BAB I

PENDAHULUAN

1. Konduksi

Menyebutkan kata konduksi kita segera menghubungkannya

dengan konsep aktivitas atomik dan molekuler, pada batas proses

tersebut dapat membuktikan model perpindahan panas.

Konduksi merupakan suatu proses aliran panas dari daerah

bertemperatur tinggi ke daerah bertemperatur rendah didalam suatu

media (padat, cair atau gas). Konduksi dapat juga dipandang sebagai

perpindahan energi dari partikel yang berenergi tinggi ke partikel

berenergi rendah pada suatu media akibat interaksi antara partikel-

partikel.

Mekanisme fisik konduksi lebih mudah dijelaskan dengan

menggunakan suatu gas dan menggunakan pemahaman yang berlatar

belakang terodinamika.

Jika suatu gas berada pada gradien temperatur dan dianggap tidak terjadi

gerakan borongan (bulk motion). Gas akan menempati ruang diantara

dua permukaan dengan perbedaan temperatur dibuat tetap. Kita

hubungkan temperatur suatu titik dengan menyimpan energi oleh

molekul-molekul gas di sekitar titik tersebut. Energi ini berhubungan

dengan gerakan-gerakan translasi rambang molekul-molekul, maupun

gerakan gerakan berputar dan getaran molekul-molekul.

Semakin tinggi temperatur maka semakin tinggi energi molekul apabila

molekul-molekul yang berdekatan terjadi tumbukan secara konstan akan

terjadi pemindahan energi dari molekul berenergi tinggi ke molekul

berenergi lebih rendah.

Dalam penggambaran gradien temperatur, energi yang

dipindahkan oleh konduksi akan terjadi searah dengan penurunan

1

temperatur. Perpindahan ini dijelaskan pada gambar 1.1. Dianggap

bidang x0 secara konstan dilintasi oleh molekul-molekul dari atas dan

bawah akibat gerakan rambang molekul. Tetapi, molekul-

Gambar 1.1 : Hubungan perpindahan panas konduksi dengan difusi energi akibat aktivitas molekul.

molekul dari atas berhubungan dengan temperatur yang lebih besar

daripada yang dibawah, di mana pada kasus tersebut perpindahan energi

bersih harus pada arah x positif. Akibat hubungan gerakan random ini

perpindahan panas oleh konduksi disebut sebagai difusi energi.

Didalam fluida cair terjadi juga situasi yang sama, konduksi dapat

bersifat aktivitas molekuler dalam bentuk getaran kisis-kisis. Menurut

pandangan modern, perpindahan energi disebabkan oleh gelombang kisi-

kisi yang diinduksi oleh gerakan atomik. Pada bahan non-konduktor sifat

pemindahan energinya melalui gelombang kisi-kisi, pada bahan konduktor

juga disebabkan oleh gerakan translasi elektron-elektron bebas.

2. Hukum Fourier’s

Jika suatu benda terdapat gradien temperatur, maka menurut

pengalaman panas dipindahkan dari daerah bertemperatur tinggi ke

daerah bertemperatur rendah.

2

Perpindahan panas ini berbanding dengan gradien temperatur dan luas

normal yang searah dengan aliran panas.

Suatu titik A dalam bahan seperti yang ditujukkan di dalam gambar

1.2, jika gradien temperatur T / x, maka fluk panas,

Gambar 1.2 : Distribusi dan gradien temperatur pada suatu benda

yaitu perpindahan panas per satuan luas yang searah dengan x dari

gradien temperatur adalah :

Dengan memasukkan konstanta keseimbangan, maka :

..................................................................... (1.1)

atau :

Dimana :

q = laju perpindahan panas

= gradien temperatur

k = konduktivitas termal bahan

3

Sedangkan tanda minus diberikan untuk memenuhi hukum

termodinamika kedua, bahwa panas mengalir searah dengan penurunan

temperatur.

Dengan demikian aliran panas menjadi positif apabila gradien temperatur

negatif, demikian juga jika terjadi sebaliknya. Arah aliran panas tersebut

ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Gambar 1.3 : Arah aliran panas konduksi

3. Konduktivitas Termal

Konduktivitas termal (k) adalah konstanta keseimbangan yang

dapat didefinisikan dari hukum Fourier’s.

Konduktivitas termal merupakan sifat fisik bahan dan sifat kemampuan

bahan memindahkan panas. Setiap bahan mempunyai Konduktivitas

termal yang berbeda dan tergantung pada struktur fisik bahan, berat jenis,

kelembaban, tekanan dan temperatur.

