumbu dan sumbu . d. Menentukan beberapa titik bantu jika diperlukan.

Masalah 12.4 Gambarlah sketsa elips dengan persamaan elips:

Penyelesaian


Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaiakan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan di atas ke bentuk baku persamaan elips yaitu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Dari persamaan di atas, diperoleh , , sehingga

√

√ √ . Untuk melukis elips tersebut, tentukan terlebih dahulu unsur-unsur elips adalah sebagai berikut: 1. Koordinat pusat ( ) berarti ( ) 2. Koordinat titik puncak ( ) ( ) ( ) dan (

) yaitu ( ) ( ) ( ) dan ( ) 3. Sumbu mayor (sumbu utama) 4. Sumbu minor (sumbu sekawan) 5. Koordinat titik fokus ( ) dan ( ) adalah ( ) dan ( ) 6. Koordinat titik potong pada sumbu

( )

Sehingga titik potongnya adalah ( ). Koordinat titik potong pada sumbu

( )

Sehingga titik potongnya adalah ( ). 7. Titik bantunya adalah:

2 4 6 8

7,2 7,9 7,9 7,2


Gambar 12.6. Elips Horizontal

Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.

Untuk memperdalam pemahaman anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Tentukan titik pusat, titik fokus, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor,

persamaan garis direktriks, persamaan eksentrisitas dan panjang latus rectum dari persamaan elips berikut. a. b. c. d.

2. Tentukan persamaan elips apabila diketahui, a. Titik fokus ( ) dan ( ), serta panjang sumbu mayor b. Titik fokus ( ) dan ( ), panjang sumbu mayor , serta panjang

sumbu minor c. Berpusat di titik ( ) salah satu titik apinya mempunyai koordinat

( ) dan melalui titik ( ) d. Gambarkanlah elips untuk poin soal no. c

1. Persamaan elips horizontal dengan pusat ( ) adalah

Latihan 12

Rangkuman


Dengan syarat 2. Persamaan elips horizontal dengan pusat ( ) adalah

( )

( )

Dengan syarat 3. Persamaan elips vertikal dengan pusat ( ) adalah

Dengan syarat 4. Persamaan elips horizontal dengan pusat ( ) adalah

( )

( )

Dengan syarat 5. Persamaan garis direktris elips dengan pusat ( ) adalah

6. Persamaan garis direktris elips dengan pusat ( ) adalah

7. Persamaan eksentrisitas adalah

8. Panjang latus rectum adalah

| 4

5|

Pilihlah suatu jawaban yang paling tepat, kemudian berilah alasan pemilihan jawaban tersebut! 1. Koordinat titik pusat elips dengan persamaan

adalah …. A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

2. Jika dua fokus sebuah elips adalah ( ) dan ( ) dan eksentrisitasnya

adalah

maka elips memiliki persamaan …

A. B. C. D.

3. Jika adalah sebuah titik pada elips yang fokusnya adalah dan , maka adalah …

Tes Formatif 12


A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

4. Panjang sumbu mayor dari elips ( )

( )

adalah …

A. 6 B. 12 C. 9 D. 17

5. Koordinat titik puncak utama dari elips dengan persamaan adalah … A. ( ) dan ( ) B. ( ) dan ( ) C. ( ) dan ( ) D. ( ) dan ( )

6. Persamaan elips yang berfokus ( ), berpusat ( ), dan panjang sumbu mayor adalah …

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

7. Persamaan elips dengan pusat ( ), fokus ( ) dan ( ), serta panjang sumbu mayor adalah …

8. Koordinat titik fokus elips dengan persamaan adalah …. A. ( ) dan ( ) B. ( ) dan ( ) C. ( ) dan ( ) D. ( ) dan ( )

9. Panjang latus rectum dari persamaan elips sama dengan …. A. 1 B. 2 C. 4


D. 5 10. Persamaan garis direktriks dari elips dengan persamaan

berbentuk …

A. √ √

B. √ √

C. √ √

D. √ √




u a s a



Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda? Apabila tingkat penguasaan

Anda mencapai atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 13. Bagus !!! Jika masih di bawah , Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 12, terutama bagian yang belum dikuasai.


1. A 6. A

2. A 7. D

3. C 8. A

4. B 9. C

5. B 10. A


KEGIATAN BELAJAR

13

PERSAMAAN

GARIS SINGGUNG ELIPS

Pada kegiatan ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan

garis singgung elips bergradien , persamaan garis singgung melalui titik ( ) pada elips, dan persamaan garis singgung melalui titik ( ) di luar elips. Untuk menentukan persamaan garis singgung elips pahami dan lakukanlah kegiatan-kegiatan berikut ini.

