makalah kalkulus lengkap

7/23/2019 Makalah kalkulus Lengkap

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kalkulus-lengkap 1/21

A. Pengertian Integral

Setiap hari, tentulah kita melakukan aktivitas, seperti menghirup udara dan melepaskan

udara. Melepas udara merupakan operasi kebalikan (invers) dari menghirup udara.

Dalam matematika, kita juga mengenal operasi kebalikan (invers), contohnya

pengurangan dengan penjumlahan, perkalian dengan pembagian, pemangkatan dengan

penarikan akar, dan sebagainya. Pada subbab ini kita akan mempelajari invers dari

dierensial, yaitu integral.

!ita telah mempelajari arti dierensial atau turunan di kelas "#. $ika kita mempunyai (%)

& x2 ' , turunannya adalah (%) & *%. Dari contoh ungsi tersebut, kita dapat menentukan

suatu ungsi yang turunannya (%) & *%, yang disebut sebagai antiturunan atau

antidierensial atau pengintegralan. $adi, pengintegralan merupakan operasi kebalikan

dari pendierensialan.

Misalnya diketahui (%) & *%, ungsi ini merupakan turunan dari (%) & x2 ' +, (%) & x2

-

log , atau (%) & x2 ' * .

/erlihat ungsi0ungsi ini hanya berbeda konstantanya saja.

Secara umum, dapat dituliskan bah1a (%) & x

2

' c merupakan antiturunan dari (%) & *%,dengan c adalah bilangan real sembarang.

Dari uraian di atas dapat dideinisikan sebagai berikut.

2ungsi 2(%) disebut antiturunan dari (%) pada suatu domain jika 32(%)4 & (%).

5. Integral Tak Tentu

Misalkan diberikan ungsi0ungsi berikut.

y & x2 ' *% ' 6

y & x2 ' *% - *

!edua ungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu & *% ' *. Sekarang, tinjau balik.

Misalkan diberikan *% ' *. $ika dicari integralnya, akan diperoleh ungsi0ungsi

y & x2

' *% ' 6,

http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/rumus-turunan-fungsi-contoh-soal-konsep-cara-menentukan-persamaan-garis-singgung-kecepatan-sesaat-bilangan-rasional-pembahasan-notasi-leibnitz-matematika.html

http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/rumus-turunan-fungsi-contoh-soal-konsep-cara-menentukan-persamaan-garis-singgung-kecepatan-sesaat-bilangan-rasional-pembahasan-notasi-leibnitz-matematika.html



y & x2 ' *% - *,

bahkan,

y & x2 ' *% ' +,

y & x2 ' *% - log ,

dan sebagainya.

Dengan demikian, ungsi yang memiliki turunan & *% ' * bukan saja dua ungsi di

atas, tetapi banyak sekali. 7alaupun demikian, ungsi0ungsi itu hanya berbeda dalam halbilangan tetap saja (seperti 6, -*, +, log , dan seterusnya). 5ilangan0bilangan ini dapat

disimbolkan dengan c. !arena nilai c itulah hasil integral ini disebut integral tak tentu.

+. Notasi Integral Tak Tentu

Perhatikan kembali deinisi integral tak tentu di atas. Secara umum, jika 2(%) menyatakan

ungsi dalam variabel %, dengan (%) turunan dari 2(%) dan c konstanta bilangan real maka

integral tak tentu dari (%) dapat dituliskan dalam bentuk 8

ʃ (%) d%&2(%)'c

dibaca 9integral ungsi (%) ke % sama dengan 2(%) ' c9.

!eterangan8

ʃ (%) d% & notasi integral tak tentu

2(%) ' c & ungsi antiturunan

(%) & ungsi yang diintegralkan (integran)

c & konstantad% & dierensial (turunan) dari %

*. Rumus Dasar Integral Tak Tentu

Pada subbab ini, akan dibahas integral ungsi aljabar saja. :leh karena itu, kalian harus

ingat kembali turunan ungsi aljabar yang telah kalian pelajari di kelas "#.

Pada pembahasan kalkulus dierensial atau turunan, diketahui bah1a turunan dari

' c ke % adalah 8



3 ' c4 & (n ' +) & (n ' +) xn .

Dengan mengalikan , untuk n ≠ -+ pada kedua ruas, diperoleh 8

$adi, 3 ' c4 & (n'+) xn & xn ............................................... (+)

$ika persamaan (+) dituliskan dalam bentuk integral, kalian akan memperoleh 8

ʃ xn d% & ' c ; n ≠ -+

5agaimana jika n & < Apa yang kalian peroleh< /entu saja untuk n & , persamaan di

atas menjadi ʃ d% & % ' c.