Data Konduktivitas termal dari beberapa bahan dapat dicari pada

tabel (lampiran). Untuk perhitungan penting Konduktivitas termal harus

ditentukan dengan percobaan laboratorium. Jika temperatur dalam bahan

4

bervariasi pada aliran panas yang menyebar, perlu dicari seberapa besar

Konduktivitas termal tergantung pada temperatur.

Beberapa percobaan menunjukkan bahwa untuk sebagian besar bahan

tergantung pada temperatur secara linier.

K = ko (1 + b t) ........................................................... (1.2)

Dimana ko adalah Konduktivitas termal pada 0 0 C dan b adalah konstanta

yang ditentukan dari percobaan.

Untuk perhitungan praktis, Konduktivitas termal biasanya

ditentukan dengan temperatur batas rata-rata aritmatik dari bahan dan

rata-rata aritmatika dianggap konsta.

Berdasarkan persamaan 1.1 satuan Konduktivitas termal dapat

ditentukan :

Faktor konversi :

4. Persamaan Laju Konduksi

5

Walaupun persamaan laju konduksi hukum Fourier telah

disinggung sebelumnya, tetapi sekarang dibahas bagaimana asalnya.

Hukum Fourier merupakan hukum phenomenalogika; hukum tersebut

berasal dari prinsip pertama yang dikembangkan dari pengamatan gejala

yang lebih baik.

Dari sini persamaan laju konduksi kita pandang sebagai suatu hasil

berdasarkan bukti berbagai percobaan.

Sebagai contoh, jika percobaan konduksi seperti gambar di bawah ini.

Gambar 1.4 : Percobaan panas konduksi

Suatu batang silinder dari bahan tertentu yang diisolasi permukaan

luarnya dan perbedaan temperatur pada ujungnya di jaga tetap dengan T1

> T2. Perbedaan temperatur menyebabkan pemindahan panas konduksi

searah x positif. Sehingga kita dapat menentukan laju perpindahan panas

Qx dan kita dapat menentukan seberapa besar ketergantungan Qx pada

variabel-variabel perbedaan temperatur T, panjang batang x dan luas

penampang lintang A.

Pertama kita jaga T dan x tetap konstan dengan A bervariasi

kita dapatkan bahwa Qx berbanding langsung dengan A. dengan cara

yang sama T dan A dijaga tetap konstan dengan x yang bervariasi

dapat dilihat bahwa Qx akan berbanding terbalik dengan x. Kemudian A

dan x dijaga tetap konstan dengan T bervariasi, diperoleh bahwa Qx

berbanding langsung dengan T.

6

Pengaruh-pengaruh tersebut dapat ditulis dalam bentuk

persamaan berikut :

Untuk berbagai bahan yang berbeda keseimbangan di atas tetap

berlaku. Dari bahan yang berbeda dengan nilai A, x, dan T yang sama,

diperoleh nilai Qx yang berbeda.

Ini menunjukkan bahwa kesebandingan dapat merubah suatu persamaan

dengan memasukkan koefisien yang diukur dari sifat-sifat bahan.

Sehingga persamaan diatas menjadi :

Qx = k A

Aliran panas dapat dihitung dengan menggunakan limit x 0

Qx = - k A ...............................................................(1.3)

.......................................................... (1.4)

arah aliran panas untuk suhu dimensi dapat digambarkan dalam sistem

koodinat seperti gambar 1.3.

5. Persamaan Difusi Panas

Sebagian besar objek analisa konduksi ditentukan oleh temperatur

bidang dalam bahan yang dihasilkan dari kondisi yang ditibulkan pada

batas bahan.

Hal tersebut dikenal sebagai distribusi temperatur yang menggambarkan

bagaimana temperatur bervariasi dengan keadaan di dalam bahan.

Kadang-kadang distribusi dikenal dengan laju perpindahan panas pada

suatu titik atau permukaan tersebut yang dapat dihitung dari hukum

Fourier’s.

Kuantitas penting lainnya yang berkaitan dapat ditentukan. Untuk benda

padat, pengetahuan distribusi temperatur dapat digunakan untuk

7

menerangkan integritas struktur melalui penetapan tegangan termal,

pemuaian dan defleksi.

Distribusi temperatur dapat juga digunakan untuk menentukan ketebalan

bahan penyekat atau menentukan penggabungan dari lampiran khusus

atau perekat yang digunakan bersama bahan.

A. Persamaan Umum Konduksi Panas untuk Bahan Anisotropik.

Perhatikanlah suatu elemen kecil dari suatu benda yang berbentuk

pararelpipedum segi empat pada gambar 1.5 elemen tersebut mempunyai

sisi masing-masing dx, dy, dz. Sedangkan temperatur T terletak di pusat

elemen dimana dibangkitkan panas sumber dalam pada laju q’ per satuan

volume, jika pada pusat elemen terdapat sumber panas.

