geometri bidang datar a. unsur-unsur bidang datar · pdf filesedangkan titik berat adalah...

Geometri Bidang Datar sandigalesh.blogspot.com | 1

GEOMETRI BIDANG DATAR

A. Unsur-Unsur Bidang Datar

Bidang datar merupakan objek yang sering kita jumpai di lingkungan sekitar, bisa lingkungan rumah,

sekolah, taman, kebun dan lain-lain. Di dalam lingkungan tersebut terdapat bermacam-macam benda/objek

dengan berbagai bentuk, diantaranya ada yang berupa bidang datar. Benda/objek berupa bidang datar yang

ada di lingkungan tersebut memiliki unsur-unsur pembentuknya, unsur tersebut adalah titik dan segmen garis.

Titik adalah unsur geometri yang paling sederhana, dan biasa dinyatakan dengan tanda noktah “●” dan

diberi nama dengan huruf kapital (A, B, C, …).

Garis adalah himpunan titik-titik yang tidak memiliki ujung dan pangkal, biasanya dinotasikan dengan

AB yang berarti garis AB.

Sinar Garis adalah himpunan titik-titik yang memiliki pangkal tetapi tidak memiliki ujung, biasanya

dinotasikan dengan AB yang berarti sinar garis AB.

Segmen garis adalah himpunan titik-titik yang memiliki ujung dan pangkal, biasanya dinotasikan

dengan AB yang berarti segmen garis AB.

Unrus-unsur gemetri tersebut membentuk berbagai macam bentuk bidang datar yang sering dijumpai

seperti persegi, persegi panjang, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, segitiga, lingkaran

dan lain-lain.

Sebagai contoh kita akan mengidentifikasi sebuah pintu dari green house,

dimana green house berfungsi sebagi tempat pembenihan maupun karantina

tanaman yang bermanfaat untuk lingkungan hidup. Pintu dari green house

tersebut berbentuk persegi panjang seperti gambar disamping,

Dari gambar tersebut diperoleh:

1. 4 titik yakni Titik A, Titik B, Titik C dan Titik D.

2. 4 segmen garis yakni , , ,AB BC CD DA

3. Bidang datar tersebut (pintu) dapat diberi nama persegi panjang ABCD

B. Kedudukan Antar Titik dan Garis pada Bidang

Setelah mengetahui unsur-unsur pada bidang datar dan menemukan berbagai bentuk bidang datar pada

lingkungan sekitar. Selanjutnya adalah mempelajari kedudukan dari unsur-unsur tersebut. Kedudukan-

kedudukan unsur-unsur bidang datar tersebut adalah:

1. Titik terletak pada garis

Untuk lebih memahami perhatikan gambar disamping, diketahui:

Titik A, B dan D terletak pada MN

Titik C terletak diluar MN

A B

C D

Green House

A

B

C

D

M

N


2. Titik terletak pada bidang

Untuk lebih memahami perhatikan gambar disamping, diketahui:

Titik X terletak “di luar” PQR

Titik Y terletak “di dalam” PQR

Titik Z terletak “pada” PQR

3. Dua garis yang saling berpotongan

Dua garis dikatakan saling berpotongan jika terletak pada bidang

yang sama dan bertemu pada satu titik. Untuk lebih paham

perhatikan gambar disamping. AB berpotongan dengan PQ di

titik M.

4. Dua garis yang berimpit

Garis-garis berimpit merupakan beberapa garis yang terletak pada

sau garis lurus dan terletak pada bidang yang sama. Untuk lebih

memahami perhatikan gambar disamping. AB berimpit dengan

BQ .

5. Dua garis saling sejajar

Dua garis dikatakan sejajar apabila kedua garis tidak bertemu atau

berpotongan, jarak antar garis selalau tetap dan terletak pada bidang

yang sama. Untuk lebih memahami perhatikan gambar disamping.

AB sejajar dengan PQ .

6. Dua garis saling bersilangan

Dua garis dikatakan bersilangan jika kedua garis terletak pada

bidang yang berbeda serta tidak sejajar dan tidak berpotongan.

Untuk lebih memahami perhatikan gambar disamping.

AB bersilangan dengan PQ .