Pada materi dierensial, kalian telah mengetahui jika y & 2(%) ' =(%) maka turunannya

adalah & (%) ' g(%), dengan (%) turunan dari 2(%) dan g(%) turunan dari =(%).

Dengan demikian, dapat dinyatakan bah1a

ʃ 3(%)'g(%)4 d% & ʃ (%) d% ' ʃ g(%) d%.

>al ini juga berlaku untuk operasi pengurangan.

Dari uraian di atas, kita dapat menuliskan rumus0rumus dasar integral tak tentu sebagai

berikut.

+) ʃ a d% & a% ' c

*) ʃ a (%) d% & a ʃ (%) d%

) ʃ %n d% & ' c ; n ≠ -+

) a ʃ %n d% & ' c ; n ≠ -+

6) ʃ 3 (%) ' g(%)4 d% & ʃ (%) d% ' ʃ g(%) d%

?) ʃ 3 (%) ʃ g(%)4 d% & ʃ (%) d% 0 ʃ g(%) d%

@ontoh Soal #ntegral +8

/entukan hasil integral ungsi0ungsi berikut.



a. ʃ 6 d%

b. ʃ x5 d%

c. ʃ * d%

Pembahasan 8

a. ʃ 6 d% & 6 ʃ d% & 6% ' c

b. ʃ x5 d% & ʃ x5 d% & x5 ' + ' c & x6 ' c & x6 'c

c. ʃ * d% & * ʃ % d% & ' c & ' c & ' c

@ontoh Soal #ntegral *8

Selesaikan setiap pengintegralan berikut.

a. ʃ x4 d%

b. ʃ (x + 3)2 d%

Penyelesaian 8

a. ʃ % d% & ʃ x4 . x1/2 d% & ʃ d% & d% ' c & ' c

b. ʃ (x + 3)2 dx = ʃ (%* ' ?% ' ) d% & % ' %* ' % ' c

. Menentukan Persamaan !urva

Di kelas "#, kalian telah mempelajari gradien dan persamaan garis singgung kurva di

suatu titik. $ika y & (%), gradien garis singgung kurva di sembarang titik pada kurva

adalah y & & (%). :leh karena itu, jika gradien garis singgungnya sudah diketahui

maka persamaan kurvanya dapat ditentukan dengan cara berikut.

y & ʃ (%) d% & (%) ' c

$ika salah satu titik yang melalui kurva diketahui, nilai c dapat diketahui sehingga

persamaan kurvanya dapat ditentukan.



@ontoh Soal 8

Diketahui turunan dari y & (%) adalah & (%) & *% ' .

$ika kurva y & (%) melalui titik (+, ?), tentukan persamaan kurva tersebut.

$a1aban 8

Diketahui (%) & *% ' .

Dengan demikian, y & (%) & ʃ (*% ' ) d% & x2 ' % ' c.

!urva melalui titik (+, ?), berarti (+) & ? sehingga dapat kita tentukan nilai c, yaitu + ' 'c & ? ↔ c & *.

$adi, persamaan kurva yang dimaksud adalah y & (%) & x2 ' % ' *.

@ontoh Soal 8

=radien garis singgung kurva di titik (%, y) adalah *% - B. $ika kurva tersebut melalui titik

(, -*), tentukanlah persamaan kurvanya.

Penyelesaian 8

=radien garis singgung adalah (%) & & *% - B sehingga 8

y & (%) & ʃ (*% 0 B) d% & x2 - B% ' c.

!arena kurva melalui titik (, -*) maka 8

() & -* ↔ 2

- B() ' c & -*↔ -+* ' c & -*

↔ c & +

$adi, persamaan kurva tersebut adalah y & x2 - B% ' +.

@ontoh Soal 6 8

5iaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh M@ & C2 - C ' 6, dengan C &

banyak unit dan biaya tetap k & , k adalah konstanta integral. /entukan persamaan

biaya total (@).



Pembahasan 8

2ungsi biaya marginal M@ & C2 - C ' 6.

M@ & d@ dC & dengan kata lain d@ & M@ dC

@ & ʃ M@ dC

& ʃ (C2 - C ' 6) dC

& C3 0 * C2 ' 6C ' k

:leh karena itu, @ & C3 0 * C2 ' 6C ' k

@. Integral Tertentu

+. Pengertian Integral sebagai Luas Suatu Bidang Datar

!alian pasti sudah pernah mempelajari perhitungan luas bangun datar. 5angun datar apa

saja yang sudah kalian kenal< 5angun datar yang kalian kenal pasti merupakan bangun

datar beraturan, misalnya segitiga, segi empat, lingkaran, dan sebagainya.

