dokumen.tips makalah sistem partikel

8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel

http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 1/25



/

r1 m1

mn rn r2 m2

rk

mk

mk

DINAMIKA SISTEM PARTIKEL

A. S!te"P#rtke$ %#& P'!#t M#!!#

Pada hakekatnya hukum kekekalan energi mekanikberkaitandengan momentum linear,

momentum angular, dan energi terapan. Beberapa ahli berpendapat dalam sistem terdapat

suatu interaksi antara benda makro dengan mikro.

Jika sebuah sistem berisi sejumlah N partikel, symbol bilangannya 1,2,…n. Massa

partikel adalahm1 ,

m2 , … mn dan letaknya pada jarak

r1 , r2 ,…

rn . ntuk

beberapa sistem partikel, pusat massa terletak di !"#,$,%&. 'ehingga didapat hubungan.

" m1 ( m2 , …+mn & ! ) m1r1 ( m2r2 ( …( mnr n

atau

mk R=¿∑k=1

n

m k rk

∑k=1

n

¿oleh karena itu * !)

∑mk rk

∑ mk )

∑ mk rk

M

"1&

G#"b#r 1. S!te" (#rtke$ %e&)#& beber#(# "#!!# (#%# *#r#k +#&) berbe%# %#r ttk #!#$.

Dalam hal ini M ) ∑mk merupakan jumlah kesulurahan massa dan penjumlahan

∑ d ari k=1 ke k=N . Berdasarkan komponen maka dapat dituliskan *



'ebuah partikel bermassa m dengankeepatanv

dan dengan momentum linear ´ p

,

hukum 66 Ne+ton menyatakan *´ F )

d ´ p

dt

"7&

Dalam hal ini´ F adalah gaya luar yang bekerja pada m , dan ´ p ) m v "8&

Jika m konstan

´ F )d ´ pdt )

m v

d

dt ¿ & )

m d v

dt ) m a

"9&

'elanjutnya, jika ´ F ) :, ´ p adalah konstan, ini adalah konser0asi dari hukum

kekekalan momentum linear untuk partikel tungggal. Pada sistem N partikel, seperti pada

gambar "1&, gerak partikel ke k dari massamk , pada jarak

rk dari titik asal dan dengan

keepatanrk " )

vk & dan perepatan rk . ;aya total

F k bekerja pada partikel

k t h merupakan penjumlahan dua gaya *

1. Jumlah gaya eksternal F k yang diterapkan pada partikel

k t h .

2. Jumlah gaya internal F k pada partikel

k t h dengan n 1 partikel dalam sistem

Jadi persamaan gerak untuk partikelk t h sesuai dengan hukum Ne+ton adalah *

F k ) K k l ( K k i ) mk r k , k ) 1,2,…..n

"1:&

Dalam hal ini´ F k

i = ∑k =1k ≠l

n

´ F kl

i

"11&

´ F kli

adalah gaya partikel kek t h pada

lt h partikel, karena 0ektor alami dari

persamaan "1:&, dalam hal ini n untuk orde ke<2 seara persamaan di//erensial dapat



terpeahkan. Persamaan "1: &dapat diselesaikan dengan menggunakan pusat koordinat

massa.

Momentum untukpartikel k t h diberikanoleh *

´ pk )mk vk )

mk r k

"12&

Persamaan "1:& diambil dari *

d ´ pk

dt F k )

´ F k l

(´ F k

i

"1&

Jumlah kedua sisi meliputi semua N partikel,

∑k =l

N d ´ pk

dt =

d

dt ∑

l

N

´ pk =∑l

N

´ F k =∑l

N

´ F k

l +∑l

N

´ F k

i

Bilamana ´ p adalah jumlah momentum linier pada system partikel N partikel dan´ F

gaya luar total yang bekerja pada sistem, maka *

´ P=∑k =l

N d ´ pk

dt =∑

k =l

N

mk ´rk , "13&

´ F =∑k =l

N

´ F k

l

"14&

'elanjutnya jumlah gaya dalam yang bekerja pada semua system partikel sama

dengan nol ∑k =l

N

´ F k

i =0 "17&

-ombinasi Persamaan "13&, "14&, dan "17& dengan pers "1& didapatkan *d ´ pdt = ´ F

"18&

Teorema Momentum untuk sistem partikel :

=-ekekalan momentum linier * perubahan rata rata pada momentum liniear adalah

sama dengan gaya terapan luar total. Jadi bila jumlah semua gaya terapan luar sama dengan

nol, maka momentum liniear total ´ p dari sistem ini adalah konstan =.