C. Sifat Simetris Geometri Bidang Datar

Simetris adalah sifat yang membagi atau membentuk sesuatu menjadi bagian yang sama besar. Sifat simetris

pada bangun datar ada dua yakni simetri lipat dan simetri putar.

Simetri lipat adalah banyaknya lipatan yang bisa dibentuk dari bidang datar menjadi dua bagian yang sama

besar. Contoh bangun persegi memiliki empat simetri lipat, untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut.

D

A B

C B/C A/D C/D

A/B

D

B A/C

C

A B/D

P Q

R

X

Y

Z

A

B P

Q

M

A

B

P

A

B P

Q

A

B

P

Q


Simetri putar adalah banyaknya putaran yang dapat dilakukan terhadap suatu bidang datar dimana titik

putarannya terletak pada titik berat bidang datar dan hasil putarannya membentuk pola yang sama sebelum

diputar, namun bukan kembali ke posisi semula. Contoh bangun persegi panjang memiliki dua simetri putar,

untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut,

Dari gambar diperoleh dua sudut putar yang menghasilkan bentuk sesuai bentuk awal yakni sudut putar 180o

dan sudut putar 360o, jadi persegi panjang memiliki dua simetri putar.

D. Sifat Sudut Geometri Bidang Datar

1. Pengertian dan komponen sudut

Sudut merupakan daerah yang dibentuk oleh dua sinar

garis dengan pangkal yang sama. Sudut memilik

beberapa komponen pembentuk sebagai berikut:

a. Titik sudut : titik A adalah titik sudut

b. Kaki sudut : AB dan AC adalah kaki sudut

c. Daerah sudut : Bagian yang diarsir adalah daerah

sudut atau besar sudut.

Untuk sudut tersebut diberi nama BAC atau A . Satuan untuk sudut adalah oderajat atau

radian , contoh sudut dengan besar 1

902

o radian karena 180 1o radian .

2. Jenis-jenis sudut

Menurut besarnya sudut dibagi menjadi lima jenis sudut, sudut-sudut tersebut adalah,

a. Sudut lancip

Sudut lancip adalah sudut yang memiliki besar sudut antara 0 90o o

b. Sudut siku-siku

Sudut siku-siku adalah sudut yang memiliki besar sudut 180o

c. Sudut tumpul

Sudut tumpul adalah sudut yang memiliki besar sudut antara 90 180o o

d. Sudut lurus

Sudut lurus adalah sudut yang memiliki besar sudut 180o

e. Sudut Refleks

Sudut refleks adalah sudut yang memiliki besar sudut antara 180 360o o

D

A

C

B

B

C

A

D

D A

C B

D

A

C

B

B C

A D

A

C

B

Titik sudut

Kaki sudut

Daerah sudut


3. Hubungan antar sudut

a. Sudut yang saling berpelurus (bersuplemen)

Jumlah dua buah sudut yang saling berpelurus adalah 180°

Dari gambar disamping menunjukkan ∠𝐶𝐵𝐷 merupakan

pelurus dari ∠𝐴𝐵𝐶, atau ∠𝐴𝐵𝐶 merupakan pelurus dari

∠𝐶𝐵𝐷.

∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐵𝐷 = 180°

b. Sudut yang saling berpenyiku (berkomplemen)

Jumlah dua buah sudut yang saling berpenyiku adalah 90°.

Dari gambar disamping menunjukkan ∠𝐶𝐵𝐷 merupakan

penyiku dari ∠𝐴𝐵𝐶, atau ∠𝐴𝐵𝐶 merupakan penyiku dari

∠𝐶𝐵𝐷.

∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐵𝐷 = 90°.

c. Sudut yang saling bertolak belakang

Dua sudut yang bertolak belakang sama besar.

∠𝐴𝐸𝐷 bertolak belakang dengan ∠𝐵𝐸𝐶, maka

∠𝐴𝐸𝐷 = ∠𝐵𝐸𝐶.

∠𝐴𝐸𝐶 bertolak belakang dengan ∠𝐵𝐸𝐷, maka

∠𝐴𝐸𝐶 = ∠𝐵𝐸𝐷.

