BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pythagoras  adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang

paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia

memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan

pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat

banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya. Phytagoras

memiliki peran yang besar terhadap dunia Matematika. Salah satu peninggalan

Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa

kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah

kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di

dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun

teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali

membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di

dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat

diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan

matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam

bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan.

Selain teorema Phytagoras masih ada beberapa aliran matematika

Phytagoras yang mempengaruhi perkembangan matematika dunia saat ini

yang perlu kita ketahui. Di makalah ini kami akan menyajikan secara rinci

tentang bagaimana peran Phytagoras terhadap perkembangan Matematika

Dunia serta sejarah singkat mengenai aliran matematika yang dibawanya.

1.2 Rumusan Masalah

Bagaimana aliran Matematika yang dikembangkan Phytagoras?

1

1.3 Tujuan

Untuk mengetahui Sejarah perkembangan aliran Matematika Phytagoras

serta penjelasan rinci tentang pola pikir pengembangannya.

1.4 Manfaat

Manfaat dalam pembutan makalah ini, diharapkan agar kita semua

mengetahui secara mendalam bagaimana Aliran Matematika yang

dikembangkan oleh phytagoras serta mengetahui bagaimana peran dan

manfaatnya untuk perkembangan matematika hingga saat ini.

2

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Aliran Pythagoras

2.1.1. Pythagoras dan Theano

Pythagoras ( 570 – 500 S.M. ) lahir di Samos, pesisir pulau

Yunani yang sekarang kita kenal dengan Turki. Menurut

Iamblicus, Porphyry dan Diogenes Laertus, Pythagoras

belajar dari orang-orang Babilonia, dan ia mungkin telah bertemu

dengan Nabi Daniel di Babilonia. Dari lempengan tanah liat

Plimpton 322, kita mengenal bahwa sebenarnya bangsa

Babilonia telah mengerjakan teori ‘segitiga Pythagoras’ dan

Pythagoras mempelajari itu dari mereka. Pythagoras mungkin

yang pertama kali menemukan bukti teorema Pythagoras, tetapi

tentu saja bukan ia sendiri yang menemukan teorema tersebut.

Menurut Iamblicus, Porphyry dan Diogenes Laertus,

Pythagoras juga belajar dari ‘Magi’ atau aliran Zoroastria. Tentu

saja, tidak mungkin Pythagoras berbicara langsung dengan

Zoroaster sendiri. Juga tidak mungkin bahwa Pythagoras belajar

di India. Dia percaya reinkarnasi yang tentu saja dimiliki oleh

3

bangsa asli India. Barangkali Pythagoras telah bertemu Budha,

yang hidup pada jaman yang sama.

Kira-kira tahun 525 S.M. Pythagoras pindah ke Corton, kota

di sebelah selatan Italia, dan mendirikan persaudaraan aliran

Pythagoras. Dia menikah dengan wanita aliran Pythagoras yang

bernama Theano. Theano mungkin menjadi matematikawati

pertama.

2.1.2. Mistisme Bilangan

Sementara Thales menyatakan bahwa “semua adalah air”

Pythagoras mengajarkan bahwa “semua adalah bilangan”. Bagi

Pythagoras, hal ini berakibat bahwa segala sesuatu dapat

dipahami dalam istilah bilangan cacah dan rasionya. Secara

khusus, setiap ruas garis adalah suatu bilangan cacah atau rasio

bilangan cacah. Meskipun penemuan irasionalitas panjang

diagonal persegi dengan panjang sisi 1 dibuat oleh pengikut

Pythagoras, Pythagoras sendiri tidak menyadari hal tersebut.

Pythagoras memberi tempat yang istimewa pada bilangan

10. Dia menyebut bilangan ini “bilangan yang diagungkan”. Dia

tertarik dengan bilangan tersebut dengan alasan-alasan berikut.

Angka tersebut digunakan oleh orang Yunani kuno sebagai basis

perhitungan. Sebagai jumlahan empat bilangan bulat positif

pertama, hal ini merepresentasikan dimensi tiga – dengan 1

untuk titik, 2 untuk garis, 3 untuk bidang, dan 4 untuk ruang.

Yang terakhir, ada sepuluh titik dalam bintang Pythagoras titik-

lima.

