VEKTORAljabar Linear

Simple background

• Kecepatan• Gaya• Perpindahan• Bilangan real• Grafika komputer

Pendahuluan: dimensi 2 dan 3

• Titik di dimensi 2: • Titik di dimensi 3:

yx, zyx ,,

Definisi • Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah • Representasi geometris: ruas garis berarah

• Mempunyai titik inisial(initial point) dan titik terminal(terminal point).

Penamaan vektor

• Menamai bilangan real: x, y, z, dan sebagainya.• Menamai vektor: u, v, w, dan sebagainya.menggunakan cetak tebal.

• Cara lain: ,a b

Komponen vektor

• v=(2,1) , w=(0,5).• Tuliskan komponen vektor berikut ini(initial point

semua vektor di (0,0).

Vektor melalui dua titik

• Jika vektor melalui titik (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2), maka vektor a dapat dituliskan sebagai

• Penting: di mana initial point dari ?• Bagaimana anda membuktikan rumus di atas?

121212 ,, zzyyxxa

a

a

Simple exercise

Temukan vektor dengan kriteria berikut.a. Initial point (1,2), terminal point (3,4)b. Initial point (1,2), terminal point (1,0)c. Initial point (0,-1,2), terminal point (-1,5,3)d. Initial point (2,4,6), terminal point (0,0,0)

Norma suatu vektor• Norma vektor: panjang vektor• Norma dari vektor a=(x1,y1,z1) adalah

• Vektor dengan norm 1: vektor satuan.• Jika initial point-nya (x1,y1,z1) dan terminal point-

nya (x2,y2,z2), normanya adalah

• bagaimana anda membuktikannya?

212

12

1 zyxa

2122

122

12 zzyyxxa

Exercise.1. Temukan norm dari vektor-vektor berikut.

a. v=(4,-3)b. w=(2,3)c. a=(2,2,2)d. b=(-7,2,-1)

• Jawab. a. b. c. d.

534 22 v

1332 22 w

32222 222 a

63127 222 b

Exercise.2. Temukan norm dari vektor dengan initial point P1

dan terminal point P2 seperti di bawah ini.a. P1(3,4), P2(5,7)

b. P1(-3,6), P2(-1,-4)

c. P1(7,-5,1), P2(-7,-2,-1)

d. P1(3,3,3), P2(6,0,3)

3. Diketahui P1(1,1,1) dan P2(2,3,2). Vektor a mempunyai arah dari P1 ke P2, sedangkan vektor b mempunyai arah sebaliknya. Bandingkan panjang kedua vektor, beri kesimpulan kecil.

Aritmetika Vektor• Misal a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2)dan k skalar.• Operasi:– Penjumlahan vektor

– Pengurangan vektor

– Perkalian vektor dengan skalar

212121 ,, zzyyxxba

212121 ,, zzyyxxba

111 ,, kzkykxak

Contoh1. Selesaikan aritmetika vektor berikut ini.

a. (3,2,1)+(2,4,-1)b. (0,0,5)-(3,-5,11)c. 3(5,6,7)d. -2(-2,-3,4)

• Jawab: • a. (5,6,0) • b. (-3,5,-6) • c. (15,18,21) • d.(4,6,-8)

Closing exercise.1. Cari nilai k untuk setiap soal berikut.

a. k(3,4,5)=(6,8,10)b. k(-1,2,12)=(3,-6,-36)c. k(21,49,70)=(3,7,10)

2. Cari komponen vektor yang belum diketahui.a. (1,2,3)+(2,1,x)=(3,3,6)b. (a,b,13)-(-1,5,-12)=(2,5,25)c. (-17,25,-19)-b=(5,5,5)

3. Jika a dan b adalah vektor, apakah sifat ini berlaku?

baba

Closing exercise.4. Dapatkah anda menemukan dua vektor a dan b

sedemikian sehingga ? buatlah satu kesimpulan kecil.

