dalil dalil segmen garis bru
TRANSCRIPT
![Page 1: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/1.jpg)
GEOMETRI BIDANG
Akhmad Rusbani
Ela Susilawati
Gita Rizki Fardillah
Hilma Fauziah
![Page 2: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/2.jpg)
MENGENAL TITIK, GARIS,
SUDUT, DAN BIDANG.
Next
![Page 3: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/3.jpg)
TITIK
Apa yang dimaksud dengan titik?
Titik adalah suatu satuan dasar dari geometri. Titik bukan
merupakan suatu benda melainkan sebuah simbol yang
menunjukkan suatu lokasi. Oleh karena itu, titik hanya
memiliki posisi tetapi tidak memiliki ukuran seperti panjang,
lebar, atau ketebalan.
![Page 4: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/4.jpg)
Titik dinyatakan dengan huruf capital (huruf besar) sesudahtanda titik/dilukiskan dengan noktah (∙A). Sekumpulan titik-titik yang terletak pada suatu garis lurus disebut “collinear”.Sedangkan sekumpulan titik-titik yang terletak pada suatubidang disebut “coplanar”.
Dalam bidang Koordinat Geometri lokasi titik-titik padasuatu bidang ditunjukkan oleh koordinat mereka pada suatusistem koordinat. Sistem koordinat yang umum digunakanadalah sistem koordinat Kartesius yang memiliki duasumbu koordinat (sumbu-X, sumbu-Y) yang saling tegaklurus.
Bagaimana cara penulisan titik?
TITIK
![Page 5: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/5.jpg)
TITIK
![Page 6: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/6.jpg)
Pada gambar di atas, ditunjukkan titik A, B, dan C yang berturut-turut
memiliki koordinat A(-2, -4), B(3, 5), dan C(7, -3).
TITIK
![Page 7: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/7.jpg)
Garis adalah sederetan titik-titik yang jumlahnya tidak
terhingga dan memanjang pada dua arah yang berlawanan
tanpa ujung. Dengan demikian garis adalah dimensi satu,
yang memiliki panjang tak terhingga dan tidak memiliki
ketebalan. Suatu garis bisa lurus, melengkung, atau
keduanya. Namun, yang dimaksud garis di sini adalah tidak
melengkung dan tidak berbelok.
Apa yang dimaksud dengan Garis?
GARIS
![Page 8: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/8.jpg)
Garis bisa diberi nama dengan menggunakan nama dua titik
yang dilalui oleh garis, dan di atasnya diberi tanda setrip
dengan dua arah panah yang berlawanan yang ditunjukkan
garis AB . Karena garis memanjang pada kedua arah
yang berlawanan maka garis AB juga dapat diberi nama BA.Sebuah garis juga dapat ditulis dengan menggunakan
sebuah huruf kecil, yang ditulis di atas atau di bawah garis
tersebut. Seperti garis a pada gambar di bawah.
GARIS
Bagaimana cara penulisan garis?
![Page 9: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/9.jpg)
a
●
●A
B
GARIS
![Page 10: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/10.jpg)
Segmen adalah sebagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik
ujung yang berbeda, dan memuat semua titik pada garis di antara
ujung-ujungnya. Segmen tidak memiliki ketebalan, namun pajang
segmen dapat diukur.
Apa yang dimaksud dengan segmen?
SEGMEN
![Page 11: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/11.jpg)
Segmen dapat diberi nama dengan dua huruf besar, pada
bagian atas huruf diberi tanda setrip 𝐴𝐵
SEGMEN
![Page 12: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/12.jpg)
Sinar adalah suatu bagian dari garis yang berpangkal dari sebuah
titik dan terpanjang tak hingga ke suatu arah tertentu. Sinar berawal
dari titik tertentu yang kita sebut sebagai titik pangkal. Contoh : 𝐴𝐵
atau 𝐴𝑌.
Apa yang dimaksud dengan sinar?
SINAR
![Page 13: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/13.jpg)
Sudut dibentuk oleh dua sinar dengan titik pangkal yang sama. Titik pangkal
yang sama disebut titik sudut (vertex). Sudut kecil disebut sudut inferior dan sudut besar
disebut sudut refleks. Jumlah sudut inferior dan sudut refleks sama dengan 360°, karena
keduanya membentuk satu putaran. Jika pada gambar tidak ada keterangan, maka yang
dimaksud dengan sudut selalu sudut yang kecil (sudut inferior).
