09. metode dalil tiga momen
TRANSCRIPT
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 1/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
METODE DALIL TIGA MOMEN
Dalil tiga momen ini sering pula disebut dengan Metode Clayperon.
Berbeda dengan cara yang terdahulu (Metode Consistent Deformation atau Castigliano) dimanagaya redundant dicari terlebih dahulu, pada metode ini besaran momen didapatkan terlebih
dahulu. Dengan metode ini kita meninjau 3 momen pada tiga buah titik berturut-turut.
Penurunan rumus dalil 3 momen ini menggunakan Metode Momen Area. Tinjau struktur ABC
yang dibebani gaya-gaya dan mempunyai perletakan yang tidak sama tinggi.
B
tCB
C’
CA
A’
A” ϕBC
ϕBA
tAB
h1
C”
h2
LBCLAB
Jika struktur ABC dipisahkan menjadi bentang AB dan BC, maka pada titik A bekerja gaya
MAB, titik B momen MBA dan MBC serta MCB pada titik C.
IBC
q
CB
P1P2P3
Maka diagram momennya dapat dipisahkan menjadi 2 bagian, yaitu akibat beban luar dengan
momen dititik ujung.
IABA B
MAB MBA MBC MCB
LAB LBC
Metode Dalil Tiga Momen 1
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 2/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
• Diagram momen akibat beban luar.
A BAAB
I
a1
B CABC
IV
a2
Dimana:
a1 = jarak titik berat luas diagram momen ketitik Aa2 = jarak titik berat luas diagram momen ketitik C
AAB = luas diagram momen bentang AB
ABC = luas diagram momen bentang BC
• Diagram momen akibat bekerjanya momen dititik ujung:
A B
III
IIMA
MB
B C
VI
V
MB
MC
1/3.LAB 1/3.LBC
2/3.LAB 2/3.LBC
Dengan azas kompatibilitas, maka:
BC BA = .................................................................................................................................. (1)
AB
AB
AB
BA L
t h
L
A A −== 1"'
ϕ
BC
CB
BC
BC L
ht
L
C C 2"' −==ϕ
BC
CB
AB
AB
L
ht
L
t h 21 −=
−..................................................................................................................... (2)
Metode Dalil Tiga Momen 2
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 3/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Dimana:
tAB adalah besarnya simpangan antara 2 buah garis singgung antara titik A dan B terhadap
titik A (Dalil Momen Area II).
tCB adalah besarnya simpangan antara 2 buah garis singgung antara titik B dan C terhadap
titik C (Dalil Momen Area II).
tAB didapat dari superposisi tiga komponen, yaitu: beban kerja, MA dan MB.
tCB didapat dari superposisi tiga komponen, yaitu: beban kerja, MB dan MC.
( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅= AB
AB
AB
AB AB
AB L EI
III Luas L
EI
II Luasa
EI
I Luast
3
1
3
21
( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅⋅
⋅⋅
+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅⋅
⋅⋅
+⋅= AB
AB
AB A
AB
AB
AB B
AB
AB AB L
EI
L M
L EI
L M
a EI At
312
1
322
1
1
( ) AB
AB A
AB
AB B
AB
AB AB
EI
L M
EI
L M a
EI
At
63
22
1
⋅+
⋅+⋅= ..................................................................................... (3)
( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅= BC
BC
BC
BC BC
CB L EI
VI Luas L
EI
V Luasa
EI
IV Luast
3
1
3
22
( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅⋅⋅+⋅= BC
BC
BC C
BC
BC
BC B
BC
BC CB
L EI
L M L
EI
L M a
EI
At
3
12
1
3
22
1
2
( ) BC
BC C
BC
BC B
BC
BC
CB EI
L M
EI
L M a
EI
At
63
22
2
⋅+
⋅+⋅= .................................................................................. (4)
Persamaan (3) dan (4) dimasukkan ke persamaan (2), maka:
BC BC
CB
AB
AB
AB
L
h
L
t
L
t
L
h 21 −=−
( ) ( )
BC BC
BC C
BC
BC B
BC
BC
BC AB
AB A
AB
AB B
AB
AB
AB AB L
h
EI
L M
EI
L M
EI
a A
L EI
L M
EI
L M
EI
a A
L L
h 2
22
2
22
11
63
1
63
1−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅+
⋅+⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅+
⋅+⋅−
( )( )
( )( ) BC BC
BC C
BC
BC B
BC BC
BC
AB
AB A
AB
AB B
AB AB
AB
AB L
h
EI
L M
EI
L M
L EI
a A
EI
L M
EI
L M
L EI
a A
L
h 2211
6363−
⋅+
⋅+=
⋅−
⋅−−
Metode Dalil Tiga Momen 3
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 4/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
( )( )
( )( ) BC AB BC BC
BC
AB AB
AB
BC
BC C
BC
BC B
AB
AB B
AB
AB A
L
h
L
h
L EI
a A
L EI
a A
EI
L M
EI
L M
EI
L M
EI
L M 2121
6336++−−=
⋅+
⋅+
⋅+
⋅
( )
( )
( )
( ) BC AB BC BC
BC
AB AB
AB
BC
BC C
BC
BC B
AB
AB B
AB
AB A
L
h
L
h
L EI
a A
L EI
a A
EI
L M
EI
L M
EI
L M
EI
L M 2121
6336++−−=
⋅+
⋅+
⋅+
⋅
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+−−=⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⋅+⋅
BC AB BC BC
BC
AB AB
AB
BC
BC
C
BC
BC
AB
AB
B
AB
AB
A L
h
L
h
L EI
a A
L EI
a A
EI
L M
EI
L
EI
L M
EI
L M 2121 6
662
atau
( )( ) ( )( ) ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡ +⋅+−−=⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ ⋅+⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅+⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅+⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ ⋅
BC
2
AB
1
BCBC
2BC
AB AB
1 AB
BC
BCCBBC
BCBC AB
ABBA AB
AB ABLh
Lh6
LEIa A6
LEIa A6
EILM
EILM2
EILM2
EILM
Catatan:
Persamaan ini diturunkan berdasarkan diagram momen positif oleh karena itu:
• Jika momen yang dihasilkan positif maka arah momen ke diagram momen positif.
• h1 dan h2 positif bila diukur kearah atas dari titik B.
Metode Dalil Tiga Momen 4
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 5/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Contoh Soal 1:
BA C
D
Pq
1/4.L1/2.L1/2.LL
EIEI
P
Diketahui: qLP4
1=
Hitung reaksi-reaksi perletakan balok menerus diatas?
Penyelesaian:
Pada perletakan terjepit dapat dianggap sebuah batang dengan perletakan sendi dengan hargaI= ~. Jadi balok ABCD dapat diekivalenkan dengan balok Ao-A-B-C-D.
BA C
D
Pq
Lo
I = ~
Ao
1/4.L1/2.L1/2.LL
EIEI
P
Diagram momen untuk masing-masing bentang dengan kondisi 2 tumpuan (statis tertentu):
2qL8
1
PL4
1
DCA B
Ao
PL2
1L
L
P4
8
1qL
8
1 22 ⋅=⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=
Metode Dalil Tiga Momen 5
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 6/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Bentang Ao-A:
~= AoA I
021
== hh
Bentang A-B:
2
3
1
2
1
3
2PL LPL A AB =⋅⋅=
La2
11 =
Bentang B-C:
2
8
1
4
1
2
1 PL LPL A BC =⋅⋅=
La2
12 =
Tinjau bentang Ao-A-B:
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+−−=⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⋅+⋅
AB AoA AB AB
AB
AoA AoA
AoA
AB
AB
B
AB
AB
Aoa
AoA
A
AoA
AoA
AoA L
h
L
h
L EI
a A
L EI
a A
EI
L M
EI
L
EI
L M
EI
L M 2121 6
662
( )( ) AB AB
AoA
AB
AB
B
AB
AB AoA
A L EI
LPL
a A
EI
L M
EI
L L M
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ ⋅
−−=⋅+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⋅
2
1
36
~
6
~2
2
1
PL M M B A −=+⋅2 ..................................................................................................................... (1)
Tinjau bentang A-B-C:
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+−−=⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⋅+⋅
BC AB BC BC
BC
AB AB
AB
BC
BC
C
BC
BC
AB
AB
B
AB
AB
A L
h
L
h
L EI
a A
L EI
a A
EI
L M
EI
L
EI
L M
EI
L M 2121 6
662
4
PL M C −=
( )( )
( )( ) BC BC
BC
AB AB
AB
BC
BC
C
BC
BC
AB
AB
B
AB
AB
A L EI
a A
L EI
a A
EI
L M
EI
L
EI
L M
EI
L M 21
662 −−=⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⋅+⋅
PLPLPL
M M B A8
3
44 −−=−⋅+
Metode Dalil Tiga Momen 6
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 7/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
PL M M B A8
94 −=⋅+ ................................................................................................................. (2)
Persamaan (1) dan (2) dibuat dalam format matriks:
PL89
1
M
M
41
12
B
A
⋅⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
PL8
9
1
41
12
M
M 1
B
A ⋅⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅−
PL
28556
23
89
1
21
14
7
PL
M
M
B
A ⋅⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅
PL56
23 ⋅
BA C
D
Pq PL
41 ⋅PL
285 ⋅
1/4.L1/2.L1/2.LL
EIEI
P
Reaksi Perletakan Balok Menerus:
• Freebody AB:
0=∑ B M
( )↑=
=−+−⋅
=⋅⋅−+−⋅
56
125
0228
5
56
23
02
1 2
PV
PLPLPL LV
Lq M M LV
AB
AB
B A AB
0=∑ A M
( )↑=
=+−+⋅−
=+−⋅⋅+⋅−
56
99
0285
56232
02
1 2
PV
PLPLPL LV
M M Lq LV
BA
BA
B A BA
BA
q PL
5623M A ⋅= PL
285MB ⋅=
VABVBA
L
• Freebody BC:
Metode Dalil Tiga Momen 7
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 8/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
0=∑ C M
( )↑=
=+−−⋅
=+−−⋅
7P3V
0PL4
1PL28
52
PLLV
0MM2
PLLV
BC
BC
CBBC
0=∑ B M
( )↑=
=+−+⋅−
=+−+⋅−
7
P4V
0PL4
1PL
28
5
2PLLV
0MM2
PLLV
CB
CB
CBCB
( )↑== P56
125VV AB A
( )↑=+=+= P56
123P
7
3P
56
99VVV BCBAB
( )↑=+=+= P56
88PP
7
4VVV CDCBC
CB
PPL28
5MB ⋅= PL4
1MC ⋅=
VBCVCB
½.L½.L
BA C
D
Pq
EI EI
L 1/2.L 1/2.L 1/4.L
PL56
23 ⋅ PL28
5 ⋅PL
41 ⋅
P56
125V A = P
56
123VB = P
56
88VC =
P
Metode Dalil Tiga Momen 8
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 9/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Gambar Gaya-gaya Dalam:
BA C D
PL56
50,11+
PL56
2
+PL56
23−
PL56
10−
PL56
14−
Bidang Momen
BA C D
P56
24+
P56
32−
P56
125+
P+
P56
99−
P56
24+
P56
32−
P+
Bidang Lintang
Metode Dalil Tiga Momen 9
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 10/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Contoh Soal 2:
BA C
q = 1,0 t/m
L = 6,0 mL = 6,0 m
EI2EI
Hitunglah reaksi-reaksi perletakan dengan metode dalil 3 momen!
