HUBUNGAN TITIK DAN LINGKARAN

Oleh : Saptana Surahmat

Sebagaimana kita ketahui, dalam tata surya kita terdapat sembilan planet yag beredar pada orbitnya masing-masing. Orbit planet adalah lintasan planet dalam rangka mengitari Matahari. Bumi merupakan salah satu dari planet yang dimaksud. Bila matahari dianggap sebagai pusat orbit bumi, maka bumi terletak pada orbit tersebut. Sedangkan planet Venus dan planet Mars berada di luar orbit Bumi. Dalam hal ini, sesuai dengan informasi dari para pakar Astronomi, planet Venus berada di dalam orbit Bumi. Sedangkan planet Mars berada di luar orbit Bumi.

Bila matahari dan planet-planet tersebut digambarkan sebagai titik-titik, maka hubungan Matahari, planet Venus, planet Mars dan planet Bumi dengan orbitnya dapat digambarkan sebagai berikut.

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA 1

Uraian berikut akan membahas secara lebih dalam tentang hubungan titik dan lingkaran seperti yang ditunjukan melalui gambar di atas.

Posisi Titik Terhadap Lingkaran Ada tiga kemungkinan posisi suatu titik terhadap lingkaran:

1. Terletak pada lingkaran

Suatu titik dikatakan terletak pada lingkaran jika nilai x dan y dari koordinat titik tersebut serta r memenuhi hubungan : a. x2 + y2 = r2, atau b. (x a)2 + (y b)2 = r2, atau c. x2 + y2 + Ax + By + C = 0

2. Terletak di dalam lingkaran

Suatu titik dikatakan terletak di dalam lingkaran, jika nilai x dan y dari koordinat titik tersebut serta r memenuhi hubungan : a. x2 + y2 < r2, atau b. (x a)2 + (y b)2 < r2, atau c. x2 + y2 + Ax + By + C < 0

3. Terletak di luar lingkaran

Suatu titik dikatakan terletak di luar lingkaran, jika nilai x dan y dari koordinat titik tersebut serta r memenuhi hubungan :

a. x2 + y2 > r2, atau b. (x a)2 + (y b)2 < r2, atau c. x2 + y2 + Ax + By + C < 0

Contoh 1.

Tanpa menggambar pada bidang kartesius tentukan posisi titik A(1, 2) terhadap lingkaran :

a. x2 + y2 = 9 b. (x 2)2 + (y + 1)2 = 10 c. x2 + y2 + 6x 2y + 3 = 0

Penyelesaian :

a. Titik A(1, 2) dan L x2 + y2 = 9

Subtitusi A(1, 2) ke L x2 + y2 = 9 diperoleh 12 + 22 = 5 < 9.

Dengan demikian titik A(1, 2) terletak di dalam lingkaran L x2 + y2 = 9.

b. Titik A(1, 2) dan L (x 2)2 + (y + 1)2 = 10

Subtitusi A(1, 2) ke L (x 2)2 + (y + 1)2 = 10 diperoleh (1 2)2 + (2 + 1)2 = 10 = 10.

Dengan demikian titik A(1, 2) terletak pada lingkaran L (x 2)2 + (y + 1)2 = 10.

c. Titik A(1, 2) dan L x2 + y2 + 6x 2y + 3 = 0

Subtitusi A(1, 2) ke L x2 + y2 + 6x 2y + 3 = 0 diperoleh 12 + 22 + 6.1 2.2 + 3 = 10 > 0.

Dengan demikian titik A(1, 2) terletak di luar lingkaran L x2 + y2 + 6x 2y + 3 = 0.

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA 2

Jarak Titik Terhadap Lingkaran

Setelah posisi titik suatu terhadap lingkaran diketahui, tidak jarang kita juga butuh informasi tentang seberapa jauh jarak titik tersebut terhadap lingkaran. Untuk itulah, pembahasan selanjutnya akan difokuskan pada masalah tata cara dan rumus-rumus yang dapat digunakan menghitung jarak dimaksud.

1. Titik di luar lingkaran

Jarak terdekat titik A dengan lingkaran = AB

AB = AP PB = AP r

Jarak terjauh titik A dengan Lingkaran = AC

= = 2 2 2 2AC (AP) (PC) (AP) r

dengan r = jari-jari lingkaran.

2. Titik di dalam lingkaran

Jarak terdekat titik A dengan lingkaran = AB

AB = PB AP = r AP

Jarak terjauh titik A dengan Lingkaran = AC

AC = CP + AP = r + AP, dengan r = jari-jari lingkaran.

Contoh 2.

Diberikan titik A(6, 8) dan L x2 + y2 = 49. Hitunglah jarak terdekat titik A ke lingkaran L !

Penyelesaian :

Mula-mula kita harus mengetahui posisi titik A terhadap lingkaran L dengan cara mensubtitusi titik A(6, 8) ke L x2 + y2 = 49, diperoleh :

A(6, 8) x2 + y2 = 49 62 + 82 = 100 > 49 jadi titik A berada di luar lingkaran.

Jarak terdekat = AP r = + 2 2(6 0) (8 0) 7 = + 36 64 7 = 100 7 = 10 7 = 3

Jadi jarak terpendek titik A ke lingkaran L adalah 3 satuan panjang.

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA 3

Soal Latihan

Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !

1. Tentuan posisi titik (4, 4 3 ) terhadap lingkaran yang berpusat di O(0 , 0) dan berjari-jari 8 !

2. Tentuan posisi titik (-5, 2) terhadap lingkaran (x 1)2 + (y 2)2 = 16 !

3. Tentuan posisi titik (-2, -1) terhadap lingkaran x2 + y2 + 4x 8y 5 = 0

4. Tentukan nilai p jika titik (-5, p) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x 5y 21 = 0 !

5. Berapakah jarak terpendek antara titik (7, 4) dengan lingkaran x2 + y2 + 3x 7y 18 = 0.

6. Tentukan jarak terjauh titik P(3, 2) ke L (x 2)2 + (y 1)2 = 32 !

7. Tentukan panjang garis singgung dari titik P(5, -2) ke L x2 + y2 2x 8y 10 = 0 !

8. Panjang garis singgung yang ditarik dari titik R(4, 5) terhadap lingkaran L x2 + y2 + 2kx = 0 sama dengan satu satuan panjang. Hitunglah nilai k !

Daftar Pustaka

Auvil, Daniel L, (1985), Elementary Algebra, Canada: Addison-Wesley

Djumanta, Wahyudin, 2008, Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : Untuk Kelas XI SMA/MA, Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Kartini, dkk., (2005), Matematika untuk SMA Kelas XI, Bandung: PT Intan Pariwara

Lestari, Tita, dkk, (2003), Matematika 2A, Bandung: PT Remaja Rosdakarya

Mulyati, Yanti, dkk, (2005), Matematika untuk SMA dan MA program studi Ilmu Alam, Jakarta: Penerbit Piranti Darma Kalokatama

Negoro, ST, B. Harahap, (1998), Ensiklopedia Matematika, Jakarta: Ghalia Indonesia

Soedyarto, Nugroho, 2008, Matematika 2 Untuk SMA/MA Kelas XI Program IPA, Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono, (2007), Matematika untuk SMA 2A Kelas XI IPA Semester 1, Jakarta: Penerbit Erlangga.

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA 4