PEMBUKTIAN

Dalil

demoivre

Penyusun:

MATEMATIKA

CERIA

Pembuktian dalil demoivre ”Om Wendi”

Page 1

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

Dalil Demoivre:

Untuk setiap bilangan kompleks cos sinr i dan n bilangan rasional

berlaku:

cos sin cos sinn nr i r n i n

atau

.cis .cisn nr r n

Pembuktian Dalil Demoivre:

Ingat bahwa hasil kali dua bilangan kompleks adalah sebuah bilangan

kompleks. Yang dapat kita tuliskan:

1 2 1 2.cis . .cis .cisr r r r

Jika 1 2r r dan , maka:

2 2

1 1.cis .cis 2r r

Sehingga secara umum dapat kita nyatakan:

Untuk setiap bilangan kompleks cos sinr i dan n bilangan asli

berlaku: .cis .cisn nr r n

Selanjutnya untuk n = 0, maka:

0

.cis 1r

Pembuktian dalil demoivre ”Om Wendi”

Page 2

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

0 0 0 0.cis 0 . cos0 sin 0

1. 1 0

1

r r i

Jadi 0 0.cis .cis 0r r

Sehingga untuk setiap bilangan kompleks cos sinr i dan n = 0 juga

berlaku: .cis .cisn nr r n

Selanjutnya untuk bilangan bulat negatif n, dimana n = -m, dengan

m ∈ bilangan asli. Maka:

2 2

.cis .cis

1

.cis

1

. cos sin

cos sin1. .

cos sin cos sin

cos sin.cos sin

n m

m

m

m

m

r r

r

r m i m

m i mr

m i m m i m

m i mr

m m

Pembuktian dalil demoivre ”Om Wendi”

Page 3

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

cos sin.cis .

1

. cos sin

n m

m

m i mr r

r m i m

ingat bahwa: cos cos dansin sin

.cis . cos sin

. cos sin

.cis

n m

n

n

r r m i m

r n i n

r n

Sehingga untuk setiap bilangan kompleks cos sinr i dan bilangan

bulat negatif n, juga berlaku: .cis .cisn nr r n

Selanjutnya untuk bilangan rasional n, maka dapat kita nyatakan:

pn

q dengan p,q ∈ bilangan bulat dan p,q relatif prima

.cis .cis

. cis

pn

q

pp

qq

r r

r

Kita misalkan:

q maka q

Pembuktian dalil demoivre ”Om Wendi”

Page 4

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

Jadi:

.cis . cis

. cis

. cis

. cis

.cis

.cis .

.cis .

.cis

pp

n qq

p pq q

p pqq q

ppq

p

q

p

q

p

q

n

r r

r q

r

r

r p

r pq

pr

q

r n

Sehingga untuk setiap bilangan kompleks cos sinr i dan bilangan

rasional n, juga berlaku: .cis .cisn nr r n

Jadi terbukti bahwa: Untuk setiap bilangan kompleks cos sinr i

dan n bilangan rasional berlaku:

cos sin cos sinn nr i r n i n

atau

.cis .cisn nr r n