2.1.3. Matematika Aliran Pythagoras

Aliran Pythagoras berasal dari semua penemuan

matematika mereka untuk Pythagoras, tetapi tidak, pada

4

kenyataannya, kita hanya mengetahui suatu teorema tunggal

yang dominan. Prestasi Pythagoras termasuk hal-hal berikut:

1. Pembuktian teorema Pythagoras.

Aliran Pythagoras bertanggung jawab pada

pembuktian teorema ini yang ditemukan oleh Euclid.

Mereka juga menemukan bukti kebalikan dari teorema ini.

2. Rata-rata.

Aliran Pythagoras memeriksa rata-rata aritmatika

(a+b)/2, rata-rata geometrik √ab, rata-rata harmonik

2ab/(a+b), dan hubungan antara mereka.

3. Bilangan Sempurna dan Bilangan Amicable.

Suatu bilangan sempurna adalah suatu bilangan

bulat positif, sebagai contoh 6, yang mana sama dengan

jumlahan faktor sejatinya (faktor selain bilangan itu

sendiri), yaitu bahwa: 6 = 1+2+3. Aliran Pythagoras

menemukan suatu rumus yang memberikan bilangan

sempurna genap. Suatu pasangan amicable adalah dua

bilangan bulat positif, yang mana masing-masing

merupakan jumlahan faktor sejati dari yang lain.

Iamblichus (300 M), menghargai Pythagoras dengan suatu

pengetahuan dari pasangan bilangan amicable 220 dan

284.

4. Benda Padat Beraturan (Regular Solid).

Aliran Pythagoras menemukan bidang 12-beraturan,

dan membuktikan bahwa ada 5 polihedra beraturan.

Prestasi ini tidak dapat dikalahkan sampai J Kepler (1571 –

1630) menemukan ada bidang beraturan yang lebih

kurang dan lebih besar bintang bidang 12.

5

5. Irasionalitas √2

Aliran Pythagoras menemukan bahwa √2 itu bukan

rasio dari bilangan cacah. Mereka menggunakan

penyelesaian bulat persamaan x2 – 2y2 =1 untuk mencari

pendekatan yang baik.

Sepuluh sebagai suatu segitiga

6. Bilangan figurative.

Jika m adalah suatu bilangan bulat positif dan t

adalah suatu bilangan bulat nonnegatif, maka suatu

bilangan (m+2) -gonal adalah suatu bilangan asli yang

berbentuk

(m (t2-t)/2) + t

Beberapa bilangan 3-gonal yang pertama, atau

bilangan segitiga, adalah :

0, 1, 3, 6, 10,…

Beberapa bilangan 4-gonal yang pertama, atau

bilangan persegi, adalah :

0, 1, 4, 9, 16, …

Beberapa bilangan 5-gonal yang pertama atau

bilangan segilima, adalah :

0, 1, 5. 12, 22, …

6

Bilangan tersebut disebut ‘figurative‘, karena

bilangan tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar (figure)

yang dibuat dari batu kerikil. Sebagai contoh, bilangan

segitiga 10 dapat diperlihatkan dalam bentuk segitiga

seperti yang ada pada gambar di atas.

Lihat barisan dari persegi, ditunjukkan oleh diagram

batu kerikil. Aliran Pythagoras memperlihatkan bahwa

n2 + (2n+1) = (n+1)2 dan

1+ 3 + 5 + …+ (2n-1) = n2

Penyusunan dua bilangan segitiga yang sama

bersama-sama untuk membentuk segi empat, aliran

Pythagoras memperlihatkan bahwa kedua bilangan

segitiga positif ke-n adalah alas x tinggi = n ( n + 1 ).

Karena bilangan segitiga positif ke-n 1 + 2 + … + n, maka

berakibat bahwa

1 + 2 + … + n = ½ ( n ( n+1 ) )

C.F. Gauss

Studi tentang bilangan “figurative” mengingatkan

bagian utama dari teori bilangan. Salah satu hal pokok karir

C.F Gauss (tahun 1777 – 1855 ) adalah buktinya bahwa

setiap bilangan positif adalah jumlah dari 3 bilangan segitiga.

