MAKALAH

“LINGKARAN”

Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

Kajian Matematika SMP 2

Dosen Pengampu : Koryna Aviory, S.Si, M.Pd.

Disusun oleh Kelompok 7:

1. Evi Nur Ngaeni (14144100086)

2. Valynsa Milawati Saputri (14144100090)

3. Tika Nur Cahyani (14144100096)

Kelas : 4A3

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

i

BAB II

PEMBAHASAN

A. Lingkaran dan Bagian-Bagiannya

1. Pengertian Lingkaran

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda-benda yang

permukaanya berbentuk lingkaran, seperti tampak pada gambar dibawah ini

Dari gambar diatas, apakah dapat kalian ceritakan mengenai

lingkaran? Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur lingkaran?

Agar kalian memahami pengertian lingkaran,

perhatikan pada gambar disamping.

Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang

merupakan tempat kedudukan titik-titik yang

berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak

yang sama disebut jari-jari lingkaran dan titik

tertentu disebut pusat lingkaran.

Pada gambar tersebut menunjukkan titik A, B, C dan D yang terletak pada

kurva tertutup sehingga jari-jari lingkarannya adalah OA , OB, OC , dan OD.

Sedangkan pusat lingkaran yaitu O.

Pada gambar disamping, panjang garis

lengkung yang tercetak pada lingkararan

tersebut disebut dengan keliling lingkaran.

Sedangkan daerah arsiran didalamnya disebut

dengan bidang lingkaran atau luas lingkaran.

2

2. Bagian-bagian Lingkaran

Perhatikan gambar a disamping untuk memahami mengenai unsur-unsur

lingkaran berikut.

Keterangan:

Titik O disebut titik pusat lingkaran.

OA, OB, OC , dan OD disebut jari-jari lingkaran, yaitu garis yang

menghubungkan titik pusat lingkaran dan titik pada keliling lingkaran.

AB disebut garis tengah atau diameter, yaitu garis yang menghubungkan

dua titik pada keliling lingkaran dan melalui pusat lingkaran. Karena

diameter AB = AO + OB, dimana AO = OB adalah jari-jari (r) lingkaran,

sehingga diameter (d) = 2 × jari-jari (r) atau d = 2r.

AC disebut tali busur, yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik

pada lingkaran.

OE tegak lurus tali busur BD dan OF tegak lurus tali busur AC disebut

apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

Garis lengkung AC, BC dan AD disebut busur lingkaran, yaitu bagian

dari keliling lingkaran. Busur tebagi menjadi dua, yaitu:

1) Busur kecil/pendek adalah busur AB yang panjangnya kurang dari

setengah keliling lingkaran.

2) Busur besar/panjang adalah busur AB yang lebih dari setengah

keliling lingkaran. (Lihat pada Gambar b)

3

Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari, OC dan OB serta busur BC

disebut juring atau sektor. Juring terbagi menjadi dua yaitu juring besar

dan juring kecil. (Lihat pada Gambar c)

Daerah yang dibatasi oleh tali busur AC dan busurnya disebut

tembereng. Pada gambar d menunjukkan bahwa tembereng besar dan

tembereng kecil.

4

Contoh soal

Pada gambar dibawah ini, sebutkan garis yang merupakan

a. Jari-jari

b. Garis tengah

c. Tali busur

d. Apotema

B. Keliling dan Luas Lingkaran

1. Menghitung Keliling Lingkaran

Perhatikan gambar disamping, jika seseorang

berjalan dari titik A melintasi garis lengkung

dan kembali lagi ke titik A maka dikatakan

orang tersebut telah mengelilingi lingkaran.

Panjang lintasan itu disebut keliling lingkaran

dan panjangnya bergantung pada r atau jari-

jari lingkaran.

Dari persamaan π = Kd , dimana K adalah keliling dan d adalah

diameter. Maka kita dapat menyimpulkan bahwa keliling lingkaran

merupakan perkalian antara diameter dan konstanta π, dengan π = 227 atau π

= 3,14.

Keliling lingkaran = π × diameter

= π × d

Karena d = 2r, maka

Keliling lingkaran = π × 2r

= 2πr

Jadi, didapat rumus keliling lingkaran (K) dengan diameter (d) atau jari-jari

(r) adalah

5

K = π × d atau K = 2πr

Contoh soal

1) Tentukan keliling lingkaran jika diketahui jari-jarinya 14 cm.

Penyelesaian:

Jadi, keliling lingkaran dengan jari-jari 14 cm adalah 88 cm.