´ p ) konstan, jika ´ F ) :

"19&

Pusat koordinasi massa

´ p=∑k =l

N

mk ´rk = M

´ R "2:&

subtitusi pers (15)didapat :

´ F = M ´ R "21&

Se,&))# %#(#t %!"('$k#& =Pusat massa pada sistem partikel bergerak seperti

halnya partikel tunggal bermassa m bekerja pada gaya tunggal > sama dengan jumlah semua

gaya luar yang bekerja pada sistem?.

Dua buah pendekatan di//erensial *

1. 5ukum 66 Ne+ton

2. Prinsip dari kerja nyatanya, sesuai dengan persamaan "11& *´ F = ∑

k =l , k ± l

N

´ F kl

i

´ F kli

merupakan gaya dorong pada partikel k t h menuju partikel

lt h . 'esuai dengan

hukum 666 Ne+ton.

´ F k i =− F k

i

"22&

Dengan menggunakan persamaan "11& jumlah semua gaya internal adalah

∑k =l

N

´ F k

i =∑k =l

N

∑l=1, l ≠ 1

N

´ F kl

i

"2&

Pada pembuktian terdahulu, diasumsikan bah+a gaya internal datang seara

berpasangan. -erja yang dilakukan oleh gaya internal´ F k

i

pada suatu simpangan

sesungguhnya δ untuk partikel kek t h adalah * δ W k = ´ F k

i δ r

"2&

-erja total yang dilakukan oleh seluruh gaya internal adalah *



δW =∑k =l

N

δ W k =∑k =l

N

( ´ F k

i δ r )=δ r [∑

k =l

N

´ F k

i ] "23&

δ r sama untuk semua partikel, jika total kerja yang dilakukan oleh gaya internal sama

dengan nol untuk semua perpindahan maka * δ r [∑k =l

N

´ F k

i ]=0

-arena δ tidak nol maka* ∑k =l

N

´ F k

i=∑k =l

N

∑l=l , l ≠ 1

N

´ F k

i =0 "24&

-. KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT

Momentum sudut dari partikel tunggal dide/inisikan pada bentuk perkalian silang yaitu*

´ !=r x ´ p=r x m v "27&

Pada system partikel N momentum sudut total´ ! dapat ditulis *

´ !=∑k =l

N

r k x ´ pk =∑k =l

N

rk x mk r=0 "28&

@urunan persamaan "28& terhadap +aktu menghasilkan

´r¿

(¿k ¿ x mk ´r k )+∑

k =l

N

( ´rk x mk ´rk )

¿d ´ !dt =∑

k =l

N

¿

"29&

'uku pertama bagian kanan diabaikan karena hasil perkalian silangnya sama dengan nol "

r Am r ):&, sedangkan m r , dari persamaan "1:& sama dengan gaya total yang

bekerja pada partikel k , diperoleh *



rk

[¿ x ( ´ F k

e+ ∑l=l , l ≠ k

N

´ F kl

i )]=∑k =l

N

rk x ´ F k

e+∑k =l

N

∑l=l , l ≠ k

N

rk x ´ F kl

i

d ´ !

dt

=∑k =l

N

¿

":&

Dalam hal ini´ F k

l

merupakan gaya luar total yang bekerja pada partikel k, dan

´ F kli

sebagai gaya dalam yang bekerja pada partikelk t h menuju

lt h . 'uku kedua pada

ruas kanan sama dengan nol, dalam hal ini,

(r k x ´ F kl

i )+(rl x ´ F kl

i ) "1&

lehkarena´ F kl

i =¿ <´ F lk

i

, maka persamaan dapat dinyatakan seperti gambar "2&

( rk −rl ) x ´ F kli =r kl x ´ F kl

i

"2&

Penerapan ini sama dengan nol jika gaya dalam adalah pusat. -arena kedua partikel ini