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persoalan ini struktur dapat dianggap sebagai berikut:
I = ~ B
A C
q = 1,0 t/m
2EI EI
L = 6,0 m L = 6,0 m
δ
Lo
Ao
Diagram momen untuk masing-masing bentang dengan kondisi 2 tumpuan (statis tertentu):
2qL8
12qL8
1
A BAo C
AAB ABC
( 32 AB qL
121LqL
81
32 A =⋅⋅=
( ) 32BC qL
121LqL
81
32 A =⋅⋅=
Metode Dalil Tiga Momen 10
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 11/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Tinjau bentang Ao-A-B:
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+−−=⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⋅+⋅
AB AoA AB AB
AB
AoA AoA
AoA
AB
AB
B
AB
AB
Aoa
AoA
A
AoA
AoA
AoA L
h
L
h
L EI
a A
L EI
a A
EI
L M
EI
L
EI
L M
EI
L M 2121 6
662
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ δ−⋅+⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⋅⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⋅−−=⋅+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅⋅+⋅L
06LEI2
L2
1
qL12
1
6
~
a A6
EI2
LM
EI2
L
~
LM2
~
LM
3
1 AoAB
AoA A
AoA AoA
2
2B A qL8
1
L
EI6M
2
1M −=
δ++ ..................................................................................................... (1)
Tinjau bentang A-B-C:
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+−−=⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⋅+⋅
BC
2
AB
1
BCBC
2BC
AB AB
1 AB
BC
BCC
BC
BC
AB
ABB
AB
AB A
L
h
L
h6
LEI
a A6
LEI
a A6
EI
LM
EI
L
EI
LM2
EI
LM
0=C
M
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ δ+
δ⋅+
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
−=⋅+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅⋅+⋅LL
6LEI
L2
1qL
12
16
LEI2
L2
1qL
12
16
EI
LM
EI
L
EI2
LM2
EI2
LM
33
CB A
2
2B A qL
8
3
L
EI62M3
2
M−=
δ⋅−⋅+ ............................................................................................... (2)
Karena titik B mengalami pergeseran maka perlu persamaan geser.
Freebody AB:
0M A =∑
BA
q = 1,0 t/mMA MB
VABVBA
L = 6,0 m
qL2
1
L
MMV
0MMLq2
1LV
B ABA
B A2
BA
+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=−+⋅⋅+⋅−
Freebody BC:
0MC =∑ MC = 0
CB
q = 1,0 t/mMB
VBCVCA
L = 6,0 m
qL2
1
L
MV
0Lq2
1MLV
BBC
2BBC
+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=⋅⋅−+⋅
Metode Dalil Tiga Momen 11
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 12/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Pada titik B:
0VV BCBA =+
0qL2
1
L
MqL
2
1
L
MM BB A =+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2B A qLM2M −=− ................................................................................................................... (3)
Dari persamaan (1) s.d. (3) disusun dalam bentuk matriks:
2
8
1
2
1qL x M M B A −=++
2
8
323
2qL x M
M B
A −=⋅−⋅+
22 qL M M B A −=−
misal:2
6
L
EI x
δ =
2
0,1
375,0
125,0
00,20,1
0,20,35,0
0,15,00,1
qL
x
M
M
B
A
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎪⎭⎪⎬
⎫
⎪⎩⎪⎨
⎧
++
−
=
⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++
−
=⎪⎭⎪⎬
⎫
⎪⎩⎪⎨
⎧
75,12
50,7
21
9
1651
815
421
2
qL
x
M
M
B
A
, dimana: 4961
9
22
=⋅=qL
2
6
L
EI x
δ =
( )↓+=⋅+
=⋅
= EI EI EI
L x 50,76
6
675,12
6
22
δ
Metode Dalil Tiga Momen 12
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 13/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Contoh Soal 3:
Hitunglah reaksi-reaksi struktur dibawah ini dengan Metode dalil tiga momen, beban P = 5 ton
bekerja pada titik D.
P = 5 ton
A
C
B
D
α
α
5EI
3EI
3,0 m6,0 m
1,5 m
4,0 m
Penyelesaian:
A
C
B
Pv = 3 ton
α
Ph = 4 ton
C”
C’
B’
δv
δs
δh
δvδv α
δh
δs
AoI = ~
MBD = 6 tm
δ=δ
δ=δ
δ=δ
3
5
3
4
s
h
v
Metode Dalil Tiga Momen 13
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 14/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas digram momen tidak ada.
