2.1 FUNGSI DETERMINAN

Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real, terdapat

tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut. Satu nilai real ini

disebut determinan. Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.

A = → det(A) = 7 B = → det(B) = 25

Bagaimana menghitung nilai determinan?

Cara menghitung nilai determinan : 1. Definisi determinan

2. Sifat-sifat determinan

3. Ekspansi minor dan kofaktor

4. Kombinasi cara 2 dan 3

Melalui definisi determinan

Determinan adalah produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks

sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda kemudian

hasilnya dijumlahkan.

Determinan dari matriks 2 x 2

A = → det(A) =

Bagaimana cara menentukan tanda + dan – tiap suku?

Sebelum kita mengetahui cara menentukan tanda + dan - , kita perlu

memahami definisi dari permutasi.

Definisi

Permutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, 3, . . . , n}

adalah susunan integer-integer ini menurut suatu aturan tanpa adanya

penghilangan atau pengulangan.

Definisi

Suatu permutasi dikatakan genap (even) jika total banyaknya inverse

adalah integer genap dan dikatakan ganjil (odd) jika total bnyaknya

inverse adalah integer ganjil.

Cara menentukan tanda + dan – dengan cara hasil kali elementer matriks

2 x 2

Hasil kali

elementer

Permutasi

Yang berkaitan

Ganjil atau

Genap

Hasilkali

Elementer

bertanda

(1, 2)

(2, 1)

genap

ganjil

Determinan dari matriks 2 x 2 dengan cara mengalikan entri-entri dengan

arah panah ke kanan dan mengurangkannya dengan hasil perkalian dari

entri-entri dengan arah panah ke kiri.

Determinan dari matriks 3 x 3

B =

det (B) = + + – – -

Cara menentukan tanda + dan – dengan cara hasilkali elementer matriks 3

x 3

Hasilkali

elementer

Permutasi yang

berkaitan

Ganjil atau

Genap

Hasilkali

Elementer

bertanda

(1, 2, 3)

(1, 3, 2)

(2, 1, 3)

(2, 3, 1)

(3, 1, 2)

(3, 2, 1)

Genap

Ganjil

Ganjil

Genap

Genap

Ganjil

Perhatikan . perlu ditekankan bahwa metode yang ditunjukkan pada

gambar 2.1.2 tidak dapat digunakan untuk menghitung determinan dari

matriks 4 x 4 atau matriks yang lebih besar.

Contoh soal

1. Hitunglah determinan dari

A = dan B =

Penyelesaian:

Dengan menggunakan metode di atas kita dapatkan,

det(A) = (3)(-2) (1)(4) = -10

det(B) = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240

2.2 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS

Teorema 2.2.1.

Anggap A adalah suatu matriks bujur sangkar.

(a) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka det(A)=0

(b) Det(A) = det ( )

Bukti teorema 2.2.1

(a) Karena setiap hasil kali dasar bertanda dari A mempunyai satu faktor

dari masing-masing baris dan satu faktor dari masing-masing kolom, maka

setiap hasil kali dasar bertanda perlu mempunyai sebuah faktor dari suatu baris

nol atau sebuah faktor dari suatu kolom nol. Dalam kasus-kasus seperti ini,

setiap hasil kali dasar bertanda adalah nol, dan det(A), yang merupakan

jumlah dari semua hasil kali dasar bertanda adalah nol.

(b) Suatu hasil kali dasar mempunyai satu faktor dari setiap baris dan

setiap kolom, sehingga terbukti bahwa A =

Contoh penerapan dari teorema 2.2.1

(a) Hitung determinan dari matriks berikut

A =

Det(A) = 0+0+0-0-0-0 = 0

(b) Hitung determinan dari matriks berikut, lalu apakah benar bahwa untuk

suatu matriks berorde n x n berlaku det(A) = det( )

A = =

Det(A) = 12+245+108-30-63-168 = 108 det( ) = 12+108+245-

30-63-168 = 108

Jadi, terbukti bahwa det(A) = det( )

Teorema 2.2.2.

Jika A adalah suatu matriks segitiga n x n maka determinan dari A sama

dengan hasil kali elemen-elemen diagonal dari A

Bukti teorema 2.2.2 (kasus segitiga bawah 3 x 3). Satu-satunya hasil kali dasar dari A yang bias tak nol adalah ….untuk melihat adalah demikian halnya, tinjau suatu hasil kali dasar umum a1j, a2j, a3j karena a12 = a13 = 0, kita harus mempunyai j1 = 1 supaya kita mempunyai suatu hasil kali dasar tak-nol. Jika j1 =

1, kita harus mempunyai j2. 1, karena tidak ada dua faktor yang berasal dari kolom yang sama. Lebih jauh lagi, karena a23 = 0, kita harus mempunyai j2 = 2 agar kita mempunyai suatu hasil kali tak-nol. Dengan meneruskan cara ini kita memperoleh j3 = 3. Karena a11a22a33 dikalikan dengan +1 dalam membentuk hasil kali dasar kita peroleh

Det(A) = a11a22a33

Contoh penerapan dari teorema 2.2.2

maka determinan dari matriks berikut adalah 2 x 5 x 1 = 10

Operasi Baris Elementer

Teorema 2.2.3

MisalkanAadalahsuatumatriks n x n

a) Jika B adalahmatriks yang diperolehketikasatubarisatausatukolomdari A dikalikandengansuatuskalar k, makadet (B) = k det (A).