saling tarik menarik atau tolak menolak sehingga suku bagian kanan persamaan ":&

dihilangkan dan persamaannya menjadi *

d ´ !dt =∑

l=l

N

´ F k

lrk "&

Jika " k merupakan torka pada partikel

k t h , maka torka totalnya adalah

d ´ !dt =∑

l=l

N

" k =∑l=l

N

´ F k

lrk "&

Dand ´ !dt =" k "3&

-ekekalan momentum sudut, untuk sistem yang tertutup , satu sama lain tidak bekerja gaya

luar, torka total"

menjadi nol, dalam hal ini momentum sudutnya konstan dalam besar dan

arah yakni

" =0,d ´ !dt =0dan ´ !=∑

l=l

N

rk # mk vk =k$nstant "4&



D. KEKEKALAN ENERGI

Pada beberapa situasi, gaya total yang bekerja pada partikel dalam sistem adalah suatu

/ungsi posisi partikel pada sistem. ;aya ´ F k pada partikel k th adalah *

´ F k )

´ F k

e (´ F

k i )´ F

k " r1,

r2......,

rn& dalam hal ini k=1,2,....,N

"7&

;aya luar´ F

k e dapat tergantung pada posisi r

k dari partikel k , sedangkan gaya dalam

´ F k i tergantung pada posisi relati/ dari partikel<partikel relati/ lain terhadap partikel k,

yakni rk1 ) r

k − r1 dan sebagainya. Jika gaya F

k1 memenuhi kondisi,

∇ x F k =%url F k =0

"8&

Dan, /ungsi potensial *& =& (r1 , r2 , … , r n)

"9&

'ehingga

F kx=−' &

' xk

, F ky=−'&

' yk

, F kz=−'&

' zk

, dimana k=1,2,...N ":&

;erak partikel k th dinyatakan sebagai * mk r k =mk vk = F k "1&

Dengan menggunakan persamaan ":& didapat

mk −d vkx

dt =

−'&

' xk

, mk −d vky

dt =

−' &

' yk

, mk −d vkz

dt =

−' &

' zk

, "2&

Mengalikan persamaan pertama dengan vk1 )

dx

dt k , persamaan kedua dengan v

k1 )

dy

dt k , dan persamaan ketiga

vkl )

dz

dt k , dan menambahkannya sehingga diperoleh,

d

dt (12 mk vk

2)+ ' &

' xk

d xk

dt +

' &

' yk

d yk

dt +

' &

' zk

d zk

dt =0 dengan k = 1, 2, .......N "a&



Jumlah meliputi semua nilai k, maka

1

2

(¿mk

vk

2

)+

∑k =l

N

( ' &

' xk

d xk

dt +

' &

' yk

d y k

dt +

'&

' zk

d zk

dt

)=0

d

dt ∑k =l

N

¿

"b&

Dalam hal ini

1

2

(¿mk vk

2)= K

∑k =l

N

¿

dengan -) Cnergi -inetik "&

Dan

' &

' xk

(¿d xk

dt +

' &

' yk

d yk

dt +

'&

' zk

d zk

dt )=

d&

dt

∑k =l

N

¿

"3&

leh karena itu persamaan "b& dapat dinyatakan

d

dt ( K +& )=0

atau - ( ) C ) konstan "4&

$ang merupakan “Hukum Kekekalan Energi”.

Jika gaya luar tidak gayut pada posisi dan potensial i gayut pada posisi relati/ pasangan

partikel, maka

& kli =& kl

i (rkl)=& kli (r2−r1) "8&

'elama *


http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 11/25 m

rkl

& kl

i (¿¿)

∑l−1

k −1

¿

& i=∑k =l

N

¿

"9&

Dapat diperoleh bah+a *

F k

i =−i '&

' xk

− ( ' &

' yk

−k ' &

' zk "3:&

'istem ini merupakan gaya pergesaran dalam, seperti gaya pergeseran ini gayut pada

keepatan relati/ dari partikel dan bukan gaya pusat, sehingga hukum kekekalan energi,

persamaan "4& tidak dapat diapai sebagai sistem.

E. Ger#k S!te" %e&)#& V#r#be$ M#!!#

Roket

@eknologi roket berdasarkan pada prinsip sederhana kekekalan momentum linear.

'ebuah roket terdorong kedepan dengan penyemburan massa yang arahnya terbalik

"kebelakang& dalam bentuk gas sebagai hasil pembakaran bahan bakar.

