C = A x B

B

A

Analisis Vektor /

6. Analisis Vektor

1. Pengantar

Dalam bab sebelumnya kita telah mendiskusikan beberapa ide dasar dari vektor aljabar. Pada bab ini kita akan mendiskusikan vektor kalkulus. Kita akan mulai dengan membahas aplikasi perkalian vektor pada seksion 2 dan 3. Kemudian pada seksion 4 kita akan mendiskusikan differensiasi dan integrasi fungsi vektor. Anda pasti sudah mengenal hukum Newton dua F = m a

yang juga dapat ditulis F = m ( d2r/dt2 ). Anda juga dapat melihat bahwa hukum Gauss tentang elektrisitas menggunakan integral permukaan dari komponen normal vektor. Differensial dan integral fungsi vektor merupakan bagian dari matematika terapan yang sangat penting dan dipergunakan secara luas dalam bidang mekanika, mekanika kuantum, elektrodinamika, teori kalor, hidrodinamik, optik dan lain-lain.

2. Aplikasi Scalar dan Vector Product

Kita telah mendefinisikan bahwa :

A . B = A B cos

= Ax Bx + Ay By + Az Bz dengan < 180o (2-1)

sedang:

A x B = C =

| i j k

A x A y Az

Bx B y Bz

|

dengan C = A B sin sedang arah C adalah tegak lurus dengan terhadap bidang A dan B seperti terlihat pada gambar 2.1

(2-2)

Gambar 2.1

Sekarang, marilah kita lihat beberapa aplikasi dari definisi tersebut.

Aplikasi Scalar ProductSalah satu aplikasi scalar product adalah Kerja / Usaha. Dalam fisika dasar anda telah tahu

bahwa kerja adalah gaya kali jarak perpindahan. Jika gaya dan arah perpindahan tidak paralel, dan komponen gaya tegak lurus terhadap arah perpindahan maka tidak dihasilkan kerja pada kasus seperti ini.

Untuk kasus gaya tidak paralel terhadap arah perpindahan, maka kerja diperhitungkan dari komponen gaya terhadap arah perpindahan dikalikan jarak perpindahan; jadi W = (F cos ) . d = F d cos ( gambar 2.2). Ini lazim ditulis:

Gambar 2.2Gambar 2.3

F

dr

Gambar 2.3

d

F

96

Analisis Vektor /

W = F d cos = F . d (2-3)Jika gaya bervariasi terhadap jarak, dan mungkin juga arah perpindahan d berubah dari waktu ke waktu maka untuk perpindahan sepanjang dr dapat kita tulis:

dW = F . dr (2-4)Nanti, pada seksion 8 kita akan membahas bagaimana mengintegralkan dW pada persamaan (2-4) dalam rangka memperoleh total kerja W yang bekerja pada sebuah partikel yang didorong oleh variabel gaya F.

Contoh 1 : Sebuah gaya F = 3i 4j + 2 k, bekerja pada sebuah partikel sehingga partikel itu mengalami perpindahan sesuai dengan vektor 3i + 4j 5k. Jika semua besaran adalah ekspresi dalam SI, Tentukan:a). Berapa besarnya gaya yang bekerja ?b) Berapa jarak perpindahannya ?c) Jika pada awalnya partikel berada di titik (1,2,1) tentukan kedudukan partikel setelah

dikenai gaya ? d) Berapakah kerja yang dilakukan oleh gaya itu kepada partikel ?e) Berapakah besarnya sudut antara arah gaya dengan arah lintasan partikel ?

Jawab:

a) F = 3i 4j + 2 k Jadi F = {32 + (4)2 + 22 }1/2 = √29 N

b) d = 3i + 4j 5k Jadi d = {32 + 42 + (5)2}1/2 = 5√2 meterc) Jika perpindahan dinyatakan oleh vektor d, maka :

(dx , dy , dz ) = ( x, y, z )akhir ( x, y, z )awal

(3, 4, 5) = ( x, y, z )akhir (1, 2, 1) ( x, y, z )akhir (3, 4, 5) + (1, 2, 1) = ( 4, 6, 4)d) W = F . d = Fx.dx + Fy.dy + Fzdz = 9 16 10 = 17 J

e) F . d = F . d . cos = √29 . 5√2 . cos = 5√58 cos .

cos = 17 / 5√58 = 0,44644 = 116,5o = 2,034 rad

Contoh 2 : Sebuah gaya F = 3i 4j + Fz k, bekerja pada sebuah partikel sehingga partikel itu mengalami perpindahan dari titik (10,5,7) sampai ke titik (15,3,10). Jika besarnya gaya yang bekerja itu 20 N, Tentukan:a). Berapa besarnya Fz ?b) Berapa jarak perpindahannya ?c) Tentukan vektor yang menyatakan lintasan partikel ! d. Tentukan besarnya kerja pada partikel itu !d) Berapakah besarnya sudut antara arah gaya dengan arah lintasan partikel ?

