bab 1 vektor - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/bab_1_vektor.pdf · bab 1 vektor ....

24
BAB 1 VEKTOR

Upload: dotruc

Post on 06-Jul-2018

365 views

Category:

Documents


19 download

TRANSCRIPT

Page 1: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

BAB 1

VEKTOR

Page 2: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

1.1 DEFINISI VEKTOR

Contoh : kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet

Gambar : P Q

Titik P : Titik pangkal vektor

Titik Q : Ujung vektor

Tanda panah : Arah vektor

Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor

Notasi Vektor

A Huruf tebal

Pakai tanda panah di atas A

A Huruf miring

Panjang vektor A = |A|

(pakai tanda mutlak)

PENGGAMBARAN DAN NOTASI VEKTOR

Page 3: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

1.2 PENYAJIAN VEKTOR

Bentuk vektor kolom:

4

3u

0

2

1

PQatau

Bentuk vektor baris:

4 ,3 AB atau 0 ,3 ,2 v

Vektor ditulis dengan notasi: i, j dan k

misal : a = 3i – 2j + 7k

Page 4: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

• Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama.

▫ Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)

▫ Jika u = v, maka

|u| = |v|

arah u = arah v

a=c dan b=d

1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR

22|| bau Panjang vektor u =

Page 5: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Catatan:

a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama

A B A = B

b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika:

1. Besar sama, arah berbeda

A B

A B

2. Besar tidak sama, arah sama

A B

3. Besar dan arahnya berbeda

A B A B

A B

Page 6: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

1.4.1 Penjumlahan Vektor

• Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang

• Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

6

v u w = u + v

w = u + v

u

v

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

au

1.4 OPERASI-OPERASI VEKTOR

Page 7: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

1.4.2 Pengurangan Vektor

• Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v)

• Dalam bentuk pasangan bilangan

7

v u

w = u - v -v

u

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

au

Page 8: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

1.4.3 Perkalian Vektor dengan Skalar

• mu adalah suatu vektor dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0.

8

u

2u

mb

ma

b

ammumaka

riilbilanganmdanb

auJika

:

,

Page 9: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

• Komutatif a + b = b + a • Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c) • Elemen identitas terhadap penjumlahan • Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga

berupa vektor • 1u = u • 0u = 0, m0 = 0. • Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

1.5 DALIL-DALIL OPERASI VEKTOR

Page 10: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Dalil-Dalil Operasi Vektor (lanj.)

• (mn)u = m(nu)

• |mu| = |m||u|

• (-mu) = - (mu) = m (-u)

• Distributif : (m+n)u = mu + nu

• Distributif : m(u+v) = mu + mv

• u+(-1)u = u + (-u) = 0

Page 11: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

1.6.1 Vektor Nol

Vektor Nol adalah

Vektor yang

Semua komponennya

nol, misal 0 = (0, 0, 0)

1.6 JENIS-JENIS VEKTOR

Page 12: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

1.6.2 Vektor Satuan

Vektor satuan adalah suatu

vektor yang panjangnya satu

Page 13: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Vektor satuan searah sumbu X,

sumbu Y , dan sumbu Z

berturut-turut

adalah vektor i , j dan k

1

0

0

dan

0

1

0

,

0

0

1

kji

Page 14: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Vektor Satuan

dari vektor a = a1i + a2j+ a3k

adalah

2

3

2

2

2

1

321 aaa

kajaia

a

aee

aa

Page 15: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Contoh: Vektor Satuan dari

vektor a = i - 2j+ 2k

adalah…. Jawab:

a

ae

a

222 2)2(1

22

kjie

a

Page 16: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

222 2)2(1

22

kjie

a

3

22

kjie

a

kjiea 3

232

31

Page 17: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.

cos|||| baba

Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3], maka :

332211 babababa

a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}

a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}

a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}

1.7 DOT PRODUCT

Page 18: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product

• Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

22

21

22

21

332211

|| ||cos

bbaa

bababa

ba

ba

Page 19: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

1. Komutatif : A B = B A

2. Distributif : A (B+C) = (A B) + (A C)

3. a a = │a│2

Sifat-Sifat Perkalian Titik (Dot Product)

Page 20: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

1. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa

panjang vektornya ?

Vektor

Jawab :

= + + 2 2

(-3) 2

4 2 A A

= 2i – 3j + 4k A

= = 29 satuan

2. Tentukanlah hasil perkalian titik (dot product) dari dua buah vektor berikut ini :

2i – 2j + 4k A =

i – 3j + 2k B =

Jawab :

Perkalian titik :

A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2

= 16

Contoh Soal

Page 21: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Definisi :

Misalkan himpunan vektor di ruang vektor

V, maka S dikatakan bebas linear jika

mengakibatkan k1 = 0, k2 = 0, …., kr = 0 dan dikatakan

bergantung linear jika terdapat skalar yang tidak semuanya

nol.

1 1 2 2 .... 0r rk v k v k v

1 2, ,..., rS v v v

1.8 Bebas Linier dan Bergantung Linier

Page 22: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Contoh:

1. Apakah vektor v1 = [1, 1], v2 = [1, 2] bebas linear?

2. Periksa apakah vektor-vektor v1 = [1, -2, 3], v2 =[5, 6, -1]

dan v3 = [3, 2, 1] bebas linier?

Page 23: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

Definisi:

Vektor dikatakan kombinasi linear dari vektor-vektor

jika dapat dinyatakan sebagai

dengan k1, k2, …., kr merupakan skalar.

Contoh:

Misalkan diberikan vektor dan

Manakah diantara vektor-vektor ini yang merupakan

kombinasi linear dari

w

1 2, ,...., rv v v w

1 1 2 2 .... r rw k v k v k v

0, 2,2u 1,3, 1v

dan u v

1. 0, 2,2w 2. 0,4,5w

1.9 Kombinasi Linier

Page 24: BAB 1 VEKTOR - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_1_Vektor.pdf · BAB 1 VEKTOR . Vektor adalah ... 1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR u| a2 b2 Panjang vektor u = Catatan: a

LATIHAN

1. Manakah vektor-vektor berikut ini yang bebas linier atau

bergantung linier?

a. u = [-3, 0, 4], v = [5, -1, 2], w = [1, 1, 3]

b. v1 = [3, 1, 2], v2 = [1, 2, 1], v3 = [2, -1, 1]

2. Misalkan diberikan vektor v1 = [1, 3, -1] dan v2 = [0, -2, 2]

Manakah diantara vektor-vektor w ini yang merupakan kombinasi

linear dari v1 dan v2?

a. w = [2, 2, 2]

b. w = [3, 1, 5]

c. w = [0, 0, 0]

d. w = [0, 4, 5]