BAB V

KONDUKSI MANTAP DUA DIMENSI

1. Alternatif Pendekatan

Gambar 5.1 menunjukkan pengaruh-pengaruh penting suatu

sistem konduksi mantap dua-dimensi. Dengan dua permukaan di

isolasi dan permukaan lainnya dipertahankan pada temperatur yang

berbeda, T1 > T2, akan terjadi pemindahan panas dengan konduksi

dari permukaan satu ke permukaan dua.

Gambar 5.1 : Konduksi Dua-Dimensi

Sesuai dengan hukum Fourier, persamaan 1.1, fluk panas lokal dalam

benda padat adalah sebuah vektor yang selalu tegak lurus terhadap

garis temperatur konstan (isotherm).

Arah vektor fluk panas digambarkan oleh garis-garis aliran panas (heat

flow lines) pada gambar 5.1, dan vektor itu sendiri adalah hasil

komponen-komponen fluk panas dalam arah x dan y. komponen-

komponen ini telah dibahas sebelumnya di dalam bab 1. fasal

persamaan difusi panas.

Dengan mengingat kembali suatu analisa konduksi, dimana

ada d ua objek utama. Objek pertama adalah untuk menentukan

distribusi temperatur di dalam medium, yang mana menggambarkan

persoalan yang menghendaki penyelesaian T (x,y).

93

Objek ini secara umum dicapai dengan penyelesaian bentuk

persamaan panas yang ada. Untuk konduksi mantap dua-dimensi

tanpa pembangkitan panas dan Konduktivitas termal konstan, bentuk

ini adalah

..................................................... (5.1)

Objek kedua mengehendaki penyelesaian yang sederhana dari

persamaan di atas dalam bentuk T (x,y), yang mana untuk

menentukan komponen-komponen fluk panas qx dan qy dengan

menggunakan persamaan laju aliran panas.

Untuk meyelesaikan persamaan 5.1. dapat menggunakan

metoda analisa matematis, grafis, dan numerik atau beda-berhingga

(finite-difference). Karena sebagian besar maeri ini terlampau lanjut

untuk suatu kuliah pengantar, maka pembahasan yang disajikan disini

hanya ditekankan pada metoda analisa matematis dan grafis dari

suatu persoalan yang relatif sederhana.

2. Pendekatan Analisa Matematis

Tujuan analisa perpindahan panas adalah meramalkan laju

panas atau distribusi temperatur. Dalam sistem dua-dimensi tanpa

sumber panas, persamaan yang mengatur distribusi temperatur dalam

keadaan mantap adalah seperti persamaan 5.1, jika Konduktivitas

termalnya seragam.

Penyelesaian persamaan 5.1 akan menghasilkan T (x,y), temperatur

sebagai fungsi koordinat x dan y. Fluk panas dalam arah x dan y

kemudian dapat diperoleh dari hukum Fourier, masing-masing

......................................................... (5.2)

.......................................................... (5.3)

94

Penyelesaian analitik suatu soal konduksi panas harus

memenuhi persamaan konduksi panasnya maupun syarat-syarat batas

yang ditetapkan oleh kondisi-kondisi fisik.

Pendekatan secara klasik dalam penyelesaian persamaan Fourier

secara eksak adalah teknik pemisahan variabel. Di sini akan

digambarkan suatu pendekatan dengan mentrapkan pada sebuah soal

yang relatif sederhana.

Perhatikanlah sebuah pelat persegi-empat yang tipis yang ditunjukkan

gambar 5.2, tanpa sumber panas dan ketiga sisi pelat berada pada

temperatur tetap T1, sedangkan sisi atasnya mempunyai distribusi

temperatur tertentu. Distribusi temperatur ini dapat berupa temperatur

tetap pula, tetapi dapat berupa distribusi gelombang sinus.