Tinjau bentang Ao-A-B:
=⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅+⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅+⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅+⋅ AB
ABBA
AB
AB AB
Aoa
AoA AAo
AoA
AoA AoA EI
L
MEI
L
M2EI
L
M2EI
L
M
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+−−=
AB
2
AoA
1
AB AB
2 AB
AoA AoA
1 AoA
L
h
L
h6
LEI
a A6
LEI
a A6
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ δ−⋅+=⋅+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅
L06
EI3
LM
EI3
LM2
~
LM2
~
LM v
BA AB AoA
AAo AoA
AoA
δ⋅−=⋅+⋅ EIM2M4 BA AB ......................................................................................................... (1)
Tinjau bentang A-B-C:
=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅
BC
BCCB
BC
BCBC
AB
ABBA
AB
AB AB
EI
LM
EI
LM2
EI
LM2
EI
LM
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+−−=
BC
2
AB
1
BCBC
2BC
AB AB
1 AB
L
h
L
h6
LEI
a A6
LEI
a A6
0MCB =
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡ δ+δ⋅+=⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅+⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅+⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅
Lss
Lv6
EI5LsM
EI5LsM2
EI3LM2
EI3LM CBBCBA AB
δ⋅+=⋅+⋅+⋅ EI3M2M4M2 BCBA AB ....................................................................................... (2)
Pada titik kumpul B:
B
MBD = 6 tm
MBA
MBC
0MB =∑
0MMM BCBABD =−++
6MM BCBA =+− ............................................................................................................... (3)
Metode Dalil Tiga Momen 14
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 15/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
• Freebody AB:
0MB =∑
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
=−+⋅
6
MMV
0MMLV
BA AB AB
BA AB AB
BA
MAB MBA
VABVBA
L = 6,0 m
• Freebody BC:
0MB =∑
3
MV
0MLhV
BCCB
BCCB
+=
=+⋅−
• Lihat seluruh konstruksi:
0V =∑
033
M
6
MM
03VV
BCBA AB
CB AB
=−+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=−+
18M2MM BCBA AB +=⋅++− ............................................................................................ (4)
C
MBC
B
Lh = 3 mVCB
Dari persamaan (1) dan (2) didapat:
δ⋅−=⋅+⋅ EIM2M4 BA AB ___ x 3 ............................................................................................ (1)
δ⋅+=⋅+⋅+⋅ EI3M2M4M2 BCBA AB ....................................................................................... (2)
0M2M10M14 BCBA AB =⋅+⋅+⋅ ............................................................................................. (5)
Dari persamaan (3) s.d. (5) disusun dalam bentuk matriks:6MM BCBA =+− ............................................................................................................... (3)
18M2MM BCBA AB +=⋅++− ............................................................................................ (4)
0M2M10M14 BCBA AB =⋅+⋅+⋅ ....................................................................................... (5)
Metode Dalil Tiga Momen 15
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 16/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
0
18
0,6
M
M
M
0,21014
0,20,10,1
0,10,10
BC
BA
AB
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧++⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡− −=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
0
180,6
0,21014
0,20,10,10,10,10
M
MM
1
BC
BA
AB
tm
3223
4
0,2
0
18
0,6
11424
11430
31218
54
1
M
M
M
BC
BA
AB
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
+
−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
( )↑+=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +
=⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛ +−
= ton9
5
6
342
6
MM
V
BA AB
AB
( )↑+=+= ton9
22
3
MV BCCB
( )←+= ton0,4H A
P = 5 ton
A
C
B
D
α
α
1,5 m
6,0 m 3,0 m
3EI
5EI
HA = 4,0 ton
ton9
5V AB +=
ton9
22VCB +=
MBA = 4/3 tm
MBC = 22/3 tm
MBD = 6 tmMAB = 2 tm
4,0 m
Metode Dalil Tiga Momen 16
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 17/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Contoh Soal 4:
Balok ABC dengan kekakuan dan beban seperti tergambar dibawah ini. Analisalah reaksi balok
tsb. dengan menggunakan Dalil 3 Momen, kemudian gambarkan bidang Momen, dan
Lintangnya.
M = 10 tm
EI C
A2,0 m2,0 m
B
2 EI
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persoalan ini struktur dapat dianggap sebagai berikut:
I = ~
B
C
Bo
L o
2EIEI
2,0 m
A
2,0 m
δ
Karena pada batang tidak terdapat beban maka luas digram momen tidak ada.
