SEGITIGA

1. Pengertian Segitiga

Perhatikan Gambar A.1 berikut:

Gambar A. 1

Sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB,

BC, dan AC.

Sudut-sudut yang terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut:

i) ∠ A atau ∠BAC atau ∠CAB.

ii) ∠B atau ∠ ABC atau ∠CBA.

iii) ∠C atau ∠ ACB atau ∠BCA.

Jadi, ada tiga sudut yang terdapat pada ∆ ABC.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Segitiga biasanya dilambangkan dengan “∆”.

Perhatikan Gambar A.2 di bawah ini!

Gambar A. 2

Pada gambar tersebut menunjukkan ∆ ABC.

i) Jika alas ¿ AB maka tinggi ¿CD (CD⊥ AB).

Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan

mempunyai tiga buah titik sudut.

ii) Jika alas ¿ BC maka tinggi ¿ AE(AE⊥BC).

iii)Jika alas ¿ AC maka tinggi ¿ BF(BF⊥ AC).

Catatan: Simbol ⊥dibaca: tegak lurus.

Jadi, pada suatu segitiga setiap sisinya dapat dipandang sebagai alas,

dimana tinggi tegak lurus alas.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

2. Jenis-jenis Segitiga

Jenis-jenis suatu segitiga dapat ditinjau berdasarkan unsur-unsur

berikut ini:

a. panjang sisi-sisinya,

b. besar sudut-sudutnya,

c. panjang sisi dan besar sudutnya.

a. Jenis-jenis Segitiga ditinjau dari Panjang Sisinya

1) Segitiga Sebarang

Segitiga sebarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak

sama panjang.

Gambar A. 3

∆ ABC Pada Gambar A.3 di atas adalah segitiga sebarang.

Panjang AB, BC, AC tidak sama ( AB≠ BC ≠ AC ).

Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu segitiga, sedangkan

tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui

titik sudut yang berhadapan dengan sisi alas.

2) Segitiga Sama Kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua

buah sisi yang sama panjang.

Gambar A. 4

Pada Gambar A.4 di atas adalah segitiga sama kaki. Panjang

AB=BC.

3) Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah

sisi sama panjang.

Gambar A. 5

∆ ABC pada Gambar B.3 merupakan segitiga sama sisi.

Panjang AB=AC=BC .

b. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudutnya

Secara umum ada tiga jenis sudut, yaitu:

1) sudut lancip (0 °<x<90 ° );

2) sudut tumpul (90 °<x<180° );

3) sudut refleks (180 °<x<360° ).

Berkaitan dengan hal tersebut, jika ditinjau dari besar sudutnya,

ada tiga jenis segitiga sebagai berikut:

1) Segitiga lancip

Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya

merupakan sudut lancip.

Gambar A. 6

∆ PQR pada Gambar A.6 di atas adalah segitiga lancip. ∠P,

∠Q, dan ∠R merupakan sudut-sudut lancip.

2) Segitiga tumpul

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya

merupakan sudut tumpul.

Gambar A. 7

∆ PQR pada Gambar A.7 di atas adalah segitiga tumpul. ∠Q

merupakan sudut tumpul.

3) Segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya

merupakan sudut siku-siku (besarnya 90 °).

Gambar A. 8

∆ PQR pada Gambar A.8 di atas adalah segitiga siku-siku.

∠Q merupakan sudut siku-siku.

c. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi dan Besar

Sudutnya

Ada dua jenis segitiga jika ditinjau dari panjang sisi dan besar

sudutnya, yaitu:

Besar sudut

Panjang sisi

Segitiga lancip Segitiga tumpulSegitiga siku-

siku

Segitiga sama

sisi

Lancip sama sisi

- -

Segitiga sama

kaki

Lancip sama kaki Tumpul sama kakiSiku-siku

sama kaki

Segitiga

sembarang

Lancip

sembarang

Tumpul sembarang Siku-siku

sembarang

3. Sifat-sifat Segitiga Istimewa

Segitiga istimewa merupakan segitiga yang memiliki sifat-sifat

khusus (istimewa), baik mengenai hubungan panjang sisi-sisinya maupun

hubungan besar sudut-sudutnya. Yang termasuk segitiga istimewa adalah

segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi.

a. Segitiga Siku-siku

Perhatikan Gambar A.11 dibawah ini!

