GEOMETRI BIDANG DATAR DAN DALIL DALIL PADA SEGITIGA

(Materi, Soal, dan Pembahasan)

KELOMPOK KIMIA I1. ANING KUSNIATUL ULA (X-16/01)2. AULIA ISTIGFARIN (X-16/02)3. EGA AGUSTESA CAHYANI (X-16/03)4. EGA AGUSTINA CAHYANI (X-16/04)5. FAJAR GILANG DWI ARTONO (X-16/05)6. FARA DINDA MUTIA KINANGGIT (X-16/06)7. FARIDAH AMALA (X-16/07)8. FIKKI MAULANA AULIA SISWANTO (X-16/08)9. GALUH FITRI PRADINA (X-16/09)10. HILMA WASILAH ROBBANI (X-16/10)

Dalil De CevaDalil De Ceva berkaitan dengan tiga garis yang memotong ketiga sisi segitiga danketiga garis ini berpotongan pada satu titik,yaitu titik O pada gambar di samping!Jika garis yang ditarik dari setiap titik sudut segitiga (titik A, B dan C) berpotongan pada satu titik (titik O) dan memotong sisi-sisi yangberhadapan (sisi BC, CA dan AB) di titik D, E dan F(lilhat gambar) maka berlaku dalil De Ceva, yaitu :

AFFB

.BDDC

.CEEA

=1

Contoh Soal :

Berdasarkan gambar disamping, hitunglah panjang AE!

Jawab :

AFFB

.BDDC

.CEEA

=1

39

.64

.7

EA=1

12636 EA

=1

12636

=EA

EA=3,5

Soal

Jawab :

AKKB

.BLLC

.CMMA

=1

84

.62

.CM

9=1

6 CM9

=1

6 CM=9

CM=1,5 cm

A

B

C

F

D

E

O

A B

C

DE

F 9 cm3 cm

6 cm

7 cm4 cm

A B

CLM

K8 cm

2 cm

6 cm9 cm

4 cm

Dari gambar di samping, tentukan nilai CM!

Dalil InterceptJika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga ABC (misalnya garis sejajar BC) memotong dua sisi lain dari segitiga ABC (yaitu sisi AB dan AC) di titik D dan E, maka persamaan kesebandingannya sebagai berikut :

AD : DB = AE : EC

HASIL LENGKAP DALIL INTERCEPT

(1) AD : DB = AE : EC(2) AD : AB = AC = DE : BC

Contoh Soal

AD : BD = 3 : 2 dan AB = 12 cm, tentukan 7,2 panjang DE!

Jawab

AD = 3

3+2 X 12 =

365

= 7,2

Menurut dalil intercept segitiga diperoleh

AD : AB = DE : BC

7,2 : 12 = DE : 10

12 x DE = 7,2 x 10

DE = 7212 = 6 cm

Jadi, panjang DE adalah 6 cm

Soal

Jika AC = 9 cm, PC = 6 cm dan AB = 12 maka PQ adalah…

PQ12

= 69

PQ = 6 x12

9

PQ = 8 cm

A

B C

A

B C

D E

CB

A

Q

P

Dalil MeneleausDalil meneleaus berkaitan dengan sebuah garis yang memotong dua sisi segitiga dan perpanjangan sisi ketiganya. Jika sebuah geris berpotongan denganketiga sisi ∆ABC (sisi-sisi AB, BC, CA) atau perpanjangannya masing-masing di P, Q, dan R, maka berlaku dalil meneleaus.

SoalPerhatikan gambar di samping!Berapakah panjang garis BE?

Jawab :

ADDC

×CFBF

×BEEA

=1

36

×124

×BE5

=1

32

×BE5

=1

3 BE=10

BE=103

Contoh Soal

Jawab :

APPB

×BQCQ

×CRRA

=1

32

×83

×CRRA

=1

4 ×CRRA

=1

CRRA

=14

A

BC

P

Q

R

APPC

×CQQB

×BRRA

=1

B C

A

F

E

D

8cm4cm

5cm

3cm

6cm

A

B

C

P

R

Q

Tentukan CR : RA! Jika diketahui :AP : PB = 3 : 2BC : CQ = 5 : 3

Dalil Titik TengahDalil titik tengah segitiga berbunyi “segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya adalah setengah kali panjang sisi

ketiga tersebut.”

ACB = DCE

CA : CD = CB : CE = 2

Jadi, ACB H DCE

Karena ACB H DCE, maka CAB = CDE

AB : DE = AC : DC

AB : DE = 2 : 1

2.DE = 1.AB

DE= ½ AB

Contoh soal1. Diberikan AB = 12 satuan, CD = DA, CE = EB, AC // EF, FE = 5 satuan, CEB adalah

garis lurus.

Hitunglah :

a. DE b. AC

Penyelesaian :

a. DE // AB dan DE = ½ ABAB = 12 maka DE = ½ .(12) = 6 satuan

b. AD = EF, diberikan EF = 5 satuan, maka AD = 5 satuanKarena D di tengah AC maka AD = ½ ACAC = 2.AD maka AC = 2.(5) = 10 satuan

SOAL

1. Nilai x + y pada gambar di samping adalah..

Penyelesaian : Kita umpamakan sisi yang terbagi itu 3a, maka masing-masing jadi a. X = ½ . 22 = 11Kita cari y dengan perbandingan a/3a=11/yMaka 1/3 = 11/yY=33. Sehingga x + y = 11 + 33 = 44

y

22

x

C E B

D F

A

A

D

B

E

C

Garis BeratGaris berat segitiga adalah segmen garis yang berujung di titik sudut dan titik tengah seberangnya. Pada

segitiga ABC disamping AD, BE, dan CF merupakan garis berat.