Apa yang dimaksud dengan sudut?
SUDUT
![Page 14: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/14.jpg)
Sudut memiliki berbagai macam ukuran, pada kali ini hanya akan
membahas sudut inferior yang besarnya mulai dari 0° sampai dengan
180°. Berdasarkan ukurannya sudut dapat diklasifikasikan sebagai
berikut:
Sudut Lancip
Mulai dari 1° s.d 89°
Sudut Siku-Siku
Tepat 90°
Sudut Tumpul
Mulai dari 91° s.d179°
Sudut Lurus
Tepat 180°
SUDUT
![Page 15: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/15.jpg)
Bidang datar adalah suatu permukaan datar yang diperpanjang tak
terhingga ke segala arah.bidang memiliki panjang dan lebar atau
disebut dengan luas, namun bidang tidak memiliki ketebalan.
𝛼
Bidang 𝛼 Bidang ABCDB
CD
A
Apa yang dimaksud dengan bidang?
B
CD
A
![Page 16: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/16.jpg)
R
QP
Segitiga adalah sebuah segibanyak (polygon) yang memiliki tiga sisi. Segitiga
memiliki tiga titik sudut. Nama sebuah segitiga bergantung pada nama ketiga
titik sudutnya. Contoh:
Pada gambar segitiga di atas, dapat kita namai segitiga PQR atau ∆PQR.
Lambing ∆ adalah lambing segitiga. Sisi-sisi ∆PQR pada gambar diatas
adalah 𝑃𝑄, 𝑄𝑅, dan 𝑃𝑅. Sedangkan sudut-sudutnya adalah
∠𝑃, ∠𝑄, dan ∠R.
Dalil 1: Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180°.
SEGITIGA
![Page 17: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/17.jpg)
Segitiga
Segitiga dapat diklasifikasikan ke dalam dua bagian, yaitu:
1. Berdasarkan Panjang Sisinya
Segitiga Samakaki Segitiga Samasasi Segitiga Sembarang
c
IIc
a
B
a
b
B
b
ab
c
C
A
C
B A
C
A
CC
![Page 18: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/18.jpg)
Segitiga
2. Berdasarkan besar sudutnya
![Page 19: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/19.jpg)
Dalil-Dalil PadaSegitiga
![Page 20: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/21.jpg)
Dalil Titik Tengah Segitiga
“Segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya adalah setengahkali panjang sisi ketiga tersebut”.
Bukti :
Diketahui : <ACB = <DCE
CA : CD = CB : CE = 2
Jadi, ∆ACB∆DCE (dibaca sebangun)
Karena ∆ACB∆DCE, maka ACB = DCE
Jadi, <CAB dan <CDE adalah pasangan sudut sehadap, dan menurutpostulat haruslah DE sejajar AB.
Karena ∆ACB∆DCE, maka berlaku juga perbandingan sisi berikut
• AB : DE = AC : DC
• AB : DE = 2 : 1DE . 2 = AB . 1⟷ DE = 1/2 AB (terbukti)
A B
C
E D
![Page 22: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/22.jpg)
Diberikan AB = 12 satuan, CD = DA, CE = EB, CEB adalah garis
lurus. Hitunglah DE !
Penyelesaian :
Dik : D tengah-tengah AC (CD = DA)
E tengah-tengah BC (CE = EB)
AB = 12 satuan
Dit : DE ?
Jawab : berdasarkan dalil titik tengah segitiga maka DE//AB
DE =1/2 AB
= ½ (12) = 6 satuan Dalil Intercept Segitiga
Soal
![Page 23: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/23.jpg)
Dalil Intercept
“ jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga ABC
(misalnya garis sejajar sisi BC) memotong dua sisi lain dari segitiga
ABC (yaitu sisi AB dan AC ) di titik D dan E, maka persamaan
berikut benar AD : DB = AE : EC untuk dalil intercept”.