Gambar 5.2 : Isotherm dan aliran panas pada pelat persegi-empat

Persamaan 5.1 adalah persamaan diferensial parsial linier

dan homogen yang dapat diintegrasikan dengan mengasumsikan

suatu penyelesaian hasil kali untuk T (x,y) dalam bentuk

T = XY .................................................................... (5.4)

dimana

X = X (x) sebuah fungsi dari x saja

Y = Y (y) sebuah fungsi dari y saja

Dengan mensubstitusikan persamaan 5.4 ke dalam persamaan 5.1

95

kita peroleh

............................................... (5.5)

Perhatikan bahwa bagian kiri dan bagian kanan persamaan 5.5 tidak

tergantung satu sama lain, karena x dan y ialah dua variabel yang

tidak saling tergantung. Hal ini berarti masing-masing bagian harus

sama dengan suatu konstanta, misalnya 2. Karena itu kita mempunyai

dua persamaan diferensial total

...................................................... (5.6)

...................................................... (5.7)

Bentuk penyelesaian dua persamaan di atas bergantung dari tanda 2 ;

kalau 2 = dan < 0 penyelesaiannya tidak dapat digunakan, karena

hasilnya tidak cocok dengan kondisi batas fungsi sinus.

Satu-satunya cara untuk menentukan bentuk yang benar ialah dengan

menerapkan kondisi batas pada soal itu.

Jadi penyelesaian umum persamaan 5.6 dan 5.7 2 > 0 adalah

X = C1 cos x + C2 sin x .................................... (5.8)

Y = C3 e -y + C4 ey ............................................... (5.9)

Dari persamaan 5.4, kita peroleh

T = XY

T = (C1 cosx + C2 sin x) (C3 e-y + C4 ey) ...... (5.10)

dimana C1, C2, C3 dan C4 adalah konstanta-konstanta yang harus

ditentukan harganya dari syarat-syarat batas.

Seperti ditunjukkan dalam gambar 5.2, syarat-syarat batas yang harus

dipenuhi adalah

T = T1 pada y = O

T = T1 pada x = O

T = T1 pada x = W

96

pada y = H

untuk mempermudah pengolahan aljabar, kita substitusikan variabel

baru = T – T1 pada syarat batas di atas.

= O pada y = O

= O pada x = O

= O pada x = W

pada y = H

Kondisi batas di atas bilamana pada pinggir atas pelat terdapat

distribusi temperatur gelombang sinus dimana Temperatur adalah

amplitudo fungsi sinus tersebut. Dengan menerapkan syarat-syarat

batas ini ke dalam persamaan 5.10, kita peroleh

O = (C1 cos x + C2 sin x) ( C3 + C4 ) (a)

O = C1 (C3e -y + C4 e y) (b)

O = (C1 cos W + C2sin W) (C3e -y + C4ey) (c)

(C1 cos x + C2sinx) (C3e-H + C4eH) (d)

Syarat pertama (pers. A) dapat dipenuhi hanya jika C3 = - C4

dan syarat kedua (per. b) jika C1 = 0

Dengan menggunakan syarat-syarat ini dalam syarat ketiga (pers. c),

kita peroleh

0 = C2 C4 sin W (ey – e -y)

untuk memenuhi syarat ini, sin W harus nol atau = n/W dimana n =

1,2,3,4,………..

Maka terdapat penyelesaian yang berlainan untuk tiap bilangan bulat n

dan masing-masing penyelesaia mempunyai konstan integrasi Cn

sendiri. Dengan menjumlahkan penyelesaiaan-penyelesaiaan ini kita

dapatkan deret tak berhingga.

97

........................ (5.11)

Sekarang kita terapkan syarat batas terakhir

.......................... (5.12)

persamaan diatas memerlukan Cn = 0 untuk 1, jadi penyelesaiannya

.............................................. (5.13)

............................................. (5.14)

Medan temperatur untuk soal ini (pers. 5.14) ditunjukkan pada gambar

5.2, dimana garis-garis aliran panas tegak lurus terhadap isoterm.

Bilamana pada sisi atas pelat merupakan distribusi temperatur tetap,

maka syarat-syarat batasnya adalah.