2) Diameter sebuah roda adalah 42 cm.

a. Berapa jarak yang ditempuh roda dalam satu kali putaran?

b. Berapa banyak putaran yang dibutuhkan roda untuk menempuh jarak

sejauh 1.320 m?

Penyelesaian:

2. Menghitung Luas Lingkaran

Luas lingkaran dengan jari-jari (r) sama dengan luas persegi

panjang dengan panjang πr dan lebar r, sehingga diperoleh

6

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran (L) dengan jari-jari (r)

dan diameter (d) adalah

dengan

r = jari-jari,

d = diameter

π = 227 = 3,14

Contoh soal

Hitunglah luas daerah lingkaran jika:

a. jari-jarinya 14 cm,

b. diameternya 21 cm.

Penyelesaian:

Jadi, luas daerah lingkaran dengan jari-jari 14 cm adalah 616 cm2.

7

Jadi, luas daerah lingkaran dengan diameter 21 cm adalah 346,5 cm2.

3. Menghitung Perubahan Luas dan keliling Lingkaran jika Jari-jari

Berubah

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari luas dan

keliling lingkaran, yaitu luas (L) = πr2 = 12 πd2 dan keliling (K) = 2 πr = πd.

Apabila nilai r atau d kita ubah, maka besar keliling maupun luasnya juga

mengalami perubahan. Bagaimana besar perubahan tersebut? Perhatikan

uraian berikut.

Misalkan lingkaran berjari-jari r1, diperbesar sehingga jari-jarinya

menjadi r2, dengan r2 > r1. Jika luas lingkaran semula adalah L1 dan luas

lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L2, maka selisih lus

kedua lingkaran adalah

keliling lingkaran semula adalah K1 dan keliling setelah mengalami

perubahan jari-jari adalah K2, maka selisih keliling kedua lingkaran adalah

Kalian juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling

lingkaran jika jari-jari berubah. Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai

berikut:

Adapun perbandingan kelilingnya adalah:

8

Dari uraian diatas, dapat kita simpulkan bahwa lingkaran yang

berjari-jari r1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r2 dengan r2 >

r1, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai berikut:

Contoh soal

Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang

berjari-jari 3 cm dan 6 cm!

Penyelesaian:

Jadi, selisih luas adalah 27π cm2, perbandingan luas adalah 4 : 1 dan

perbandingan keliling adalah 2 : 1.

C. Hubungan Antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas

Juring

1. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

9

Perhatikan lingkaran yang berpusat dititik O

pada gambar (a) ruas garisOA dan OB masing-masing

disebut jari-jari lingkaran. Sedangkan sudut yang menghadap

busur pendek AB, yaitu ∠ AOB disebut sudut pusat.

Sudut pusat ialah sudut yang dibentuk oleh dua jari jari

lingkaran.

Sekarang kita akan mempelajari hubungan

perbandingan senilai antara besar sudut pusat, panjang

busur dan luas juring suatu lingkaran. Pada gambar (b)

juring AOB diputar dengan pusat O sebingga menempati

juring BOB’, jadi juring AOB dan juring BOB’ kongruen.

Besar ∠ AOB=besar∠BO B'

Panjang busur AB, = panjang busur AB'

Luas juring AOB = Luas juring BOB’

Akibatnya,

Dari uraian tersebut kita dapat menemukan bahwa:

Perbandingan besar sudut pusat sama dengan

perbandingan panjang busur yang ada di depannya dan

sama dengan perbandingan luas juringnya.

Sekarang perhatikan gambar (c) dibawah ini,

besar ∠POR=t ° karena besar sudut satu putaran

penuh adalah 360 ° maka :

10

Akibatnya,

Dari uraian tersebut kita dapat menemukan ketentuan

berikut bahwa:

t °360°

× keliling lingkaran

Luas juring POR = t °

360°× luas daerah lingkaran

Contoh

Perhatikan gambar 6.12. Diketahui panjang jari-jari OA= 10 cm. Jika besar

sudut ∠ AOB=60°, hitunglah

a. Panjang busur AB

b. Luas juring OAB

c. Luas tembereng AB

Penyelesaian

a. Panjang busur AB

b. Luas juring OAB

11

c. Karena besar ∠ AOB=60°, maka △ AOB sama sisi dengan panjang sisi

10 cm, sehingga

Luas tembereng AB ¿ luas juringOAB−Luas ∆ AOB

¿¿) cm2=9 ,03 cm2

2.Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Hubungan Sudut

Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring

Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring dapat

digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi

tersebut. Pelajari contoh berikut:

Contoh

Perhatikan gambar berikut

Pada gambar disamping diketahui panjang busur PQ = 16,5 cm,

panjang QR = 22 cm dan besar sudut POQ = 45 °

12

a. Hitunglah besar sudut QOR

b. Hitunglah panjang jari-jari OP

c. Tentukan luas juring OPQ dan OQR

Penyelesaian:

a. Didepan kita telah mempelajari hubungan antara sudut pusat dan

panjang busur berikut

Jadi, besar ∠QOR=60 °

b. Panjang busur OR

Jadi, panjang jari-jari OP = 21 cm

c. Luas juring OPQ

13

d. Luas juring OQR

D. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN

1. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pada pembahasan yang lalu kita telah mempelajari bahwa sudut

pusat dibentuk oleh dua jari jari lingkaran yang berpotongan di titik

pusatnya. Adapun sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali

busur yang berpotongan di satu titik pada keliling lingkaran.

Pada gambar di samping, OA dan OB berpotongan di O

membentuk ∠ AOB .Adapun tali busur AC dan CB berpotongan di titik C

membentuk sudut keliling ∠ ACB. Sudut pusat ∠ AOB

dan sudut keliling ∠ ACB menghadap busur yang sama,

yaitu busur AB. Sekarang kita akan mempelajari

hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang

menghadap busur yang sama.

Perhatikan gambar disamping. Lingkaran di samping berpusat di

titik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r. Misalkan

∠ AOC=adan∠COB=β , maka ∠ AOB=a+β.

Perhatikan segitiga BOD

∠BOD pelurus bagi∠BOC ,sehingga∠BOD=180 °−β.

14

∆ BOD s egitiga sama kaki, karena OB=OD=r s ehingga

sekarang perhatikan segitiga AOD

∠ AOD pelurus bagi∠AOC , sehingga∠AOD=180 °−a

∆ AOD adalah segitga samakaki , karena OA=OD=r , sehingga

Dengan demikian, besar ∠ ADB = ∠ODA+∠ODB

15

Karena ∠ AOBadalah sudut pusat dan ∠ ADB adalah sudut keliling,

dimana keduanya menghadap busur AB, maka dapat disimpulkan sebgai

berikut:

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka

besar sudut pusat = 2 × besar sudut keliling.

Contoh

Pada lingkaran diatas jika ∠ ACO=15 ° dan ∠BCO=12 ° hitung lah besar

sudut ∠ AOB.

Penyelesaian:

∠ ACBmerupakan sudut keliling dan ∠ AOBmerupakan sudut pusat,

sehingga diperoleh

Sudut keliling ACB = ∠ ACO+∠BCO

= 15°+12°

= 27°

Sudut pusat AOB = 2× Sudut keliling AOB

= 2 ×27 °

= 54°

2. Besar Sudut Keliling yang Menghadap Diameter Lingkaran

Kalian telah mempelajari bahwa besar sudut pusat lingkaran adalah

dua kali besar sudut kelilingnya, jika menghadap busur yang sama.

Bagaimana besar sudut keliling yang mengahap diameter lingkaran?

16

Perhatikan gambar dibawah ini, sudut pusat AOB menghadap

busur AB. Perhatikan bahwa sudut keliing ACB dan sudut keliling ADB

menghadap busur AB sehingga diperoleh

Atau

Dari gambar tersebut, tampak bahwa ∠ AOBadalah sudut lurus, sehingga

besar ∠ AOB=180 °

Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90°

(sudut siku-siku).

Contoh

Diketahui ∠ ABC=65 ° dengan AB diameter lingkaran. Hitunglah besar

∠CAB !

Penyelesaian:

Ruas garis AB adalah diameter lingkaran karena ∠ ACBadalah sudut

keliling yang menghadap diameter AB, maka besar ∠ ACB=90 °

Perhatikan bahwa ∆ BCO adalah segitiga sama kaki karena OB = OC= r,

sehingga ∠BCO=∠CBO=65 °

Dengan demikian diperoleh

17

Karena ∆ AOC sama kaki (OB = OC= r), maka ∠CAO=∠ACO=25 °

3. Sudut-sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Untuk menentukan besar sudut keliling yang menghadap busur

yang sama, perhatikan gambar dibawah ini

= α , sedangan ∠ ACB,∠ADB dan ∠ AEB adalah sudut keliling yang

menghadap

Jadi, besar

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut

Besar sudut-sudut yang menghadap busur yang sama adalah sama

besar dan sama dengan12

× sudut pusatnya.