Bukti :
Diketahui ∆ABC memiliki DE//BC, dengan DE dipotong oleh AB di
D dan AC di E
AED
B C
A
![Page 24: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/24.jpg)
Perhatikan DE//BC yang dipotong oleh garis transversal AB. ∠ADE dan ∠ABC
adalah pasangan sudut sehadap sehingga ∆ADE ∆ABC berarti
AB/AD = AC/AE
AB/AD - AD/AD = AC/AE - AE/AE (kedua ruas dikurangi pecahan bernilai 1)
AB-AD/AD=AC-AE/AE↔BD/ADEC/AE atau AD/BD=AE/AC
AD : BD = AE : EC (terbukti)
AED
B C
A
Dalil Intercept
![Page 25: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/25.jpg)
Perhatikan gambar di samping ini!
DE//BG. BH : HG = 9 : 5.
Tentukan panjang CE dan buktikan bahwa
AF : FB = 5 : 9.
Jawab :
Diketahui: BE = 27
CD = 10
DG = 18
BH : HG = 9 : 5
Ditanyakan: Tentukan panjang CE dan
buktikan bahwa AF : FB = 5 : 9
D
C
27
18
10
H
G
E
BFA
Soal
![Page 26: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/26.jpg)
Penyelesaian.
• CE/EB = GD/DG
CE = CD/DG x EB = 10/18 x 27= 15
• DE/BG = CD/CG = 10/10+18 = 5/5+9
BH : HG = 9 : 5 ⟹ HG/BG = 5/5+9 berarti DE = HG.
DE//HG, akibatnya GD//EH.
AF : FB = CE : EB = 15 : 27= 5 : 9. (terbukti)
![Page 27: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/27.jpg)
Dalil Menelaus
Sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis dimana dua sisi segitiga
berpotongan dalam segitiga dan satu sisi berpotongan pada
perpanjangan sisi itu. Pemotongan segitiga dengan garis tersebut
menghasilkan segmen-segmen garis yang perbandingannya dirumuskan
pada dalil Menenlaus sebagai berikut.
AF/CF x CE/BE x BD/AD = 1
A
F
E
D
C
B
![Page 28: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/28.jpg)
Bukti:
Tarik garis dari B sejajar AC dan memotong garis DE di titik P
Perhatikan ∆BPD dan ∆AFD
BP/BD = AF/AD →BP = AF/AD x BD .... (1)
Perhatikan ∆BPE dan ∆CFE
BP/BE = CF/CE →BP = CF/CE x BE .... (2)
Persamaan (1) sama dengan persamaan (2)
↔ AF/AD x BD = CF/CE x BE
↔ AF/AD.BE = CF/CE.BD
↔ AF.CE.BD/AD.BE.CF = 1
↔ AF/CF x CE/BE x BD/AD = 1
( Terbukti )
F
C
E
DA B
P
![Page 29: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/29.jpg)
Diketahui ∆ABC dengan AB = 7, BC = 5, dan AC = 6. Titik D terletak pada AC
dengan AD : DC = 5 : 1. Titik E pada garis BC dengan BE : EC = 2 : 3.Segmen
garis DE diperpanjang dan memotong perpanjangan garis AB di titik D, Jika
panjang BD = 3, tentukanlah panjang AF!
Penyelesaian.
Dalil Menelaus: AD/AC x CE/BE x BF/AF = 1
5/1 x 3/2 x BF/7+BF =1
→ 15/2 x BF/7+BF = 1 → BF/7+BF = 2/115
→ 15BF = 14 + 2BF → 13BF = 14 → BF =14/13
5
13D
2
E
7
F
B
C
ASoal
![Page 30: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/30.jpg)
Dalil De Ceva
Dalil Ceva berkaitan dengan tiga garis yang memotong ketiga sisi
segitiga dan ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik. Jika
garis yang ditarik dari tiap titik sudut segitiga berpotongan pada satu
titik dan memotong sisi-sisi yang berhadapan di titik dengan titik-titik,
maka berlaku dalil de Ceva, yaitu:
AF/FB.BD/DC.CE/EA = 1
![Page 31: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/31.jpg)
Bukti.
Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik, yaitu
titik P. ∆APF dan ∆BPF memiliki tinggi yang sama sehingga:
luas ∆APF/ luas ∆BPF = AF.tinggi / FB.tinggi
luas ∆APF/ luas ∆BPF = AF/FB...(1)
∆ACF dan ∆BCF juga memiliki tinggi yang sama sehingga dengan cara yang
sama diperoleh:
luas ∆ACF/ luas ∆BCF = AF/BF...(2)
A
P
E D
C
BF
![Page 32: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/32.jpg)
Karena persamaan (1) dan persamaan (2) sama, maka:
luas ∆ACF - luas ∆APF = luas ∆APF
AF/BF (luas ∆BCF) - AF/BF (luas ∆BPF) = luas ∆ACF - luas ∆APF
AF/FB (luas ∆BCF - luas ∆BPF) = luas ∆ACF - luas ∆APF
AF/FB = luas ∆ACF - luas ∆APF/ luas ∆BCF - luas ∆BPF
AF/FB = luas ∆ACF / luas ∆BCF ... (3)
Dengan cara yang sama diperoleh persamaan untuk kedua sisi lainnya :
BD/DC = luas ∆ABP/ luas ∆ACP ... (4)
CE/EA = luas ∆BCP/ luas ∆ABP ... (5)
Kalikan persamaan (3), persamaan (4), dan persamaan (5).
AF/BF. BD/DC. CE/EA = luas ∆ACF / luas ∆BCF. luas ∆ABP/ luas ∆ACP. luas ∆BCP/
luas ∆ABP
AF/BF. BD/DC. CE/EA (Terbukti)
![Page 33: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/33.jpg)
Pada gambar di bawah ini, hitunglah nilai x!
Tiga garis yang ditarik dari tiap titik sudut ∆ABC dan ketiganya berpotongan pada
suatu titik O.dengan demikian berlaku dalil de Ceva.
2
3
𝑎
2𝑎
4
𝑥= 1 → 4/3x = 1 → 3x = 4 → x = 4/3
Soal
![Page 34: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/34.jpg)
Dalil – Dalil Segmen Garis Pada Segitiga
![Page 35: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/35.jpg)
Garis SumbuYaitu segmen garis yang melalui titik tengah sisi segitiga dan
tegak lurus pada sisi tersebut.
C
Dm E
O
BA F
l
k
ll
![Page 36: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/36.jpg)
Ketika garis sumbu berpotongan pada satu titik,
yang disebut titik sumbu.
Titik sumbu segitiga berjarak sama ke tiap titik
sudut segitiga.
Titik sumbu segitiga adalah titik pusat lingkaran
luar segitiga.
Dalil 1:
Dalil 3:
Dalil 2:
![Page 37: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/37.jpg)
Bukti dalil 1:
∆ABC adalah segitiga sembarang dengan k garis sumbu 𝐴𝐵, l
garis sumbu 𝐵𝐶. Titik O adalah titik potong garis k dan l. kita
diminta membuktikan bahwa titi O adalah titik potong garis k, l,
dan m (dalil 1).
C
Dm E
O
BA F
l
k
ll
![Page 38: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/38.jpg)
Perhatikan ∆AFO dan ∆BFO.
AF = FB (sisi)
∠𝐴𝐹𝑂 = ∠𝐵𝐹𝑂 = 90°
FO = FO (sisi)
Jadi, sesuai postulat (sisi-sudut-sisi) ,
untuk membuktikan dua segitiga kongruen, maka ∆AFO ≅ ∆BFO.
Karena ∆AFO ≅ ∆BFO, maka AO = BO…(1)
• Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan bahwa ∆BDO ≅ ∆CDO,
sehingga didapat: BO = CO …(2)
• Dari(1) AO = BO dan (2) BO = CO maka AO = BO = CO…(3)
• Dari (3) karena AO = CO maka ∆ACO samakaki. Karena AE = CE, m⊥ 𝐴𝐶dan m melalui E, maka m pasti melalui O. Jadi, k,l, dan m melalui O (dalil 1
terbukti)
C
Dm E
O
BAF
l
k
ll
![Page 39: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/39.jpg)
Bukti Dalil 2Perhatikan ∆AFO dan ∆BFO.
AF = FB (sisi)
∠𝐴𝐹𝑂 = ∠𝐵𝐹𝑂 = 90°
FO = FO (sisi)
Jadi, sesuai postulat (sisi-sudut-sisi) untuk membuktikan dua segitiga kongruen,
maka ∆AFO ≅ ∆BFO.
