Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idDeterminanAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idDeterminan Matrik 2x2bc add cb aA

,_

1]1

det ) det(Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkarLambang determinan matrik A adalah detA! atau |A| "engan menggunakan determinan matrik #$# ini% akan dide&inisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besarAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idDeterminan Matrik 3x333 21 12 32 23 11 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 1133 32 3123 22 2113 12 11) det( a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a aa a aa a aA + + detA!') ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 (31 22 32 213 113 31 23 33 212 112 32 23 33 221 111a a a a a a a a a a a a a a a + + + + +detA!'32 3122 21 3 11333 3123 21 2 11233 3223 22 1 111) 1 ( ) 1 ( ) 1 (a aa aaa aa aaa aa aa+ + + + + detA!' ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 (31 12 32 113 223 31 13 33 112 222 32 13 33 121 221a a a a a a a a a a a a a a a + + + + +detA!' 32 3112 11 3 22333 3113 11 2 22233 3213 12 1 221) 1 ( ) 1 ( ) 1 (a aa aaa aa aaa aa aa+ + + + + "ari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idMinor dan Kofaktor"e&inisi: Misalkan An$n'(aij)% maka minor dari aij % yang dilambangkan oleh Mij% adalah determinan dari sub matrik A yang diperoleh dengan cara membuang semua entri pada baris ke-i dan semua entri pada kolom ke-j. Kofaktor dari aij% yang dilambangkan oleh *ij% adalah -+!i+jMij. Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idContoh Minor dan Kofaktor111]1

4 5 42 1 01 3 2A144 52 111 M42 01 232 M225 43 223 M14 ) 1 (111 111 +M C 4 ) 4 ( ) 1 (322 332 +M C22 ) 1 (233 223 +M CAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idEkspansi KofaktorMisalkan An$n'(aij) determinan dari A:detA! ' ai+*i+ , ai#*i#, , ain*in-karena baris ke-i menjadi acuan. tetap% disebut: ekspansi ko&aktor sepanjang baris ke-i/ataudetA! ' a+j*+j , a#jC#j, , anj*nj-karena kolom ke-j menjadi acuan. tetap% disebut: ekspansi ko&aktor sepanjang kolom ke-j/Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idContoh Determinan 1111]1

1 3 56 5 04 3 2A1646 54 3) 1 )( 5 ( ) 1 ( 01 36 5) 1 ( 2 ) det(1 3211 2 1 1 + + + + +M AAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idContoh Determinan 21111]1

1 2 4 33 2 0 20 1 1 30 2 0 0B13 13 14 13 12 112 2 0 2 0 0 ) det( M C C C C C B + + + 474 31 3) 1 ( 31 40 1) 1 ( 21 4 33 0 20 1 33 2 1 213 + + +MdetB! ' #-01! ' - 20 Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idifat!sifat determinan+. detA3!'detA!det3!#. detA4!'detA!5. 6ika A matrik diagonal% maka detA!'a++a##...ann -perkalian dari semua entri pada diagonal utama/0. 6ika A matrik segitiga% maka detA!'a++a##...ann -perkalian dari semua entri pada diagonal utama/7. 6ika An$n% maka detkA!'kndetA!8. detA-+!'+.detA!1. 6ika A memuat baris nol atau kolom nol% maka detA!'9Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idifat!sifat determinan:. 4erhadap operasi baris elementer% determinan mempunyai si&at% sebagai berikut:a. 6ika A; diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k9% maka detA;!'k detA!b. 6ika A; diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris% maka detA;! ' - detA!c. 6ika A; diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain% maka detA;!'detA!2. 6ika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan% maka detA!'9Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id"ed#ksi $aris"engan menggunakan si&at ke : dan 0% maka dapat mempermudah dalam menghitung determinan% dengan cara mengubah bentuknya menjadi matrik segitigaAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idContoh "ed#ksi $aris111]1

1 3 56 5 04 3 2AdetA! 1 32 1 3 56 5 04 3 2b b + 3 12% 3 16 5 04 3 2 b b+ 2 12% 3 16 5 022 % 0 b b+ 1 25% 3 16 5 034 1 0b b 13% 3 1164 0 034 1 0bb 2334 1 0164 0 0% 3 1bb 164 0 034 1 0% 3 1) ( 164 ) 164 ( 1 ) 1 )( ( Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idKom&inasi "ed#ksi $aris dan Ekspansi Kofaktorah ini% menggunakan metode campuran% yaitu gabungan metode reduksi baris dan ekspansi ko&aktor.1111]1

