kelas xi mia peminatan. parabola parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama...

Kelas XI MIA Peminatan

Disusun :

Markus Yuniarto, S.Si

Tahun Pelajaran

2017 – 2018

SMA Santa Angela Bandung

2

Marcoes XI MIA Peminatan

Peta Konsep


3


Glosarium

Istilah Keterangan

Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang

memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu.

Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran.

Jari jari

lingkaran

Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik

pada lingkaran dan titik pusat lingkaran.

Ellips Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang

jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap

besarnya.

Parabola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang

memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu

dan suatu garis tertentu pula. Titik itu disebut

fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis

arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis

jika diketahui garis arah dan titik fokus yang

terletak pada suatu garis.

Hiperbola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang

selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap

besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik

Fokus Hiperbola.


4


Irisan Kerucut

Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola

A. Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)

Luas lingkaran = π.r2 (r = jari-jari) Ex. 1: Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/irisan_kerucut.jpg


5


Persamaan lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r Ex. 2: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan : a. Berjari-jari 2 b. Melalui titik A(3, 4)

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/lingkaran.jpg


6


Persamaan lingkaran berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r

Ex. 3 : Tentukan persamaan lingkaran jika : a. Berpusat di titik P(3, 2) dan berjari-jari 4 b. Berpusat di titik Q(2, -1) dan melalui titik R(5, 3)


7


B.Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)

Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c

Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1

Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah. Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips

disebut sumbu mayor Pusat elips adalah titik tengah F1 dan F2 Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan

memotong elips disebut sumbu minor

Luas Elips = π.a.b (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal) Perhatikan unsur-unsur elips a). Elips dengan titik pusat O(0, 0)


8


6. Eksentrisitas a

ce

7. Persamaan direktris : d1 = x = e

apx

e

ap 2ddan

b). Elips dengan titik pusat P(p, q) 1. Titik fokus : F1(p – c, q) dan F2(p + c, q)

2. Titik puncak : A1(p – a, q) dan A2(p + a, q) 3. Sumbu mayor : A1A2 dengan panjnag 2a 4. Sumbu minor : B1B2 dengan panjang 2b 5. Panjang latus rectum L1L2 = 6. TF1 + TF2 = 2a

7. Eksentrisitas a

ce

8. Persamaan direktris : d1 = x = e

apx

e

ap 2ddan

Ex. 4 : Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3,0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

a

b22

a

b22


9


Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/elips.jpg

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/elips2.jpg


10


Persamaan Elips 1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0, 0)

, dengan a2 > b2

atau

22

2

2

2

2

dengan,1 baa

y

b

x

)0,(1 aA

),0(1 bB

),0(2 bB

),( yxT

)0,(2 aA

22)( ycx 22)( ycx 22)( ycx

22)( ycx

12

2

2

2

b

y

a

x


11


Ex. 5 : Tentukan persamaan elips dengan titik puncak P(13, 0) dan fokus F1(-12, 0) dan F2(12, 0) Ex. 6 :

Diketahui persamaan elips 11625

22

yx

. Tentukan :

a. Titik titik puncaknya b. Titik focusnya c. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor


12


Ex. 7 : Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0, 0), dengan salah satu

focusnya )0,3( dan panjang sumbu mayor 4 satuan. Kemudian lukis

grafiknya.

2. Persamaan Elips yang Berpusat di P(h, k) Persamaan : atau

Ex. 8

Diketahui elips dengan persamaan 19

)4(

25

)1( 22

yx

. Tentukan :

a. Pusat elips b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus d. Koordinat titik puncak

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx


13


Ex. 9

Diketahui elips dengan persamaan 0144724894 22 yxyx .

Tentukan : a. Pusat elips b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus d. Koordinat titik puncak Ex. 10

Diketahui elips dengan persamaan 09684 22 yxyx .

