SUMBU SEKAWAN HIPERBOLA

Jika 2a adalah konstanta yang dirujuk pada suatu hiperbol yang mempunyai focus di

(c,0) dan (-c, 0), maka persamaan hiperbol adalah

- = 1………………………………………………………………………..(i)

Sketsa grafik hiperbol dalam teorema diperlihatkan dalam gambar di atas.

Sekarang kita memperlihatkan cara memperoleh grafik ini. Dari persamaannya kita

amati bahwa grafiknya simetris terhadap sumbu x dan y. Seperti halnya dengan ellips,

garis yang melalui kedua focus dinamakan sumbu utama hiperbol. Jadi untuk

hiperbol ini sumbu x adalah sumbu utama. Titik dimana grafik memotong sumbu

utama dinamakan puncak, dan titik tengah di antara kedua puncak dinamakan pusat

hiperbol. Untuk hiperbol ini puncaknya di V (a, 0) dan V’(-a,0) dan pusatnya dititk

asal. Potongan garis V’V pada sumbu utama dinamakan sumbu transversal hiperbol,

dan panjangnya 2a satuan ; jadi panjang setengah sumbu transversal adalah a satuan.

Substitusi 0 untuk x dalam (i) menghasilkan y2 = -b2 yang tidak mempunyai

jawab riil. Sebagai akibatnya hiperbol tidak memotong sumbu y. Akan tetapi

potongan garis dengan titik ujung (0,-b) dan (0,b) dinamakan sumbu sekawan

1

.

..

O. . V(c,0)

B(0,b)

B’(0,-b)

F(a,0) .F’(-a,0)

V’(-c,0)x

y

hiperbol dan panjangnya 2b satuan. Jadi panjang setengah sumbu sekawan adalah b

satuan.

Penyelesaian y dinyatakan dalam x menghasilkan

y = ………………….………………………………..…….(ii)

Dari (ii) kita simpulkan, jika < a tak ada nilai riil untuk y. Karena itu tak ada titik

(x,y) pada hiperbol dengan –a < x < a. Dari (8) kita juga meihat, jika > a, maka y

mempunyai dua nilai riil. Jadi hiperbol mempunyai dua cabang. Cabang yang satu

membuat puncak

V (a, 0) dan meluas ke tak- terhingga ke kanan V. Cabang lain memuat puncak V’ (-

a,0) dan meluas ke tak-terhingga ke kiri V’.

CONTOH 1:

Diketahui hiperbol

- = 1

Carilah puncak, focus, dan panjang sumbu transversal dan sumbu sekawan.

Gambarlah sketsa dari hiperbol, dan tunjukkan fokusnya.

PENYELESAIAN

Persamaan yang diberikan berbentuk (i) ; jadi a = 3 dan b = 4. karena itu puncaknya

adalah V (3, 0) dan V’ (-3, 0). Panjang sumbu transversal adalah 2a atau 6, panjang

sumbu sekawan adalah 2b atau 8.

2

.

..

O

. . V(5,0)

B(0,4)

B’(0,-4)

F(3,0) .F’(-3,0)

V’(-5,0)x

y

karena dari kita peroleh , jadi c = 5. Dengan demikian fokusnya

adalah F(5,0) dan F’(-5,0).

CONTOH 2:

Carilah persamaan hiperbola dengan suatu focus di (5,0) dan titik-itik sumbu sekawan

adalah (0,2)dan (0,-2).

PENYELESAIAN:

Karena titik-titik sumbu sekawan ada di (0,2) dan (0,-2), maka b= 2, sumbu utama

terletak pada sumbu x, dan pusat di titik asal. Dengan demikian persamaannya

berbentuk

, karena fokusnya di (5,0), maka c = 5, dan karenanya ,

Jadi , dan persamaan hiperbolanya adalah

Jika dalam persamaan (i), x dan y dipertukarkan, kita peroleh:

………………………………...………………………………(iii)

Yang merupakan persamaan hiperbola dengan pusat titik asal dan sumbu utama

terletak pada sumbu y.

3

Hiperbola dengan persamaan - = 1 mempunyai focus dan puncak pada sumbu

y karena persamaannya berbentuk (iii) sketsa grafik persamaan ini terlihat dengan

gambar dibawah ini.

Tak ada ketasaksamaan umum yang melibatkan a dan b yang sesuai dengan

ketaksamaan a > b untuk suatu ellips. Untuk suatu hiperol mungkin terjadi hubungan

a < b, seperti dalam ilustrasi 1, dimana a = 3 dan b = 4 ; mungkin pula terjadi a > b,

seperti untuk hiperbol pada contoh 2, dimana a = dan b = 2. Jika untuk suatu

hiperbol a = b, maka hiperbol itu dikatakan sama sisi.

Garis y = mx + b adalah suatu asimtot dari grafik persamaan y = f(x) jika

salah satu pernyataan berikut benar:

(i). dan untuk suatu M > 0, f(x) mx + b bila x > M

(ii). dan untuk suatu M <0. f(x) mx + b bila x < M

Untuk hiperbola , penyelesaian untuk y menghasilkan:

4

Ox

y

5

5

-5

-5

Karena itu garis adlah suatu asimtot dari grafik . Dengan cara

yang sama dapat diperlihatkan bahwa juga merupakan asimtot dari grafik

, sebagai akibatnya garis adalah asimtot dari .