Gambar A. 9

Bangun ABCDmerupakan persegi panjang dengan

∠ A=∠B=∠C=∠D=90 °. Jika persegi panjang ABCD dipotong

menurut diagonal AC akan terbentuk dua buah bangun segitiga, yaitu

∆ ABC dan ∆ ADC. Karena ∠B=90 °, maka ∆ ABC siku-siku di B.

Demikian halnya dengan ∆ ADC. Segitiga ADC siku-siku di D karena

∠D=90°. Jadi, ∆ ABC dan ∆ ADC masing-masing merupakan segitiga

siku-siku yang dibentuk dari persegi panjang ABCD yang dipotong

menurut diagonal AC.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

b. Segitiga Sama Kaki

Perhatikan ∆ ABC dan ∆ ADC pada Gambar A.12 dibawah ini.

Besar salah satu sudut pada segitiga siku-siku adalah 90 °.

Gambar A. 10

Impitkanlah kedua segitiga siku-siku yang terbentuk tersebut pada

salah satu sisi siku-siku yang sama panjang. Tampak bahwa akan

terbentuk segitiga sama kaki seperti pada Gambar A.12.

Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut.

Catatan:

Dua buah bangun datar yang sama bentuk dan ukuran disebut

sama dan sebangun atau kongruen.

Gambar A. 11

∆ ADC dan ∆ BDC pada Gambar A.13 di atas merupakan segitiga

siku-siku yang kongruen. Jika sama kaki ABC dilipat menurut garis CD

, maka A akan menempati B atau A ↔ B; C akan menempati C atau

C ↔C sehingga dapat ditulis AC ↔ BC.

Dengan demikian, AC=CB, ∠ ABC=∠BAC.

Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut.

Segitiga sama kaki dapat dibentuk dari dua buah segitiga siku-siku

yang sama besar dan sebangun.

Segitiga sama kaki mempunyai dua buah sisi yang sama panjang

dan dua buah sudut yang sama besar.

Perhatikan Gambar A. 13 di atas!

Lipatlah ∆ ABC menurut garis CD, ∆ ADC dan ∆ BDC akan

saling berimpit, sehingga AC akan menempati BC dan AD akan

menempati DB. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa CD merupakan

sumbu simetri dari ∆ ABC. (Sumbu simetri adalah garis yang tepat

membagi bangun datar menjadi dua bagian yang sama besar).

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

c. Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama

panjang.

Perhatikan Gambar A.14!

Gambar A. 12

Gambar di atas merupakan segitiga sama sisi ABC dengan

AB=BC=AC .

1) Lipatlah ∆ ABC menurut garis AE.

∆ ABE dan ∆ ACE akan saling berimpit, sehingga B akan

menempati C atau B↔ C dengan titik A tetap. Dengan demikian,

AB=AC. Akibatnya,∠ ABC=∠ ACB.

2) Lipatlah ∆ ABC menurut garis CD.

∆ ACD dan ∆ BCD akan saling berimpit, sehingga A akan

menempati B atau A ↔ B dengan C tetap. Oleh karena itu,

AC=BC. Akibatnya, ∠ ABC=∠BAC.

3) Lipatlah ∆ ABC menurut garis BF.

Segitiga sama kaki mempunyai sebuah sumbu simetri.

∆ ABF dan ∆ CBF akan saling berimpit, sehingga A akan

menempati C atau A ↔C , dengan titik B tetap. Oleh karena itu,

AB=BC. Akibatnya, ∠BAC=∠BCA.

Dari (1), (2), dan (3) diperoleh bahwa AC=BC=AB dan

∠ ABC=∠BAC=∠BCA.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Perhatikan kembali Gambar A.14 di atas!

Jika ∆ ABC dilipat menurut garis AE, ∆ ABE dan ∆ ACE akan

saling berimpit, sehingga AB akan menempati AC dan BE akan

menempati CE. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa AE merupakan

sumbu simetri dari ∆ ABC.