5. Jika , apa yang dapat anda simpulkan mengenai a dan b?

6. Misal a=(-1,2,5). Temukan k sehingga . Apakah hanya ada satu kemungkinan untuk k?

baba

0 ba

4ak

HASILKALI TITIK DAN PROYEKSI

Hasilkali Titik• Hasilkali titik antara dua vektor a dan b didefinisikan

sebagai berikut.

di mana q adalah sudut terkecil antara a dan b.• Satu kegunaan: menghitung sudut antara dua

vektor.

cosbaba

332211 babababa

ba

bacos

Contoh.• Cari berapa besar dengan kedua cara.

• Jawab. Diketahui bahwa u=(0,0,1), v=(0,2,2), dan q=45°. Maka – Cara 1:– Cara 2:

vu

222/1221cos vuvu

2212000332211 vuvuvuvu

Contoh • Cari besar sudut terkecil antara vektor u=(2,-1,1)

dan v=(1,1,2).• Jawab. Cari dahulu norma setiap vektor.

berikutnya, gunakan formula

berarti q =60°=1/3p.

6411

6114

v

u

2

1

66

212cos

ba

ba

Hubungan hasilkali titik dengan sudut antara 2 vektor

• Acute: lancip• Obtuse: tumpul• u dan v tegaklurus.• Bagaimana anda membuktikannya?

0vu

Proyeksi Vektor Ortogonal• Jika a dan u adalah vektor dan a, maka

• Panjang komponen vektor:

Contoh.• Misal u=(2,-1,3) dan a=(4,-1,2). Temukan komponen

vektor u di a dan komponen vektor u yang tegaklurus a.

• Jawab. Pertama cari dahulu hasilkali titik dan norma a.

komponen vektor u di a adalah

komponen vektor u yang tegaklurus a adalah

Exercises1. Hitung berapa hasilkali titik vektor-vektor berikut.

a. u=(2,3) v=(5,-7)b. u=(-6,-2) v=(4,0)c. u=(1,-5,4) v=(3,3,3)d. u=(-2,2,3) v=(1,7,-4)

2. Hitung besar setiap sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor pada soal no.1.

3. Tentukan apakah vektor-vektor berikut membentuk sudut lancip, tumpul, atau saling tegaklurus.

a. u=(6,1,4) v=(2,0,-3)b. u=(0,0,-1) v=(1,1,1)c. u=(-6,0,4) v=(3,1,6)d. u=(2,4,-8) v=(5,3,7)

4. Temukan proyeksi ortogonal u di a.a. u=(6,2) a=(3,-9)b. u=(-1,-2) a=(-2,3)c. u=(3,1,-7) a=(1,0,5)d. u=(1,0,0) a=(4,3,8)

5. Temukan komponen vektor u yang tegaklurus vektor a untuk setiap soal no.4 di atas.

6. Untuk setiap soal no.4, hitung panjang vektor hasil proyeksi ortogonalnya.

Soal-soal variasi1. Sebuah segitiga mempunyai titik-titik sudut (0,-1),

(1,-2), dan (4,1). Hitung berapa besar sudut-sudut yang ada di dalam segitiga itu.

2. A(3,0,2), B(4,3,0), dan C(8,1,-1). Tunjukkan bahwa segitiga ABC siku-siku, cari juga di sudut mana dia siku-siku.

3. Misalkan p=(2,k) dan q=(3,5). Cari k sehingga a. p dan q sejajarb. p dan q tegaklurusc. Sudut antara p dan q adalah p/3.d. Sudut antara p dan q adalah p/4.

4. Hitung luas daerah segitiga dengan titik-titik sudut (2,3), (4,7), dan (-5,8).

5. Temukan besar sudut yang dibentuk antara diagonal ruang kubus dan salah satu sisinya. Bisa ambil contoh sebuah kubus yang panjang sisinya 1 cm.