Contoh

Perhatikan gambar berikut ini. Diketahui besar dan

, Hitunglah besar

Penyelesaian

18

Dari gambar diatas, tampak bahwa dan sudut keliling

menghadap busur yang sama yaitu , sehingga besar

Perhatikan ∆ CED

Sudut ACD dan sudut ABD adalah sudut keliling yang menghadap busur

yang sama yaitu , sehingga besar sudut

E. SEGI EMPAT TALI BUSUR

1. Pengertian Segi Empat Tali Busur

Agar kalian memahami mengenai segi empat tali busur, perhatikan

gambar dibawah ini

Pada gambar tersebut titik O adalah titik pusat lingkaran dan titik

A, B, C, serta D terletak pada keliling lingkaran tersebut. Ruas garis AB,

BC, CD, dan AD adalah tali busur lingkaran. Tali-tali busur tersebut

membentuk segi empat ABCD, dan selanjutnya disebut segi empat tali

busur.

19

2. Sifat-Sifat Segi Empat Tali Busur

Perhatikan gambar disamping, Pada gambar

tersebut tampak bahwa sudut-sudut yang berhadapan

pada segi empat tali busur ABCD adalah ∠ABC

dengan ∠ADC dan ∠BAD dengan ∠BCD.

Perhatikan sudut keliling ∠ABC dan ∠ADC.

Dengan demikian diperoleh

Sekarang perhatikan sudut keliling ∠BAD dan ∠BCD

Dengan demikian, diperoleh

20

Segi empat tali busur adalah segi empat yang

titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran.

Jadi, ∠ABC + ∠ADC = 180° dan ∠BAD + ∠BCD = 180°.

Selanjutnya, perhatikan gambar dibawah ini

Pada gambar di samping, adalah diameter

lingkaran sekaligus diagonal segi empat PQRS.

Karena ∠QPS dan ∠QRS adalah sudut keliling,

maka besar ∠QPS = ∠QRS = 90°. Segi empat PQRS

selanjutnya disebut segi empat tali busur siku-siku.

Perhatikan gambar dibawah ini

Pada gambar tersebut, KM dan ln adalah diameter lingkaran, ∠KLM dan ∠KNM adalah sudut keliling yang menghadap diameter KM ,

sedangkan ∠LKN dan ∠LMN adalah sudut keliling yang menghadap

diameter ln . Dengan demikian, ∠KLM = ∠KNM = ∠LKN = ∠LMN = 90

°. Karena keempat sudutnya siku-siku, akibatnya KL // NM , KN // LM , KL

= NM , dan KN = LM , dengan KM dan ln adalah diagonal-diagonal segi

empat KLMN. Dengan kata lain, segi empat KLMN adalah suatu persegi

panjang.

21

Jumlah dua sudut yang saling berhadapan

pada segi empat tali busur adalah 180°.

Segi empat tali busur yang salah satu diagonalnya

merupakan diameter lingkaran disebut segi empat

tali busur siku-siku.

Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya

merupakan diameter lingkaran akan membentuk bangun

persegi panjang.

Perhatikan gambar dibawah ini

Pada Gambar diatas, AC dan BD adalah diameter lingkaran dengan

ACBD. Karena ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA, dan ∠DAB adalah sudut-sudut

keliling yang menghadap diameter, besar ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°.

Sekarang, perhatikan ∆BOC. Jika ∆BOC kita putar sejauh 90°

berlawanan arah putaran jarum jam dengan titik O sebagai titik putar maka

diperoleh OB→ OC , OC →OD, dan ∠BOC → ∠COD. Dengan demikian,

BC →CD atau BC = CD.

Analog dengan cara di atas, dapat ditunjukkan bahwa CD = DA =

AB=BC , sehingga BC = CD = DA = AB. Dengan kata lain, segi empat

ABCD adalah bangun persegi.

Contoh:

Perhatikan gambar berikut:

22

Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya

merupakan diameter lingkaran yang saling

berpotongan tegak lurus akan membentuk bangun

persegi.

ABCD adalah segi empat tali busur dengan ∠ADC = 80⁰, ∠BCD = 75⁰.