7

Sebagai contoh lain, pada tahun 1989 paper yang berjudul

Journal of Number theory oleh N Tzahakis dan B de Weger

memperlihatkan bahwa terdapat tepat 6 bilangan segitiga

yang merupakan hasil kali tiga bilangan bulat berturutan.

(Bilangan yang terbesar dari bilangan segitiga ini adalah

258.474.216).

2.2. Aliran Pythagoras dan Ketidakrasionalan

2.2.1. Hipassus dan Suatu Kebocoran

Panjang a dan b disebut sepadan jika ada bilangan bulat positif p

dan g sehingga ab

= pg

. Ketika aliran Pythagoras menyatakan bahwa

semuanya adalah bilangan, aliran pythagoras bermaksud untuk

menyatakan secara tidak langsung bahwa semua pasangan panjang adalah

sepadan. Dalam aliran Pythagoras, “bilangan“ yang dimaksud adalah“

bilangan rasional“.

Sayangnya, mereka segera menemukan bahwa diagonal dari suatu

kuadrat tidak sepadan dengan sisinya. Bukti dari semua ini ditemukan

pada Aristotle’s Prior Analytic 41 a 23 – 30. Misalkan ABCD adalah

persegi yang sisi–sisinya mempunyai panjang 1. Dengan teorema

Pythagoras, diagonal AC panjangnya √2 . Sehingga

√2 = ACAB

= pq

di mana p dan q adalah bilangan bulat positif. Kita dapat menganggap

bahwa p dan q adalah prima secara relatif (tidak mempunyai faktor

persekutuan). Secara khusus, kita dapat menganggap bahwa p dan q bukan

bilangan genap.

Sekarang p2 = 2q2, Sehingga p2 adalah bilangan genap. Dalam

aliran Pythagoras telah diketahui dengan benar, bahwa kuadrat bilangan

ganjil adalah ganjil, Dimana kuadrat dari bilangan genap adalah genap.

Jadi, dari pernyataan bahwa p2 adalah genap, itu berarti bahwa p adalah

8

genap. Sehingga p = 2r. Maka (2r)2 = 2g2 dan sebab itu g2 = 2r2 , tetapi ini

berarti bahwa g bilangan genap adalah benar. Bertentangan. Asumsi

bahwa AC dan AB disebut sepadan menunjukkan kemustahilan.

Pada awalnya, aliran Pythagoras mencoba untuk menjaga

kerahasiaan penemuan ini, itu mengurangi filosofinya. Beberapa orang

mengatakan bahwa Hippasus ( 470 S.M ) yang membocorkan rahasia ini

dan dia ditenggelamkan sebagai hukuman untuk apa yang telah

dilakukannya.

Orang–orang Yunani tidak tahu bagaimana menghandle 2 dengan

cara aritmatika atau aljabar. Namun demikian, mereka tahu bahwa 2

adalah panjang ( dari diagonal ), dan orang-orang Yunani berpindah pada

geometri untuk menjelaskan hal itu. Masalah dari ketidak sepadanan

adalah satu alasan mengapa orang-orang Yunani kuno berpikir dengan

hukum distributif a ( b + c) = ab +ac sebagai aturan penambahan untuk

persegi panjang dengan lebar yang sama yaitu a.

2.2.2. Persamaan Diophantus dan Pendekatan Irrasional

Aliran Pythagoras menemukan sebuah cara pendekatan 2, dengan

bilangan rasional secara teliti seperti yang diinginkan. Metode mereka

meliputi penggunaan Algoritma Euclides, caranya ditemukan pada

Proposition 2 of Book VII of the elements, dan mungkin juga dalam dalam

Pythagoras Archytas. Secara garis besar, dikerjakan sebagai berikut.

Mengingat jika x adalah bilangan real, maka x adalah bilangan

bulat terbesar x . Ambil beberapa bilangan real x , kita bentuk juga

persamaan dibawah ini. Pertama kita punyai

x2=1

x1− [ x1 ]

x3=1

x2−[ x2 ]

9

.

.

.

Jika x1 adalah bilangan rasional maka semua xs yang lain juga

merupakan bilangan rasional, dan persamaan ini akan mempunyai

penyelesaian ketika kita menemukan 0 sebagai penyebut. Jika x bilangan

irrasional maka semua xs yang lain merupakan bilangan irrasional, dan

persamaan ini tidak akan pernah mempunyai penyelesaian.