Jawab:

a) F = 20 = √32+42+Fz2

Fz2 = 175 Fz = √175 N = 5√7 N

b) d = √( x2−x1 )2+( y2− y1 )

2+( z2−z1)2

= √(15−10)2+(3−5)2+10−7 )2 = . . . . . . . . . . . meterc) (dx, dy, dz ) = (x2, y2, z2 ) (x1, y1, z1) = (15, 3, 10) (10, 5, 7) = (5, 2, 3 ) d = 5 i 2j + 3 k

d) W = F . d = Fx.dx + Fy.dy + Fzdz = 15 8 15√7 = (7 + 15√7 ) J

97

F F'

O

d d '

O

r

Gambar 2.4

F

r sin

Gambar 2.5

Analisis Vektor /

e) cos =

F . dF . d

= WF . d = . . . . . . . . . ; = . . . . . . . . .

Aplikasi vector product.

Aplikasi vector product adalah perhitungan Momen Gaya dan perhitungan Kecepatan.

Momen Gaya.

Dalam menyelesaikan problema pada gambar 2.4, kita harus mengalikan kuantitas gaya kali jarak. Kuantitas Fd ini disebut momen gaya F, dan jarak d yaitu jarak dari titik O sampai garis kerja gaya F disebut lengan lever F. Lengan lever didefinisikan sebagai jarak tegak lurus antara titik O dengan gaya F.

Gambar 2.4 di atas adalah bentuk khusus dari momen gaya F atau F' terhadap titik O. Secara lebih umum momen gaya F terhadap titik O ( sebenarnya terhadap sumbu yang melalui O dan tegak lurus bidang kertas ) dapat dilihat pada gambar (gambar 2.5). Didefinisikan bahwa momen gaya adalah besarnya gaya dikalikan panjang lengan lever. Pada gambar 2.5 panjangnya lengan lever ini r sin , jadi besarnya momen gaya F terhadap O adalah F r sin Kita tahu bahwa ( menurut persamaan 2-1) ,

F r sin = r x F, jadi :Besarnya Momen gaya F terhadap titik O = r x F .

dengan r adalah vektor jarak dari O sampai pangkal vektor F sedang

Contoh 3: (Momen gaya terhadap sebuah titik tertentu)Sebuah gaya F = 2 i + j k bekerja pada sebuah titik A ( 2, 1, 1). Tentukan Momen gaya F terhadap titik B ( 3, 4, 7) dan berapa besarnya.

Jawab:

Momen = r x F =

| ixF x

jy

Fy

kzFz

|

Vektor r = (xA , yA , zA ) (xB , yB , zB ) 3, 8 ) = i 3j + 8k

Momen = r x F =

| ixF x

jy

Fy

kzFz

|

=

| i

−12

j

−31

k8−1

| = 5i 15j + 5k

Besarnya Momen = √25+1+25 = √52 Nm

KecepatanHubungan antara vektor kecepatan linear v dan vektor kecepatan sudut adalah:

v = x r

98

Analisis Vektor /

yang dapat dipahami lewat gambar 2.6 . Jika ada dua buah vektor, yaitu vektor A dan vektor B berpotongan di titik O, kemudian vektor B diputar dengan A sebagai sumbu rotasi dan kelajuan angularnya maka vektor A bertindak sebagai vektor sedang vektor B bertindak sebagai vektor r dan hasil vektor productnya adalah vektor v. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:Contoh 4:Vektor A = 2i + 3j 2k , vektor B = 2i + j + 3k. Pangkal kedua vektor tersebut berada di titik O ( 2, 3, 4) . Jika vektor B diputar dengan A sebagai sumbu putar , berapakah:a) besar dan b) tentukan r dan r c) tentukan v dan v ( = besarnya kelajuan linear ujung B )d) dimanakah letak ujung vektor A ?

Gambar 2.6

Jawab:a) = vektor sumbu putar = A = 2i + 3j 2k

√22+32+22 √17 radian / s

b) r = vektor yang diputar = B = 2i + j + 3k

r = √22+12+32 √14 meter

c) v = x r =

| i

ωx

x

jω y

y

kωz

z|

=

| i22

j31

k−23| = 11 i 10 j 4 k

v = √112+102+42 √237 meter / s

d) untuk vektor A berlaku : (Ax , Ay, Az ) = ( x, y, z )ujung ( x , y, z )pangkal

( 2 , 3, 2 ) = ( x, y, z )ujung ( 2, 3, 4)( x, y, z )ujung = ( 2 , 3, 2 ) + ( 2, 3, 4) = ( 4, 6, 2)Jadi ujung vektor A berada di titik ( 4, 6, 2)

3. Produk Tripel ( Triple Product)Ada dua macam produk (perkalian) yang melibatkan tiga buah vektor, yang pertama disebut

"triple scalar product" ( karena menghasilkan jawaban skalar ) dan yang kedua disebut "triple vector product" (karena jawabannya berupa vektor).

