presentasi vektor
TRANSCRIPT
VEKTOR
Oleh:Didik Arwinsyah (11284)Iding Rosyidin (11080)Gani Purwiandono (11000)Nugraha Ikhsan (11162) Nur ida Fitrianto()Rudolf Surya Bonay(11322)Hermawan
2
3
1. Vektor di Ruang 2 dimensi Besaran Skalar dan Besaran Vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai dan tidak memiliki arah contoh: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
Besaran Vektor adalah besaran memiliki nilai dan arah contoh: momentum anguler dalam atom dan struktur
molekul Notasi Vektor
Vektor dinyatakan dengan huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB
Notasi u dibaca “vektor u”
4
Penyajian Vektor
Vektor sebagai pasangan bilangan u = (a,b)
a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i dan j u = ai + bj
Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
b
au
22|u| ba
5
Aljabar Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama. Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) Jika u = v, maka
|u| = |v| arah u = arah v a=c dan b=d
6
a b
Dua vektor sama, a = b
a b
Dua Vektor mempunyai besar
sama, arah berbeda
a b
Dua vektor arah sama, besaran
beda
ab
Dua Vektor besar dan arah berbeda
7
Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang
Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
vu w = u + v
w = u + v
u
v
u
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
8
Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0 Vektor nol disebut elemen identitas u + 0 = 0 + u = u Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
9
Pengurangan Vektor
Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v)
Dalam bentuk pasangan bilangan
vu
w = u - v -v
u
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
10
Perkalian Vektor dengan Skalar mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0.
u
2u
mb
ma
b
ammumaka
realbilanganmdanb
auJika
:
,
11
Sifat-Sifat Operasi Vektor
Komutatif a + b = b + a Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c) Elemen identitas terhadap penjumlahan Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v| 1u = u 0u = 0, m0 = 0. Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
12
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.) (mn)u = m(nu) |mu| = |m||u| (-mu) = - (mu) = m (-u) Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0
13
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenguranga
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenjumlaha
u + v u - v
v
u u
v
14
Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
cos||||2|||||| 22 vuvuvu u + v
u
v
θ
cos||||2|||||| 22 vuvuvu u
vu-v
θ
Menggunakan Aturan Cosinus…
15
Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
npenjumlaha hasilr arah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
vuvu
u + v
u
v
α
u
vu-v
α
β
npenguranga hasilr arah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
vuvu
β
RESOLUSI VEKTOR
Vektor Dalam Ruang
Sumbu- sumbu kerangka acuan didefinisikan menurut kaidah tangan kanan OX, OY, OZ membentuk sistem koordinat kanan jika rotasi atau putaran dari OX ke OY menyebabkan sumbu sekrup kanan bergerak menuju OZ positip. Rotasi dari OY ke OZ menyebabkan sekrup kanan bergerak ke arah OX positif.
x
y
z
o
Vektor OP didefinisikan oleh komponen
a sepanjang OX b sepanjang OY c sepanjang OZ
Misal i = vektor satuan dalam arah OX j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ
Maka vektor OP = ai + bj +ckBagaimanakah perumusan OP2…..??
Jadi jika vektor = ai + bj + ck , maka
besar r…???
Contoh : vektor PQ = 4i + 3j + 2k, maka berapakah besar PQ ?
z
o
x
y
p
ab
c
r
18
Vektor Posisi
OA = a dan OB = b adalah vektor posisi.
AB = AO + OB = OB – OA = b – a
X
Y
0
A
B
b
a
19
Dot Product (Inner Product)
Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.
cos|||| baba
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :
122121 ccbbaaba a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o} a•b = 0 jika {γ| γ = 90o} a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
20
Vektor Ortogonal
Teorema Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus
Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. Untuk vektor bukan-nol
a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90o = π/2
21
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
bbaa
ba
ba
ba
||||
cos
22
Contoh Perkalian Dot Product a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1] Hitung sudut antara dua vektor tsb
23
Applications of Vector ProductMoment of a force Find moment of force P
about the center of the wheel.
|P|=1000 lb
30o
1,5 ft
]1299,0,0[500866
5.1000
0500866
05.10
)5,1titikpadarodapusat(]0,5.1,0[
]0,500,866[
]0,30sin1000,30cos1000[
kji
kji
prm
yr
P
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
24
Scalar Triple Product
shg pertama, brsmnrt 3 orde determinan ekspansimrpk Ini
,,vac)(b a
] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a
sebagaiandidefinisk)(ditulis
],,[],,,[,],,[
vektor tigadariproduct tripleScalar
21
213
13
132
32
321
332211
321
321321321
cc
bba
cc
bba
cc
bba
vavava
cba
ccccbbbbaaaa
321
321
321
c)(b ac)b(a
ccc
bbb
bbb
25
Scalar Triple ProductGeometric representation
a,b,c vektor β sudut antara (bxc)
dan a h tinggi parallelogram
b
||luasmempunyaicdan b sisi dgalasgenjangjajaran
cos||
cos|||||)(|
)(
cbarea
hheighta
cbacba
cbaBesar
c
b x c
a
β h
Aplikasi dalam Kimia
1. Tentukan persamaan-persamaan fundamental termodinamika dari diagram mnemonik berikut, berdasarkan prinsip vektor.
dF
dE
dH
dG
PdV SdT
TdS VdP
P
T V
S