Tentukan:

a. Besar ∠CBA

b. Besar ∠BAD

Penyelesaian:

a. Besar ∠CBA

Karena ∠CBA dan ∠ADC adalah sudut yang saling berhadapan pada

segiempat talibusur ABCD, maka

b. Besar ∠BAD

Karena ∠BAD dan ∠BCD adalah sudut yang saling berhadapan pada

segiempat talibusur ABCD

F. SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR

Dua tali busur dari sebuah lingkaran dapat berpotongan di dalam

lingkaran atau berpotongan di luar lingkaran pada perpanjangan kedua tali

busur itu. Agar kalian lebih memahaminya, perhatikan gambar berikut.

23

Pada Gambar (a), tali busur AC dan BD berpotongan di dalam

lingkaran, sedangkan Gambar (b) menunjukkan tali busur DG dan EF

berpotongan pada perpanjangan kedua tali busur itu di luar lingkaran. Pada

bagian ini kita akan menentukan besar sudut antara dua tali busur yang

berpotongan di dalam atau di luar lingkaran.

1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di Dalam Lingkaran

Perhatikan dibawah ini.

Perhatikan gambar di bawah ini!

 

Lingkaran dengan pusat di titik O dengan titik E adalah titik

potong antara tali busur AC dan BD. Dari gambar tersebut tampak

bahwa ∠AEB, ∠BEC, ∠CED, dan ∠AED adalah sudut di dalam

lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan antara tali busur AC dan BD. 

Analogikan ada sebuah garis CD, maka dari gambar tersebut

diperoleh:∠BDC = ∠EDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC,

sehingga:

∠BDC = ∠EDC = x ∠BOC ........................................................(1)

24

∠ACD = ∠ECD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD,

sehingga:  

∠ACD = ∠ECD = x ∠AOD....................................................(2)

Sekarang perhatikan ΔCDE, bahwa:

Perhatikan bahwa ∠BEC adalah sudut luar ΔCDE, sehingga:∠BEC + ∠CED= 180° (sudut berpelurus)∠BEC = 180° - ∠CED , masukan persaman (3) maka:∠BEC = 180° - (180°- ∠ECD - ∠EDC)∠BEC = ∠ECD  + ∠EDC, masukan persamaan (1)

dan persamaan (2) maka:∠BEC = ½ x ∠BOC + ½ x ∠AOD∠BEC = ½ (∠BOC + ∠AOD)

Sekarang analogikan ada sebuah garis AD. Perhatikan gambar di

bawah ini!

Dari gambar tersebut diperoleh:∠ADB = ∠ADE adalah sudut keliling yang menghadap busur AB,

sehingga:∠ADB = ∠ADE = ½ x ∠AOB .........................................................(i)∠CAD = ∠DAE adalah sudut keliling yang menghadap busur CD,

25

sehingga:  ∠CAD = ∠DAE = ½ x ∠COD.............................................................(ii)

Sekarang perhatikan ΔADE, bahwa:∠AED + ∠ADE + ∠DAE = 180°∠AED = 180°- ∠ADE - ∠DAE ...........................................................(iii)

Perhatikan bahwa ∠AEB adalah sudut luar ΔADE, sehingga:∠AEB + ∠AED= 180° (sudut berpelurus)∠AEB = 180° - ∠AED , masukan persamaan (iii) maka:∠AEB = 180° - (180° -  ∠ADE - ∠DAE)∠AEB = ∠ADE  + ∠DAE, masukan persamaan (i)

dan persamaan (ii) maka:∠AEB = ½ x ∠AOB + ½ x ∠COD∠AEB = ½ (∠AOB + ∠COD)

 Sekarang analogikan ada sebuah garis AB. Perhatikan gambar di bawah

ini!

∠ABD = ∠ABE adalah sudut keliling yang menghadap busur AD,

sehingga:∠ABD = ∠ABE = ½ x ∠AOD..................................................................

(i)∠BAC = ∠BAE adalah sudut keliling yang menghadap busur BC,

sehingga:  ∠CAD = ∠BAE = ½ x ∠BOC..................................................................

(ii)

26

Sekarang perhatikan ΔABE, bahwa:∠AEB + ∠ABE + ∠BAE = 180°∠AEB = 180°- ∠ABE - ∠BAE ..............................................................

(iii)

Perhatikan bahwa ∠AED adalah sudut luar ΔABE, sehingga:∠AED + ∠AEB= 180° (sudut berpelurus)∠AED = 180° - ∠AEB , masukan persamaan (iii) maka:∠AED = 180° - (180° -  ∠ABE - ∠BAE)∠AED = ∠ABE  + ∠BAE, masukan persamaan (i)

dan persamaan (ii) maka:∠AED = ½ x ∠AOD + ½ x ∠BOC∠AED = ½ (∠AOD + ∠BOC)

 Sekarang analogikan ada sebuah garis AB. Perhatikan gambar di

bawah ini!