A. Menentukan Persamaan Garis Singgung elips yang berpuncak di ( )

dan ( ) dengan gradien . Untuk menentukan persamaan garis singgung elips yang berpusat di ( )

dan ( ) dengan gradien lakukanlah kegiatan 13.1 dan perhatikan Gambar 13.1 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.


Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips, Titik Singung dan Garis Polar


Gambar 13.1 Elips yang berpusat di ( ) dan sebuah garis

Kegiatan 13.1. Gradien garis singgung diketahui dan elips yang berpusat di ( ) Langkah-langkahnya:

1. Carilah koordinat titik potong antara persamaan elips

dan

persamaan garis sebagai berikut.

} dipotongkan

2. Subsitusikan garis ke persamaan elips

sehingga

diperoleh:

( )

( ) ( ) ….(1)


Diskriminan ( ) positif atau , diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis memotong elips

pada dua titik.

, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis

tidak memotong ellips

atau garis berada di

luar elips.

, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis

menyinggung parabola

pada suatu titik.


4. Agar garis menyinggung elips

, maka ambil , yaitu:

( ) ( ) ( )( )

√

Sehingga persamaan garis singgung elips

dengan gradien atau

sejajar dengan garis adalah:

√


tentukan persamaan garis singgung elips ( )

( )

dengan gradien .

Geser titik puncak elips ( ) ke titik ( ). Akibatnya persamaan garis singgung

√ bergeser menjadi:

( ) √

Sehingga persamaan garis singgung elips ( )

( )

dengan gradien

atau yang sejajar dengan garis adalah:

( ) √

Dengan cara yang sama seperti di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan garis

singgung pada elips

dengan gradien adalah

√

Dan persamaan garis singgung elips ( )

( )


( ) √ Masalah 13.1

Tentukan persamaan garis singgung elips dengan gredien √ ! Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan elips menjadi,

Dengan √ , √ dan

Persamaan garis singgung elips yang berpusat ( ) dengan gradien √ adalah,

…(26)

…(27)

…(28)

…(29)


√

√ √ (√ )

√ √

√ √

√

Jadi, persamaan garis singgung elips adalah √ dan √ Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik ( ) Pada Elips

yang berpusat di ( ) dan ( ) Untuk menentukan persamaan garis singgung elips yang berpusat di ( )

dan ( ) yang melalui titik ( ), lakukanlah kegiatan 13.2 dan perhatikan Gambar 13.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Gambar 13.2. Elips melalui titik singgung

Kegiatan 13.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada elips yang berpusat di ( )

1. Misalkan persamaan elips

dan titik ( ) dan ( ) yang

terletak pada elips. 2. Sehingga persamaan garis adalah

( )

( ) ( ) 3. Karena titik ( ) dan ( ) berada pada elips maka berlaku persamaan

berikut:

( )


( )

Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan

(

) (

) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )


( )

( )( ) ( )

5. Apabila titik ( ) bergerak mendekati titik ( ), sehingga titik ( ) dan ( ) berimpit, dan garis akan menjadi garis singgung elips di titik ( ), akibatnya dan . Sehingga persamaan (5) menjadi:

( )

( ) ( )


( )

Berdasarkan persamaan (2) diperoleh,

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada elips

adalah:

Bentuk persamaan garis singgung di titik ( ) pada persamaan elips ( )

( )

adalah:

( )( )

( )( )

Dengan cara yang sama seperti di atas, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis

singgung elips

melalui titik ( ) adalah

…(30)

…(31)



( )


( )( )

( )( )

Masalah 13.2 Tentukan persamaan garis singgung di titik yang berordinat 2 pada elips yang

persamaannya

!

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita cari nilai x dengan cara mensubstitusikan nilai ke persamaan elips adalah,

√

Jadi, titik singgungnya adalah ( √ ) dan ( √ )

Persamaan garis singgung elips yang melalui titik ( √ ) adalah

√

( √ ) ( )

48√

√

Jadi, persamaan gari singgung elips yang melalui titik singgung ( √ ) adalah

√

Persamaan garis singgung elips yang melalui titik ( √ ) adalah

√

( √ ) ( )

-48√

√

…(32)


Jadi, persamaan gari singgung elips yang melalui titik singgung ( √ ) adalah

- √ Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. C. Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik ( ) di Luar Elips

Agar dapat menentukan persamaan garis singgung di titik ( ) di luar elips, maka diskusikan kegiatan 13.3 dengan memperhatikan Gambar 13.3 di bawah ini. Kegiatan 13.3. Menentukan Titik ( ) dan Garis Polar Jika titik ( ) terletak di luar elips yang berpusat di ( ) seperti yang terlihat pada Gambar 13.3 di bawah ini:

Gambar 13.3 Titik di Luar Elips


1. Titik ( ) berada di luar elips

.

2. Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung elips yaitu dan . Garis menyinggung elips di ( ); garis menyinggung elips di ( ). Jadi, titik merupakan titik potong garis singgung dan .

3. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis

singgung yang melalui titik yaitu

. Titik ( ) pada ,

sehingga diperoleh

. Itu berarti ( ) pada garis

….(1) 4. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis

singgung diperoleh

. Itu berarti ( ) pada persamaan

….(2)


5. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis (garis penghubung

antara titik dan ) yaitu

yang juga disebut garis polar dari titik

( ) terhadap ellips

adalah

Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap elips

( )

( )

adalah

( )( )

( )( )

2. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap elips

adalah

3. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap elips ( )

( )

adalah ( )( )

( )( )

Menentukan persamaan garis singgung dari titik ( ) di luar elips baik yang berpusat di ( ) maupun yang berpusat di ( ). diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Membuat garis polar dari titik terhadap elips. 2. Mencari koordinat titik potong garis polar dengan elips. 3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis polar dan

elips tersebut. Masalah 13.3 Tentukan persamaan-persamaan garis singgung dari titik ( ) pada elips

!

Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu persaman garis polar yaitu,

( )

…(34)

…(35)

…(37)

…(36)


Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan elips

sehingga diperoleh,

.

/

(

)

4

5

( )( )

Substitusikan nilai

atau

ke persamaan (1) sehingga diperoleh nilai

atau

. Sehingga titik singgung elips adalah .

/ dan .

/.


garis singgung elips

dengan titik .

/ adalah:

Dan persamaan garis singgung elips

dengan titik .

/ adalah:

Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh.



kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Tentukan persamaan garis singgung elips yang:

a. Sejajar garis ; b. Tegak lurus garis

2. a. Tentukan persamaan garis singgung elips yang ditarik dari titik ( )!

b. Tentukan gradien garis singgung tersebut dan tentukan koordinat titik potong garis singgung tersebut dengan elips!

c. Tentukan persamaan garis polarnya!

1. Persamaan garis singgung pada elips

dengan gradien adalah:

√

2. Persamaan garis singgung pada elips ( )

( )

dengan gradien

adalah:

( ) √

3. Persamaan garis singgung pada elips


√


( )

dengan gradien

adalah:

( ) √ 5. Persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada elips

adalah:

6. Persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada elips

( )

( )

adalah:

( )( )

( )( )

Latihan 13

Rangkuman



adalah:


( )

( )

adalah:

( )( )

( )( )

Pilihlah suatu jawaban yang paling tepat, kemudian berilah alasan pemilihan jawaban tersebut! 1. Persamaan garis singgung elips di titik ( ) berbentuk

A. B. C. D.

2. Persamaan garis singgung elips yang melalui titik ( ) berbentuk ….

A. B. C. D.

3. Persamaan garis singgung pada elips yang sejajar dengan garis adalah …. A. B. C. D.

4. Persamaan garis singgung elips yang bergradien adalah ….

A. √

B. √

C. √

D. √

5. Gradien garis singgung elips ( )

( )

di titik ( ) adalah .…

A. B. C. D.

6. Persamaan garis singgung elips di titik ( ) adalah .…

Tes Formatif 13


A. B. C. D.

7. Persamaan garis singgung pada elips yang tegak lurus terhadap garis adalah ….

A. √

B. √

C. √

D. √ 8. Persamaan garis singgung elips di titik ( )

adalah …. A. B. C. D.

9. Persamaan garis singgung pada elips yang bergradien adalah….

A. √

B. √

C. √

D. √ 10. Salah satu persamaan garis singgung pada elips

yang sejajar dengan garis adalah …. A. B. C. D.




u a s a






1. B 6. A

2. B 7. D

3. A 8. A

4. D 9. A

5. A 10. A


KEGIATAN BELAJAR

14

PERSAMAAN HIPERBOLA

Sebelumnya anda telah mempelajari persamaan parabola dan persamaan elips. Hiperbola mirip dengan parabola, bedanya parabola hanya terdiri dari satu kurva, sedangkan hiperbola terdiri dari dua kurva, yang masing-masing kurva disebut cabang. Untuk memahami definisi hiperbola perhatikan gambar 14.1 di bawah ini.


Gambar 14.1 Sutet Berbentuk Hiperbola


1. Menentukan Persamaan Hiperbola

2. Melukis Persamaan Hiperbola



Definisi 1: Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya tetap nilainya terhadap dua titik tertentu. Kedua titik tertentu disebut fokus (titik api). Defenisi 2: Selain defenisi di atas, hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jarak dengan titik tersebut ke fokus dan dari titik tersebut ke garis tetap sebesar dan nilai .

Sekarang kita pindahkan Gambar 14.1 pada Sumbu Koordinat Cartesius di

bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 14.2 di bawah ini.

