Bab 5 Dalil Pythagoras

Bab 5 Dalil Pythagoras

5.1. Luas Persegi dan Luas Segitiga

Penjelasan Guru :

a. Luas Persegi

L = s x s = s2

L = AB x BC

b. Luas Segitiga Siku-siku

L =

L =

c. Menghitung Luas Satuan Persegi Dengan Menggunakan Luas Segitiga siku-siku

Cara I :

1. Garis tepi tepat pada sudut persegi seperti gambar disamping

2. Carilah luas persegi tersebut3. Cari luas segitiga yang terdapat di dalam

persegi, karena jumlah segitiganya ada 4, maka kalikanlah 4

4. Kemudian luas persegi dikurangi luas segitiga

5. Itulah hasilnya… !

Makalah Matematika Semester 2 1

A

D C

B

A

C

B

Bab 5 Dalil Pythagoras

Cara II :

1. Carilah luas ke-4 segitiga yang terdapat di dalam persegi (warna merah)

2. Carilah luas persegi kecil yang terdapat di antara ke-4 luas segitiga dan persegi

3. Jumlahkan antara ke-4 luas segitiga dan persegi

4. Itulah hasilnya… !

Soal - Ku !!!

1. Hitunglah luas segitiga berikut !a. b. c.

2. Hitunglah luas persegi dan segitiga dalam satuan luas !

3. Hitunglah luas persegi berikut dengan satuan luas !

Makalah Matematika Semester 2 2

III

I

IIV

I

Panjang sisi persegi yang ada ditengah merupakan hasil dari 2 sisi berpenyiku pada segitiga

23

26

17

20

13

15

Bab 5 Dalil Pythagoras

Makalah Matematika Semester 2 3

Bab 5 Dalil Pythagoras

Pythagoras (582 SM – 496 SM, bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.

Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.

Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Terdapat legenda yang

menyatakan bahwa ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa , hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, murid-murid Pythagoras lainnya memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.

Makalah Matematika Semester 2 4

Bab 5 Dalil Pythagoras

5.2. Pembuktian Dalil Pythagoras

Penjelasan Guru :

a. Dalil Pythagoras dapat dibuktikan dengan cara

Lihatlah Gambar disamping!Luas persegi pada hipotenusa sama dengan jumlah luas sisi yang berpenyiku

Hipotenusa = sisi miring

“Sisi Hipotenusa Sama Dengan Jumlah Sisi Yang Berpenyiku ”

b. Rumus Pythagoras dan Kelipatannya

Jika 5 diganti kelipatannya, contoh = 10, maka kedua sisi berpenyiku itu juga diganti dengan kelipatannya 4 jadi 8 dan 3 jadi 6

Diperoleh dari =

Makalah Matematika Semester 2 5

PYTHAGORASa2 + b2 = c2

c = c = hipotenusa

a c

b

45

3

12

5

13

Bab 5 Dalil Pythagoras

Soal - Ku !!!

1. Gunakan dalil Pythagoras untuk menghitung luas segitiga di bawah ini !a. b. c. d.

Makalah Matematika Semester 2 6

16x

12

x 7

24

1,5x

1,7

2020

x

Bab 5 Dalil Pythagoras

5.3. Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Tripel Pythagoras

5.3.1. Kebalikan Dalil Pythagoras

Penjelasan Guru :

Dalam ∆ABC apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi dihadapan sudut C, maka berlaku “Kebalikan Dalil Pythagoras”, yaitu :Jika a2 = b2 + c2 , maka ∆ABC siku-siku di A

b2 = a2 + c2 , maka ∆ABC siku-siku di Bc2 = a2 + b2 , maka ∆ABC siku-siku di C

“Definisi”

Pada segitiga siku-siku sisi jipotenusa kuadrat sama dengan jumlah sisi kuadrat lain

Pada segitiga lancip slah satu sisi kuadrat lebih pendek dari jumlah sisi kuadrat lain

Pada segitiga tumpul sisi terpanjang kuadrat lebih panjang dari jumlah sisi kuadrat yang lain

Secara sistematis dapat ditulis :

Lihatlah gambar segitiga di atas :1. Segitiga Siku-Siku

BC2 = AC2 + AB2

2. Segitiga LancipBC2 < AC2 + AB2 Pada segitiga lancip, rumus bisa menjadi 3, karena panjang AB2 < BC2 + AC2 sisi AB, AC, dan BC panjangnya tidak tentuAC2 < AB2 + BC2

3. Segitiga TumpulBC2 > AC2 + AB2

Makalah Matematika Semester 2 7

ba

cA B

C

Bab 5 Dalil Pythagoras

5.3.2 Tigaan Pythagoras ( Tripel Pythagoras )

Penjelasan Guru :