Triple Scalar ProductTriple skalar product ditulis A.(BxC) . Ada sebuah interpretasi yang sangat berguna dari

triple scalar product ini ( lihat gambar 3-1). Bangun paralelepipedum menggunakan vektor A, B dan C sebagai tiga buah rusuk yang saling berpotongan. Kemudian BxC merupakan luas area dasar bangun itu (gambar 3-2) karena BxC = B C sin yang merupakan luas dari jajaran genjang yang sisi-sisinya B dan C. Tingginya paralelepipedum adalah Acos , sehingga volume paralelepipedum adalah :

B C sin A cos = B x C Acos = A . ( B x C ) Untuk > 900 maka harganya akan negatif, padahal volume tidak mungkin negatif maka itu untuk menganulir kemungkinan negatif rumus volume ditulis:

Volume = A . ( B x C ) Bagaimana menghitung A.(BxC)? Pertama kita tentukan dulu vektor D sebagai vector product dari BxC,

A =

B = r

v

99

B x C

C

A

yx

B

z

Analisis Vektor /

D = B x B =

|i

Bx

Cx

j

By

Cy

kB z

C z

|

= Dx i + Dy j + Dz k

Gambar 3.1 Gambar 3.2

Selanjutnya :A . ( B x C ) = A . D = AxDx + AyDy + AzDz (3-1)

Ternyata harga triple scalar product A . ( B x C ) juga sama dengan:

A . ( B x C ) =

|Ax

Bx

C x

A y

By

Cy

Az

Bz

C z

|

(3-2)

Triple Vector Product

Triple Vector Product ditulis A x ( B x C ) . Sebelum kita mengevaluasinya kita akan mengadakan observasi berikut. Kita tahu bahwa vektor B x C adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk B dan C ini berarti vektor B x C pasti tegak lurus baik pada vektor B maupun pada vektor C. (Gambar 3.4)

Analog dengan itu vektor A x ( B x C ) pasti tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh A dan B x C ini berarti A x ( B x C ) tegak lurus terhadap A maupun terhadap B x C . Selanjutnya kita hanya akan memperhatikan vektor A x ( B x C ) yang tegak lurus pada B x C saja. Perlu diingat bahwa sembarang vektor terhadap B x C pasti terletak pada bidang yang tegak lurus dengan vektor B x C yaitu bidang yang dibentuk oleh vektor B dan C. Karena vektor A x ( B x C ) tegak lurus pada vektor B x C maka vektor

Gambar 3-4

A x ( B x C ) pasti terletak pada bidang yang dibentuk oleh B dan C sehingga vektor A x ( B x C ) dapat dianggap sebagai kombinasi linear aA + bB. Salah satu cara untuk menentukan harga a dan b adalah dengan menyatakan vektor A x ( B x C ) ke dalam komponen-komponennya. Agar penyelesaiannya tidak rumit kita letakkan vektor B pada sumbu x vektor C pada bidang xy sedang vektor A pada bidang xyz (Gambar 3.5). Dengan peletakan seperti itu, maka vektor B dan C berada pada bidang xy, dengan

B x C

B

C

A B

C sin

C

B x C

C

B

100

Analisis Vektor /

sendirinya vektor B x C pasti berada di sumbu z.

Gambar 3.5Karena vektor B berada di sumbu x, maka B adalah vektor satu dimensi sehingga dapat ditulis:

B = Bx i (3-4a)

Vektor C berada di bidang xy, berarti vektor dua dimensi, jadi:C = Cx i + Cy j (3-4b)

Sedang vektor merupakan vektor 3 dimensi, jadi:A = Ax i + Ay j + Az k (3-4c)

Dengan menggunakan persamaan-persamaan 3-4 diperoleh:B x C = Bxi x (Cx i + Cy j) = BxCy ( i x j ) = BxCy k

Selanjutnya,A x ( B x C ) = Ax Bx Cy (i x k ) + Ay Bx Cy (j x k )

= Ax Bx Cy ( j ) + Ay Bx Cy (i ) (3-5)

Selanjutnya (3-5) ditambah dan dikurangi Ax Bx Cx (i ) sehingga menjadi:

A x ( B x C ) = Ax Bx (Cx i + Cy j ) + (Ay Cy + Ax Cx ) Bx i (3-6)

Perlu diketahui bahwa:Ax Bx = A . B ; (Cx i + Cy j ) = C ; (Ay Cy + Ax Cx ) = A .C dan Ay i = B (3-7)

Jadi dengan mengkombinasikan (3-6) dan (3-7) kita peroleh:

A x ( B x C ) = (A . C ) B (A . B )C (3-8)

Dengan langkah yang analog, diperoleh:

( A x B ) x C = (C . A ) B (C . B )A (3-9)

Catatan: Bagi kebutuhan kita, triple vector product lebih penting dari pada triple scalar product. Aplikasi triple scalar product adalah untuk menentukan momen gaya terhadap sebuah garis ( misal L ) yang melalui titik tertentu yaitu n . (r x F) dengan F adalah gaya yang bekerja, r adalah vektor jarak dari titik yang dilalui oleh garis L sampai ke titik kerja gaya dan n adalah unit vektor dari garis L . Jangan kacau dengan besarnya momen gaya F yang bekerja pada titik tentu yang harganya r x F.Tetapi penentuan momen gaya bukan hal yang sangat penting bagi kimiawan.