Kedua kita buat persamaan:

f 1=[ x1 ]

f 2=[ x2 ] f 1+1

f 3=[ x3 ] f 2+f 1

f 4= [x 4 ] f 3+f 2

Dan seterusnya.

Ketiga, kita buat persamaan:

g1=1

g2=[ x2 ]

g3= [x3 ] g2+g1

g4=[ x4 ] g3+g2

Dan seterusnya.

Jika x1 = ab

, sebuah bilangan rasional, maka, untuk suatu n, kita

mempunyai: xn−[ xn ] = 0, dan

agn−2−b fn−2=±FPB (a,b)

10

sebab itu kita dapat menggunakan Algoritma Euclides untuk

menyelesaikan:

ax−b y=± FPB (a,b)

Selain itu jika x1 = √ R adalah bilangan irrasional maka:

| f n

gn

√ R| < 1

gn2

Sehingga fn / gn kita mendapatkan pendekatan terhadap √ R.

Akhirnya p dann g adalah bilangan bulat maka p2 – Rq2 = ±1 hanya

berlaku dalam hal ini, untuk suatu n sehingga [ xn ] = 2⌊√R ⌋.

Sebagai contoh, misalkan aliran Pythagoras ingin menemukan

penyelesaian bilangan bulat untuk

17x - 19y = 320

Dia beralasan dengan cara mendiskripsikan seperti dibawah ini:

x1= 1719

x2=

11719

−[ 1719 ] =

1719

x3=

11917

−[ 1917 ] =

172

x4=

1172

−[ 172 ] = 2

x5= 1

2−[ 2 ] = tidak terbukti

juga,

f 1=0

11

f 2=1

f 3=8

Dan akhirnya,

g1=1

g2=1

g3=9

sebab itu,

17 x 9 -19 x 8 = ±1

17 x (9 x 320) – 19 x(8 x 320 ) = ± 320

Memberikan kita sebuah penyelesaian bilangan bulat untuk persamaan

sebenarnya.

Seharusnya dicatat bahwa aliran Pythagoras tidak mempunyai konsep

dari bilangan negatif (karena mereka berfikir bahwa bilangan adalah kumpulan

dari batu-batu kerikil atau panjang ). Brahmaghupta (628 M) adalah orang yang

pertamakali menunjukkan bagaimana amendapatkan penyelesaian-penyelesaian

semua bilangan bulat, bilangan negatif seperti halnya bilangan positif, untuk

persamaan seperti 17x - 19y =320.

Untuk mendapatkan pendekatan terhadap √2 aliran Pythagoras akan

mengerjakan seperti berikut:

x1= √2

x2= 1

√2−[√2 ] = √2+1

x3= 1

√2+1−[√2+1 ] = √2+1

Sehingga [ x2 ]=[ x3 ]= ........ = 2. Sebab itu

12

f 1=1

f 2=3

f 3=7

f 4=17

Dan seterusnya. Juga

g1=1

g2=2

g3=5

g4=12

Dan juga. Persamaan

11

,32

,75

, 712

, ..............

Memberikan perkiraan yang telah mendekat √2 persamaan ini juga memberikan

semua penyelesaian bilangan bulat positif dari x2 – 2y2 = ±1 , dapat ditulis,

(1,1),(3,2),(7,5), .....

cara bagaimana algoritma Euclides menghubungkan persamaan seperti x2 - Ry2 =1

tidak dimengerti sepenuhnya sampai tahun 1768, di mana J.L. Lagrange

mempublikasikan naskah pasti pada pokok permasalahan.