Dimana laju pembangkitan panas persatuan volume q’ dan temperatur T

pada umumnya merupakan fungsi ketiga koordinat x, y, dan z maupun.

Bahan adalah anisotropik, berarti pada arah x, y dan z konduktivitas

termalnya mempunyai nilai masing-masing kx ky dan kz.

Gambar 1.5 : Elemen dalam koordinat Cartesian untuk analisa konduksi panas.

Jika panas masuk dan keluar elemen ini melalui seluruh

permukaan. Kemudian panas masuk elemen per satuan waktu terhadap

luas normal dy dz pada x adalah Qx dan ke luar elemen terhadap luas

normal dy dz pada x + dx adalah Qx+dx.

8

Proses tersebut dapat ditulis dengan persamaan berikut :

Panas masuk :

................................................... (1.5)

Panas keluar :

............... (1.6)

Persamaan 1.6 di atas dapat dilukiskan secara grafis dalam gambar 1.6.

Gambar 1.6 : Perubahan laju perpindahan panas sebagai fungsi jarak.

Kemudian dari persamaan 1.5 dan 1.6, kita dapatkan aliran panas bersih

di dalam elemen per satuan waktu pada arah x.

.................... (1.7)

Dengan cara yang sama untuk arah y dan z :

.......................... (1.8)

.............................. (1.9)

9

Kemudian aliran panas konduksi ke dalam elemen dari seluruh

arah dalam waktu tertentu adalah :

............ (1.10)

Jika panas bersih yang dibangkitkan di dalam elemen tersebut dalam

waktu T yang sama adalah :

q’ dxdydzT

Panas yang diperoleh elemen akan menghasilkan penimbunan energi

dan menaikkan temperatur. Kenaikan temperatur sangat tergantung pada

kapasitas panas elemen. Jika dT adalah kenaikkan temperatur dalam

waktu T, penimbunan panas bersih dari elemen dalam waktu T adalah :

cdT dxdydz

dimana :

adalah densitas bahan

c adalah panas jenis bahan

Sehingga dapat kita gunakan keseimbangan energi pada elemen yaitu:

Panas bersih yang dikonduksikan ke dalam elemen dari seluruh

arah + panas yang dibangkitkan di dalam elemen = energi yang

ditimbun dalam elemen.

Dengan mensubtitusikan nilai-nilai dalam persamaan sebelumnya ke

dalam persamaan 1.10 dan membaginya dengan dxdydz T, maka :

atau :

........................ (1.11)

Persamaan 1.11 di atas merupakan persamaan umum konduksi panas

tiga dimensi dalam koordinat Cartesian untuk bahan anisotropik.

10

B. Persamaan Umum Konduksi Panas untuk Bahan Isotropik.

Jika suat bahan isotropik atau bahan yang bersifat homogen

dengan Konduktivitas termal konstan kx=ky=kz=k, (bukan merupakan

fungsi temperatur).

............................ (1.12)

atau :

dimana besaran = k / c disebut difusivitas termal bahan.

Makin besar nilai , makin cepat panas membaur dalam bahan tersebut.

Nilainya yang besar dapat disebabkan salah satu faktor berikut :

- nilai Konduktivitas termal yang tinggi menunjukkan laju

perpindahan energi yang pesat ;

- nilai kapasitas panas termal yang rendah.

Nilai kapasitas panas yang rendah diserap dan digunakan menaikkan

temperatur jumlahnya sedikit, jadi energi yang dipindahkan masih lebih

besar.

Jika sistimnya tidak mempunyai sumber panas, maka persamaan

1.12 berubahn menjadi persamaan Fourier’s.

........................................ (1.13)

C. Bentuk-bentuk Sederhana Persamaan Konduksi.

Dalam beberapa kondisi khusus persamaan umum konduksi

panas dapat diturunkan menjadi bentuk yang lebih sederhana.

- Jika sistimnya steadi, tetapi terdapat sumber panas maka persamaan

(1.12) menjadi persamaan poison :

11

.......................................(1.14)

- Keadaan steadi terjadi distribusi temperatur di dalam bahan tanpa

sumber panas, maka persamaan 1.12 menjadi bentuk persamaan

Laplace :

............................................... (1.15)

Persamaan-persamaan umum konduksi panas dapat digunakan

untuk menyelesaikan persoalan-persoalan dalam bentuk satu dimensi

atau dua dimensi menjadi bentuk persamaan yang lebih sederhana

lainnya.