Aplikasi triple vector product adalah untuk menentukan momentum angular L. Hubungan antara momentum angular dengan momentum linear adalah:L = r x p atau L = r x m v = m r x v , dengan v adalah vektor kecepatan linear yang harganya adalah:

v = x r , dengan adalah vektor kecepatan angular, jadi:L = m r x ( x r ) (3-10)

Contoh 5 : Diketahui tiga buah vektor, yaitu P = 3i + 2j ; Q = 2j +3k dan R = i j + 2kTentukan: a) P . ( Q x R ) b) P x ( Q x R ) c) (P x Q) x R d) (R x P) x Q

Jawab:

x

101

Analisis Vektor /

Anda dapat mengerjakan tahap demi tahap, mulai dengan yang di dalam kurung dulu, hasilnya dioperasikan dengan vektor di luar kurung. Anda juga dapat langsung menggunakan persamaan 3-2 untuk scalar product, dan 3-8 atau 3-9 untuk vector product.

a) dengan menggunakan 3-2:

P . ( Q x R ) =

|Px

Q x

Rx

Py

Q y

Ry

P z

Qz

R z

|

=

|301

22−1

032| = . . . . .

b) dengan menggunakan 3-8, A diganti P, B diganti Q dan C diganti R:P x ( Q x R ) = (P . R ) Q (P . Q )R P . R ) = 3 2 + 0 = 1(P . Q ) = 0 + 4 + 0 = 4 , jadi:P x ( Q x R ) = Q 4R

= (2j +3k) 4 (i j + 2k) = 2j +3k 4i j 8k = 4i + 6j 5k

c) dengan menggunakan 3-9, A diganti P, B diganti Q dan C diganti R:( P x Q ) x R = (R . P ) Q (R . Q )P(R . P ) = 3 2 + 0 = 1(R . Q ) = 0 2 + 6 = 4( P x Q ) x R = Q 4P = (2j +3k) 4 (3i + 2j) = 2j +3k 12i 8j

= 12 i 6 j + 3kd) dengan menggunakan 3-9, A diganti R, B diganti P dan C diganti Q

(R x P) x Q = (Q . R ) P (Q . P )R(Q . R ) = 4(Q . P ) = 4(R x P) x Q = 4 P 4 R = 4 (3i + 2j) 4 (i j + 2k) = 12 i + 8 j 4 i j 8k

= 8 i + 12 j 8 k

Soal-soal :1) Tentukan hasil operasi berikut vektor atau skalar ?

a) A . ( B . C) b) (A . B) . (C . D) c) ( A . B) ( C x D) d) A x (B x C)2) Jika A = 2i j k ; B = 2i 3j + k dan C = i + k , tentukan:

a) (A . B) C b) A ( B . C ) c) (A x B) . C d) A . (B x C)e) (A x B ) x C f) A x ( B x C)

Untuk soal no. 3 s.d 8 gunakan A = i + j 2k ; B = 2i j + 3k ; C = j 5k 3) a) Tentukan kerja yang dilakukan oleh gaya B kepada sebuah partikel sehingga partikel itu

mengalami perpindahan menurut vektor Cb) berapakah jarak tempuh lintasan partikel ?c) Berapakah sudut yang dibentuk oleh gaya B terhadap arah lintasan partikel ?

4) Gaya B dan gaya A bergabung membentuk gaya D yang selanjutnya beraksi kepada sebuah partikel sehingga partikel mengalami perpindahan sesuai dengan vektor C. Berapakah :

a) total kerja yang dialami oleh partikel ?b) sudut antara gaya D dengan arah lintasan partikel.

5) Gaya A, B dan C bergabung menjadi satu dan beraksi kepada sebuah partikel yang berada pada posisi (1, 1, 1) sedemikian rupa sehingga partikel berpindah ke posisi ( 3, 4, ). Tentukan:a) vektor yang menunjukkan lintasan partikel ( vektor d )b) kerja yang dialami oleh partikel

6) Pangkal vektor A dan B berada di titik O ( 3, 3, 4) . Jika vektor B diputar dengan A sebagai sumbu putar, berapakah:a) besar dan b) tentukan r dan r c) tentukan v dan v ( = besarnya kelajuan linear ujung B )d. Dimana letak ujung vektor Ae. Dimana letak ujung vektor B

102

Analisis Vektor /

7) Pangkal vektor A dan B berada di titik O ( 3, 3, 4) . Jika vektor A diputar dengan B sebagai sumbu putar, berapakah:a) besar dan b) tentukan r dan r c) tentukan v dan v ( = besarnya kelajuan linear ujung A )d. Dimana letak ujung vektor Ae. Dimana letak ujung vektor B