Gambar 14.2. Hiperbola pada koordinat cartesius

Berdasarkan gambar di atas, dapat kita ketahui bahwa unsur-unsur dari

pembentukkan hiperbola tersebut adalah sebagai berikut: 1) Sumbu simetri yang melalui kedua fokus disebut sumbu utama (sumbu

transvers) atau sumbu mayor dan yang melalui pertengahan serta tegak lurus disebut sumbu sekawan (sumbu konjugasi) atau sumbu minor.

2) Titik potong kedua sumbu tersebut disebut pusat hiperbola. 3) Titik potong hiperbola dengan sumbu utama disebut dengan puncak

hiperbola sedangkan ruas garis penghubung kedua titik potong hiperbola dengan sumbu utama disebut latus rectum.

4) Hiperbola mirip dengan parabola, bedanya parabola hanya terdiri dari satu kurva, sedangkan hiperbola terdiri dari dua kurva, yang masing-masing kurva disebut cabang.

Jika unsur-unsur hiperbola tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana

menentukan persamaan hiperbola? Untuk menentukan persamaan hiperbola berdasarkan koordinat pusat; koordinat puncak; panjang sumbu mayor dan sumbu minor; latus rectum dan lain-lain, maka lakukanlah kegiatan berikut ini.


Kegiatan 14.1. Menentukan Persamaan hiperbola dengan pusat di ( ), sumbu mayor sejajar dengan sumbu dan sumbu minornya adalah sumbu . 1. Pertama sekali kita gambar sebuah hiperbola yang berpusat di ( ), sumbu

utama adalah sumbu dan sumbu sekawannya adalah sumbu , seperti yang terlihat pada Gambar 14.3 di bawah ini.

Gambar 14.3. Hiperbola horizontal yang berpusat di ( )

2. Misalkan titik terletak pada hiperbola. Perhatikan gambar di atas, yang

menunjukkan jarak ke dan jarak ke . Selisih jarak | | terhadap | | anggap sama dengan .

3. Dengan menggunakan defenisi hiperbola, diperoleh: | | | |

√( ) ( ) √( ) ( )

√( ) √( )

√( ) √( )

.√( ) /

. √( ) /

( ) √( ) *( ) +

( ) √( ) ( )

( ) √( )

√( )

( ) . √( ) /

*( ) + * + ( ) ( )


Berdasarkan hubungan , maka persamaan di atas menjadi,

Jika dibagi dengan maka diperoleh suatu persamaan elips adalah:

Dengan syarat

Persamaan (38) di atas merupakan persamaan hiperbola dengan pusat ( ). Apabila hiperbola dengan pusat ( ), fokus ( ) dan ( ) dengan persamaan:

apabila pusat ( ) kita translasikan sejauh . / maka kita peroleh pusat hiperbola

menjadi ( ), sumbu utama adalah yang sejajar dengan sumbu dan sumbu sekawannya adalah yang sejajar dengan sumbu . sehingga persamaan hiperbola menjadi:

( )

( )

Persamaan (39) merupakan persamaan hiperbola dengan pusat ( ), dimana .

Pada kegiatan 14.1 kita sudah dapat suatu persamaan hiperbola adalah

dan

( )

( )

Sekarang kita juga dapat menentukan persamaan hiperbola, jika sumbu mayornya adalah sumbu dan sumbu sekawannya adalah sumbu . Seperti yang terlihat pada Gambar 14.4 dengan cara yang sama pada kegiatan 14.1

Gambar 14.4. Hiperbola Vertikal dengan pusat di ( )

…(38)

…(39)


Berdasarkan gambar di atas, dapat dilihat bahwa jumlah jarak titik

sembarang ( ) terhadap kedua fokus sama dengan . Karena titik ( ) terletak pada hiperbola maka diperoleh,

√( ) ( ) √( ) ( )

√ ( ) √ ( )

.√ ( ) /

. √ ( ) /

( ) √ ( ) ( )

√ ( )

√ ( )

√ ( )

. √ /

( )

( ) ( ) Berdasarkan hubungan , maka persamaan di atas menjadi,

Jika dibagi dengan maka di peroleh suatu persamaan elips adalah:

Dengan syarat .

Persamaan (40) di atas merupakan persamaan hiperbola dengan pusat ( ). Apabila hiperbola dengan pusat ( ), fokus ( ) dan ( ) dengan persamaan:

Apabila pusat ( ) kita translasikan sejauh . / maka kita peroleh pusat hiperbola

menjadi ( ), sumbu utama adalah yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu sekawannya adalah yang sejajar dengan sumbu . sehingga persamaan hiperbola menjadi:

( )

( )

Persamaan (41) merupakan persamaan hiperbola dengan pusat ( ), dimana .