Karena ∆AFO ≅ ∆BFO, maka AO = BO…(1)
• Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan bahwa ∆BDO ≅ ∆CDO, sehingga
didapat: BO = CO …(2)
• Dari(1) AO = BO dan (2) BO = CO maka AO = BO = CO…(3)
• Dari (3) AO = BO = CO, yang berarti titik sumbu O berjarak sama ke titik A, B,
dan C. Jadi, titik sumbu segitiga berjarak sama ke tiap titik sudut segitiga (dalil 2
dipenuhi)
C
Dm E
O
BAF
l
k
ll
![Page 40: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/40.jpg)
Bukti dalil 3:
Telah dibuktikan AO = BO = CO, yang berarti jarak titik
sumbu O ketitik-titik sudut A,B, dan C adalah sama. Jika
kita tetapkantitik sumbu O sebagai pusat lingkaran dan
panjang OA = OB = OC sebagai jari-jari R, maka kita
peroleh sebuah lingkaran dengan pusat O dan melalui titik-
titik sudut A, B, C. Lingkaran ini kita sebut sebagai
lingkaran luar ABC (dalil 3 terbukti)
![Page 41: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/41.jpg)
Garis tinggi
Yaitu garis yang melalui sebuah titik sudut dan tegak lurus pada
sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. Dalil-dalil yang
berlaku adalah sebagai berikut:
Dalil 1: Ketiga garis tinggi berpotongan pada satu titik,
yang disebut titik tinggi.
Dalil 2: Pada segitiga siku-siku, garis tinggi ke hipotenusa
(sisi terpanjang) membagi segitiga siku-siku menjadi dua
segitiga yang sebangun, dan juga sebangun dengan
segitiga awal.
Dalil 3: Jika pada ∆ABC, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 dan panjang
proyeksi 𝐴𝐶 pada 𝐴𝐵 adalah p, maka 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 −2𝑎𝑐. 𝑝.
Dalil 3 ini disebut juga dalil proyeksi.
C
D
BF
A
E
o
![Page 42: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/42.jpg)
L
C
A B
ab
c
p
A B
C
D
![Page 43: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/43.jpg)
Bukti dalil 3.
Diketahui ∆ABC dengan 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵Dalam ∆BDC siku-siku, BD = (c – p) , dan BC = a. Sehinggadalil Phytagoras memberikan 𝐶𝐷2 = 𝐵𝐶2 − 𝐵𝐷2 ↔ 𝐶𝐷2 =𝑎2 − 𝑐 − 𝑝 2…(1)
Dalam ∆ADC siku-siku, AC = b dan AD = p sehingga dalilPhytagoras memberikan 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐷2 ↔ 𝐶𝐷2 = 𝑏2 −𝑝2…(2)Ruas kiri [persamaan (1)] dan ruas kanan [persamaan (2)] sama. Sehingga dengan menyamakan ruas kanannya diperoleh:
𝑎2− 𝑐 − 𝑝 2 = 𝑏2 − 𝑝2
𝑎2 − 𝑐2 − 2𝑐𝑝 + 𝑝2 = 𝑏2 − 𝑝2
𝑎2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑝 − 𝑝2 = 𝑏2 − 𝑝2
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑝(dalil 3 terbukti)
![Page 44: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/44.jpg)
Sebuah segitiga ABC dengan AB = 7 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5
cm. AD dan BE adalah garis tinggi. Hitunglah panjang AD dan
luas ∆ABC!
Soal
![Page 45: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/45.jpg)
Penyelesaian :
Proyeksi AC pada BC adalah CD, sehingga dalil proyeksi
memberikan
72 = 52 + 62 – 2 . 6 . p
p = 52+62−72
12= 1 cm
Sekarang panjang garis tinggi AD bisa dihitung dengan dalil
phytagoras dalam ∆ADC siku-siku.
AD2 = AC2 – CD2 ↔ AD = 52 – 12 = 25 – 1 = 24
AD = 24 = 4(6) = 2 6 cm
Luas ∆ABC = 𝐵𝐶∙𝐴𝐷
2
= 6∙2 6
2= 6 6 cm2
![Page 46: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/46.jpg)
Dalil Stewart
Pada ∆ABC, dari titik C ditarik garis hingga memotong AB
di titik D. Misal AC = b, BC = a, AB = c, AD =c1, BD = c2,
dan CD = d, maka dalil Stewart menyatakan:
𝑑2 ∙ 𝑐 = 𝑐1 ∙ 𝑎2 + 𝑐2 ∙ 𝑏
2 − 𝑐1 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑐
![Page 47: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/47.jpg)
Bukti.