Gambar 2. Bangun datar yang dibatasi kura y = !(x)" sumbu #" s$rta garis x = a dan y= b.

Perhatikan =ambar *. Apakah gambar daerah yang diarsir tersebut merupakan bangun

datar yang sudah kalian kenal<

/ermasuk bangun apakah gambar daerah tersebut< Dapatkah kalian menentukan luas

bangun datar tersebut dengan rumus yang sudah kalian kenal< /entu saja tidak. Daerah

atau bangun datar pada =ambar *. merupakan bangun datar yang dibatasi kurva y & (%),

sumbu ", serta garis % & a dan y & b.



Entuk memahami pengertian integral sebagai luas suatu bidang datar, perhatikan

=ambar *. Daerah yang diarsir adalah suatu daerah yang dibatasi kurva y & (%) dan

sumbu " dari a sampai b. Dimisalkan ungsi y & (%) terdeinisi pada interval tertutup 3a,

b4.

5agilah interval tertutup tersebut menjadi n buah subinterval yang sama lebar sehingga

terdapat n buah titik tengah, yaitu x1" x2" x3" ..." xn" dengan x1 = % (t& + t1)" x2 = % (t1 +

t2)" ..." xn = % (tn'1 + tn) (perhatikan =ambar ). Dimisalkan ujung paling kiri interval

adalah t& & a dan ujung paling kanan adalah tn & b dengan a t1 t2 ... tn'1 b.

Gambar 3. nt$ra* t$rtutu t$rs$but m$n,adi n bua- subint$ra* yang sama *$bar s$-ingga t$rdaat n bua-

titik t$nga-.

Misalkan panjang tiap subinterval adalah ti ' ti'1 = F%. Pada tiap subinterval 3ti-+,

ti4, tempatkan sebuah titik % (tidak harus di tengah, boleh sama dengan titik ujungnya).

Domain ungsi y & (%) dibagi menjadi n buah subinterval dengan alas % dan tinggi (xi)

sehingga membentuk pias0pias persegi panjang. Guas masing0masing persegi panjang

adalah (xi) %. $ika semua luas persegi panjang dijumlahkan maka diperoleh 8

$ & (%+) F% ' (%*) F% ' (%) F% ' ... '(%n) F% .$ & ((%+) ' (%*) ' (%) ' ... ' (%n)) F%

= ! (xi) x

dengan 0 merupakan notasi jumlah yang berurutan. $ disebut dengan jumlahan

Hiemann. Iotasi ini pertama kali digunakan oleh 5ernhard Hiemann.



Gambar 4. um*a-an i$mann itu m$nd$kati *uas da$ra- yang diarsir.

$ika banyak pias n mendekati tak berhingga (n ), jumlahan Hiemann itu mendekati

luas daerah dari =ambar . :leh sebab itu, luas G dapat ditulis dalam bentuk 8

G & (%i) % ............................................. (+)

$ika n maka % .

#ntegral tertentu dari a sampai b dinyatakan dengan (%) d% dan oleh Hiemann

nilainya dideinisikan sebagai 8

(%) d% & (xi) % ............................................. (*)

Dari deinisi integral tertentu di atas dapat dikatakan (%) d% menyatakan luas daerah

yang dibatasi oleh garis % & a, garis % & b, kurva y & (%), dan sumbu ".



Gambar 5. *uas da$ra- yang dibatasi *$- garis x = a" garis x = b" kura y = !(x)" dan sumbu #.

Perhatikan bah1a substitusi (+) dan (*) menghasilkan 8

G & (%) d% ........................................................... ()

Sekarang kita misalkan ʃ (%) d% & 2(%) ' c. Guas G di atas merupakan ungsi dari %

dengan % ϵ 3a, b4 berbentuk 8

G(%) & (%) d% & 2(%) ' c

$ika nilai t ada pada interval 3a, b4, yaitu J% K a % bL kita dapat mendeinisikan luas G

sebagai ungsi dari t berbentuk 8

G(t) & (%) d% & 2(t) ' c

Akibat dari pemisalan di atas, akan diperoleh 8

G(a) & (%) d% & 2(a) ' c & .



