geometri analitik bidang & ruang .i. garis kutub (polar) suatu lingkaran ... tentukan persamaan...

Download GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG .I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... Tentukan persamaan garis

Post on 26-Aug-2018

404 views

Category:

Documents

41 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • HANDOUT (BAHAN AJAR)

    GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG

    Sofyan Mahfudy

    IAIN Mataram

  • Lingkaran

    Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

    i

    KATA PENGANTAR

    Alhamdulillah puji syukur kepada Alloh Taala yang dengan rahmat dan

    karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan handout yang sederhana ini.

    Handout ini masih sangat banyak kekurangannya dikarenakan keterbatasan

    waktu penulisan. Salah satunya adalah materi yang diambil hanya satu sub

    materi yaitu lingkaran. Tentunya ke depan handout ini dapat disempurnakan

    dan dikembangkan lagi sehingga lebih baik. Tujuan pembuatan handout ini

    adalah sebagai upaya dan ikhtiar penulis untuk membuat referensi mata

    kuliah bagi mahasiswa sehingga mudah dipahami dan didapatkan oleh

    mahasiswa. Saran dan masukan yang positif tentunya sangat dibutuhkan oleh

    penulis bagi sempurnanya handout ini ke depan. Akhirnya, semoga karya

    sederhana ini dapat memberikan manfaatkan khususnya bagi mahasiswa yang

    sedang menempuh mata kuliah Geometri Analitik Bidang.

    Mataram, Juli 2016

    Penulis

  • Lingkaran

    Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

    ii

    DAFTAR ISI

    KATA PENGANTAR ..........................................................................................................................i

    DAFTAR ISI ........................................................................................................................................ ii

    LINGKARAN ....................................................................................................................................... 1

    A. Tentang Lingkaran ........................................................................................................... 1

    B. Definisi Lingkaran ............................................................................................................ 1

    C. Persamaan Umum Lingkaran...................................................................................... 1

    D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain ............................................................. 2

    E. Garis singgung Lingkaran ............................................................................................. 3

    F. Persamaan garis singgung dengan gradien () tertentu ............................. 4

    G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran ................................................. 5

    H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran ............................ 6

    I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ...................................................................... 9

    J. Garis singgung melalui di luar lingkaran............................................................ 11

    K. SOAL-SOAL LATIHAN .................................................................................................. 14

    REFERENSI ..................................................................................................................................... 15

  • Lingkaran

    Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

    1

    LINGKARAN

    A. Tentang Lingkaran

    Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk

    yang paling sempurna. Lingkaran memiliki beberapa sifat yang istimewa

    diantaranya adalah:

    Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang

    memiliki keliling paling minimum. Pada dimensi 3 padanannya adalah

    bola.

    Selain identik dengan roda, lingkaran cocok untuk penutup saluran air

    karena ia tidak akan jatuh ke dalam lubangnya.

    Perbandingan keliling dan diameter selalu konsisten, selanjutnya

    perbandingan tersebut disebut dengan (Archimedes menemukan

    pendekatan ini 287-212 SM).

    B. Definisi Lingkaran

    Definisi lingkaran secara persis adalah himpunan titik-titik pada bidang

    sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap suatu titik tertentu

    sama panjangnya. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari-jari/radius dan

    titik tertentu disebut pusat lingkaran.

    C. Persamaan Umum Lingkaran

    Pada gambar 1.a, misalkan diketahui sebuah titik tertentu adalah (, ) dan

    jaraknya adalah sebesar , maka dengan konsep jarak dua titik diperoleh:

    ( )2 + ( )2 =

    ( )2 + ( )2= 2

    Maka persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan jari-jari adalah

    ( )2 + ( )2= 2

  • Lingkaran

    Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

    2

    Jika lingkaran berpusat di O (0,0) dan jari-jari r maka nilai = 0 dan =

    0, sehingga diperoleh:

    ( 0)2 + ( 0)2= 2

    2 + 2= 2

    Latihan Soal A

    Carilah persamaan lingkaran dengan ketentuan sebagai berikut:

    1. Pusat O (0,0) dan jari-jari 3

    2. Pusat P (2,3) dan jari-jari 2

    3. Pusat P (5, 1) dan melalui (2,2)

    D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain

    Apabila lingkaran dengan pusat (, ) dan jari-jari r yang berbentuk:

    ( )2 + ( )2= 2

    diuraikan, maka diperoleh bentuk:

    2 + 2 2 2 + 2 + 2= 2

    2 + 2 2 2 + 2 + 2 2= 0

    Sehingga apabila persamaan lingkaran dituliskan dalam bentuk

    2 + 2 + + + = 0 , maka diperoleh:

    Gambar 1

  • Lingkaran

    Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

    3

    = 2 = 1

    2 ; = 2 + 2 2 2 = 2 + 2 C

    = 2 = 1

    2 ; = 2 + 2 =

    1

    42 +

    1

    42

    Jadi lingkaran 2 + 2 + + + = 0 memiliki:

    Pusat (1

    2 ,

    1

    2 )

    r = 1

    42 +

    1

    42

    Latihan Soal B

    Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut dan sketsalah:

    1. 1 : 2 + 2 6 + 10 2 = 0

    2. 2 : 2 + 2 + 20 + 36 = 0

    3. 3 : 2 + 2 8 9 = 0

    E. Garis singgung Lingkaran

    Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang menyinggung lingkaran

    tersebut sedemikian sehingga titik persekutuan garis dan lingkaran ada satu

    dan hanya satu titik. Dari gambar 2 di bawah ini 1 menyinggung lingkaran

    di titik D.

    Gambar 2

  • Lingkaran

    Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

    4

    F. Persamaan garis singgung dengan gradien () tertentu

    Pada gambar 3 di atas garis 1 dan 2 memiliki gradien () yang sama dan

    keduanya merupakan garis singgung dari lingkaran . Bagaimana mencari

    persamaan garis 1 dan 2 jika gradien dan persamaan lingkaran yang

    disinggungnya diketahui??

    Jika garis 1 dan 2 memiliki persamaan = + dan menyinggung

    lingkaran 2 + 2 = 2, maka dengan mensubtitusikan = + ke

    2 + 2= 2 diperoleh:

    2 + ( + )2= 2

    2 + 22 + 2 + 2 = 2

    (2+1)2 + 2 + (2 2) = 0

    Karena garis menyinggung lingkaran, maka hanya memiliki satu titik

    persekutuan sehingga nilai deskriminan persamaan kuadrat tersebut

    bernilai nol ( = 0)

    = 0

    2 4 = 0

    (2)2 4(2 + 1) (2 2) = 0

    422 4(22 22+ 2 2) = 0

    422 422 + 422 42 + 42 = 0

    Gambar 3

  • Lingkaran

    Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

    5

    22 2 + 2 = 0

    2 = 2(1+2) = 1 + 2

    Sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat

    (0,0) dengan gradient adalah:

    = +

    = 1 + 2

    Dengan cara yang sama, maka garis singgung lingkaran

    : ( )2 + ( )2 = 2 dengan gradien m adalah:

    ( ) = ( ) 1 + 2

    Latihan Soal C

    1. Carilah persamaan singgung lingkaran 2 + 2 = 2 dengan gradien () = 2

    3

    2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran 2 + 2 6 + 10 2 =

    0 dengan gradien () = 2

    G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran

    Kedudukan garis terhadap lingkaran memiliki 3 kemungkinan seperti pada

    gambar 4 di atas. Setiap kemungkinan memiliki ketentuan sebagai berikut:

    Gambar 4

  • Lingkaran

    Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

    6

    1. Memotong ( > 0)

    2. Tidak memotong dan tidak menyinggung ( < 0)

    3. Menyinggung ( = 0)

    adalah nilai diskriminan (2 4) dari persamaan kuadrat yang

    diperoleh dari substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran

    H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran

    Pada gambar 5 terlihat titik (1, 1) pada lingkaran 2 + 2 = 2 dan

    garis adalah garis singgung lingkaran di titik . Titik (1, 1) pada

    lingkaran 2 + 2 = 2, sehingga berlaku 12 + 1

    2 = 2

    Dari ilustrasi pada gambar 5 terlihat bahwa

    Jika kita anggap sebagai sebuah garis yang memiliki gradien m OP

    , maka

    m OP

    =y1

    x1

    Karena maka berlaku

    m OP

    . mg = 1

    mg = 1

    m OP sehingga mg =

    x1

    y1

    Jika persamaan garis adalah:

    1 = ( 1)

    Gambar 5

  • Lingkaran

    Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang

    7

    1 = 11

    ( 1)

    1 12 = 1 + 1

    2

    1 + 1 = 12 + 1

    2

    1 + 1 = 2

    Jadi diperoleh persamaan garis singung titik (1, 1) pada lingkaran

    2 + 2 = 2 adalah

    1 + 1 = 2

    Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan, jika titik (1, 1) pada lingkaran

    ( )2 + ( )2 = 2, maka garis singgung lingkaran L melalui

    (1, 1) adalah ( )(1 )+ ( )(1 ) = 2. Pembuktiannya

    adalah sebagai berikut:

    Dari gambar 6 di atas terlihat bahwa titik (1, 1) pada lingkaran

    ( )2 + ( )2