7) Pangkal vektor A dan B berada di titik O ( 3, 3, 4) . Jika vektor A diputar dengan B sebagai sumbu putar, berapakah:a) besar dan b) tentukan r dan r c) tentukan v dan v ( = besarnya kelajuan linear ujung A )d. Dimana letak ujung vektor Ae. Dimana letak ujung vektor B

8) Pangkal vektor A dan C berada di titik O ( 3, 3, 4) . Jika vektor A diputar dengan C sebagai sumbu putar, berapakah:a) besar dan b) tentukan r dan r c) tentukan v dan v ( = besarnya kelajuan linear ujung A )d. Dimana letak ujung vektor Ae. Dimana letak ujung vektor C

4. Differensiasi VektorJika komponen dari vektor A = i Ax + j Ay + k Az yaitu Ax , Ay dan Az merupakan fungsi t (waktu), maka turunan vektor A terhadap waktu (dA/dt) didefinisikan:

dAdt = i

dAx

dt + j

dA y

dt + k

dAz

dt (4-1)Jadi turunan sebuah vektor adalah vektor baru, yang komponen-komponennya merupakan turunan dari komponen-komponen vektor asalnya.

Kasus:Sebuah partikel bergerak menurut koordinat ( x, y, z ) dengan kecepatan t, sehingga x, y dan z merupakan fungsi t. Vektor yang menunjukkan perpindahan pertikel tersebut dari titik origin pada saat t adalah:

r = i x + j y + k z (4-2)Dalam kasus ini vektor r disebut vektor posisi atau koordinat vektor dari partikel tersebut. Kita bahwa vektor kecepatan adalah turunan dari vektor posisi sehingga vektor kecepatan dapat ditulis:

v = dr/dt = i

dxdt + j

dydt + k

dA z

dt (4-3)Selanjutnya vektor percepatan, yang merupakan turunan vektor kecepatan terhadap waktu dapat ditulis:

a = dv/dt = i

d2 xdt 2

+ j

d2 ydt 2

+ k

d2 zdt 2

(4-4)

Differensiasi terhadap vector productTurunan terhadap vector product mengikuti aturan yang berlaku pada penurunan dari perkalian

fungsi. Kita bahwa untuk perkalian fungsi berlaku:

ddt ( A . B ) =

dAdt B + A

dBdt , maka untuk

perkalian vektor berlaku hal yang sama:ddt ( A B ) =

dAdt B + A

dBdt (4-5a)

103

ej

er

i

y

x

er

ere

e

(x,y)(r,)

Gambar 4.1Gambar 4.2

Analisis Vektor /

ddt ( A . B ) =

dAdt . B + A .

dBdt (4-5b)

ddt ( A x B ) =

dAdt x B + A x

dBdt (4-5c)

Kasus:Untuk sebuah partikel yang bergerak melingkar dengan kelajuan tetap kita dapat menyatakan:

r2 = r . r = constan (4-6a) v2

= v . v = constan (4-6b)dengan r adalah vektor posisi partikel, dan v adalah vektor kecepatan partikel. Jika (4-6) diturunkan terhadap waktu, diperoleh:

2r .

drdt = 0 atau r . v = 0 (4-7a) 2v

.

dvdt = 0 atau v . a = 0 (4-7b)

Jika r . v = 0 diturunkan diperoleh:v . v + r . a = 0 atau r . a = v2 (4-8)

Persamaan (4-7a) membuktikan bahwa r tegak lurus terhadap v sedang (4-7b) membuktikan bahwa a juga tegak lurus terhadap v. Jadi dengan demikian maka antara a dan r harus paralel ( sudut antaranya 0) atau anti paralel ( sudut antaranya 1800).

Dengan menggunakan definisi scalar product, (4-8) dapat ditulis:r . a = r . a . cos = v2 (4-9)

Hanya ada dua kemungkinan harga ( sudut antara r dan a ) yaitu 0 atau 1800, tetapi karena harga (4-9) adalah negatif maka = 1800 dan cos = cos 1800 = 1, sehingga (4-9) menjadi:

r . a (1) = v2 atau a =

v2

r (4-10)Kasus di atas merupakan pembuktian bahwa untuk gerak melingkar dengan laju tetap maka percepatannya sebesar v2/r sedang arahnya menuju pusat ( karena membentuk sudut 1800 dengan arah r, padahal arah r adalah meninggalkan pusat lingkaran).