T = T1 pada y = O

T = T1 pada x = O

T = T1 pada x = W

T = T1 pada y = H

Untuk tiga syarat batas pertama dapat diselesaikan seperti cara

sebelumnya, seningga persamaan akhir yang diperoleh.

........................ (5.15)

Dengan menggunakan syarat batas terakhir, akan diperoleh

persamaan

98

......................(5.16)

Harga konstanta Cn dapat dicari berdasarkan deret Fourier dengan

menguraikan T2 – T1 untuk interval 0 < x < W

....... (5.17)

Kemudian dengan membandingkan persamaan 5.16 dan 5.17 kita

peroleh

Harga Cn yang diperoleh kemudian dimasukkan ke dalam persamaan

5.15, sehingga

....... (5.18)

3. Pendekatan Analisa Grafis

Metode analisa grafis secara cepat dapat menghasilkan

perkiraan distribusi temperatur yang cukup baik pada sistem dua

dimensi yang rumit. Tujuan penyelesaian grafis adalah membuat

jaringan terdiri dari garis-garis isoterm dan garis-garis aliran panas

konstan. Garis aliran panas analog dengan garis aliran didalam aliran

fluida potensial, yaitu menyingung arah aliran panas pada setiap

titiknya.

99

Akibatnya, panas tidak dapat mengalir memotong garis aliran panas

dan antara dua garis aliran panas mengalir sejumlah panas yang

konstan.

Isoterm analog dengan garis potensial konstan dan panas mengalir

tegak lurus pada isoterm. Jadi garis temperatur konstan dan grafis fluk

panas konstan berpotongan secara tegak lurus.

Gambar 5.3 : Konduksi dua-dimensi dalam saluran persegi-empat panjang.

Untuk memperoleh distribusi temperatur, terlebih dahulu

disiapkan model menurut skala dan kemudian digambar isoterm dan

garis-garis aliran panas secara coba-coba hingga terbentuk jaringan

bujur sangkar garis lengkung (curvilinear squares). Bentuk jaringan

bujur sangkar garis lengkung ini sebagaimana terlihat pada gambar

5.3b. Aliran panas melintasi bagian-bagian ini seperti ditunjukkan

gambar 5.3c. diberikan oleh hukum Fourier dengan mengandaikan

satu satuan kedalaman bahan.

Aliran panas ini sama untuk semua bagian dalam jaringan aliran

panas, dan aliran panas total ialah jumlah dari aliran panas dalam

100

semua jaringan. Jika bahan ini dibuat sedemikian rupa, sehingga x =

y, dimana

maka aliran panas akan sebanding dengan T yang melintasi sebuah

elemen tersebut. Oleh karena itu T yang melintasi sebuah elemen

manapun jalur aliran panas adalah

atau

Di mana N adalah jumlah tahap kenaikan temperatur antara kedua

batas yang bertemperatur T1 dan T2.

Laju total aliran panas dari batas yang bertemperatur T1 kebatas yang

bertemperatur T2 sama dengan jumlah aliran panas melalui semua

jalur karena tidak tergantung pada dimensi x dan y.

............................................................. (5.20)

dimana M adalah jumlah jalur aliran panas.

Jadi untuk menghitung perpindahan panas kita hanya perlu

membuat jaringan bujur sangkar garis lengkung pada model dan

menghitung banyaknya tambahan temperatur dan jalur aliran panas.

Namun kita harus hati-hati dan teliti dalam menggambarkannya

supaya x y dan garis-garisnya tegak lurus.

Dalam sistem dua-dimensi, di mana panas berpindah dari

sebuah permukaan yang bertemperatur T1 ke permukaan lain yang ber

temperatur T2, laju aliran panas satu satuan kedalaman hanya

101

bergantung pada beda temperatur (T1 – T2), Konduktivitas termal k dan

perbandingan M/N.

Perbandingan M/N ini tergantung pada bentuk sistem dan disebut

faktor bentuk konduksi (conduction shape factor).