Aliran Pythagoras membutuhkan waktu lebih dari 2000 tahun untuk memahami

pengetahuan itu. Sebagai contoh terakhir, mari kita gunakan algoritma euclides

untuk menemukan suatu penyelesaian yang tidak mudah dari x2 – 29y2 = ±1.

x1= √29

[ x1 ]=5

13

x2= 1

√29−5 √29+5√29+5

= √29+54

x2= 2

x3= √29+35

[ x3 ]=1

x3= √29+25

[ x4 ]=1

x5 = √29+34

[ x5 ]=2

x6 = √29+51

[ x6 ]=10

Karena [ x6 ] adalah dua kali [ x1 ] kita berhenti disini dan menghitung f 6−1 dan

g6−1

f 1=5

f 2=[ x2 ] f 1+1=11

f 3=[ x3 ] f 2+f 1=16

f 4= [x 4 ] f 3+f 2=27

f 5=[ x5 ] f 4+ f 3=70

g1=1

g2=[ x2 ]=2

14

g3= [x3 ] g2+g1=3

g4=[ x4 ] g3+g2=5

g5= [x5 ] g4+g3=13

Sebab itu satu penyelesaian untuk x2 – 29y2 = ±1 adalah x = 70 dan y = 13.

2.3. Teorema Pythagoras

Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan

dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku.

Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani

abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu

teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui

oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan

Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras

lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan

kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.

Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan

tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou

Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen

Euklides.

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:

Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama

dengan luas bujur sangkar di hipotenus.

Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah

sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku

tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut

siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga

siku-siku dan c adalah hipotenus:

15

Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya goemetris, sebagai

pernyataan tentang luas bujur sangkar:

Jumlah luas bujur sangkar biru dan merah sama dengan luas bujur

sangkar ungu.

Akan halnya, Sulbasutra India juga menyatakan bahwa:

Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi

panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan

horisontalnya. Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang

teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan

bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya:

Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b

dan hipotenus dengan panjang c, maka a+ b' = c

2.3.1. Sejarah Singkat Teorema Pythagoras

Pythagoras (569-500 SM) lahir di Pulau Samos di Yunani, dan melakukan

banyak perjalanan melalui Mesir, belajar, antara lain, matematika. Tidak banyak

yang diketahui dari Phytagoras pada tahun-tahun awal. Pythagoras menjadi

terkenal setelah mendirikan sebuah kelompok, “the Brotherhood of

Pythagoreans” (Persaudaraan ilmu Pythagoras), yang dikhususkan untuk

mempelajari matematika. Kelompok ini sangat dikultuskan sebagai simbol, ritual

dan doa. Selain itu, Pythagoras percaya bahwa “Banyak aturan alam semesta,”

dan ilmu Pythagoras memberikan nilai numerik untuk banyak obyek dan

gagasan. Nilai-nilai numerik, pada gilirannya, dihubungkan dengan nilai mistik

dan spiritual.

Legenda mengatakan bahwa setelah menyelesaiakan teorema yang

terkenal itu, Pythagoras mengorbankan 100 lembu. Meskipun ia sangat

diagungkan dengan penemuan teorema yang terkenal itu, namun tidaklah jelas

diketahui apakah Pythagoras adalah penulis yang sebenarnya. Para pengkaji

16

dalam kelompok the Brotherhood of Pythagoreans telah menulis banyak bukti

geometris, tetapi sulit untuk dipastikan siapa penemu Teorema Phytagoras itu

sendiri, sungguh sebuah kelompok yang sangat menjaga rahasia temuan

mereka. Sayangnya, sumpah kerahasiaan tersebut bertentangan dengan ide

matematika yang penting yang harus diketahui publik. Kelompok the Brotherhood

of Pythagoreans telah menemukan bilangan irasional! Jika kita mengambil

segitiga siku-siku sama kaki dengan kaki ukuran 1, maka panjang sisi miring

adalah √2. Namun jumlah ini tidak dapat dinyatakan sebagai panjang yang dapat

diukur dengan penggaris dibagi menjadi beberapa bagian pecahan, dan ini sangat

mengganggu Kelompok Pythagoras, yang terlanjur percaya bahwa “Semua adalah

angka.” Mereka menyebutnya angka-angka “alogon,” yang berarti

“unutterable.” Akhirnya mereka sangat terkejut dengan angka-angka ini, sehingga

mereka dihukum mati seorang anggota yang berani menyebutkan keberadaan

mereka kepada publik. Barulah 200 tahun kemudian, yaitu oleh Eudoxus, seorang

matematikawan Yunani yang dapat mengembangkan sebuah cara untuk berurusan

dengan angka-angka unutterable tersebut.