4 3 3 22 5 4 30 0 2 31 0 4 31111]1

0 2 3 20 4 3 02 0 11 0 5 5411111]1

3 2 1 22 4 3 22 1 2 11 1 1 15. "iketahui matrik A dan 3 berordo 0$0% detA!' - +# dan det3!'5.0% hitunglah: detA#3A-+353-5!Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id(antan)an 312 i h gf e dc b ai h gf e dc b a2 2 2c b ai h gf e df c e b d ai h gc b a+ + +f i e h d gc b af e d2 2 2 i h gc f b e a dc b a2121212 2 23 3 3 + + +% hitunglah 0. 6ikaAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id+d,oin"e&inisi: Misalkan An$n'(aij)% Cij adalah ko&aktor dari entri aij% matrik:disebut matrik ko&aktor. 4ranspos matrik ko&aktor A disebut matrik adjoin A ditulis adjA!.1111]1

nn n nnnC C CC C CC C C 2 12 22 211 12 11Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idContoh +d,oin111]1

4 5 40 2 33 2 1A111]1

4 % 63 16 237 12 *adjA! ' 111]1

4 3 7% 16 126 23 *Matrik ?o&aktor A 'Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id-#m.ah perka.ian Entri dan Kofaktor tak se.etak111]1

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA111]1

13 12 1123 22 2113 12 11/a a aa a aa a aAb+ ' a++C5+ , a+#C5# , a+5C55 b# ' a++C5+ , a+#C5# , a+5C55b+'b# b#'detA!detA!'9b+'9 Dengan cara yang sama, kenyataan tersebut dapat dikembangkan untuk matrik nxn, sehingga Jumlah perkalian entri dan kofaktor yang tak seletak = nolAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id+ dika.i ad,(+)1111]1

1111]1

nn n nnnnn n nnnC C CC C CC C Ca a aa a aa a aA A 2 12 22 121 21 112 12 22 211 12 11) ( ad,11111111]1

nknk nknkk nknkk nknknk knkk knkk knknk knkk knkk kC a C a C aC a C a C aC a C a C a1 12111212 211 21112 111 1 bij'jn in j i j inkjk ikC a C a C a C a + + + 2 2 1 11 bij' 6ika ij% maka bij'96ika i'j% maka bij'detA!Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id0n1ers Matrik d)n +d,oinA adjA!'I AAAA) det() det( 0 00 ) det( 00 0 ) det(1111]1

A adjA!'detA!I IAA A ) det(1) ( ad,I AAA A A1 1) det(1) ( ad, ) ( ad,) det(1 1AAA 6ika detA!9% makaAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idContoh 0n1ers d)n +d,oin111]1

4 5 40 2 33 2 1A1 31 2434 5 40 2 33 2 1) det(b bb b A+ 16 3 0% 4 03 2 1 3716 3% 41 ) () det(11A adjAA 111]1

4 3 7% 16 126 23 *3711111]1

37437337737 %37163712376372337*'''' Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id+t#ran CramerB AAX ) ( ad,) det(11111]1

1111]1

n nn n nnnbbbC C CC C CC C CAX 212 12 22 121 21 11) det(11111]1

+ + ++ + ++ + +nn n n nn nn nC b C b C bC b C b C bC b C b C bAX 2 2 1 12 22 2 12 11 21 2 11 1) det(11111]1

nxxxX21) det(1AC bxniij ijX=A-1B11111]1

+ + + nn j n n j n n nn j jn j jja a b a a aa a b a a aa a b a a aA ) 1 ( ) 1 ( 2 12 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 22 211 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11niij i jC b A1) det() det() det(AAxjjAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.idContoh +t#ran Cramer2 3 21 3 2 34 3 2 + + + + z y xz y xz y x111]1

111]1

111]1

2143 1 23 2 31 3 2zyx3 23 1233 1 23 2 31 3 2b bb b++ 3 1 2% 0 7* 0 420% 7* 4) 1 )( 1 ( detA!'''3 23 1233 1 23 2 11 3 4b bb b++3 1 2% 0 5* 0 1050% 5* 10) 1 )( 1 ( detA$!'''2122050) det() det( AAxxAljabar Linier - Mahmud 'Imrona - mhd@stttelkom.ca.id(antan)an 44entukan solusi dari persamaan-persamaan di ba>ah ini% menggunakan metode: A.