Dalil yang berkaitan:

a. Ketiga garis berat berpotongan pada satu titik yang disebut titik berat yaitu titik O.

b. Titik berat membagi garis berat menjadi dua bagian dengan perbandingan panjang 2 : 1, AO : OD = 2 : 1.

c. Jika AD merupakan panjang garis berat yang ditarik dari titik.

Sudut A ke sisi di seberangnya maka berlaku rumus :

AD2 = 12AC2 +

12 AB2 -

14 BC2

Contoh SoalPanjang AB : 6cm , BC: 8cm, AC: 10 cm. Garis berat AD dan CF berpotongan di titik O. Tentukan :

1. Panjang AD

2. Panjang AO

3. Panjang DO

Jawab :

1. AD2 = 12

AB2 + 12

AC2 - 14

BC2 2. AO : OD = 2 : 1 3. DO = 13

AD

AD2 = 12

62 + 12

102 - 14

82 AO = 23

AD DO = 13

2√13

AD2 = 18 + 50 -16 AO = 23

2√13 DO = 23√13 cm

AD = √52 AO = 43

√13 cm

AD = 2√13 cm

SOALDiketahui panjang AB : 6 cm, BC :10 cm, dan AC: 12 cm. Garis berat AD dan CF berpotongan di titik O

Tentukan panjang:

1. AD

2. AO

3. DO

Jawab :

1. AD2 = 12

AB2 + 12

AC2 - 14

BC2 2. AO : OD = 2 : 1 3. DO = 13

AD

AD2 = 12

62 + 12

122 - 14

102 AO = 23

AD DO = 13

√65 cm

AD2 = 18 + 72 - 25 AO = 23

√65 cm

AD = √65 cm

Garis SumbuGaris sumbu segitiga adalah segmen garis yang melalui titik tengah sisi segitiga dan tegak

dengan sisi tersebut. Pada segitiga ABC di bawah, DO merupakan garis sumbu BC, EO merupakan garis sumbu AC, dan FO merupakan garis sumbu AB.

Dalil – dalil yang berkaitan dengan garis sumbu :

1) Ketiga garis sumbu berpotongan pada satu titik yang dinamakan titik sumbu, yaitu titik C.

2) Titik sumbu segitiga berjarak sama ke setiap titik sudut segitiga tersebut, yaitu OA = OB = OC

3) Titik sumbu segitiga merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga tersebut.

Contoh Soal

Jika diameter lingkaran di samping adalah 20 cm, maka panjang OK adalah…

Jawaban : 10 cm

Soal

Jika OH + jari – jari = 32, maka panjang OI + OJ =

Jawaban : 32 cm

Garis TinggiGaris tinggi segitiga adalah segmen garis yang berujung di titik sudut dan di sisi seberang

sudut atau perpanjangannya sedemikian sehingga tegak lurus garis pemuat sisi seberangnya.

Pada segitiga ABC di samping. AD, BE dan CF merupakan garis tinggi.

Dalil-dalil yang berkaitan dengan garis tinggi segitiga :

1. Ketiga garis tinggi berpotongan pada satu titik yang dinamakan titik tinggi, yaitu titik O.2. Pada segitiga siku-siku, garis tinggi ke sisi

terpanjang membagi segitiga menjadi dua segitiga sebangun dan juga sebangun dengan segitiga awal.

3. Pada segitiga ABC, AD tegak lurus BC dan panjang proyeksi BA pada BC adalah BD = p sehingga dalil proyeksi berikut :

b2 = a2 + c2 – 2ap

Contoh Soal

Diketahui segitiga ABC seperti gambar.Tentukan panjang garis tinggi yang melalui titik A

Penyelesaian :

Diket : a = BC = 10 cm b = AC = 8 cm c = AB = 6 cm

Gunakan rumus

b2 = a2 + c2 – 2ap82 = 102 + 62 – 2x8xp64 = 100 + 36 – 20p20p = 136 – 64 P = 72/20 = 18/5 cm

Soal

Segitiga ABC siku-siku di H dan CA = 15 cm. Garis tinggi CH mempunyai panjang 12 cm. dan HB = 16 m. Luas ABC adalah . . .

p

Selanjutnya, tentukan panjang garis tinggi ADSegitiga ADC siku-siku di D, maka :

AD2 = AB2 – BD2 AD2 = 62 – (18/5)2

AD = 24/5 cm.Jadi, panjang garis tinggi yang melalui A adalah 24/5 cm

Diket : CH = 12 cm, AC = 15 cm

HB = 16 cm

Misalkan AH = y, maka

y2 = AC2 – CH2

y2 = 152 – 122

y2 = 81y = 9 cm

Luas segitiga ABC adalah

½ x AB x CH = ½ x (9+16) x 12

= ½ x 25 x 12

= 25 cm x 6 cm

= 150 cm2