4. Sudut-sudut pada dua garis sejajar yang dipotong garis lain

Jika dua garis sejajar dipotong garis lain maka akan erbentuk sudut-

sudut dengan sifat-sifat tertentu, perhatikan gambar disamping.

Pada gambar tersebut garis a sejajar dengan garis b yang dipotong

garis c maka diperoleh sudut-sudut pada dua garis sejajar yang

dipotong garis lain dengan sifat sebagai berikut :

a. Sudut sehadap

Sudut sehadap, yaitu sudut yang menghadap arah yang sama.

Besar sudut sehadap adalah sama.

∠𝐴1 sehadap dengan ∠𝐵1, maka besar ∠𝐴1 = ∠𝐵1.




b. Sudut dalam berseberangan

Sudut dalam berseberangan terjadi apabila sudut-sudut itu

terletak sebelah menyebelah bagian dalan terdapat garis

potongan. Sudut dalam berseberangan sama besarnya.

∠𝐴2 dalam berseberangan ∠𝐵4, maka besar ∠𝐴2 = ∠𝐵4.


C

E

B

D A

B A

C D

C

D B A

a b

c 1 2 1 2

4 3 4 3

A B

a b

c 1 2 1 2

4 3 4 3

A B

a b

c 1 2 1 2

4 3 4 3

A B


c. Sudut luar berseberangan

Sudut luar berseberangan terjadi apabila sudut-sudut terletak

sebelah-menyebelah bagian luar terhadap potongannya. Sudut

luar berseberangan sama besarnya.



d. Sudut dalam sepihak

Sudut dalam sepihak terjadi apabila sudut-sudut itu terletak

pada pihak yang sama terhadap garis potong dan terletak di

bagian dalam antara dua garis sejajar. Jumlah besar dua sudut

dalam sepihak adalah 180°.

∠𝐴2 dalam sepihak ∠𝐵1, maka ∠𝐴2 + ∠𝐵1 = 180°.

∠𝐴3 dalam sepihak ∠𝐵4, maka ∠𝐴3 + ∠𝐵4 = 180°.

e. Sudut luar sepihak

Sudut luar sepihak terjadi apabila sudut-sudut itu terletak pada

pihak yang sama terhadap garis potong dan terletak di bagian

dalam antara dua garis sejajar. Jumlah besar dua sudut dalam

sepihak adalah 180°.

∠𝐴1 luar sepihak dengan ∠𝐵2, maka ∠𝐴1 + ∠𝐵2 = 180°.

∠𝐴4 luar sepihak dengan ∠𝐵3, maka ∠𝐴4 + ∠𝐵3 = 180.

E. Segitiga dan Teorema-Teorema pada Segitiga

1. Pengertian segitiga dan unsur-unsurnya

Segitiga adalah bangun datar yang memimiliki 3 sisi, dan memiliki unsur-unsur sebagai berikut:

a. Alas dan tinggi segitiga

Dari ABC di atas dapat dibentuk pasangan alas dan

tinggi dari segitiga sebagai berikut:

Alas AB dengan tinggi ct (

ct tegak lurus AB )

2

ct s s AB s BC s ACAB

Alas BC dengan tinggi at (

at tegak lurus BC )

2

at s s AB s BC s ACBC

Alas AC dengan tinggi bt (

bt tegak lurus AC )

2

bt s s AB s BC s ACAC

Dengan 1

2s AB BC AC

Titik T disebut dengan “titik tinggi”

a b

c 1 2 1 2

4 3 4 3

A B

a b

c 1 2 1 2

4 3 4 3

A B

a b

c 1 2 1 2

4 3 4 3

A B

T

A B

C


Contoh:

Diketahui ABC dengan panjang 12AB cm ,

7BC cm dan 9AC cm . Tentukan ct !

Penyelesaian:

1 1 38

12 7 9 192 2 2

s AB BC AC

2

214 14 12 14 7 14 9

12

2 1 114 2 7 5 980 196 5

12 6 6

1 714 5 5 2,236

6 3

c

c

c

c

t s s AB s BC s ACAB

t

t

t cm cm

b. Sudut segtiga

Segitiga memiliki tiga buah sudut yang mana jumlahan

dari ketiga sudutnya adalah 180o.