∠ABD = ∠ABE adalah sudut keliling yang menghadap busur AD,

sehingga:∠ABD = ∠ABE = ½ x ∠AOD .................................................................

(I)∠BAC = ∠BAE adalah sudut keliling yang menghadap busur BC,

sehingga:  ∠CAD = ∠BAE = ½ x ∠BOC..................................................................

(II)

Sekarang perhatikan ΔABE, bahwa:

27

∠AEB + ∠ABE + ∠BAE = 180°∠AEB = 180°- ∠ABE - ∠BAE . . ..........................................................

(III)

Perhatikan bahwa ∠AED adalah sudut luar ΔABE, sehingga:∠AED + ∠AEB= 180° (sudut berpelurus)∠AED = 180° - ∠AEB , masukan persamaan (III) maka:∠AED = 180° - (180° -  ∠ABE - ∠BAE)∠AED = ∠ABE  + ∠BAE, masukan persamaan (i) dan persaman

(ii) maka:∠AED = ½ x ∠AOD + ½ x ∠BOC∠AED = ½ (∠AOD + ∠BOC)

Sekarang analogikan ada sebuah garis BC. Perhatikan gambar di

bawah ini!

Dari gambar tersebut diperoleh:∠ACB = ∠BCE adalah sudut keliling yang menghadap busur AB,

sehingga:∠ACB = ∠BCE = ½ x ∠AOB ............................................................(1)

∠CBD = ∠CBE adalah sudut keliling yang menghadap busur CD,

sehingga:  ∠CBD = ∠CBE = ½ x ∠COD...............................................................(2)

28

  

Sekarang perhatikan ΔBCE, bahwa:∠BEC + ∠BCE + ∠CBE = 180°∠BEC = 180°- ∠BCE - ∠CBE..............................................................(3)

Perhatikan bahwa ∠CED adalah sudut luar ΔBCE, sehingga:∠CED + ∠BEC= 180° (sudut berpelurus)∠CED = 180° - ∠BEC , masukan persaman (3)maka:∠CED = 180° - (180° -  ∠BCE - ∠CBE)∠CED = ∠BCE  + ∠CBE, masukan persamaan (1)

dan persamaan (2) maka:∠CED = ½ x ∠AOB + ½ x ∠COD∠CED = ½ (∠AOB + ∠COD)

Jadi berdasarkan gambar tersebut maka dapat disimpukan:∠BEC = ½ (∠BOC + ∠AOD)∠AEB = ½ (∠AOB + ∠COD)∠AED = ½ (∠AOD + ∠BOC) ∠CED = ½ (∠AOB + ∠COD)  

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Contoh:

Pada gambar diatas, diketahui ∠POQ = 60O dan besar ∠ROS = 230O.

29

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam

lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat

yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

Tentukan ∠PTQ.

Penyelesaian:

2. Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan Di Luar Lingkaran

Perhatikan gambar berikut.

Titik O adalah titik pusat lingkaran, sedangkan LK dan MN adalah

dua tali yang jika diperpanjang akan berpotongan di titik P, di mana titik P

di luar lingkaran, sehingga terbentuk KPN. Perhatikan bahwa KMN∠ ∠

adalah sudut keliling yang menghadap busur KN, sehingga ∠KMN = 12

×∠

KON.

Sudut MKL adalah sudut keliling yang menghadap busur LM, sehingga

MKL = ∠ 12

×∠MOL.

Sudut MKL adalah sudut luar ∠KPM, sehingga berlaku

MKL = KMN + KPN atau∠ ∠ ∠

30

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Contoh

Perhatikan Gambar diatas. Diketahui besar ∠AED = 25o dan besar ∠BOC

= 35o. Tentukan besar ∠AOD.

Penyelesaian:

31

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar

lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat

yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

DAFTAR PUSTAKA

Dris, J dan Tasari. 2011. Matematika BSE Jilid 2 untuk SMP dan MTs Kelas VIII.

Jakarta: Pusat Kurikulum Perbukuan.

Nuharini, Dewi dan Tri Wahyuni. 2008. Matematika BSE Konsep dan Aplikasinya

untuk Kelas VIII SMP dan MTs. Surakarta: CV. Putra Nugraha.

32