Dari titik C ditarik garis tinggi CE. Pada ∆ACD berlaku dalil proyeksi segitiga
tumpul, yaitu:
𝐴𝐶2 = 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2 + (2 × 𝐴𝐷 × 𝐷𝐸)… (1)
Pada ∆BCD berlaku dalil proyeksi segitiga lancip yaitu:
𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐵2 − (2 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷)… (2)
Kalikan persamaan (1) dengan BD dan persamaan (2) dengan AD, diperoleh:
𝐴𝐶2 × 𝐵𝐷 = (𝐶𝐷2× 𝐵𝐷) + (𝐴𝐷2× 𝐵𝐷) + (2 × 𝐴𝐷 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷)𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = (𝐶𝐷2× 𝐴𝐷) + (𝐷𝐵2× 𝐴𝐷) − (2 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐷)
Kedua persamaan di atas dijumlahkan dan diperoleh
• 𝐴𝐶2 × 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = (𝐶𝐷2× 𝐵𝐷) + (𝐴𝐷2× 𝐵𝐷) + 2 × 𝐴𝐷 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷 +(𝐶𝐷2× 𝐴𝐷) + (𝐷𝐵2× 𝐴𝐷) − (2 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐷)
• 𝐴𝐶2 × 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷2 𝐵𝐷 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷
• 𝐴𝐶2 × 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷2 × 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐵
• 𝐶𝐷2 × 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 × 𝐵𝐶2 + 𝐵𝐷 × 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐵
• 𝑑2 ∙ 𝑐 = 𝑐1 ∙ 𝑎2 + 𝑐2 ∙ 𝑏
2 − 𝑐1 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑐
(terbukti)
![Page 48: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/48.jpg)
Pada ∆ABC panjang sisi-sisinya dinyatakan a, b, dan c. Panjang garis berat
dari titik sudut A dinotasikan dengan mA. Buktikan bahwa: mA =
2b2+2c2−a2
4.
Jawab: Pada ∆ABC panjang sisi-sisinya dinyatakan a, b,
dan c. Panjang garis berat dari titik sudut A
adalah mA =2b2+2c2−a2
4.
Bukti.
mA2 ∙ a = a1 ∙ c
2 + a2 ∙ b2 − a1 ∙ a2 ∙ a
mA2 ∙ a =
1
2a ∙ c2 +
1
2a ∙ b2 −
1
2a ∙
1
2a ∙ a
mA2 =
1
2c2 +
1
2b2 −
1
4a2
mA2 =
2c2 + 2b2 − a2
4
mA2 =
2c2 + 2b2 − a2
4(𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊)
A B
C
Dab
a1
c
Soal
![Page 49: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/49.jpg)
Garis Bagi
Yaitu garis yang ditarik dari titik sudut segitiga sedemikian
sehingga membagi sudutnya menjadi dua bagian yang sama besar
karena segitiga mempunyai tiga sudut, maka segitika mempunyai
tiga garis bagi. Ketiga garis bagi tersebut akan berpotongan pada
satu titik.
Dalil: Garis bagi sudut suatu segitiga membagi sisi yang
dihadapannya menjadi dua bagian dengan perbandingan sebagai
sisi-sisi yang berdekatan.
Pada gambar di bawah, AM adalah garis bagi, maka:
I. BM : CM = AB : AC
II. BM : BC = AB : (AB + AC)
![Page 50: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/50.jpg)
Bukti :
Tarik garis BD sejaar garis AM.
∠𝐵2 = ∠𝐴2 = 𝛼 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛∠𝐷1 = ∠𝐴1 = 𝛼 𝑠𝑒ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝
Dengan demikian ∠𝐵2 = ∠𝐷1, berarti ∆ABD
adalah segitiga sama kaki, yang akibatnya AD =
AB.
Perhatikan bahwa:
• BM : CM = AB : AC
Karena AD = AB, maka BM : CM = AB : AC.