Dari segitiga di samping : 180oA B C

c. Garis dan titik berat segitiga

Segitiga memiliki garis berat dan titik berat. Garis berat

adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan

membagi sisi di hadapan sudut tersebut menjadi dua

bagian sama panjang, garis berat pada segitiga sebanyak

tiga garis. Sedangkan titik berat adalah titik yang diperoleh

dari perpotongan ketiga garis berat segitiga. Untuk lebih

memahami perhatikan gambar disamping, dari segitiga di

samping diketahui:

CK adalah garis berat karena membagi AB sehingga AK BK .

2 2 2 21 1 1

2 2 2CK BC AC AB

AL adalah garis berat karena membagi BC sehingga BL CL .

2 2 2 21 1 1

2 2 2AL AB AC BC

BM adalah garis berat karena membagi AC sehingga AM CM .

2 2 2 21 1 1

2 2 2BM AB BC AC

Titik W adalah titik berat yang diperoleh dari perpotongan CK , AL dan BM . Titik berat

membagi garis berat menjadi dua bagian dengan perbandingan 2:1, contoh CW : WK = 2:1.

A B

C

K

W

M L

A B

C

12cm

9cm 7cm

=...?

A B

C


d. Garis Sumbu Segitiga

Garis sumbu segitiga adalah segmen garis yang melalui titik

tengah segitiga dan tegak lurus dengan sisi tersebut. Untuk lebih

memahami perhatikan ABC disamping.

WK merupakan garis sumbu karena membagi AB sama

besar dan tegak lurus AB .

WL merupakan garis sumbu karena membagi BC sama besar dan tegak lurus BC .

WM merupakan garis sumbu karena membagi AC sama besar dan tegak lurus AC .

Titik W adalah titik sumbu segitiga, dimana AW BW CW .

e. Garis bagi segitiga

Garis bagi segitiga adalah garis yang berpagkal dari titik

sudut segitiga dan membagi sudut tersebut sama besar.

Untuk lebih memahami perhatikan gambar ABC

disamping.

AL merupakan garis bagi sehingga

BAL CAL , dimana : :AB AC BL CL

Dari garis bagi AL berlaku rumus: 2AL AB AC BL CL

BM merupakan garis bagi sehingga ABM CBM , dimana : :AB BC AM CM

Dari garis bagi BM berlaku rumus: 2BM AB BC AM CM

CK merupakan garis bagi sehingga ACK BCK , dimana : :AC BC AK BK

Dari garis bagi CK berlaku rumus: 2CK AC BC AK BK

Titik S adalah titik bagi

2. Jenis-jenis segitiga

Segitiga memiliki berbagai jenis, jenis segitiga tersebut adalah,

a. Jenis segitiga menurut besar sudutnya dibagi menjadi tiga yakni:

Segitiga lancip adalah segitiga yang semua sudutnya memiliki besar kurang dari 90o

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya memiliki besar 90o

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya memiliki besar lebih dari 90o

b. Jenis segitiga menurut panjang sisinya dibagi menjadi tiga yakni:

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya memiliki panjang yang sama

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya memiliki panjang yang sama

Segitiga sebarang adalah segitiga yang ketiga sisinya memiliki panjang yang berbeda

3. Teorema-teorema pada segitiga

Bangun datar segitiga memiliki teorema yang melekat padanya. Teorema tersebut diantaranya adalah:

A B

C

K

W

M L

A B

C

K

M L

S


a. Teorema Pythagoras

Terorema pythagoras membahas tentang segitga siku-siku

dimana pada segitiga siku-siku ABC berlaku: 2 2 2a b c .