D. Persamaan Umum Konduksi Panas dalam Koordinat Silinder.

Untuk benda yang berbentuk silinder dapat dianalisa dengan cara

yang sama dalam sistem koordinat silinder. Perhatikan suatu volume

elemen yang dibentuk oleh dr, do dan dz. Sisi keenam permukaan

dibentuk masing-masing oleh rd, dr dan dz.

Laju perpindahan panas normal ke permukaan pada r dan r + dr

adalah :

Qr = -k (rddz)

Laju pemindahan panas pada arah r adalah :

.....................................................(1.16)

12

Gambar 1.7 : Volume elemen dalam koordinat silinder untuk analisa konduksi panas.

Dengan cara yang sama, maka laju perpindahan panas pada arah

dan d adalah :

Laju perpindahan panas pada arah :

.................................... (1.17)

Sedangkan laju perpindahan panas pada arah z dan z + dz juga dapat

ditentukan :

Laju perpindahan panas pada arah z adalah :

........................................ (1.18)

13

Laju pembangkitan panas oleh sumber dalam :

q’ (rddrdz)

Laju perubahan penimbunan energi :

Keseimbangan panas pada elemen didapat dengan menjumlahkan

persamaan-persamaan di atas, sehingga :

........................... (1.19)

Untuk bahan isotropik dengan Konduktivitas termal konstan, persamaan

1.19 menjadi :

.................. (1.20)

Perpindahan panas konduksi dalam keadaan steadi, maka persamaan

1.19 menjadi :

..........................(1.21)

Jika perpindahan panas hanya pada arah radial di dalam silinder, maka:

.................................................... (1.22)

E. Persamaan Umum konduksi Pada Koordinat Bola

Suatu sistem koordinat bola dengan r merupakan jarak dari

sumber, merupakan ukuran lebar dan adalah azimut.

14

Gambar 1.8 : Volume elemen pada koordinat bola untuk analisa konduksi panas.

Suatu volume elemen kontrol yang dibentuk oleh persamaan kecil tak

terhingga dr, d dan d oleh sisi dr; rd dan r sin d. dengan analisa

seperti cara sebelumnya, maka persamaan umum konduksi panas untuk

Konduktivitas termal konstan pada koordinat bola adalah :

...................................... (1.23)

6. Kondisi Awal dan Kondisi Batas

Persoalan-persoalan konduksi panas dapat diselesaikan dengan

menggunakan persamaan diferensial. Setelah dicari penyelesaian umum

dari persamaan diferensial, nilai-nilai konstanta dapat ditentukan. Untuk

tujuan tersebut kita memerlukan data tertentu dalam bentuk kondisi awal

dan kondisi batas. Suatu kondisi awal meliputi pengetahuan distribusi

temperatur di dalam benda pada waktu t = 0.

Tiga kondisi batas penting yang umum dijumpai dalam

perpindahan panas dapat dilihat pada tabel 1.1. Kondisi ini khusus pada

permukaan x = 0 untuk sistem satu dimensi.

15

Perpindahan panas dalam arah x positif dengan distribusi

temperatur yang mana tergantung pada waktu digambarkan sebagai T

(x,t).

Tabel 1.1 : Kondisi batas untuk persamaan difusi panas pada

persamaan (x = 0)

1. Temperatur permukaan konstan

2. Fluk panas persamaan konstan

3. Kondisi persamaan konveksi

Kondisi pertama berhubungan dengan situasi untuk persamaan yang

dijaga tetap atau temperatur Ts konstan.

Kondisi kedua berhubungan dengan adanya fluk panas qx pada

persamaan yang dijaga tetap atau konstan. Fluk panas ini berhubungan

dengan gradien temperatur pada persamaan :

Untuk masalah khusus kondisi ini dihubungkan dengan persamaan yang

diisolasi secara sempurna atau persamaan adiabatik untuk

T/x x=0 = 0

Kondisi ketiga dihubungkan dengan adanya pemanasan ataupun

pendinginan koveksi pada persamaan.

16

7. Contoh Soal dan Latihan

A. Contoh-contoh soal

1. Dinding suatu tungku terbuat dari batu

tahan api setebal 0,15 m mempunyai

Konduktivitas termal 1,7 W/m K

pengukuran yang dilakukan pada kondisi

steadi dengan temperatur permukaan

dalam luar dinding masing-masing 1400 K

dan 1150 K. tentukan laju kerugian panas

melalui dinding yang berukuran 0,5 x 3 m.