Sebab luas daerah dari % & a hingga % & a berbentuk ruas garis sehingga luasnya sama

dengan nol. !arena G(a) & maka diperoleh 8

2(a) ' c & atau c & -2(a) ..................... ()

Akibat lain dari pemisalan itu, akan diperoleh

G(b) & (%) d% & 2(b) ' c ................... (6)

>asil substitusi dari persamaan () ke (6), diperoleh 8

G(b) & (%) d% & 2(b) - 2(a)

Dengan demikian, dapat disimpulkan bah1a jika G adalah luas daerah yang dibatasi oleh

kurva y & (%), sumbu ", garis % & a dan garis % & b maka 8

G & (%) d% & 2(b) - 2(a)

*. Pengertian Integral Tertentu

!alian tahu bah1a 8

(%) d% & 2(b) - 2(a)

menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y & (%), sumbu ", garis % & a, dan

garis % & b.

Misalkan kontinu pada interval tertutup 3a, b4 atau a % b.

$ika 2 suatu ungsi sedemikian rupa sehingga 2(%) & (%) untuk semua % pada 3a, b4,

berlaku 8

(%) d% & & 2(b) - 2(a)



2(%) adalah antiturunan dari (%) pada a % b.

Menggambar Daerah yang Dibatasi oleh !urva

/entu kalian masih ingat bagaimana menggambar graik ungsi linear, ungsi kuadrat,

maupun ungsi trigonometri. =raik ungsi0ungsi tersebut banyak dibahas di sini,

berkaitan dengan pencarian luas daerah yang batasi oleh kurva. 5agaimana cara

menggambarkan daerah itu< Misalkan kita akan menggambar daerah yang dibatasi oleh

kurva (%) & % dari % & sampai % & *, sumbu ", dan garis % & *.

Gangkah pertama adalah menggambar graik (%) & %.

!emudian, tarik garis batasnya, yaitu dari % & sampai % & * hingga memotong kurva.

Arsir daerah yang berada di ba1ah kurva (%) & % dari % & sampai % & * dan di atas

sumbu ". >asilnya tampak seperti gambar di ba1ah ini.

Gambar 6. $nggambar 7a$ra- yang 7ibatasi *$- 8ura.

5agaimana jika daerah yang akan digambar dibatasi oleh dua kurva< Pada dasarnya

sama dengan cara di atas. Misalkan kita akan menggambar daerah yang dibatasi oleh

graik (%) & % dan g(%) & *% dari % & sampai % & * dan garis % & *.

/erlebih dahulu, kita gambar (%) & % dan g(%) & *% pada bidang koordinat. /arik garis

batasnya, yaitu % & dan % & * hingga memotong kedua graik. !emudian, arsir daerah

yang dibatasi oleh graik itu dari % & sampai % & *. >asilnya tampak seperti gambar di

samping.



@obalah kalian gambar daerah yang dibatasi oleh kurva0kurva berikut.

+. (%) & x2 dan sumbu "

*. (%) & x2 dan g(%) & %

. (%) & x2 dan g(%) & x3

@ontoh Soal B 8

/entukan integral tertentu untuk menghitung luas daerah yang diarsir pada gambar0

gambar berikut.

Gambar 9. $ng-itung *uas da$ra- yang diarsir m$nggunakan int$gra* t$rt$ntu.

!unci $a1aban 8

a. =ambar B (a) merupakan graik garis lurus yang melalui titik (, ) dan (, ) maka

persamaan garisnya adalah % ' y & atau y & - %. Entuk batas kiri adalah sumbu ,

berarti % & dan batas kanan adalah % & . $adi, luas daerahnya dapat dinyatakan

dengan ( 0 %) d%

b. =ambar B (b) merupakan suatu daerah yang dibatasi oleh sumbu " dan kurva y & (%).

!arena kurva memotong sumbu " di titik (, ) dan (?, ) maka y & ?% - x2 . Entuk batas

kiri adalah garis % & * dan batas kanan adalah % & . $adi, luas daerahnya dapat

dinyatakan dengan (?% 0 x2 ) d%.

@ontoh Soal N 8

=ambarkan daerah0daerah yang luasnya dinyatakan dengan integral berikut.



a. (% ' *) d%

b. ( 0 x2 ) d%

Pembahasan 8

a. =raik y & (%) & % ' * mempunyai titik potong (, *) dan (-*, ) sehingga (% ' *)

d% dapat digambarkan seperti pada =ambar N.

Gambar :. Gra!ik y = !(x) = x + 2.

b. ( 0 x2 ) d%

Diketahui (%) & - x2 dengan batas ba1ah % & dan batas atas % & *. !urva (%) &

- x2

merupakan parabola dengan titik potong (-*, ) dan (*, ) yang membuka ke ba1ah.Dengan demikian, daerah tersebut dapat digambarkan seperti pada =ambar .