Masalah 14.1 Tentukan koordinat pusat, koordinat fokus, koordinat puncak, dan jarak kedua fokus dari persamaan hiperbola ! Penyelesaian.

…(40)

…(41)


Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaiakan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu pusat hiperbola dengan menggubah persamaan menjadi bentuk baku persamaan hiperbola yaitu:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Diperoleh nilai √

sehingga diperoleh nilai √ √ atau Sehingga dapat disimpulkan bahwa: (i) Koordinat pusat di ( )

(ii) Koordinat puncak ( ) dan ( ) berarti ( √ ) dan

( √ ) (iii) Koordinat fokus ( ) dan ( ) berarti ( ) dan ( ) (iv) Jarak kedua fokus . (v) Sumbu utama adalah dan sumbu sekawan adalah . Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh. Masalah 14.2 Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai koordinat puncak ( ) dan

( ) serta melalui titik (

)!

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu titik pusat hiperbola dengan cara: 1) Hiperbola mempunyai puncak ( ) dan ( ) sehingga diperoleh nilai 2) Pusat hiperbola adalah ( ) sehingga persamaan hiperbola adalah

Hiperbola melalui titik (

) sehingga diperoleh,


. /

(

)

Jadi, persamaan hiperbola dengan pusat ( ) adalah

Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh. Persamaan Asimtot Hiperbola Definisi 2 Asimtot adalah suatu garis yang menyinggung kurva/parabola di jauh tak terhingga. Untuk menentukan persamaan asimtot hiperbola, kita dapat menggunakan persamaan hiperbola yang berpusat ( ) adalah:

Persamaan di atas dapat kita ubah menjadi bentuk:

(

)

sehingga kita peroleh:

√

√

√

( )

√


√

√

Jadi, dapat disimpulkan persamaan asimtot hiperbola adalah:

Dengan cara yang sama, jika hiperbola vertikal dengan pusat ( ) maka

persamaan asimtotnya adalah:

Perhatikan Gambar 14.5 di bawah ini, garis dengan persamaan

masing-

masing disebut dengan asimtot hiperbola.

Gambar 14.5. Hiperbola dengan pusat ( )

Dari gambar di atas, dapat kita ketahui unsur-unsur hiperbola adalah: Sumbu mayor Sumbu minor

Garis asimtot

dan

…(42)

…(43)


Persamaan hiperbola dengan pusat ( ) adalah

yang mempunyai

persamaan asimtot adalah

. Apabila kita translasikan sejauh .

/ maka kita

peroleh pusat hiperbola adalah ( ) dengan persamaan hiperbola adalah: ( )

( )

Dan persamaan asimtot hiperbola adalah:

( )

Atau

( ) (...44)

Dengan cara yang sama, jika hiperbola vertikal dengan pusat ( ) maka persamaan asimtotnya adalah:

( )

Masalah 14.3 Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai koordinat puncak ( ) dan ( ) serta salah satu asimtotnya ! Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu titik pusat hiperbola dengan cara: 1) Hiperbola mempunyai puncak ( ) dan ( )

(1) (2) Eliminasikan persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh, Subsitusikan nilai persamaan (1) maka .

2) Persamaan asimtot

( )

Nilai dan kita substitusikan ke persamaan asimtot hiperbola menjadi,

( )

Dari persamaan di atas, di peroleh nilai maka persamaan hiperbola adalah: ( )

( )

…(45)


Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh. Kegiatan 14.2. Menggambar persamaan hiperbola.

Perlu diperhatikan apa saja yang dibutuhkan untuk melukis sketsa hiperbola adalah sebagai berikut: 1. Menentukan koordinat pusat dan puncak hiperbola. 2. Menentukan persamaan sumbu utama (nyata) dan sumbu sekawan (imajiner). 3. Menentukan persamaan asimtot hiperbola. 4. Menentukan beberapa titik bantu. Masalah 14.4 Gambarlah sketsa hiperbola dengan persamaan Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaiakan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan di atas ke bentuk baku persamaan hiperbola yaitu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Dari persamaan di atas, diperoleh , , sehingga

√

√ √

√ Untuk melukis hiperbola tersebut, tentukan terlebih dahulu unsur-unsur hiperbola adalah sebagai beriku: 1. Koordinat pusat ( ) berarti ( ) 2. Koordinat titik puncak ( ) dan ( ) adalah ( ) dan

( ). 3. Sumbu mayor (sumbu utama) 4. Sumbu minor (sumbu sekawan) 5. Koordinat titik fokus ( ) dan ( ) adalah

( √ ) dan ( √ )

6. Jarak kedua fokus √

7. Persamaan asimtot

( )

8. Titik bantunya adalah:


Gambar 14.6. Hiperbola Horizontal

Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh.