Tetapi dengan ketentuan p lebih besar dari pada q

Contoh :p = 3 q = 1

2pq = 2 . 3 . 1 p2 + q2 = 32 + 12 p2 - q2 = 32 + 12

= 6 = 9 + 1 = 9 – 1 = 10 = 8

Tabel Tripel Pythagoras

a > ba b a2 +

b22ab a2 - b2 Tripel

2 1 10 6 8 6, 8, 103 1 5 4 3 3, 4, 54 1 17 8 15 8, 15, 175 1 26 11 24 11, 24, 266 1 37 12 35 12, 35, 377 1 50 14 48 14, 48, 503 2 13 12 5 5, 12, 134 2 20 16 12 12, 16, 205 3 34 30 16 16, 30, 364 3 25 24 17 17, 24, 25

Makalah Matematika Semester 2 8

2pq

p2 + q2

p2 - q2

Bab 5 Dalil Pythagoras

Soal - Ku !!!

1. Dari tigaan berikut, manakah yang dapat membentuk segitiga siku-siku, lancip, dan tumpul !a. 6, 8, 10b. 3, 4, 6

2. Tiga bilangan asli yang merupakan tripel pythagoras, jika a = 7, b = 4. Tiga bilangan tersebut adalah …

3.

Hitunglah nilai CD dan DB !

Makalah Matematika Semester 2 9

20 cm 16 cm

30 cmA B

CD

Bab 5 Dalil Pythagoras

5.4. Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku yang Salah Satu Sudutnya 30°, 45°, dan 60°

5.4.1. Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku yang Salah Satu Sudutnya 30° atau 60°

Penjelasan Guru :

CD2 = AC2 – AD2

CD2 = a2 – (½a)2

CD2 = a2 – ¼a2

CD2 = ¾a2

CD =

CD =

CD = ½

Kesimpulan :

30° 60° 90°1 2

Contoh :

AB = 2 . AB= 10

= BC = 5 . = 5

Kesimpulan :

5.4.2. Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku yang Salah Satu Sudutnya 45°

Penjelasan Guru :

Makalah Matematika Semester 2 10

A BD

C

½a ½a

aa30° 30°

60° 60°

A D

C

30°

60°½a

a ½a

30°

60°1

2 330°

60°½

1 ½a

x 2

30°

60°A B

C

5

? ?

1 = ½ . 22 = 1 . 2

= 1 .

1 =

Bab 5 Dalil Pythagoras

BC2 = a2 + a2

BC2 = 2a2

BC = BC =

aBC = a

Kesimpulan :

45° 45° 90°1 1

Soal - Ku !!!

1. Lengkapilah segitiga di bawah ini! Tidak usah pakai cara tetapi … 5 menit !!!

a) b) c)

5.5. Menggunakan Dalil Pythagoras pada Bangun Datar dan Bangun Ruang

Penjelasan Guru :

x2 = AC2 - BC2

x2 = 402 - 242

x2 = 1600 - 576x =

Makalah Matematika Semester 2 11

A B

C

a a

45° 45°

45° 45°

D a

a a

BB

D

C

45°

45°

BB

D

C

1

1 2

45°

45°

Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 30°, 45° dan 60° merupakan segitiga istimewa

BB

A

C

….

…. 1430°

60°

30°

60°….

10 ….45°

45°P Q

R

….

4 ….

A

D C

B

24 cm40 cm

x… ?

Bab 5 Dalil Pythagoras

x = 32 cm

AC2 = AB2 + BC2

AC2 = 42 + 32

AC2 = 16 + 9AC =

= 5 cm

5.6. Menyelesaikan Soal Cerita dengan Menggunakan Dalil Pythagoras

Penjelasan Guru :

1. Tangga panjangnya 3 m bersandar pada tembok yang membentuk sudut 60° dengan lantai. Berapa jarak alas tangga ke tembok ?

Jawab :

30° 60° 90°1 2

1,5 1,5 3

Makalah Matematika Semester 2 12

F

A

D

C

B

H

G

4 cm

3 cm

12 cm

3 m

30°

60°

Bab 5 Dalil Pythagoras

Soal - Ku !!!

1. Hitunglah !

Dari keterangan gambar disamping berapa panjang AB dan AC ?

2. Berapakah luas gambar segitiga disamping

?

3. Sebuah jendela terbuka dan membentuk sudut 60°, tinggi bingkai jendela 3,2 m. Berapakah panjang jendela ?

Makalah Matematika Semester 2 13

A

D C

B

2,560°

S

P

W

V

Q

U

T

5cm

bingkai