;aya dorong roket merupakan reaksi menuju gaya dorong ke belakang dari gas yang

keluar dari tempat pembakaran bahan bakar. ntuk menentukan keepatan roket pada +aktu

meninggalkan bumi seperti ditunjukkan gambar dala hal ini t sebagai +aktu, massa roket

"m& yang bergerak dengan keepatan 0 relai/ dengan beberapa system koordinat tertentu

"bumi&. -eepatan gas merupakan u terhadap roket, sedang keepatan u ( 0 terhadap system

koordinat tertentu. Pada inter0al +aktu antara t dan t(dt, sejumlah pembuangan gas adalah

dm) <dm, sedangkan massa roket adalah m+dm dan keepatan v+dv

Momentum system pada saat t yakni ´ p(t )=m v "31&

Dan momentum system pada saat t(dt adalah

´ p (t +dt )=proket (t+dt)+ pgas(t+dt)=(m+dm)( v+ dv ¿ (−dm )( v+ dv) "32&

Perubahan momentum selama selang +aktu dt adalah*

dp ´ p (t +dt ) ´ p ( t )=m dv u dm "3&



Dalam hal ini dm d0 ditiadakan, sedangkan persamaan "3& dapat dinyatakan

sebagai ,

d ´ Pdt = ´ F =m

dv

dt −u

dm

dt "3&

Eatatan bah+au

adalah keepatan dari gas yang keluar. Persamaan "3&

dapat ditulis sebagai* mdv

dt =u

dm

dt + ´ F

"33&

Dalam hal ini F sebagai gaya gra0itasi, gaya gesek udara, atau beberapa

gaya luar lainnya, sedangkanm

dv

dt sebagai gaya daya dorong mesin roket.

leh karena dmFdt bernilai negati0e, daya dorong berla+anan dengan

keepatan u dari gas yang dikeluarkan. ;aya F : diperlukan untuk menjaga

keadaan setimbang.

´ F 0=−u dmdt

"34&

untuk F ) : persamaan "33& sebagai,m

d vdt = u

dm

dt

"37&

perkalian kedua sisi dengan dtFm dan diintegrasikan,

∫v

0

v

dv=u∫m

0

mdm

m atau

m

v=v0−u ln ¿¿ mm0

, karena m0>m maka,

v=v0−u0 lnm0

m "38&

-eepatan akhir v tergantung pada dua /aktor,

1& Besar nilaiu

, keepatan dari gas yang dikeluarkan dan



2& Besar nilai m:Fm, dalam hal ini m: merupakan massa a+al roket dan bahan bakar,

sedangkan m sebagai massa akhir saat semua bakar telah digunakan. Besar nilai m :Fm

digunakan untuk satelit pesa+atF roket. Penambahan nilai m:Fm digunakan untuk satelit

dan pesa+at luar angkasa meninggalkan bumi.

ntuk posisi roket dekat permukaan bumi , maka gaya gra0itasi tak dapat diabaikan

sehingga disubstitusi F =m ) dalam persamaan "33& dan didapat*

m dv

dt =u

dm

dt +m )

"39&

Dan hasil integrasinya,

∫0

v

dv=u∫m

0

m

1m

dm+ )∫0

1

dt

H#!$&+#, v=v0−u ln (m0

m )+ ) t "4:&

Pada saat t): dan besar keepatanv0=0

danu

berla+anan dengan v , maka

persamaan "4:& menjadi "bentuk salar& * & =u ln(m0

m )−) t

"41&

Pada keadaan a+al, daya dorong roket harus ukup besar untuk mengatasi gaya gra0itasi m:g.

S#b'k -o&e+er

Ditinjau sabuk<berjalan untuk menghitung gaya

F , diperlukan sabuk berjalan

bergerak horiGontal dengan keepatan v sedangkan massa pasir "barang& yang diberikan

pada sabuk tersebut dmFdt. Missal M sebagai massa sabuk dan m sebagai massa pasir pada

sabuk tersebut. Momentum total pada system,sabuk dan pasir pada sabuk yaitu,

´ p=(m+ M ) v "42&

-arena M dan v konstan, sedangkan m berubah maka



´ F =d ´ pdt = v

dm

dt "4&

Dalam hal ini F merupakan gaya yang digunkan pada sabuk<berjalan. Daya yang

disuplai oleh gaya agar sabuk<berjalan dapat melaju 0 yakni,

*aya= P= F v=v2 dm

dt =

1

2m v

2=2 d

dt (12 (m+ M )v2)=2

dk

dt "4&

Dalam hal ini besar daya dua kali laju perubahan energy kinetiknya, dan hokum

kekekalan energy mekanik tidak dapat diterapkan disini. Daya yang lepas digunakan untuk