Untuk memperdalam pemahaman anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Tentukan koordinat pusat, koordinat fokus, koordinat puncat, jarak kedua

fokus, dan persamaan asimtot dari hiperbola dengan persamaan sebagai berikut! a. b. c. d.

2. Tentukan persamaan hiperbola apabila diketahui, a. Titik fokus ( ) dan ( ), puncak ( ) dan ( )

b. Puncak ( ) dan ( ), serta melalui titik (

)

c. Puncak ( ) dan ( ), mempunyai persamaan asimtot .

d. Gambarkanlah elips untuk poin soal no. c

Latihan 14


1. Persamaan hiperbola horizontal dengan pusat ( ) adalah

Dengan syarat 2. Persamaan hiperbola horizontal dengan pusat ( ) adalah

( )

( )

Dengan syarat 3. Persamaan hiperbola vertikal dengan pusat ( ) adalah

Dengan syarat

4. Persamaan hiperbola horizontal dengan pusat ( ) adalah ( )

( )

Dengan syarat 5. Latus rectum adalah

6. Persamaan asimtot hiperbola horizontal dengan pusat ( ) adalah

7. Persamaan asimtot hiperbola horizontal dengan pusat ( ) adalah

( )

8. Persamaan asimtot hiperbola vertikal dengan pusat ( ) adalah

9. Persamaan asimtot hiperbola vertikal dengan pusat ( ) adalah

( )

Pilihlah suatu jawaban yang paling tepat, kemudian berilah alasan pemilihan jawaban tersebut! 1. Koordinat puncak dari persamaan adalah ….

A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

Tes Formatif 14

Rangkuman


2. Jika fokus dari persamaan di antaranya adalah… A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

3. Persamaan asimtot dari hiperbola yang persamaannya adalah … A. B. C. D.

4. Persamaan hiperbola yang berpuncak pada titik ( ) dan ( ) dengan

asimtot

adalah …

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

5. Persamaan hiperbola bertitik puncak ( ) dan fokus ( ) berbentuk … A. B. C. D.

6. Persamaan hiperbola dengan puncak di ( ), dan titik fokus ( ), berbentuk…

7. Persamaan garis asimtot hiperbola adalah …. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

8. Asimtot hiperbola adalah …. A. ( ) dan ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )


9. Panjang latus rectum hiperbola dengan persamaan sama dengan …. A. 0,6 B. 0,8 C. 1,0 D. 1,2

10. Persamaan persamaan hiperbola dengan pusat ( ), titik fokus di ( ) dan ( ) berbentuk …. A. B. C. D.




u a s a






1. A 6. C

2. A 7. D

3. B 8. B

4. A 9. D

5. C 10. B


KEGIATAN BELAJAR

15

PERSAMAAN

GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

Pada kegiatan ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan

garis singgung hiperbola bergradien , persamaan garis singgung melalui titik ( ) pada hiperbola, dan persamaan garis singgung melalui titik ( ) di luar hiperbola. Untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola pahami dan lakukanlah kegiatan-kegiatan berikut ini.

A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola yang berpuncak di

( ) dan ( ) dengan gradien . Menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di ( ) dan

( ) dengan gradien sama seperti menentukan persamaan garis singgung pada elips dengan gradien tertentu. Untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola dengan gradien tertentu, lakukanlah kegiatan 15.1 dan perhatikan Gambar 15.1 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.


1. Menemukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singung dan

Garis Polar

2. Menentukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singgung Dan

Garis Polar


Gambar 15.1 Hiperbola yang berpusat di ( ) dan garis singgung

Kegiatan 15.1. Gradien garis singgung diketahui dan hiperbola yang berpusat di ( ). Langkah-langkahnya: 1. Carilah titik koordinat perpotongan antara persamaan hiperbola

dan persamaan garis sebagai berikut.

} dipotongkan

2. Subsitusikan garis ke persamaan hiperbola

sehingga

diperoleh:

( )

( ) ( ) ….(1)


Diskriminan ( ) positif atau , diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis memotong hiperbola

pada dua titik.

, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis

tidak memotong hiperbola

atau garis

berada di luar hiperbola.


, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis

menyinggung hiperbola

pada suatu titik.

4. Agar garis menyinggung hiperbola

, maka ambil ,

yaitu: ( )

( ) ( )( )

√

Sehingga persamaan garis singgung hiperbola

dengan gradien atau

sejajar dengan garis adalah:

√


tentukan persamaan garis singgung hiperbola ( )

( )

dengan gradien .

Geser titik pusat hiperbola ( ) ke titik ( ). Akibatnya persamaan garis

singgung √ bergeser menjadi (

) √ .