Vektor dalam koordinat polar dan Differensiasinya terhadap WaktuSejauh ini, kita selalu menulis vektor, yang komponen-komponennya dinyatakan dalam

koordinat rektangular dengan vektor unit i , j dan k. Pada kenyataannya kita sering harus menggunakan sistem koordinat yang lain, misal sistem koordinat polar ( untuk dua dimensi ) atau sistem koordinat spherik ( untuk tiga dimensi ). Sekarang kita akan membahas vektor dua dimensi dalam koordinat polar. (Pembahasan vektor dalam berbagai sistem koordinat akan dibahas pada bab lain ). Untuk ini perhatikan gambar 4.1. Kita bayangkan sebuah titik pada (x, y) atau (r , ), yang bergerak dengan = constan ber-arah r. Ini kita sebut gerak arah r.

104

Analisis Vektor /

Pada arah ini kita gambar vektor unit ( yaitu vektor yang panjangnya = satu ) dan kita beri nama er.

Dengan cara yang sama kita gerakkan titik itu dengan r konstan ber-arah membesarnya . Gerak ini kita sebut arah . Selanjutnya pada arah ini kita gambarkan vektor unit yang kita beri nama e. Dari

gambar 4.1 tersebut tampak bahwa dari er ke e bersudut siku dengan arah berlawanan jarum jam.

Sekarang kita telah menggambar vektor unit dalam koordinat polar yaitu er dan e . Besarnya vektor

unit koordinat polar adalah tetap, hanya arahnya saja yang berbeda jika letaknya berbeda (gambar 4.2).

Selanjutnya bagaimana hubungan antara er dan edengan i dan j ? Pembahasannya adalah

sebagai berikut:Hubungan er dengan i dan j:

Untuk vektor dua dimensi, hubungan antara r dan komponen-komponennya adalah:

r = i x + j y

Dari gambar (4-3) kita tahu bahwa x = r cos sedang y = r sin jadi:r = i r cos + j r sin

Harus diingat bahwa er adalah r yang harga skalar r nya = 1, jadi:

er = i cos + j sin (4-11)

Selanjutnya bagaimana hubungan antara e dengan i dan j ? Telah kita ketahui bahwa e bersudut

900 dari er, jadi cos berubah menjadi sin sedang sin berubah menjadi cos, jadi:

e = i sin + j sin (4-12)

Turunan er dan e terhadap waktu adalah:

der

dt = i sin

dθdt + j cos

dθdt = e

dθdt (4-13a)

deθ

dt = i cos

dθdt j sin

dθdt = er

dθdt (4-13b)

Sekarang, jika sebuah vektor komponen-komponennya dinyatakan dalam koordinat polar, misal:A = Ar. er + A e

maka turunannya adalah:dA = d (Ar. er ) + d(A e) = dAr. er + Ar . der + dA . e + A de

atau:dA = er . dAr+ Ar . der + edA + A de

Jadi turunannya terhadap waktu adalah:

y

r

x

Gambar 4.3

105

Analisis Vektor /

dAdt = er .

dA r

dt + Ar

der

dt + e

dAθ

dt + A

deθ

dt

dengan menggunakan (4-13), persamaan di atas dapat ditulis:

dAdt = er .

dA r

dt + e Ar .

dθdt + e

dAθ

dt er A

dθdt (4-14)

Soal-soal:

1. Jika vektor posisi ( yang pangkalnya di titik origin) dari gerak partikel adalah r = t2 i 2t j +

(t2+t)k, dimana t menyatakan waktu, maka:a) Kapankah partikel melalui titik A (4, 4, 8) ?b) Tentukan vektor kecepatan dan kelajuannya; tentukan pula berapa kelajuannya ketika melalui

titik A

2. Sama dengan soal no. 1, tetapi r = (4 + 3t) i + t3 j 5t k , sedang titik A berada pada (1, 1, 5).3. Apakah vektor posisi pada soal nomor 1 melalui titik ( 9, 6, 12 ) ?4. Apakah vektor posisi pada soal nomor 2 melalui titik ( 10, 6, ) ?5. Tentukan vektor percepatan dan besarnya percepatan dari vektor posisi no. 1 ? Berapa besarnya

percepatan ketika melalui titik A ?. Tentukan vektor percepatan dan besarnya percepatan dari vektor posisi no. 2 ? Berapa besarnya

percepatan ketika melalui titik A ?7. Tentukan vektor dan besarnya kecepatan jika vektor posisi r = i cos t + j sin t + t k.8. Untuk vektor posisi pada soal 7, tentukan vektor percepatan dan besarnya percepatan.9. Dalam koordinat polar, vektor posisi partikel dinyatakan dengan r = r . er. Tentukan vektor

kecepatan dan percepatannya . (gunakan persamaan 4-13)

10. Momentum angular partikel dinyatakan oleh persamaan L = mr x

drdt

Buktikan bahwa

dLdt = mr x

d2rdt2

5. Arah Derivatif d/ds ; Gradien Marilah kita menganggap bahwa T(x,y,z) adalah temperatur pada setiap titik dalam ruangan.