bekerja berla+anan dengan gaya gesek. -etika pasir mengenai sabuk<berjalan maka harus

diperepat dari kelajuan nol sampai kelajuan sabuk<berjalan menempuh jaraj tertentu. Pada pengamat yang berada pada sabuk, pasir yang jatuh ke ba+ah harus bergerak horiGontal

dengan kelajuan 0 pada arah berla+anan dengan sabuk. 'abuk<berjalan menggerakkan pasir

bermassa dm dengan gaya horiGontal d ´ F + yakni,

d ´ F + = (dm) ) "43&

Dalam hal ini H merupakan koe/isien gesekan kineti antara sabuk dan pasir. Jadi

perepatan pasir adalah a=´ F /m ,sehingga

a=d ´ F +

dm / )

"44&

Jarak A yang ditempuh oleh pasir yang mengalami perubahan kelajuan dari 0 ke : yakni,

- =

v2

2a=

v2

2m)

"47&

Dan kerja yang dilakukan oleh gaya gesekan adalah

d W + =d ´ F + ´ x= (dm ) ) v

2

2 m)

1

2 (dm) v

2

"48&

Daya yang hilang digunakan oleh gaya gesek yakni,



y

m33

3

m1m2

1i4

Sebelum tumbukanSetelah tumbukan

4

Pm=d W +

dt =

1

2

dm

dt v

2= d

d+ ( 12 m v2)=1

2 P "49&

G. T'"b'k#& T#k Le&t&)

Pada tumbukan antar partikel, ada kemungkinan energi kinetik akhir lebih keil dari

pada energi kinetik a+al, maka pada kondisi ini sistem menyerap energi, dan dinamakan

endoergenic atau tumbukan jenis pertama, sedangkan tumbukan yang menghasilkan energi

kinetik akhir lebih besar daripada energi energi kinetik a+al, maka sistem melepas energi,

dan dinamakan exoergenic atau tumbukan jenis kedua. Jika energi kinetik a+al K i dan energi

kinetik adalah K f , maka energi disintegrasi "I& dapat dinyatakan sebagai * I ) K f - K i"94&

jika I : eAoergik, tumbukan tak lenting jenis kedua "97a&

I K : endoergik, tumbukan tak lenting jenis pertama "97b&

I ) : eAoergik, tumbukan tak lenting jenis kedua "97&

'eperti tampak pada gambar 8, tumbukan tak lenting antara dua partikel bermassa m1

yang bergerak dengan keepatan v1i terhadap sebuah partikel bermassa m2 yang diam, dan

menghasilkan dua partikel baru dengan massa m dan m yang bergerak dengan keepatan

v/ dan v

/ yang membentuk sudut L dan L terhadap sumbu<A. 'edangkan K 1, K 2, K ,

dan K merupakan energi kinetik partikel m1 , m2, m3, m4, dan energi disintegrasinya .

Berdasarkan hukum kekekalan momentum dan energi kinetik, dapat ditulis

m1v

1i ) mv

/.osL ( mv

/.osL "98&

: ) mv

/.sinL < mv

/.sinL "99&

Dan - 1 ( ) - ( - "1::&



G#"b#r /. T'"b'k#& t#k e$#!t! #&t#r# %'# (#rtke$

Dengan demikian akan diperoleh,

"mv

/ &2 ) "m1

v1i&

2 ( "mv

/ &2 2m1m

v1i.

v/ .osL "1:1&

Dan mengkombinasi persamaan "1::& dan "1:1& dan menggunakan relasi energi kinetik K 1,

K , dan K , akan diperoleh energi disintegrasinya yakni,

"1:2&

Ditinjau sebuah objek bermassa m1 bergerak dengan keepatanv

1 menabrak sebuah objek

lain yang diam bermassa m2 , dan kemudian kedua objek menempel setelah tumbukan dan

keepatannya v2. Menurut hukum konser0asi momentum maka,

v2 )

m1 v 1

m1+m2 "1:&

Dalam hal ini energi kinetik tidak kekal, sehingga

) - / - i )1

2 "m1 ( m2& 022 <

1

2 m1 012

subtitusikan persamaan "1:& untuk didapatkan,

) - 1

. m2

m1+m2 "1:&

$ang bernilai negatip dan tumbukannya bersi/at endoergik.