Contoh: Jika panjang 3a cm , 4b cm dan panjang c

belum diketahui, maka panjang c adalah,

2 2 2

2 2 23 4 9 16 25

5

c a b

c

c cm

b. Dalil Proyeksi

i) Proyeksi pada segitiga lancip

Misalkan diketahui segitiga seperti pada gambar, dan

DB adalah proyeksi BC pada AB . Maka DB x

dapat tentukan dengan,

BCD diperoleh 2 2 2

ct a x …………..…i

ADC diperoleh 22 2

ct b c x ………ii

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh,

22 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

2

a x b c x

a x b c cx x

a x b c cx x

a x b c x cx

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

cx a x b c x

cx a b c

a b cx

c

Jadi proyeksi pada segitiga lancip dapat dicari dengan rumus:

Proyeksi BC pada AB :

2 2 2

2

BC AC ABx

AB

Proyeksi BC pada AC :

2 2 2

2

BC AB ACx

AC

Proyeksi AC pada AB :

2 2 2

2

AC BC ABx

AB

Proyeksi AC pada BC :

2 2 2

2

AC AB BCx

BC

Proyeksi AB pada BC :

2 2 2

2

AB AC BCx

BC

Proyeksi AB pada AC :

2 2 2

2

AB BC ACx

AC

Contoh: Diketahui ABC adalah segitiga lancip

dengan panjang 12AB cm , 7BC cm dan

9AC cm . Tentukan proyeksi AB pada AC !

a

b

c

A B

C

D

b a

x c-x

A B

C

12cm

9cm 7cm

x =…?


Penyelesaian:


2 2 2

2

AB BC ACx

AC

2 2 212 7 9 144 49 81 167 59

2 9 18 18 18x cm

ii) Proyeksi pada segitiga tumpul

Dengan cara yang sama pada proyeksi segitiga lancip diperoleh,

Proyeksi BC pada AB :

2 2 2

2

BC AC ABx

AB

(sudut tumpul pada BAC )

Proyeksi BC pada AC :

2 2 2

2

BC AB ACx

AC

(sudut tumpul pada BAC )

Proyeksi AC pada AB :

2 2 2

2

AC BC ABx

AB

(sudut tumpul pada ABC )

Proyeksi AC pada BC :

2 2 2

2

AC AB BCx

BC

(sudut tumpul pada ABC )

Proyeksi AB pada BC :

2 2 2

2

AB AC BCx

BC

(sudut tumpul pada ACB )


2 2 2

2

AB BC ACx

AC

(sudut tumpul pada ACB )

Contoh:

Diketahui ABC adalah segitiga tumpul dengan

sudut tumpul pada ACB . Jika panjang

9AB cm , 6BC cm dan 4AC cm , tentukan

proyeksi AB pada AC !

Penyelesaian:


2 2 2

2

AB BC ACx

AC

2 2 29 6 4 81 36 8 37 54

2 4 8 8 8x cm

c. Dalil titik tengah segitiga

“Segmen garis yang diperoleh dari menghubungkan titik

tengah kedua sisi segitiga san segmen tersebut sejajar

dengan sisi yang ketiga, maka panjang segmen adalah

setengah dari sisi yang ketiga tersebut”. Perhatikan

ABC disamping. Titik D adalah titik tengah AC dan

titik E adalah titik tengah BC , sehingga diperoleh DE

sejajar AB . Panjang 1

2DE AB

A

B

C

4cm

9cm

6cm

x =…?

A B

C

D E


Contoh:

Diketahui PQR dengan panjang sisi 6 , 8 , 4PQ cm QR cm dan PR cm . Jika segmen

garis MN memotong sisi QR dan PR tepat pada masing-masing titik tengah sisi dan MN

sejajar dengan PQ . Tentukanlah panjang MN !

Jawab:

Untuk lebih memudahkan pemahaman, kita gambar

PQR seperti gambar disamping.

1

2

16

2

3

MN PQ

MN

MN cm

d. Dalil intercept segitiga

Perhatikan ABC disamping. Jika segmen garis sejajar

sejajar dengan salah satu sisi segitiga dan

memotong dua sisi yang lainnya maka berlaku

perbandingan:

: :AD CD BE CE

: : :AD CD BE CE AB DE

Contoh:

Diketahui segitiga ABC seperti gambar disamping,

dengan DE AB . Tentukanlah panjang BE !

Jawab:

: :AD CD BE CE

1

3 6

1 6 3

6 3

62

3

AD BE

CD CE

BE

BE

BE

BE cm

e. Teorema Stewart

Jika diketahui ABC seperti gambar di samping,

Teorema Stewart menyatakan bahwa untuk sebarang

segitiga maka berlaku:

2 2 2AC BD BC AD AB CD AD BD

A B

C

D

A B

C

D E

P Q

R

M N

4 cm

6 cm

8 cm

MN=…?