Jumlah dari kuadrat sisi segitiga siku-siku sama dengan kuadrat sisi miring.

Hubungan ini telah dikenal sejak zaman Babilonia dan Mesir kuno,

meskipun mungkin belum dinyatakan secara eksplisit seperti di atas. Sekitar

pertengahan tahun 4000 dalam kalender Babilonia (sekitar tahun1900 SM), yang

sekarang dikenal sebagai Plimpton 322 , (dalam koleksi dari Columbia University,

New York), terdapat daftar kolom nomor yang menunjukkan apa yang sekarang

kita sebut Triples Pythagoras – yaitu kumpulan angka yang memenuhi persamaan:

a 2 + b2 = c2

Perjalanan Selanjutnya

Setelah ditemukan oleh Kelompok Pythagoras, namun menolak untuk

mengakui keberadaan, yaitu bilangan irasional. Dimulailah pencarian tentang

bilangan tersebut. Dalah satunya adalah dengan cara berikut. Dimulai dengan

segitiga siku-siku sama kaki dengan kaki panjang 1, kita dapat membangun

17

segitiga siku-siku di sampingnya yang hypotenuses panjangnya adalah √2, √3, √4

, √5, dan seterusnya. Konstruksi ini sering disebut sebagai Square Root Spiral.

Sejarah dari Teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai berikut:

1. Pengetahuan dari Triple Pythagoras,

2. Hubungan antara sisi-sisi dari segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang

berdekatan,

3. Bukti dari teorema.

Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah

menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus

merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk

membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi

panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga

adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara

18

terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel

Leendert van der Waerden meng-hipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras

diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790 -

1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang

terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum

masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel

Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk

segitiga siku-siku sama kaki.

Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk

membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada

penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras

menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero

mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan

dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari

Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300

SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut.

Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah

masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan

"Gougu Theorem" (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3,

4, dan 5. Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di

Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku.

Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai 'theorem Gougu',

dan di India dinamakan "Bhaskara theorem".

Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang

pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena

tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama

Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.

19

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Phytagoras menganggap bahwa bilangan itu memiliki sifat

mistis. Hal ini di tunjukkannya dengan mengagungkan

angka 10, karena menurutnya angka sepuluh memilki

beberapa keistimewaan.

Selama perjalanan hidupnya Pythagoras telah memiliki

beberapa perstasi berikut dalam bidang matematika berikut:

1. Pembuktian teorema Pythagoras yang merupakan

penemuan yang paling terkenal dari beberapa

penemuan lainnya.

2. Rata-rata.

3. Bilangan Sempurna dan Bilangan Amicable.

4. Benda Padat Beraturan (Regular Solid).

5. Irasionalitas √2

6. Bilangan figurative.

Ada beberapa aliran yang dikembangkan Phytagoras dalam

dunia matematika, yaitu.

Hipassus dan suatu kebocoran, kasus ini

merupakan kesalahan aliran Phytagoras yang

menyatakan secara tidak langsung bahwa semua

pasangan panjang adalah sepadan, padahal setelah

dibuktikan ada ketidak tepatan dalam asumsinya.

20

Persamaan Diophantus dan Pendekatan

Irrasional

3.2 Saran

Diharapkan dengan adanya makalah tentang

perkembangan aliran matematika phytagoras ini kita menjadi

lebih tahu secara mendalam tentang phytagoras dan peranannya

dalam matematika, tidak hanya sekedar tahu tentang

teoremanya saja yang sekarang sudah dikenali secara umum.

21

DAFTAR PUSTAKA

http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Pythagoras diambil 25-10-2012 pukul 10.10

http://labarasi.wordpress.com/2011/01/25/sejarah-singkat-teorema-phytagoras/

diambil 25-10-2012 pukul 10.20

http://pmatandy.blogspot.com/2008/12/sejarah-4-aliran-pythagoras.html diambil

25-10-2012 pukul 10.30

http://pmatandy.blogspot.com/2009/01/sejarah-7-aliran-pythagoras-dan.html

diambil 25-10-2012 pukul 10.45

http://math07.findtalk.biz/t38-sejarah-singkat-teorema-pythagoras diambil 25-10-2012

pukul 11.00

22