Jika ∆ ABC dilipat menurut garis CD, ∆ ACD dan ∆ BCD akan

saling berimpit, sehingga AC akan menempati BC dan AD akan

menempati BD. Berarti, CD merupakan sumbu simetri ∆ ABC.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

A. JUMLAH SUDUT-SUDUT SEGITIGA

1. Menunjukkan Jumlah Sudut-sudut Segitiga adalah 180 °

Kegiatan:

a. Buatlah sebarang segitiga dari kertas karton. Namailah ∆ ABC.

b. Potonglah masing-masing sudut segitiga tersebut menurut garis k, l,

dan m.

c. Kemudian, letakkan masing-masing potongan sudut tersebut hingga

berimpit. Tampak bahwa ketiga sudut tersebut membentuk garis lurus.

Gambar B. 1

Segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang

dan tiga buah sudut yang sama besar.

Setiap segitiga sama sisi mempunyai tiga sumbu simetri.

Berdasarkan kegiatan di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

2. Menghitung Besar Salah Satu Sudut Segitiga Apabila Dua Sudut

Lainnya Diketahui

Contoh:

Diketahui pada ∆ PQR, besar ∠P=48 ° dan ∠Q=72 °. Hitunglah besar

∠R!

Penyelesaian:

Diketahui ∠P=48 ° dan ∠P=72 °.

Pada ∆ PQR berlaku ∠P+∠Q+∠R=180 °, sehingga:

∠P+∠Q+∠R=180 °

48 °+72 °+∠R=180 °

120 °+∠R=180 °

∠R=180 °−120°

∠R=60°

Jadi besar ∠R=60°.

Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180 °.

B. HUBUNGAN PANJANG SISI DENGAN BESAR SUDUT PADA

SEGITIGA

1. Ketidaksamaan Segitiga

Bangun AB BC AC AB+ AC AB+BC BC+ AC

8 10 6 14 18 16

8 7 9 17 15 16

6 10 7 13 16 17

Dari tabel diatas, diperoleh hubungan sebagai berikut:

1) AB+ AC selalu lebih besar dari BC, atau AB+ AC>BC ,

2) AB+BC selalu lebih besar dari AC, atau AB+BC> AC ,

3) BC+ AC selalu lebih besar dari AB, atau BC+ AC> AB.

Beda persamaan, pertidaksamaan, dan ketidaksamaan segitiga

Persamaan segitiga: tidak ada.

Pertidaksamaan segitiga: panjang suatu sisi segitiga pastilah lebih pendek

dari jumlah panjang dua sisi lainnya, dengan kata lain jumlah panjang dua

sisi segitiga pastilah lebih panjang dari satu sisi lain yang tersisa.

Ketidaksamaan segitiga: untuk sembarang segitiga jumlah panjang

sembarang dua sisinya haruslah lebih panjang daripada panjang sisi

ketiganya.

Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.

2. Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga

Kegiatan:

Buatlah sebarang segitiga, misalnya ∆ ABC (Gambar C.1).

Bagaimana hubungan antara ∠ A dengan sisi BC, ∠B dengan sisi AC,

dan ∠C dengan sisi AB?

Gambar C. 1

Dengan menggunakan busur derajat, ukurlah panjang setiap

sudutnya, yaitu ∠ A, ∠B, dan ∠C. Kemudian dengan menggunakan

penggaris, ukurlah masing-masing panjang sisinya, yaitu AB, BC, dan

AC. Amatilah besar sudut dan panjang sisi dari segitiga tersebut.

Untuk setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua sisinya

selalu lebih panjang daripada sisi ketiganya.

Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka berlaku salah

satu dari ketidaksamaan berikut.

1)a+b>c

2)a+c>b

3)b+c>a

Ketidaksamaan tersebut disebut ketidaksamaan segitiga.

Jika kalian melakukannya dengan tepat, kalian akan memperoleh

bahwa:

a) sudut B merupakan sudut terbesar dan sisi di hadapannya, yaitu

sisi AC merupakan sisi terpanjang;

b) sudut C merupakan sudut terkecil dan sisi di hadapannya, yaitu

sisi AB merupakan sisi terpendek.

Dari kegiatan tersebut dapat disimpulkan:

3. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga

Sudut luar segitiga adalah sudut yang dibentuk oleh salah satu sisi

segitiga dan perpanjangan sisi lainnya.

Gambar C. 2

Perhatikan gambar C.2 di atas!