Gambar ;. 8ura !(x) = 4 ' x2

@ontoh Soal 8

/entukan nilai0nilai integral berikut.

a. (% ' ) d%

b. (x3 0 %) d%

Penyelesaian 8



. Sifat-Sifat Integral Tertentu

#ntegral sebenarnya dapat ditentukan dengan mudah. Entuk mempermudah perhitungan

integral, kalian dapat memanaatkan siat0siat integral. Agar kalian menemukan siat0siat

integral, perhatikan contoh0contoh berikut.

@ontoh Soal + 8

>itunglah nilai integral dari ungsi berikut.

a. (*% ' ) d%

b. (x2 ' ) d%

c. (x2 ' ) d%

$a1aban 8



@ontoh Soal +* 8

/entukan nilai0nilai integral berikut.

a. ?x2 d%

b. ? x2 d%

c. (6x4 ' *%) d%

d. 6x4 d% ' *% d%

e. Dari nilai integral pada bagian a sampai dengan d tersebut, apa yang dapat kalian

simpulkan dari hubungan tersebut<

Penyelesaian 8



@ontoh Soal + 8

a. x3 d%

b. x3 d% ' x3 d%

c. Dari hasil a dan b, apa kesimpulan kalian<

$a1aban 8



Dari contoh0contoh di atas maka dapat dituliskan siat0siat integral sebagai berikut.

Misalkan (%) dan g(%) adalah ungsi0ungsi kontinu pada 3a, b4, berlaku sebagai berikut.

a. (%) d% &

b. c (%) d% & c (%) d% , dengan c & konstanta

c. (%) d% & 0 (%) d%

d. 3 (%) < g(%)4 d% & (%) d% ' g(%) d%

e. (%) d% ' (%) d% & (%) d%, dengan a c b

D. Pengintegralan dengan Substitusi



Salah satu cara untuk menyelesaikan hitung integral adalah dengan substitusi. 5eberapa

bentuk integral yang dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi tertentu ke dalam

ungsi yang diintegralkan, misalnya bentuk un du. 5agaimana cara

menyelesaikannya< Entuk itu, perhatikan uraian berikut.

Pada pembahasan sebelumnya, diperoleh

xn & ' c.

:leh karena itu, untuk menyelesaikan integral bentuk ((%))n d% maka kita dapat

menggunakan substitusi u & (%) sehingga integral tersebut berbentuk un du. Dengan

demikian, diperoleh un du & ' c. :leh karena itu, dapat dituliskan

sebagai berikut.

((%))n d((%)) & un du & ' c

dengan u & (%) dan n ≠ -+.

@ontoh Soal + 8

/entukan hasil integral berikut.

a. ʃ (*% ' ?)(%* ' ?% ' )B d%

b. ʃ (x2 :x + 1)(x 4)dx

Pembahasan 8

a. ʃ (2x + 6)(x2 + 6x + 3)9 dx = ʃ (x2 + 6x + 3)9 (2x + 6) dx

@ara +8

Misalkan u & x2 ' ?% ' ↔ dud% & *% ' ?

↔ du & (*% ' ?) d%.



:leh karena itu,

(% ʃ * ' ?% ' )B (*% ' ?) d%& ʃ uB du

& +N uN ' c

& +N (%* ' ?% ' )N ' c

@ara *8

ʃ (*% ' ?)(%* ' ?% ' )B d% & ʃ (%* ' ?% ')B d (%* ' ?% ' )

& +N (%* ' ?% ' )N ' c

b. ʃ (x2 :x + 1)(x 4) dx

@ara +8

Misalkan u & x2 - N% ' +.

dud% & *% - N ↔ +* du & (% - ) d%

:leh karena itu,

ʃ (x2 :x + 1)(x 4)dx = u.½ du = ½ ʃ u du = ½ (1/2 u2 ) + > = ¼ u2 + >

= ¼(x2 ' :x + 1)2 + >

@ara *8

ʃ (%* 0 N% ' +)(% 0 )d%

& ʃ (%* 0 N% ' +) O d (%* 0 N% ' +)

& O ʃ (%* 0 N% ' +) d(%* 0 N% ' +)

& O (+* (%* - N% ' +)* ) ' c

= ½ (x2 ' :x + 1)2 + >

/entukan integral berikut.



a. ʃ % d%

b. ʃ d%

$a1ab8

a. ʃ % d%

Misalkan u & x2 - + ↔ du & *% d% sehingga % d% & ½ du

ʃ % d% & ʃ ½ du = 1/2 ʃ du

b. ʃ d%

Misalkan u & *x3 ' + ↔ du & ?x2 d% sehingga x2 d% & ½ du

makalah kalkulus lengkap

Documents