Bertolak dari sebuah titik tertentu, kita dapat mempertanyakan bagaimana laju perubahan temperatur terhadap jarak (dinyatakan dalam derajat per sentimeter) jika kita bergerak menjauhi/mendekati titik tertentu itu. Kemungkinan jawabannya adalah makin tinggi untuk arah tertentu , makin rendah untuk arah lain dan untuk arah tertentu laju perubahannya lebih besar dari pada untuk arah yang lain. Jadi, laju perubahan temperatur terhadap jarak bergantung pada arah pergerakan kita terhadap titik itu; konsekuensi ini disebut arah derivatif (directional derivative). Secara simbolik, directional derivative adalah nilai limit dari T/s, dengan s adalah elemen jarak dalam arah tertentu sedang T adalah perubahan temperatur. Nilai limit T/s itu ditulis dT/ds. Kita juga dapat menentukan arah yang mana dT/ds mempunyai nilai terbesar. Secara fisik, arah dengan dT/ds terbesar ini merupakan arah yang diambil oleh aliran kalor.

Sebelum mendiskusikan kalkulasi directional derivative , lebih dulu harus dimengerti bahwa directional derivative tidak hanya membahas besaran temperatur, tetapi semua besaran yang harganya merupakan fungsi jarak misalnya potensial listrik, gaya , kecepatan dan lain-lain. Secara umum directional derivative ditulis d/ds yaitu laju perubahan (x,y,z) terhadap jarak di titik tertentu

dengan arah tertentu. Lambang disebut besaran medan, yang secara garis besar ada dua macam, yaitu medan skalar dan medan vektor. Yang termasuk medan skalar adalah temperatur , medan magnet, medan listrik sedang yang termasuk medan vektor adalah gaya, kecepatan , percepatan. Sekarang kita akan membahas kalkulasi directional derivative secara umum. Nilai d/ds di titik tertentu dengan arah tertentu adalah (Boas, M.L., 1983) :

106

Analisis Vektor /

dφds

=∇ φ . u (5-1)

∇ (dibaca del) disebut gradien yang didefinisikan sebagai i ∂/∂x + j∂/∂y + k ∂/∂z sehingga:

∇ = i ∂/∂x + j∂/∂y + k ∂/∂z (5-2)

sedang u adalah unit vektor dari vektor penunjuk arah. Jika vektor penunjuk arahnya adalah A maka :

u =

AA (5-3)

Contoh Soal 1:

Diketahui = x2y + xz ; titik P (1, 2, 1) dan vektor arah A = 2i 2j + k.a) Berapakah harga di titik P ?b) Berapakah panjang vektor A ?c) Berapakah harga di ujung vektor A, jika pangkal vektor A berada di titik P ? d) Tentukan arah derivatif di titik P

Jawab:

a) Masukkan koordinat P ke dalam , jadi = 12.2 + 1.(1) = 2 1 = 1

b) A = √22+22+1 = 3c) Kita harus menentukan dulu letak ujung vektor A. Misal ujung A berada di titik ( x, y, z) maka :

Ax = x xP 2 = x 1 x = 3

Ay = y yP 2 = y 2 y = 0

Az = z zP 1 = z 1 z = 0

Jadi ujung vektor A di titik ( 3, 0, 0 ). Dengan demikian harga: di titik (3, 0, 0 ) = 0

d) Kita tentukan dulu vektor unit u.

u =

AA =

2i−2 j+k

√22+22+1 =

13 (2i 2j + k) =

23 i

23 j +

13 k

Kita tentukan ∇ di titik (1, 2, 1):∇ = i ∂/∂x + j∂/∂y + k ∂/∂z = i (2xy + z) + j ( x2) + k x

Jadi di titik (1, 2, 1) = 3i + j + k Sekarang arah derivatif dapat ditentukan yaitu:

d/ds di titik (1, 2, 1)= ∇ u 3i + j + k) . (

23 i

23 j +

13 k) = 2

23 +

13 =

53

Gradien fungsi mempunyai makna fisik dan geometrik yang penting. Hal ini dapat kita ketahui dari uraian berikut:

Dengan menggunakan sifat dot product dan mengigat u = 1, maka persamaan 5-1 dapat ditulis:

dφds

= |∇ φ|

. cos (5-4)

dengan adalah sudut antara u dengan vektor gradien ∇ Dari persamaan (5-4) dapat dipastikan

bahwa nilai maksimum d/ds adalah |∇ φ| yang terjadi apabila = 0 atau ∇ dan u se arah dan nilai

d/ds akan minimum apabila = 1800 , dengan nilai minimum |∇ φ|. Jadi dapat kita tulis:

107

u

u

d/ds

Analisis Vektor /

Laju perubahan maksimal =

dφdt max = |∇ φ| (5-5a)

Laju perubahan minimal =

dφdt min = |∇ φ| (5-5b)

Contoh Soal 2:

Diketahui bahwa temperatur sebagai fungsi koordinat dinyatakan oleh fungsi T = x2 y2 + xyz + 273. Tentukan harga maksimal dan minimal dari laju perubahan temperatur di titik (1,2, 3).Jawab:Untuk kasus ini maka fungsi adalah T.