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan garis adalah asimtot untuk

hiperbola yang sama.

Jadi garis dan adalah asimtot dari .

HIPERBOLA SEKAWAN

Tinjau pesamaan persamaan ini dapat ditulis .

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa ini juga adalah persamaan hiperbola dengan

sumbu y sebagai sumbu nyata dan sumbu x sebagisumbu sumbu imaginer, yang

asimtotnya , serta sifat-sifat lainnya yang dimiliki oleh hiperbola

ini.Hiperbola didapat dengan jalan saling menukar dari hiperbola

5

. Hiperbola dan hiperbola DUA Hiperbola

Sekawan.

Asimtot kedua hiperboa sekawan adalah sama yaitu . Oleh karena tiu

keempat puncak dari kedua hiperbola ini adalah ( a,0) dan (0, b) maka keempat

garis singgung membentuk suatu persegi yang panjang sisinya sejajar dengan kedua

sumbu koordinat, sedangkan titik sudutnya terletak pada kedua asimtotnya.

, bila a =b maka persamaan hiperbola menjadi

hiperbola ini disebut Hiperbola Samasisi. Ukuran sumbu

nyatanya sama dengan ukuran sumbu imaginer yang sama dengan 2a. Asimtot dari

hiperbola ini adalah x – y = 0 dan x + y = 0 dan saling berpotongan. Hiperbola yang

mempunyai asimtot saling tegak lurus disebut hiperbola Ortogonal. Grafik hiperbola

sekawan samasisi adalah juga hiperbola ortogonal. Grafik hiperbola sekawan

samasisi dapat dilihat dengan gambar sebagai berikut.

6

(a,0)

(0,b)

O

(-a,0)

(0,-b)

x

xa

by

xa

by

x

y

(0,-a)

(a,0)

(0,a)

O

(-a,0)

Kita juga dapat menguraikan factor-faktor dari mejadi

Yang setara dengan kedua persamaan dari persamaan (iii)

kita melihat asimtotnya adalah garis dengan persamaan

yang sama dengan persamaan hiperbola dengan persamaan ini dengan hiperbola

. Hiperbola ini adalah Sekawan dengan hiperbola persamaan (iii).

Jika suatu hiperbola di (h , k) dan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu x,

dan jika sumbu-sumbu koordinat digeser sehingga titik (h, k) merupakan titik asal

yang baru maka persamaan hiperbola terhadap system koordinat baru ini adalah

jika kita ganti x dengan x – h dan y menjadi y – h akan menjadi:

…………………………………………………………....(iv)

Dengan cara yang sama suatu hiperbola yang berkoordinat di (h, k ) dan sumbu

utamanya sejajar dengan sumbu y adalah:

…………………………………………………………….(v)

7

CONTOH 3:

Puncak suatu hiperbola di (-5, -3 ) dan (-5, -1) dan titik-titik sumbu sekawannya di

(-7, -2) dan (3-, -2 ). Carilah persamaan hiperbola dan persamaan asimtotnya. Gambar

sketsa grafik dan dan asimtotnya!

PENYELESAIAN

Jarak antara dua puncak adalah 2a.; jadi 2a =2, dan a = 1, panjang sumbu

sekawannya adalah 2b; jadi 2b =4 dan b = 2. Karena sumbu utama sejajar dengan

sumbu y persamaan hiperbola berbentuk , derngan pusat (h,k )

terletak tepat pada tengah-tengah kedua puncak, dan karena itu berada dititik (-5, -2)

maka menjadi:

Dengan menggunakan car menginget penurunan persamaan asimtot kita peroleh :

Yang memberikan

Sketsa grafik hiperbola dan asimtotnya adalah:

8

(-5,-2)

V Ox

y

...V’

Jika persamaan (iv) dan (v) kitan hilangkan pecahan dan kita gabungkan suku-

sukunya, maka akan menjadi:

…………………………………………….(vi)

A dan C berbeda tanda dimana AC <0 . dengan melengkapkan kuadrat dalam x dan y

dalam persamaan (vi) dengan AC< 0 akan menghasilkan:

CONTOH 4:

Persamaan ini berbentuk persamaan (vii) dengan H = 25 > 0 dan dapat dituliskan

sebagai

Dan jika persamaan (vii), H< 0 akan dapat dituliskan dengan

9

Jika dalam persamaan umum berderajat DUA

B = 0 dan AC< 0, maka grafiknya berupa hiperbola atau dua garis yang

berpotongan

CONTOH 5:

Tentukan grafik persamaan

PENYELESAIAN:

B = 0, dan AC = -36 < 0, grafiknya sustu hiperbola atau dua garis yang berpotongan.

Dengan melengkapkan kuadrat dalam x dan y, kita peroleh:

Jadi grafiknya adalah suatu hiperbola dengan sumbu utama sejajar dengan sumbu y

dan pusatnya di (1, -2).

10

DAFTAR PUSTAKA

Hutahaean, Leithold, Dkk. Kalkuklus dan Ilmu Analitik Jakarta: Erlangga

Leithold, Louis. 1985. Kalkulus Dan Ilmu Analitik 2. Jakarta : Bina Aksara

Tim Penyusun. 2009. Geometri Analitik Bidang. Medan. FKIP UMN.

11