(terbukti)
• BM : BC = AB : (AB + AC)
Karena AD = AB maka
BM : CM = AB : (AC + AB) (terbukti)
BC
A
D
α
1 2
α
Bukti
![Page 51: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/51.jpg)
Diketahui ∆ABC dengan AB = 4, AC = 5 dan BC = 6. Titik D terletak
pada BC, sedemilian sehingga AD adalah garis bagi. Tentukan panjang
BD, CD dan AD.
Jawab :
Karena AD adalah garis bagi, maka dalam ∆ABC berlaku
BD : CD = AB : AC .
BD : CD = 4 : 5
CD = 5
4 +5x BC =
5
9x 6 =3
1
3
BD = 4
4 +5x BC =
4
9x 6 =2
2
3
Panjang AD dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Stewart.
AD2 x 6 = 3 1
3x 42 + 2
2
3x 52 - 3
1
3x 2
2
3x 6 → AD = 3
1
3 Soal
![Page 52: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/52.jpg)
Garis Bagi
Garis berat sebuah segitiga adalah segmen garis yang melalui
sebuah titik sudut dan titik tengah sisi di hadapan titik sudut
tersebut. Dalil-dalil yang berlaku bagi garis berat segitiga adalah
sebagai berikut.
![Page 53: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/53.jpg)
• Dalil 1: ketiga garis berat berpotongan pada satu titk,
yang disebut titik berat.
• Dalil 2: ketiga garis berat dalam sebuah segitiga
berpotongan di titik berat dengan perbandingan panjang
bagian-bagiannya adalah 2 : 1, dengan bagian terpanjang
dekat dengan titik sudut.
• Dalil 3 : jika 𝑡𝑎 adalah panjang garis berat yag ditarik dari
titik sudut A ke sisi dihadapannya a, maka berlaku
𝑡𝑎2 =
1
2𝑏2 +
1
2𝑐2 −
1
2𝑎2
![Page 54: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/54.jpg)
![Page 55: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/55.jpg)
Bukti dalil 2
∆ABC adalah segitiga sembarang dengan 𝐴𝐸adalah garis berat pada sisi
BC = a 𝐵𝐹 adalah garis berat pada sisi AC = b, dan 𝐶𝐷 adalah garis
berat pada sisi AB = c, kita diminta untuk membuktikan dalil 2, yaitu
rasio panjang bagian garis berat AE adalah AO : OE = 2 : 1
Dari dalil tengah segitiga yang telah dibahas dalam sub sub bab B.2a
diperoleh bahwa EF // AB dan EF : AB = 1 :2 atau AB : EF = 2 : 1 …
(1)
Perhatian ∆ABC dan ∆EFO
∠BAO = ∠FEO (sudut dalam berseberangan)
∠AOB = ∠EOF (sudut bertolak belakang)
∠ABO = ∠EFO (sudut dalam beseberanagn)
Jadi, ∆ABO ~ ∆AFO, maka berlaku kesebandingan
AO : OE = AB : EF ... (2)
Substitusi (1) ke (2) diperoleh
AO : OE = 2 : 1 (dalil 2 terbukti)
![Page 56: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/56.jpg)
Bukti dalil 3:
Dalil 3 akan kita buktikan denga menggunakan dalil
Stewart. Dalil stewart pada ∆ABC memberikan
𝐴𝐸2.BC = BE.𝑏2 + CE. 𝐴𝐵2 – BE.CE.BC
𝑡𝑎2.a =
1
2𝑎 . 𝑏2 +
1
2𝑎 . 𝑐2 -
1
2𝑎 .
1
2𝑎 . a
𝑡𝑎2 =
1
2𝑏2 +
1
2𝑐2 -
1
4𝑎2 (dalil 3 terbukti)
![Page 57: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/57.jpg)
Pada sebuah segitiga DEF, FG merupakan sebuah garis berat
dimana DE=12cm, EF=8cm, dan DF=10. maka berapakah
panjang FG?
Jawab :
FG2 = 1/2 x 82 + 1/2 x 102 - 1/2 x 122
FG2 = 1/2 x 64 + 1/2 x 100 - 1/2 x 144
FG2 = 32 + 50 - 72
FG2 = 82 - 72
FG2 = 10
FG = √10 cmSoal
![Page 58: Dalil dalil segmen garis bru](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050613/55a966f11a28ab9e518b45b5/html5/thumbnails/58.jpg)
Terima Kasih