Tentukan : a. Pusat elips b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus d. Koordinat titik puncak Ex. 11

Diketahui elips dengan persamaan 2 24 9 16 18 11 0x y x y

Tentukan : a. Pusat elips b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus d. Koordinat titik puncak


14


Persamaan Garis Singgung a. Persamaan Garis singgung melalui titik ),( 11 yx pada elips

Ex. 12 Tentukan PGS elips berikut :

a. 12128

22

yx

pada titik A(4, 3)

b. 19

)2(

18

)1( 22

yx

pada titik B(5, -3)

ataub

yy

a

xx1

2

1

2

1 2

1

2

1 ))(())((

b

nyny

a

mxmx


15


b. Persamaan Garis singgung pada Elips dengan Gradien Tertentu 1). Untuk Elips dengan Pusat O(0,0)

Garis : y = mx + n dan elips 12

2

2

2

b

y

a

x, sehingga PGS:

222 bmamxy

atau elips 12

2

2

2

a

y

b

x, sehingga PGS : 222 ambmxy

2). Untuk lips dengan Pusat P(h, k)

a. Untuk elips 1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx dengan gradien m

PGS : 222)( bmahxmky

b. Untuk elips 1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx dengan gradien m

PGS : 222)( ambhxmky

Ex. 13 Tentukan PGS pada elips :

a. 149

22

yx

yang gradiennya 3

2

b. 0483043 22 yxyx yang sejajar garis x – 2y + 3 =


16


Latihan 1

1. Tentukan kedudukan garis-garis berikut terhadap elips 1925

22

yx

a. 4y – 3x – 9 = 0 b. 7y – 8y – 56 = 0 c. x – 5 = 0

2. Tentukan nilai k sehingga garis y + x + k = 0 menyinggung elips

1520

22

yx

.

3. Diketahui persamaan elips 0284100322516 22 yxyx .

Tentukan kedudukan garis 3y – 4x – 2 = 0 terhadap elips tersebut. 4. Tentukan PGS pada elips di bawah ini yang melalui titik yang

ditentukan.

a. 3603610 22 yx di titik A(10, 0)

b. 1916

22

yx

di titik B(0, 9)

c. 116

)4(

9

)3( 22

yx

di titik C(3, 4)

5. Tentukan PGS pada elips :

a. 189

22

yx

dengan gradien – 2

b. 198

22

yx

yang sejajar garis y = 3x – 7

c. 01645036259 22 yxyx dengan gradien 2

1

d. 01601625 22 yyx yang sejajar dengan garis 2y – 3x + 1 = 0


17


B. Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.

Titik itu disebut fokus/titik api (F) Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut

sumbu simetri parabola Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak

parabola Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum →

tegak lurus dengan sumbu simetri

Ex. 1: Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/parabola2.jpg


18


Hiperbola (1) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap

Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)

Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c

(2) Hiperbola adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F1 dan F2) Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut sumbu transvers

(sumbu utama)/ sumbu nyata Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola (P) Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut

sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak

hiperbola

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/parabola.jpg


19


Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum

Ex. 2: Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0), dan asimtot y = ± ½√2 x

Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6), dan asimtot y = ± ½√2 x

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/hiperbola.jpg

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/hiperbola2.jpg


20


Persamaan

Tips! Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/tabel_persamaan1.jpg


21


Pada persamaan Lingkaran: koefisien x2 dan y2 sama Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya

kuadrat (x2 saja atau y2 saja) Pada persamaan Elips: koefisien x2 dan y2 bertanda sama (sama-

sama positif atau sama-sama negatif) Pada persamaan Hiperbola: koefisien x2 dan y2 berbeda tanda

(salah satu positif, yang lain negatif)

Ex. 3 :

3x2 + 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran 3x2 + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola 3x2 + y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Elips 3x2 – 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola

Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut

Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut:

1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0 2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:

→ Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut → Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut tersebut → Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut Ex. 4: Tentukan kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x2 + y2 + 6x + y = 5 Cara:


22


3x2 + y2 + 6x + y – 5 = 0 Ruas kiri: 3.52 + (–1)2 + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100 → 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut

Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut

Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut:

1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = … 2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan

kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat. 3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut

(Ingat! D = b2 – 4.a.c)

→ Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut → Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik → Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik Ex. 5 : Tentukan kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x2 + 3y + 6x = 5 Cara: Garis: x = 4 – 2y 3(4 – 2y)2 + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0 3(16 – 16y + 4y2) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0 48 – 48y + 12y2 + 3y + 24 – 12y – 5 = 0 12y2 – 57y + 67 = 0 D = b2 – 4.a.c = (–57)2 – 4.12.67 = 33 Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut


23


Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung dengan gradien m

Persamaan garis singgung pada titik (x1, y1) → selalu gunakan sistem bagi adil: (…)2 menjadi (…).(…) (…) menjadi ½ (…) + ½ (…) Pada salah satu (…) akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui → masukkan titik ke persamaan hasil bagi adil

1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis singgung

2. Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polar

Potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik potong Masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/tabel_pgs.jpg


24


Ex. 6 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13 pada titik (2, 1) Cara: (2, 1) terletak pada lingkaran (22 + 12 + 4.2 = 13) Persamaan bagi adil: x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9 Masukkan (2, 1) sebagai x1 dan y1: 2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9 4x + y – 5 = 0 → persamaan garis singgung Ex. 7 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13 pada titik (4, 1) Cara: (4, 1) terletak di luar lingkaran (42 + 12 + 4.4 = 33 > 16) Persamaan bagi adil: x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9 Masukkan (4, 1) sebagai x1 dan y1: 4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9 6x + y – 1 = 0 → persamaan garis polar y = 1 – 6x Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran: x2 + (1 – 6x)2 + 4x – 13 = 0 x2 + 1 – 12x + 36x2 + 4x – 13 = 0 37x2 – 8x – 12 = 0


25


Gunakan rumus abc:

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/picture1.gif


26


Masukkan (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan hasil bagi adil

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/11/picture2.gif


27


SOAL LATIHAN

1. Lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dengan jari – jari 3 adalah

....

A. x2 + y2 = 3

B. x2 + y2 = 6

C. x2 + y2 = 3

D. x2 + y2 = 9

E. x2 + y2 = 6

2. Pusat dan jari – jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 10 – 2y = 0 berturut – turut adalah ....

A. (10, 2) dan 10

B. (-5, -1) dan 6

C. (5, -1) dan 6

D. (5, 1) dan 6

E. (-5, 1) dan 6

3. Persamaan lingkaran yang berjari – jari 3 dan menyinggung sumbu x

di (3, 0) menyinggung sumbu y di titik (0, 3) adalah ....

A. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 3

B. (x – 3)2 + (y + 3)2 = 9

C. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 3

D. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9


28


E. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9

4. PGS lingkaran x2 + y2 = 9 di titik (1, 2) adalah ....

A. x + 2y = 5

B. 2x + y = 5

C. x + 2y = - 5

D. 2x + y = - 5

E. x + 2y – 5 = 0

5. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 5x – 6y - 33 = 0 yang melalui titik (1, -3) adalah ....

A. 7x - 12y – 43 = 0

B. 6x - 7y + 34 = 0

C. 7x + 12y – 43 = 0

D. 12x + 7y – 24 = 0

E. -7x - 12y + 12 = 0

6. Koordinat titik focus parabola y2 = -12x adalah ....

A. (-12, 0)

B. (0, -3)

C. (-4, 0)

D. (0, -4)

E. (-3, 0)

7. Koordinat tititk puncak parabola y2 + 2x – 6y + 11 = 0 adalah ....


29


A. (-1, 3)

B. (2, -3)

C. (1, -3)

D. (-2, 6)

E. (2, -6)

8. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -2) , mempunyai sumbu simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah .…

A. (y + 2)2 = 8(x – 4 )

B. (y + 2)2 = - 8(x + 2 )

C. (y - 2)2 = 8(x – 4 )

D. (y + 2)2 = - 8(x – 2 )

E. (y + 1)2 = 8(x + 4 )

9. PGS parabola y2 = 32x yang melalui titik (2, 8) adalah ....

A. y = 32x + 64

B. y = 2x + 4

C. y = 16x + 2

D. y = x + 2

E. y = 8x + 16

10. Persamaan garis singgung parabola (y - 3)2 = 8(x + 5 ) yang tegak lurus dengan garis x – 2y – 4 = 0 adalah ....

A. 2x + y – 4 = 0

B. 2x - y – 2 = 0


30


C. 2x + y + 2 = 0

D. 2x - 8y – 5 = 0

E. 2x + y + 8 = 0

11. Panjang sumbu mayor persamaan elips 20x2 + 36y2 = 720 adalah .…

A. 2 5

B. 20

C. 6

D. 36

E. 12

12. Koordinat titik focus dari persamaan elips 9x2 + 25y2 + 18x – 100y = 116 adalah .... A. (5, 2) dan (-3, 2)

B. (-1, 6) dan (5, 3)

C. (-3, -2) dan (1, 3)

D. (5, 2) dan (-3, 5)

E. (3, 2) dan (5, 2)

13. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0) serta salah satu fokusnya (-6, 0) adalah .… A. 10x2 + 6y2 = 60