Sehingga persamaan garis singgung hiperbola ( )

( )

dengan

gradien atau yang sejajar dengan garis adalah:

( ) √ Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan

garis singgung pada hiperbola


√

Dan persamaan garis singgung hiperbola ( )

( )

dengan gradien

adalah

( ) √ Masalah 15.1 Tentukan persamaan garis singgung hiperbola dengan gredien ! Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

…(46)

…(47)

…(48)

…(49)


Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan hiperbola menjadi,

Dengan , dan

Persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat ( ) dengan gradien adalah,

√

√ ( )

√

√

Jadi, persamaan garis singgung hiperbola adalah √ dan

√ Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik ( ) Pada

Hiperbola yang berpusat di ( ) dan ( ). Untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di

( ) dan ( ) yang melalui titik ( ), lakukanlah kegiatan 15.2 dan perhatikan Gambar 15.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Gambar 15.2. Hiperbola melalui titik singgung

Kegiatan 15.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada hiperbola yang berpusat di ( ).


1. Misalkan persamaan hiperbola

dan titik ( ) dan ( ) yang

terletak pada hiperbola. 2. Sehingga persamaan garis adalah

( )

( ) ( ) 3. Karena titik ( ) dan ( ) berada pada hiperbola maka berlaku

persamaan berikut:

( )

( )

Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi persamaan (3) dan (2) menghasilkan,

(

) (

) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )


( )

( )( ) ( )

5. Apabila titik ( ) bergerak mendekati titik ( ), sehingga titik ( ) dan ( ) berimpit, dan garis akan menjadi garis singgung hiperbola di titik ( ), akibatnya dan . Sehingga persamaan (5) menjadi:

( )

( ) ( )


( )

Berdasarkan persamaan (2) diperoleh,


Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada hiperbola

adalah:

Apabila hiperbola

pusatnya kita translasikan sejauh . / kita dapatkan

persamaan hiperbola ( )

( )

. Demikian pula persamaan garis singgung di

suatu titik ( ) pada hiperbola ( )

( )

adalah

( )( )

( )( )

Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan

garis singgung hiperbola



( )


( )( )

( )( )

Masalah 15.2 Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola di titik ( )! Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan hiperbola ke bentuk baku persamaan hiperbola adalah

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik ( ) adalah ( )( )

( )( )

( )

( )

…(50)

…(51)

…(53)

…(52)


( ) ( )

Jadi, persamaan gari singgung hiperbola yang melalui titik ( ) adalah

Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. C. Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik ( ) di Luar

Hiperbola Agar dapat menentukan persamaan garis singgung di titik ( ) di luar

hiperbola, maka diskusikan kegiatan 15.3 dengan memperhatikan Gambar 15.3 di bawah ini. Kegiatan 15.3 Menentukan Titik ( ) dan Garis Polar Jika titik ( ) terletak di luar hiperbola yang berpusat di ( ) seperti yang terlihat pada Gambar 15.3 di bawah ini:

Gambar 15.3 Titik di Luar Hiperbola


1. Titik ( ) berada di luar hiperbola

.

2. Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung hiperbola yaitu dan . Garis menyinggung hiperbola di ( ); garis menyinggung hiperbola di ( ). Jadi, titik merupakan titik potong garis singgung dan .

3. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis

singgung yang melalui titik yaitu

. Titik ( ) pada ,


sehingga diperoleh

. Itu berarti ( ) pada garis

….(1) 4. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis

singgung diperoleh

. Itu berarti ( ) pada persamaan

….(2)

5. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis (garis penghubung

antara titik dan ) yaitu

yang juga di sebut garis polar dari titik

( ) terhadap hiperbola

adalah

Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap hiperbola

adalah

2. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap hiperbola ( )

( )

adalah

( )( )

( )( )

3. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap hiperbola

adalah

4. Persamaan garis polar dari titik ( ) terhadap hiperbola ( )

( )

adalah

( )( )

( )( )

Menentukan persamaan garis singgung dari titik ( ) di luar hiperbola baik yang berpusat di ( ) maupun yang berpusat di ( ). diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Membuat garis polar dari titik terhadap hiperbola. 2. Mencari koordinat titik potong garis polar dengan hiperbola. 3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis polar dan

hiperbola tersebut. Masalah 15.3 Tentukan persamaan-persamaan garis singgung dari titik ( ) di luar hiperbola!

…(54)

…(55)

…(57)

…(56)


Penyelesaian Perhatikan hasil temuan di bawah ini. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu persaman garis polar yaitu,

( ) Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan hiperbola

sehingga diperoleh, ( )

( )

( )( )

Substitusikan nilai

atau ke persamaan (1) sehingga diperoleh nilai

atau . Sehingga titik singgung hiperbola adalah .

/ dan ( ).


garis singgung hiperbola

dengan titik .