Jadi energi minimumnya "energi ambang& dinyatakan dengan persamaan

"1:3&

ntuk reaksi endoergi K 1 harus menjadi " K 1 ) amang.

5ukum kekekalan momentum dan energi yang diperlukan pada tumbukan satu dimensi

antara dua buah objek seperti pada gambar 9, yakni



m1m2m1m2

- 1i 2i 12 X

1i 2i (rea%)i 1i 2i (rea%)

m1v

1i ( m2v

2i ) m1v

1/ ( m2v

2/ "1:4&

1

2 m1v

1i2(

1

2 m2v

2i2 )

1

2 m1v

1/ 2(

1

2 m2v

2/ 2 "1:7&

Dalam hal ini dihasilkan,

v1i ( v

2i )v

2/ < v1/ "1:8a&

Otau " vrelati/ &/ ) < " v

relati/ &i "1:8b&

Koefisien restitusi (e& ) <( v relati+ ) +

(v relati+ ) i "1:9&

Dalam hal ini, e)1 untuk tumbukan lenting dan e): untuk tumbukan tak lenting

sempurna, untuk tumbukan tak elastis e berada diantara : dan 1.

G#"b#r . T'"b'k#& $e&t&) !#t' %"e&! #&t#r# %'# "#!!# m1 %#& m2

H. S!te" Koor%&#t P'!#t M#!!# D'# Be&%#

'uatu sistem berisi dua objek bermassa m1 dan m2 pada jarak r 1dan r 2 dari titik asal ,

seperti gambar 1:., F 1e dan F 2e merupakan gaya luar yang bekerja pada m1 dan m2 ,

sedangkan F

12i adalah gaya dalam yang bekerja antara m1 dan m2 , dan >21

isebagai gaya

dalam yang bekerja antara m1 dan m2, sesuai dengan hukum 666 Ne+ton,

F 12

i ) < >21i) / "11:&

'edangkan gaya luar total yang bekerja pada suatu sitem

> )

F 1

e

( F

2

e

"111&



m2

CM

r2

&m1

r1

-

Mengikuti hukum 66 Ne+ton, gerak dua benda dalam sistem lab dapat ditulis sebagai *

"112&

"11&

-oordinat pusat massa R dapat dinyatakan dengan persamaan,

"11&

Dan koordinat relati/ "r& diberikan oleh

r=r1 <

r2 "113&

'edangkan reverse transformasi diberikan dengan persamaan

r1 ) ! (

m2

m1+m2 r

"114&

G#"b#r 10. P'!#t "#!!# %#& )er#k rekt '&t'k !!te" tet#( (#%# %'# (#rtke$

Dan r2) ! <

m2

m1+m2 r

"117&

Penjumlah persamaan "112& dan "11& akan diperoleh,

Dengan menggunakan persamaan "11:&, "111&, dan "11&, didapatkan persamaan,

"m1 ( m2&´ R ) >

Otau M ´ R ) > "118&



´ R sebagai perepatan pusat massa sistem M "m1 ( m2& karena gaya luar F

'elanjutnya dengan mengalikan persamaan "112& dengan m2 dan persamaan "11& dengan m1

dan kemudian menguranginya, didapatkan persamaan *

m1m2 " r

1 <r

2& ) m2 F

1e m1>2

e 5 m2>12i 5 m1>21

i

dari persamaan "11:&, didapat

"119&

!nt"k khas"s kh"s"s, F

1e)>2

e ) : "12:&

Otau F 1

e

m1

< F 2

e

m2

"121&

;aya luar yang bekerja pada objek tersebut proposional dengan massanya, sehingga

persamaan "119& menjadi

m1 m2

r¿ 1 <

r2& ) "m1 ( m2& /

"122&

leh karena massa reduksi dide/inisikan sebagai

H )m 1m 2

m1+m2 "12&

dan r=r1 <

r2, maka persamaan "122&

Hr ) / "12&

Merupakan persamaan gerak benda bermassa H yang diberi/ gaya iternal / ) >21i

sehingga menghasilkan perepatan "r& seperti pada persamaan "118&.