B. 9x2 + 16y2 = 144

C. 36x2 + 16y2 = 400

D. 9x2 + 25y2 = 225


31


E. 16x2 + 9y2 = 400

14. Persamaan garis singgung elips 5x2 + 20y2 =100 pada titik (4, 1) adalah .... A. x - y + 5 = 0

B. x + y = -5

C. x + y + 5 = 0

D. -x - y = 5

E. x + y = 5

15. Persamaan garis singgung elips 193

22

yx

yang melalui titik (1, -

6 ) adalah ....

A. 3x - 6 y = 9

B. 6x - 6 y = 1

C. 3x - 6 y = 3

D. x - 6 y = 1

E. 3x - 3 6 y = 11

16. PGS elips 5x2 + y2 = 5 yang melalui titik A(-2, 1) adalah .… A. 2x + 3y + 7 = 0

B. 2x - y - 3 = 0

C. 2x - 3y + 5 = 0

D. 2x - y - 5 = 0

E. 3x + 2y + 9 = 0


32


17. Salah satu asimtot dari hiperbola 9x2 + 16y2 - 54x – 64y - 127 = 0 adalah .... A. 4x - 3y - 18 = 0

B. 3x - 4y 17 = 0

C. 4x - 3y - 6 = 0

D. 3x - 4y – 1 = 0

E. 4x - 3y - 1 = 0

18. Koordinat titik puncak hiperbola x2 - 4y2 - 2x + 24y - 39 = 0 adalah : A. (1, 2) dan (-1, 2)

B. (1, 0) dan (1, 4)

C. (3, 2) dan (-1, 2)

D. (1, -2) dan (1, -4)

E. (1, 3) dan (-1, 3)

19. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 - 40x - 4y + 48 = 0 di titik (9, 2) adalah .... A. 4x - y + 21 = 0

B. 9x - 2y - 34 = 0

C. 4x - y - 34 = 0

D. 9x - 2y + 21 = 0

E. 4x - y - 28 = 0

20. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 + 12 = 0 di titik (1, 4) adalah .... A. 19x + 11y = 63 dan x – y = -3

B. 19x + 11y = -63 dan x – y = 3


33


C. 19x - 11y = 63 dan x + y = -3

D. 19x - 11y = -126 dan x + y = 3

E. -19x + 11y = 126 dan -x + y = -3

21. Persamaan parabola yang berpuncak di dan fokusnya

adalah . . . .

A.

B.

C.

D.

E.

22. Koordinat titik fokus parabola dengan persamaan

adalah . . .

A.

B.

C.

D.

E.

23. Persamaan elips dengan titik puncak di dan panjang

latus rectum , berbentuk . . . .

A.


34


B.

C.

D.

E.

24. Koordinat titik pusat elips dengan persamaan

adalah ...

A.

B.

C.

D.

E.

25. Panjang sumbu minor elips dengan persamaan

adalah . . . .

A.

B.

C.

D.

E.


35


DAFTAR PUSTAKA

Bahri, Samsul dan Mustain. 2009. Terampil Matematika untuk

SMK (Teknik) Kelas XII. Bekasi : Galaxy Puspa Mega

Mauludin, Ujang. 2007. Matematika untuk SMK kelas XII Program

Keahlian Teknik Industri. Jakarta : Indah Jaya Adipratama

Noormandiri, B.K. 2004. Matematika SMA untuk kelas XII program

Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga

Teguh, Mega. 2004. Modul Irisan Kerucut. Departemen

Pendidikan Nasional


36


kelas xi mia peminatan. parabola parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama...

Documents