Tinjau bentang A-C-B:
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅
CB
2
AC
1
CBCB
2CB
AC AC
1 AC
CB
CBB
CB
CBCB
AC
ACCA
AC
AC A
L
h
L
h6
LEI
a A6
LEI
a A6
EI
LM
EI
LM2
EI
LM2
EI
LM
0M A =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ δ+
δ⋅=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅
226
EI2
2M
EI2
2M2
EI
2M2 BCBCA
EI6MM2M4 BCBCA ⋅δ⋅=+⋅+⋅ ................................................................................ (1)
Tinjau bentang C-B-Bo:
( )( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
BBo
2
CB
12BBo
CBCB
1CB
BBo
BBoBo
BBo
BBo
CB
CBB
CB
CBCB
L
h
L
h6
LBBoEIBBo
a A6
LEI
a A6
EI
LM
EI
L
EI
LM2
EI
LM
Metode Dalil Tiga Momen 17
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 18/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
δ−⋅=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅ 0
26
~
LoM
~
Lo
EI2
2M2
EI2
2M BoBCB
EI3M2M BCB ⋅δ⋅−=⋅+ ... x 2
EI6M4M2 BCB ⋅δ⋅−=⋅+⋅ .......................................................................................... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat:
EI6MM2M4 BCBCA ⋅δ⋅=+⋅+⋅ ................................................................................ (1)
EI6M4M2 BCB ⋅δ⋅−=⋅+⋅ .......................................................................................... (2)+
0M5M4M4 BCBCA =⋅+⋅+⋅ ...................................................................................... (3)
Pada titik kumpul C:
M = 10 tm
CMCB
MCA
M = 10 tm
0MC =∑
010MM CBCA =+−+
10MM CBCA −=− ............................................................................................................. (4)
Freebody AC:
C
MCA
A
VAC VCA
0MC =∑
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
=−⋅
2
MV
0M2V
CA AC
CA AC 2,0 m
Metode Dalil Tiga Momen 18
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 19/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Freebody BC:
BC
MCB
VCBVBC
MB
0MC =∑
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=−+⋅−
2
MMV
0MM2V
BCBBC
BCBBC
2,0 m
• Lihat seluruh konstruksi:
0V =∑
02
MM
2
M
0VV
BCBCA
BC AC
=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
+
=+
0MMM BCBCA =−++ ............................................................................................... (5)
Dari persamaan (3) s.d. (5) disusun dalam bentuk matriks:
0M5M4M4 BCBCA =⋅+⋅+⋅ ................................................................................ (3)
10MM CBCA −=− ....................................................................................................... (4)
0MMM BCBCA =−++ ............................................................................................... (5)
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
0
10
0
M
M
M
111
011
544
B
CB
CA
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −
0
10
0
111
011
544
M
M
M 1
B
CB
CA
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⋅
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0
5
5
0
10
0
940
91 18
5
2
1
18
118
52
1181
M
M
M
B
CB
CA
Metode Dalil Tiga Momen 19
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 20/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Reaksi Perletakan:
( )↑−=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ += ton5,2
2
5
2
MV CA AC
( ) ( )↑==
∑ −−−−+↑= ton5,2VV0V
ACBC
tm01045,2M4VM ACB =+⋅−=+⋅−=
M = 10 tm
C
A
B
EI
2,0 m 2,0 m
2 EI
5 tm5 tm MB = 0
VA = 2,50 t VB = 2,50 t
CA B
-5 tm
+5 tm
Bidang Momen
A C B
-2,5 ton -2,5 ton
Bidang Lintang
A C B
Bidang Normal
Metode Dalil Tiga Momen 20
8/12/2019 09. Metode Dalil Tiga Momen
http://slidepdf.com/reader/full/09-metode-dalil-tiga-momen 21/21
Darmansyah Tjitradi, MT.
Soal-soal latihan:
Analisislah gaya-gaya dalam balok menerus dibawah dengan Dalil Tiga Momen!
Soal 1:
BA C
P = 16 tq = 4 t/m
1,5 m1,5 m5 m
EIEI
Soal 2:
BA
C
P = 7,5 t q = 2 t/m
4,0 m3 m
P = 10 t
1,0 m2,0 m2 m
EI EI
D
EI
Soal 3:
M = 15 tm
4 EI
A B C
4 EI
D
5 EI
4,0 m5,0 m4,0 m
Soal 4:
D
2 EI
A B
P = 5 t
C
2 EI2,5 EI
E
3,0 m
4,0 m5,0 m4,0 m
Metode Dalil Tiga Momen 21