A B

C

D E

1 cm

3 cm

6 cm

BE=…?


dengan AB, BC dan AC adalah panjang sisi segitiga, dan CD adalah panjang garis yang memotong

sisi AB.

Contoh:

Diketahui ABC dengan panjang sisi 6, 4, 5AB BC AC . Jika garis CD adalah garis

berat dari ABC , berapakah panjang garis CD tersebut ?

Penyelesaian:

Untuk lebih mudahnya kita gambar ABC sepertai

gambar di samping. Karena CD adalah garis berat maka

memotong AB di titik D sehingga AD = BD.

CD dapat dicari dengan teorema stewart seperti berikut,

2 2 2

2 2 2

2

2

2

2

2

5 3 4 3 6 3 3

25 3 16 3 6 9

75 48 6 54

6 54 123

6 69

69 23

6 2

232,708

2

AC BD BC AD AB CD AD BD

CD

CD

CD

CD

CD

CD

CD cm cm

f. Dalil Menelaus

Perhatikan ABC disamping. Jika sebuah garis

memotong dua sisi ABC , yaitu memotong

AC dan BC berturut-turut di titik X dan Y, serta

memotong perpanjangan sisi AB di titik Z, maka

berlaku hubungan sebagai berikut,

1CX AZ BY

AX BZ CY

g. Dalil De Ceva

Perhatikan ABC disamping. Jika garis yang ditarik

dari setiap titik sudut ABC , ,A B C

berpotongan di satu titik (titik O) dan memotong sisi di

seberang titik sudut , ,AB BC AC di titik D, E dan F,

maka berlaku hubungan sebagai berikut,

1CF AD BE

AF BD CE

A B

C

D

=

=

A B

C

X

Y

Z

A B

C

D

F

E

O


F. Teorema-Teorema pada Segi Empat

Pada bangun datar segi empat juga memiliki teorema-teorema seperti

halnya pada segitiga. Salah satu teorema pada bangun datar segi empat

adalah Teorema Ptolemy. Teorema tersebut berbunyi, “diberikan sebuah

tali busur ABCD yang berurutan, berlaku jumlah dari hasil kali sisi-sisi

yang bersebrangan sama dengan hasil kali diagonalnya”, atau dapat

ditulis AB CD AD BC AC BD

Panjang diagonal-diagunlanya:

1. AB AD BC CD AB CD BC AD

ACAB BC CD AD

2. AB BC CD AD AB CD BC AD

BDAB AD BC CD

3. Luas ABCD s AB s BC s CD s AD dengan 1

2s AB BC CD AD

Contoh:

Diketahui ABCD adalah segi empat. Jika 90oA , 14AB cm , 48AD cm dan 30CD cm ,

berapakah panjang BC ?

Penyelesaian:

Untuk lebih mudahnya kita gambar segi empat ABCD seperti

gambar di samping.

Perhatikan ABD adalah segitiga siku-siku dengan sudut

siku-siku pada A , maka panjang BD dapat dicari dengan

teorema phytagoras seperti berikut,

2 2 2 2 214 48 196 2304 2500

2500

50

BD AB AD

BD

BD cm

Dari teorema ptolemy BD dapat dicari dengan rumus,

2

2

2

14 30 48 14 30 4850

14 48 30

14 1440 420 4850

672 30

5880 672 604800 6912050

672 30

75000 672 6048002500

672 30

500 672 30 75000 672

AB BC CD AD AB CD BC ADBD

AB AD BC CD

BC BC

BC

BC BC

BC

BC BC BC

BC

BC BC

BC

BC BC BC

2

2

604800

1680000 75000 672 75000 604800

2672 75000 604800 1680000 75000 0

BC BC BC

BC BC BC

A

D

C

B

A B

C D

...?BC

2

2

2

2

672 1075200 0

672 1075200

1075200

672

1600

1600

40

BC

BC

BC

BC

BC

BC cm

Jadi panjang BC adalah 40 cm.

geometri bidang datar a. unsur-unsur bidang datar · pdf filesedangkan titik berat adalah...

Documents