Jadi laju perpindahan panas dapat ditulis.

q = k S T ............................................................. (5.21)

Harga faktor bentuk konduksi S untuk beberapa bentuk penting telah

dihitung dan ditabelkan seperti tabel 5.1.

Tabel 5.1 : Faktor Bentuk Konduksi (Conduction Shape Factor)

(di rangkum dari J.E, Sunderland dan K.R. Jonhson, Trans ASHRAE, 10 : 238-239, 1964)

102

* Suntuk dinding datar ialah A/t, dimana A untuk dinding-atas ialah A = aliran panas; untuk dinding-samping

A = b.L

4. Contoh Soal dan Latihan

a. Contoh-contoh Soal

103

1. Sebuah batangan yang sangat

panjang (arah z) katiga sisinya

dijaga pada temperatur tetap.

Distribusi temperatur melintasi sisi

atas berbentuk sinusoida. Dimensi

liniernya W=L 2 m dan ketiga

sisinya ialah To = 280 oK

Temperatur disepanjang

permukaan sebelah atas Tc = 320 OK. Tentukan temperatur pada

pusat batangan tersebut.

Penyelesaian :

Dari deret tak-berhingga :

c = Tc – To = 320 – 280 = 40 0K

Kemudian dengan enam angka signifikan kita hitung besaran-

besaran yang diperlukan dan hasilnya seperti tabel berikut :

n Sinh n

123

22/32/5

2.3013055.65441287.98

11.54876195.82

3.31781 x 108

1.0-1.01.0

Jadi :

(1,1) = 10 0K

104

T (1,1) = 10 + 280 = 290 0K

2. Sebuah lubang diamater D = 0,25 m dibor melalui pusat suatu

balok padat berpenampang persegi-empat dengan sisi-sisinya

w = 1 m. Lubang dibor sepanjang balok panjang L = 2 m yang

mempunyai Konduktivitas termal k 150 W/m 0K. suatu fluida

panas mengalir melalui lubang untuk menjaga temperatur

permukaan dalam pada T1 = 75 0C, sedangkan temperatur

permukaan luar balok pada T2 = 25 0C. Tentukan faktor bentuk

dari sistem dengan menggunakan metode grafis dan laju

pemindahan panas melalui balok.

Penyelesaian :

Dari gambar jaringan aliran panas, sistem dibagi menjadi 8

bagian yang sama.

Sehingga faktor bentuk konduksi :

Aliran panas dari balok :

q = S k (T1 – T2)

= 8 . 150 (75 - 25)

q = 60.000 W = 60 kW

3. Sebuah pipa panjang yang berdiameter luar 6 inch di tanam di

tanah dengan sumbu pipa 30 inch di bawah tanah. Temperatur

permukaan pipa 200 0F dan temperatur permukaan tanah 40 0F.

Konduktivitas termalnya adalah 0,20 Btu/ h ft 0F.

105

Tentukan kerugian panas per foot panjang pipa dengan

menggunakan :

a. jaringan aliran panas

b. faktor bentuk konduksi tabel 5.1.

Penyelesaian :

a. Jaringan aliran panas :

Gambar jaringan panas ditunjukkan sebagian karena bentuknya

simetri, dimana terdiri :

18 jalur aliran panas

8 bujur sangkar tiap jalur aliran panas

Faktor bentuk konduksinya :

Kerugian panas per foot panjang pipa :

q = S k (T1 - T2)

= 2,25 . 0,20 (200-40)

= 72 Btu/h ft

b. Faktor bentuk konduksi pada tabel 5.1 :

sehingga kerugian panas per foot panjang pipa

q = 2,1 . 0,20 (200 – 40)

106

= 67 Btu/h ft

4. Sebuah tanur berbentuk kubus dengan ukuran masing-masing

sisinya 50 cm terbuat dari bata tahan-api yang tebalnya 10 cm.

Konduktivitas termal 1,04 W/m 0C, dan dan temperatur bagian

dalam tanur 500 0C, sedang bagian luar 50 0C. Hitunglah panas

yang hilang melalui dinding tanur.