ntuk menentukan momentum linier "P&, anguler "&, dan total energi kinetik K dalam

koordinat pusat massa "EM& maka ditinjau kembali keepatan pusat massa yakni,

"123&

Dan keepatan relati/ "0&



0 ) r ) r1 <

r2

"124&

'edangkan invers tranformasin#a dinyatakan sebagai,

"127&

"128&

Dengan demikian total momentum linier sistem yakni,

P ) m1r

1 ( m2r

2 ) M ´ R "129&

Dan total momentum sudut sistem yakni,

) m1"r 1 A r1& ( m2"r 2 A r

2&

"1:&

'ubtitusi untuk r1 dan r

2 dari persamaan "127& dan "123&, didapatkan

) M "! A´ R & A H "rA

r2&

"11&

'edangkan untuk energi kinetiknya diberikan oleh persamaan

K )1

2 m1 r 12 (

1

2 m2 r 22

"12&

Dengan mensubtitusikan r1 dan r

2 didapat

K )

1

2 M

´ R 2

(

1

2 H

r 2

"1&

Otau K )1

2 M & 2 (1

2 H v 2

I. T'"b'k#& %#$#" S!te" Koor%&#t P'!#t M#!!#

'ebelumnya telah dibahas tumbukan elastik dan tak elastik antar dua benda dari sudut

pandang pengamat yang diam dalam sistem koordinat laboratorium "'-&. Pada banyak



m1CMm2

61i62i 0

kasus, akan memudahkan apabila pengamatan dilakukan dalam dalam sistem koordinat yang

bergerak terhadap '-. mumnya sistem koordinat yang digunakan adalah sistem koordinat

pusat massa "'-PM&, di mana tumbukan diamati oleh pengamat yang ada di pusat massa

yang tentunya ikut bergerak dengan keepatan yang sama dengan pusat massa.

Misalkan sebuah partikel bermassa m1 di A1 bergerak dengan keepatan 01i, sementara

sebuah partikel bermassa m2 di A2 diam seperti ditunjukkan gambar 11 pusat massa A

diberikan oleh

"m1 ( m2&A ) m1A1 ( m2A2 "13&

'ementara keepatan pusat massa diperoleh dari di//erensiasi persamaan 13 yaitu

"m1 ( m2&0 ) m1A1 ( m2A2 "14&

Dimana 0 ) dAFdt, untuk situasi seperti yang ditunjukkan gambar 11, A 1)01 dan A2):,

sehingga keepatan pusat massa 0 terhadap '- diberikan oleh

0¿

m1v 1i

m1+m2 )/

m 01i , dimana H adalah massa tereduksi.

"17&

;ambar 11. -eepatan m1 dan m2 dan pusat massanya dalam sistem koordinat lab "'-&.

Misalkan tumbukan antara m1 dan m2 diamati oleh pengamat yang berada dalam

'-PM yang bergerak dengan keepatan 0. -eepatan m1 dan m2 terhadap '-PM adalah

0Q1i dan 0Q2i "tanda aksen menunjukkan bah+a besaran digambarkan dalam '-PM&.

G#"b#r 12. Ger#k (#rtke$ "1 %#& "2 (#%# !!te" koor%&#t ('!#t "#!!# SKPM3.

m1 EM m2

- A

0Q1i ) 01i< 0 02i ) < 0



m161617

-m1m2 7

m2 +2

m16"1 61i 6

m1 6"2im2X

- 6"1i 61i 6m2

6"2 6

SEBELUMSESUDAH

;ambar 12 menunjukkan gerak kedua partikel terhadap '-PM. Momentum tiap partikel

sebelum tumbukan dalam '-PM adalah

Jadi momentum linier total dari sistem dalam '-PM sebelum tumbukan adalah

Bah+a momentum linier total sebelum tumbukan sama dengan nol merupakan salah satu si/at

penting dari '-PM. 5al ini berakibat agar momentum liniear kekal, momentum linier total

setelah tumbukan harus nol juga. Dipandang dari '-PM dua partikel bermassa m1 dan m2

saling mendekat dalam garis lurus dan setelah tumbukan saling menjauh dalam garis lurus

juga dengan keepatan a+al yang sama, seperti ditunjukkan dalam gambar 1"a&. ;aris yang

menghubungkan kedua partikel yang saling menjauh dapat juga membentuk sudut L "dalam

'-PM&. 'ebagai perbandingan, gambar 1"b& menunjukkan tumbukan yang diapandang dari

'-.