/ adalah:

Dan persamaan garis singgung hiperbola

dengan titik ( ) adalah:


Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.


kerjakanlah latihan berikut! Baca dan pahami soal dengan baik dan benar. 1. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola yang:

a. Sejajar garis b. Tegak lurus garis

2. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola yang membentk sudut dengan sumbu !

3. a. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola yang ditarik dari titik ( )!

d. Tentukan gradien garis singgung tersebut dan tentukan koordinat titik potong garis singgung tersebut dengan hiperbola!

e. Tentukan persamaan garis polarnya!

1. Persamaan garis singgung pada hiperbola


√

2. Persamaan garis singgung pada hiperbola ( )

( )

dengan gradien

adalah:

( ) √

3. Persamaan garis singgung pada hiperbola


√


( )

dengan gradien

adalah:

( ) √ 5. Persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada hiperbola

adalah:

6. Persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada hiperbola ( )

( )

adalah:

( )( )

( )( )

Latihan 15

Rangkuman


7. Persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada hiperbola

adalah:

8. Persamaan garis singgung yang melalui titik ( ) pada hiperbola ( )

( )

adalah:

( )( )

( )( )

Pilihlah suatu jawaban yang paling tepat, kemudian berilah alasan pemilihan jawaban tersebut! 1. Persamaan garis singgung hiperbola di titik ( ) berbentuk ….

A. B. C. D.

2. Persamaan garis singgung pada hiperbola di titik ( ) berbentuk ….

A. B. C. D.

3. Persamaan garis singgung pada hiperbola yang bergradien adalah …. A. B. C. D.

4. Persamaan garis singgung hiperbola yang membentuk sudut terhadap sumbu positif adalah ….

A. √

√

√

√ 5. Persamaan garis singgung hiperbola, yang tegak lurus dengan

garis adalah … A.

Tes Formatif 15


6. Salah satu persamaan garis singgung hiperbola yang sejajar dengan garis adalah… A. B. C. D.

7. Persamaan garis singgung pada hiperbola di titik ( ) berbentuk …. A. B. C. D.

8. Garis singgung hiperbola yang tegak lurus garis adalah …. A. B. C. D.

9. Persamaan garis singgung pada hiperbola di titik ( ) adalah…. A. B. C. D.

10. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola ( ) ( ) dengan gradien adalah ….

A. √

B. √

C. √ D.




u a s a




Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda? Apabila tingkat penguasaan Anda mencapai atau lebih, Bagus !!! Jika masih di bawah , Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 15, terutama bagian yang belum dikuasai.


1. A 6. A

2. C 7. B

3. D 8. D

4. C 9. D

5. A 10. A


DAFTAR PUSTAKA Andy, M. Rudhito. 2008. Geometri dengan Wingeom Panduan dan Ide Belajar

Geometri dengan Komputer. Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sanata Dharma. Yogyakarta.

Rawuh, dkk. 1972. Ilmu Ukur Analitik. Jilid 1 dan 2. Ternate Bandung. Suherman, Maman. 1986. Geometri Analitik Datar. Karunika Jakarta. Sukirman. 2009. Geometri Analit Bidang dan Ruang. Universitas Terbuka. Suryadi, D.H.S. 1986. Ilmu Ukur Analitik Ruang. Ghalia Indonesia. Morril, W.K. 1969. Analytic Geometry. Scranton, Pennsylvania. Mukhni. 2012. Geometri Analitik. Jurusan Mat. FMIPA UNP. Belum diterbitkan.


PROFIL Alfi Yunita, M.Pd., lahir di Padang pada 2 Juni 1983. Pendidikan yang ditempuh, yaitu SDN 17 Bungo Pasang (1995), SMPN 13 Padang (1998), SMAN 7 Padang (2001). Menyelesaikan pendidikan Sarjananya pada Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Bung Hatta Padang (2006). Menyelesaikan pendidikan Magisternya pada Jurusan Pendidikan Matematika PPs Universitas Negeri Padang (2011). Pengalaman mengajar yang pernah dijalaninya adalah sebagai dosen tetap di STKIP PGRI Sumbar dan dosen di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar. Hamdunah, M.Si., lahir di Padang pada 7 Maret 1985. Pendidikan yang ditempuh, yaitu SD Percobaan UNP (1997), MTsN Lubuk Buaya Padang (2001), SMAN 7 Padang (2003). Menyelesaikan pendidikan Sarjananya pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Padang (2009). Menyelesaikan pendidikan Magisternya pada Jurusan Matematika Universitas Andalas Padang (2011). Pengalaman mengajar yang pernah dijalaninya adalah sebagai dosen tetap di STKIP PGRI Sumbar dosen di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar.

modul geometri analitikrepo.stkip-pgri-sumbar.ac.id/id/eprint/4912/2/naskah...alfi yunita –...

Documents