Penyelesaian :

2. Suatu dinding datar setebal 100 m mempunyai Konduktivitas termal

100 W/m K. Proses perpindahan panas pada kondisi steadi dengan

temperatur T1 = 400 K dan temperatur T2 = 600 K.

tentukan fluk panas dan gradien temperatur untuk sistem koordinat

gambar a dan b.

Penyelesaian :

17

Persamaan laju pemindahan panas :

Gradien temperatur :

Fluk panas yang terjadi :

- untuk gambar a :

qx = (-100) . 2000 = - 200 kW/m2

- untuk gambar b :

qx = (-100) . ( -2000 ) = 200 kW/m2

3. Distribusi temperatur melintang suatu dinding setebal 1 m pada waktu

tertentu diberikan seperti :

T (x) = a + bx + cx2

Dimana T dalam 0C dan x dalam m, sedangkan a = 900 0C, b = - 300 0C/m, dan c = - 50 0.

Panas yang dibangkitkan seragam q’ = 1000 W/m3 berada dalam

dinding seluas 10 m2 mempunyai sifat = 1600 kg/m2 k = 40 W / m K

dan cp = 4 kJ / kg K.

Tentukan :

a. Laju pemindahan panas memasuki dinding (x = 0) dan

meninggalkan dinding (x = 1 m)

b. Laju perubahan penimbunan energi dalam dinding

c. Laju waktu perubahan temperatur pada x = 0, x = 0,25 dan x =

0,25 m

Penyelesaian :

18

a. Laju pemindahan panas konduksi

pada suatu titik dalam bahan

dapat menggunakan hukum

Fourier. Laju panas yang

dimaksud dapat ditentukan

dengan menggunakan distribusi

temperatur awal dengan

persamaan :

Qin = - bkA

= - ( - 300 ) . 40 . 10

= 120 kW

Qout = Qx (L) = -kA x =1

= - kA (b + 2cx) x=1

= - kA (b + 2cL)

= - 40 . 10 (-300 + 2. – 50.1)

= 160 kW

b. Laju perubahan penimbunan energi dalam dinding

Est = Ein + Ex – Eout

Qst = Qin + q AL – Qout

= 120 + 1. 10. 1 – 160

= - 30 kW

c. Laju Waktu perubahan temperatur :

19

B. Soal Latihan

1. Tentukan pengaruh ketergantungan temperatur dari Konduktivitas

termal pada distribusi temperatur dalam benda padat, jika suatu bahan

ketergantungan ini digambarkan sebagai : k = ko + a T

Dimana ko adalah konstanta positif,

a adalah koefisien dapat positif atau negatif Bagan distribusi

temperatur kondisi tetap, dihubungkan dengan perpindahan panas

bidang datar untuk kasus a > 0 ; a = 0 dan a < 0.

2. Di dalam suatu silinder reaktor nuklir terjadi pembangkitan panas

dalam yang seragam q’ = 5.107 W /m3, diameter batang bahan bakar

50 mm dan dibawah kondisi mantap bentuk distribusi temperatur

adalah :

T (r) = a + br2

dimana T dalam 0C, dan r dalam meter.

Sedangkan a = 800 0C dan b = - 4,167 . 105 C/m2

Sifat batang bahan bakar k = 30 W /m 0K ;

= 1100 kg/m3

cp = 800 J/kg 0K

Tentukan :

a. Laju pemindahan panas per satuan panjang batang pada r = 0 dan

r = 25 mm

20

b. Laju waktu perubahan temperatur awal pada r = 0, dan r = 25 mm

jika tenaga reaktor meningkat secara tiba-tiba menjadi q’ = 108

W/m3.

3. Distribusi temperatur kondisi mantap pada dinding satu dimensi

dengan Konduktivitas termal k = 50 W / m 0K, dan tebal dinding 50 mm

adalah T (0C) = a + bx2

Dimana a = 200 0C dan b = -2000 0C/m2 serta x dalam meter

Tentukan : a. Laju panas yang dibangkitkan di dalam dinding

b. Fluk panas pada kedua permukaan dinding.

4. Turunkan persamaan :

5. Turunkan persamaan analitik yang menunjukkan distribusi temperatur

T (x) pada dinding datar seperti pada gambar di bawah yang

mempunyai temperatur permukaan konstan yaitu T1 pada x1 dan T2

pada x2.

Konduktivitas termalnya berubah secara linier dengan temperatur.

6. Jelaskan (terangkan) bahwa faktor konversi berikut :

a. 1 Btu / ft2 hr = 3,1525 W/m2

b. 1 Btu/hr = 0,292875 W

c. 1 Btu / hr ft 0F = 1,729 W/m 0K

21