(a)

"b&

G#"b#r 14. T'"b'k#& #&t#r# %'# (#rtke$ ber"#!!# m1 dan m2 +#&) %$,#t%#r #3

SKPM b3 SKL

'elanjutnya akan dibahas masalah bagaimana ara kembali dari '-PM ke '- dan

hubungan antara sudut yang dibuat oleh partikel setelah tumbukan dengan arah mula<mula

baik dalam '- maupun '-PM. Dalam '-PM, keepatan akhir dan arah partikel setelah

tumbukan ditunjukkan pada gambar 1"a&. ntuk menentukan keepatan akhir partikel dalam'-, maka prosedur untuk berubah dari '- ke '-PM dapat dibalik. 5al ini dapat



6

6"1 7 61

-

:7

6"2 62 6

dilakukan dengan menambahkan ke keepatan akhir v$ 1f = %v1i & vc ) dan v$ 2f = vc, keepatan

pusat massa 0 seperti ditunjukkan oleh gambar 1, dapat ditentukan hubungan L dan R

dalam '- dan Ldalam '-PM. Dengan menguraikan ke dalam komponennya, persamaan

"1& dapat dituliskan

01/ os L ) 0 ( 0Q1/ osLE "13&

01/ sin L ) 0Q1/ sinLE "14&

Dengan saling membagi akan diperoleh

tan 0)

& 1 1 +sin0%

&%+& 1 1 + cos0 % )

sin0%

&%

& 1 1 +

+cos0%

"17&

atau tan L )sin0%

2 +cos0%

"18&

Dimana S )&%

& 1 1 + ) Ke%epatanpusatmassadalam3K!

Ke%epatanm1 setelahtumbukandalam3KPM

"19&

Nilai dari 0 dan 0Q1/ diberikan oleh persamaan "17& dan "13&. Dari persamaan "17&

0 )m1

m1+m2 01i )/

m2 01i

"13:&

Dimana H adalah massa tereduksi dan 01i adalah keepatan relati/ a'a( %= v1i & v2i = v1i & 0

=v1i ). -eepatan relati/ akhir, v$ 1f %= v$ 1i ), dari persamaan "18& sama dengan



0Q1/ )m2

m1+m2 01/ )/

m1 01/

"131&

;abungan tiga persamaan tersebut "dan dengan memperhatikan bah+a keepatan akhir

sama dengan keepatan a+al dalam '-PM&, diperoleh

S )&%

& 1 1 + )m1& 1 i

m2& 1 +

"132&

ntuk t"m"kan tak (enting v1i v1f sehingga persamaan "13& menjadi

tan L )

sin0%

m1v1 i /m2v 1 + +cos0%

"13&

ntuk t"m"kan (enting, v1i = v1f sehingga persamaan "13& menjadi

tan L )sin0%

(m1 /m 2)+cos 0%

"13&

*itin+a" eeraa kas"s kh"s"s dari ersamaan %14) "nt"k t"m"kan (enting

Kasus (a) * Jika m1 ) m2, seperti dalam khusus tumbukan antara neutron dan proton,

persamaan "13& dapat dituliskan sebagai

tan L )sin0%

1+cos0% )

2sin( 0%

2 )cos (0%

2)

2cos2(

0 %

2)

) tan0%

2

"133&

sehingga L )0%

2 "134&

-arena dalam '-PM /c dapat memiliki nilai antara : dan T, maka L dapat memiliki

nilai maksimum5

2 .

K#!'! b3 * Jika m2 m1, persamaan "13& dapat dituliskan sebagai



tan L Usin0%

cos0% ) tan0

"137&

sehingga L U L E "138&

K#!'! 53 * Jika m1 m2, partikel yang menumbuk lebih berat dibandingkan partikel sasaran.

Dalam kasus ini, L harus sangat keil, tidak peduli berapa nilai L .5al ini bersesuaian dengan

persamaan "9:& yang menyatakan bah+a L tidak dapat lebih besar nilainya dibandingkan

dengan nilai maksimum Lmaks.

dokumen.tips makalah sistem partikel

Documents