Penyelesaian ;

Faktor bentuk total dihitung dengan menjumlahkan masing-

masing faktor bentuk bagian tanur.

Bagian-bagian tanur terdiri 6 dinding, 12 tepi dan 8 sudut.

Faktor bentuk masing-masing bagian :

sudut : S = 0,15 L = 0,15 . 0,1 = 0,15 m

Faktor bentuk total :

S = (6) (2,5) + (12) (0,27) + (8) (0,015)

= 18,36 m

Panas yang hilang melalui dinding :

q = S k ( T1 - T2)

= 18,36 . 1,04 (500 – 50)

q = 8592 W = 8,592 kW

b. Contoh-contoh Soal

1. Tentukan temperatur keadaan

mantap pada titik (1/2,1/2) untuk

konfigurasi dua-dimensi gambar

disamping

107

2. Konfigurasi dua-dimensi

gambar samping. Soal ini dapat

kita pecah menjadi dua sub soal

yang lebih sederhana, dan

temperatur akhir diberikan oleh :

= 1 + 2 dimana = T – (100

F) agar kedua sub soal ini dapat

diselesaikan,

terlebih dahulu mengubah sub soal 1 agar cocok dengan

orientasi yang digunakan, hal ini ditunjukkan pada gambar a.

perhatikan bahwa dalam sistim koordinat yang baru, diperoleh

dengan memutar soal semula 900 pada arah jarum jam.

Tentukan temperatur pada titik (1/4 , 3/4) dan (3/4 , 3/4).

3. Tentukanlah temperatur pada titik (1,1/2) untuk pelat persegi

panjang disamping.

4. Sebuah balok bujur sangkar terbuat dari bata tahan api yang

mempunyai lubang 1 inch di

bagian tengahnya. Temperatur

permukaan dalam 150 0C dan

permukaan luar 30 0C, k = 1,0

W/m C Tentukan perpindahan

108

panas dari permukaan per

meter panjang.

5. Sebuah pelat mempunyai tebal 6 mm dan k = 150 W/m 0C

seperti gambar samping.

Permukaan bagian samping

dan bahwa pelat diisolasi.

Tentukanlah faktor bentuk dan

laju aliran panas jika T1 = 50 0C

dan T2 = 20 0C

6. Tentukanlah laju perpindahan panas per foot panjang pipa

diameter 2 inch dan

bertemperatur 300 0F yang

ditempatkan secara eksentris

dalam sebuah silinder

berdiameter 6 inch dan

bertemperatur 100 0F.

7. Sebuah pipa horisontal diameter 15 cm dan panjang 4 m

dibenamkan di dalam tanah pada kedalaman 20 cm.

Temperatur dinding pipa 75 0C, dan temperatur permukaan

tanah 5 0C. jika Konduktivitas termal tanah 0,8 W/m C hitunglah

panas yang dilepas dari pipa.

8. Sebuah tanur berbentuk kubus dengan sisi luar 35 cm terbuat

dari bata tanahn api. Tebal dindingnya 0,5 cm. Temperatur

bagian dalam 540 0C dan temperatur permukaan luar 90 0C.

Hitunglah aliran panas yang terjadi.

9. Dua buah silinder panjang dengan diameter 7,5 cm dan 2,5

berada dalam media yang mempunyai k = 1,4 W/m C Jarak

antara kedua pusat adalah 10 cm dan temperatur silinder

masing-masing 200 0C dan 35 0C.

Hitunglah laju perpindahan panas per satuan panjang.

109

10.Dua buah pipa dibenamkan di dalam tanah dan dijaga pada

temperatur 300 0C dan 125 0C. Diameter masing-masing pipa

ialah 8 cm dan 16 cm, sedang jarak antara kedua poros 40 cm.

Jika Konduktivitas termal tanah 0,7 W/m 0C, hitung laju

perpindahan panas per satuan panjang.

110