∠CBD disebut sudut luar segitiga ∆ ABC. ∠ A ,∠C , dan∠ABC disebut

sudut dalam ∆ ABC. ∠ ABC dan∠CBD saling berpelurus maka:

∠ ABC+∠CBD=180 °

∠CBD=180 °−∠ABC ..................(1)

Jumlah sudut dalam ∆ ABC=180 °, maka:

∠BAC+∠ABC+∠ ACB=180 °

∠BAC+∠ACB=180 °−∠ ABC...............(2)

Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapan

dengan sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil terletak

berhadapan dengan sisi terpendek.

Dari bentuk persamaan (1) dan (2) di atas didapatkan:

∠CBD=180°−∠ABC

∠BAC+∠ACB=180 °−∠ ABC

Karena bentukruas kanan kedua persamaan di atas sama, maka nilai ruas

kirinya juga harus sama, sehingga:

∠CBD=∠BAC+∠ ACB

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

C. KELILING DAN LUAS SEGITIGA

1. Keliling Segitiga

Keliling suatu segitiga adalah jumlah dari panjang sisi-sisi yang

membatasinya, sehingga untuk menghitung keliling dari sebuah segitiga

dapat ditentukan dengan menjumlahkan panjang dari setiap sisi segitiga

tersebut.

Perhatikan Gambar D.1 di bawah ini!

Gambar D. 1

Keliling ∆ ABC=AB+ AC+BC

K=c+b+a

¿a+b+c

Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut

dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

2. Luas Segitiga

Perhatikan Gambar D.2 dibawah ini!

Gambar D. 2

Luas persegi panjang ¿ panjang×lebar

¿ AB× BC

Jika panjang = p dan lebar = l, maka diperoleh rumus berikut:

L=p×l atau L=pl

Cara memperoleh luas segitiga, dengan melakukan kegiatan sebagai

berikut!

Pada Gambar D.3(i), ∆ ABC di bagi menjadi dua segitiga siku-siku yaitu

∆ ADC dan ∆ BDC. Kemudian dibuat persegi panjang yang memuat

∆ ABCseperti pada Gambar D.3(ii).

(i) (ii)

Gambar D. 3

Rumus keliling (K) segitiga dengan panjang sisi a cm, b cm,

dan c cm adalah:

K=a+b+c

Persegi panjang ADCE dibagi menjadi dua oleh diagonal AC, sehingga

membentuk dua segitiga siku-siku yang sama besar yaitu ∆ ADC dan

∆ AEC,begitu juga dengan persegi BDCF, sehingga di dapatkan:

Luas∆ ADC=12

×luas persegi panjang ADCE

Luas ∆ BDC=12

×luas persegi panjang BDCF

Luas ∆ ABC=luas ∆ ADC+luas ∆ BDC

¿ 12

luas persegi panjang ADCE+12

luas persegi panjang BDCE

¿ 12

×luas persegi panjang ABFE

¿ 12

× AB× BF

Luas ∆ ABC=12

× AB ×CD (karena BF=CD).

Pada ∆ ABC Gambar D.3, AB di sebut alas dan CD disebut tinggi,

sehingga diperoleh rumus berikut:

Pada ∆ ABCpada Gambar D.4, tinggi segitiga adalah CD, dan alasnya

adalah AB.

Gambar D. 4

Luas segitiga=12

× alas ×tinggi

Luas ∆ ABC=12

× AB ×CD

Jika AB = a cm dan CD = t cm, maka rumus luas (L) segitiga adalah:

3. Menentukan Luas Bangun dengan Rumus Luas Segitiga

Suatu bangun datar dapat disekat-sekat sehingga di dalam bangun

tersebut terbentuk beberapa bangun segitiga. Dengan demikian, luas

suatu bangun dapat ditentukan berdasarkan luas segitiga.

Contoh:

Hitunglah luas bangun PQRS di samping ini, jika panjang SQ = 8

cm, PT = 4 cm, dan TR = 6 cm!

Jawab:

Luas setiap segitiga = 12

× alas×tinggi

Alas segitiga merupakan sisi dari segitiga

tersebut.

Tinggi harus tegak lurus dengan alas dan

melalui titik sudut yang berhadapan dengan alas, maka

Luas ∆ PQS=12

×QS × PT ¿ 12

×8 × 4=16 cm2

Luas ∆ QRS=12

× QS× TR¿ 12

×8× 6=24 cm2

Jadi, luas bangun PQRS ¿16+24=40 cm2.

Luas=12

×a×t atau L=12

at