b) Jika B adalahmatriks yang diperolehketikaduabarisatauduakolomdari A dipertukarkan, makadet (B) = -det(A)

c) Jika B adalahmatriks yang diperolehketikakelipatandarisatubaris A ditambahkankebarislainnyaatauketikakelipatandarisatukolomditambahlkankekolom yang lain, makadet (B) = det (A)

ContohTeorema 2.2.3Diterapkanuntukdeterminan 3 x 3

Hubungan Operasi

ka11 ka12 ka13 a11 a12 a13

a21 a22 a23 = k a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33

det (B) =kdet (A)

Barispertamadari A dikalikandengan k

a21 a22 a23 a11 a12 a13

a11 a12 a13 = - a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33

det (B) = - det (A)

Barispertamadankeduadari A dipertukarkan

a11 +ka21 a12 + ka22 a13 +ka23 a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33

det (B) = det (A)

Suatukelipatandaribariskeduadari A di

tambahkankebarispertama

Bukti pada baris pertama

det (B)= (ka11 a22a33+ ka12 a23a31+ ka13a21a32)-( a31 a22ka13+a32 a23ka11+a33a21ka12)

=k (a11 a22 a33 +a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – k ( a31a22a13 +a32 a23 a11 +a33 a21a12 )

=k((a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) –( a31 a22a13 +a32 a23 a11 +a33 a21a12 ))

= k det (A)

Bukti pada baris ke dua

Det (B) = (a21 a12 a33 + a22 a13 a31 + a23 a11 a32 ) – (a31 a12 a23 + a32 a13 a21 + a33 a11 a22)

= -((a31 a12 a23 + a32 a13 a21 + a33 a11 a22) + (a21 a12 a33 + a22 a13 a31 + a23 a11 a32

))

Bukti pada baris ke tiga

Det (B) = (a11 +ka21) a22 a33 + (a12 + ka22) a23 a31+ (a13 +ka23) a21a32 – (a31 a22 (a13

+ka23)+ a32 a23(a11 +ka21) + a33 a21( a12 + ka22))

= (a11 +ka21) a22 a33 - a32 a23(a11 +ka21) + (a12 + ka22) a23 a31 - a33 a21( a12 + ka22) + (a13 +ka23) a21a32 - a31 a22 (a13 +ka23)

= a11 a22 a33 + ka21 a22 a33- a32a23a11- a32 a23ka21+ a12 a23 a31 + ka22 a23 a31 - a33

a21a12 - a33 a21 ka22 + a13a21a32 + ka23a21a32 - a31 a22a13 - a31 a22ka23

= ( a11 a22 a33+ a12 a23 a31+ a13a21a32- a32a23a11- a33 a21a12 - a31 a22a13 ) + k (a21 a22

a33- a32 a23a21 + a22 a23 a31 - a33 a21 a22 +a23a21a32 - a31 a22a23)

= det ( A) + 0 = det (A)

Matriks Elementer

Teorema 2.2.4

Misalkan E adalah suatu matriks elementer n x n

a) Jika E adalah hasil perkalian suatu baris dari In dengan k, maka det (E) = k b) Jika E adalah pertukaran dua baris dari In, maka det (E) = -1c) Jika E adalah hasil penjumlahan kelipatan satu baris dari In ke baris lainnya,

maka det (E) = 1

Contoh Determinan dari matriks Elementer

1 0 0 0

0 3 0 0 = 3

0 0 1 0

0 0 0 1

Baris kedua dari I4 dikalikan dengan 3

0 0 0 1

0 1 0 0 = -1

0 0 1 0

1 0 0 0

Baris pertama dan terakhir dari I4 dipertukarkan

1 0 0 7

0 1 0 0 = 1

0 0 1 0

0 0 0 1

7 kali baris terakhir dari I4 ditambahkan ke baris pertama

Teorema 2.2.5

Jika A adalah suatu matriks bujursangkar dengan dua baris atau dua kolom yang

proposional, maka det(A) = 0

Jika suatu matriks bujursangkar A memiliki 2 baris yang proposional, maka suatu

baris bilangan nol dapat dibentuk dengan cara menjumlahkan kelipatan yang sesuai

dari salah satu baris ke baris lainnya. Hal ini berlaku juga untuk kolom.

Contoh : membentuk baris nol

1. A = =

Dua kali baris pertama dikurangi baris kedua untuk membentuk satu baris nol,

sehingga :

Det(A) = 0

2. B = =

Dua kali kolom pertama ditambah kolom kedua untuk membentuk satu kolom

nol, sehingga :

Det(B) = 0

3. C = =

Dua kali baris pertama ditambah baris keempat untuk membentuk satu baris

nol, sehingga :

Det(C) = 0

MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS

Contoh :

1. A =

Det(A) = = (-) ( Baris ke 2 dan ke 3

dipertukarkan)

= (-)(3)

( Suatu faktor bersama yaitu 3 dari baris pertama

dikeluarkan melewati tanda determina )

= (-)(3)(-2)

( Suatu faktor bersama yaitu -2 dari baris ketiga

dikeluarkan melewati tanda determinan )

= (-)(3)(-2)

( Baris kedua ditambah dua kali baris pertama )

= (-)(3)(-2)(5)

( Suatu faktor bersama yaitu 5 dari baris kedua

dikeluarkan melewati tanda determinan )

= (1)(-)(3)(-2)(5)

= 30