Laju perubahan maksimal = |∇ T|.

Kita tentukan dulu ∇T, yaitu:∇ T = i ∂/∂x + j∂/∂y + k ∂/∂z = i (2x + yz) + j (2y + xz) + k (xy)

Di titik (1, 2, 3), ∇ T = 4 i 7 j 2 k

Laju perubahan maksimal di titik (1, 2, 3) = |∇ T| = √42+72+22 = √69

Laju perubahan minimal di titik (1, 2, 3) = |∇ T| = √69

Secara geometris, letak d/ds , ∇ dan u dapat kita pahami berdasarkan persamaan 5-4 dan pengertian kita tentang sudut . Marilah kita pahami uraian berikut:

1. Sudut adalah sudut antara ∇ dan u. Jadi ∇ dan u berpotongan di satu titik membentuk sudut sebesar .

Gambar 5.1

2. Dari persamaan (5-4) kita dapat nyatakan bahwa:

cos =

dφ/ds|∇ φ|

Ini berarti d/ds dan ∇ merupakan dua sisi dari sebuah segitiga siku-siku yang salah satu sudut

runcingnya adalah , sisi miringnya adalah ∇ , dab sudut itu dibentuk oleh ∇ dan d/ds jadi gambarnya adalah:

Gambar 5.2

108

P (xo,yo,zo )

u

Analisis Vektor /

Dengan demikian d/ds pasti berimpit dengan u atau dengan perkataan lain d/ds merupakan

proyeksi ∇ pada vektor penunjuk arah fungsi.

Bagaimana ∇ , jika = constan ?. Jika = constan, maka arah derivatif yaitu d/ds = 0. Ini berarti persamaan (5-1) menjadi nol atau:

dφds

=∇ φ . u= 0

Ini hanya mungkin jika vektor ∇ dan u saling tegak lurus. Jadi jika = constan, maka

gradiennya yaitu ∇ tegak lurus terhadap vektor u.

Gambar 5.3

Selanjutnya (gambar 5.3) marilah kita anggap bahwa u merupakan tangen terhadap permukaan = constan di titik P (x0, y0, z0 ) ( artinya u menyinggung permukaan di titik P).

Telah kita ketahui bahwa untuk = constan, maka ∇

tegak lurus terhadap vektor u. Jika u

menyinggung permukaan bidang di P, maka dapat disimpulkan bahwa ∇

tegak lurus terhadap permukaan bidang = constan.

Vektor ∇ adalah vektor yang tegak lurus pada permukaan = constan

Karena ∇ adalah harga directional derivative dalam arah normal (yaitu tegak lurus) terhadap

permukaan maka ia disebut normal derivative dan ditulis ∇ = d/dn.Sekarang kita tahu bahwa arah laju perubahan terbesar dari fungsi terhadap jarak adalah

yang tegak lurus terhadap garis ekipotensial = const. Jika hal ini diterapkan untuk kasus

temperatur, maka arah maksimum dT/ds = ∇T adalah tegak lurus garis isotermal. Besaran ∇ T di sembarang titik ini disebut gradien temperatur. Contoh 3:

Diketahui permukaan x3y2z = 12 , tentukan persamaan bidang tangen dan garis normal pada titik (1, 2, 3).Jawab: Bidang tangen dari sebuah permukaan di titik (1, 2, 3) adalah bidang yang melalui (1, 2, 3) dan tegak lurus pada vektor normal permukaan itu.Permukaan tersebut adalah salah satu dari persamaan umum w = x3y2z , jadi arah vektor normalnya adalah arah dari gradiennya yaitu:

∇ w = 3 x2y2z i + 2 x3yz j + x3y2 k = 36 i 12 j + 4 k di titik (1, 2, 3)Vektor paling sederhana yang arahnya sama dengan vektor di atas adalah:

9 i – 3 j + kJadi persamaan bidang tangen adalah bidang yang melalui (1, 2, 3) dan tegak lurus terhadap vektor 9 i – 3 j + k. Persamaannya adalah (lihat bab 3):

9 (x – 1) 3(y + 2) + (z – 3) = 0sedang persamaan garis normalnya adalah :

x−19 =

y+2−3 =

z−31 (5-6)

109

Analisis Vektor /

Dalam persamaan (5-2) kita telah menyatakan ∇ dalam koordinat rektangular. Dalam

banyak hal, kita membutuhkan ∇ dalam sistem koordinat yang lain misal dalam koordinat polar (2 dimensi, dapat dinyatakan bahwa:

∇ = er

∂φ∂r + e

1r∂φ∂θ (5-7)

dengan er dan eadalah unit vektor untuk arah r dan .

Soal 5:1. Tentukan gradien dari w = x2y3z di titik (1, 2, 1).2. Bertolak dari titik (1, 1) , dalam arah bagaimanakah fungsi = x2 – y2 + 2xy menurun paling tajam

?3. Tentukan directional derivative dari xy2 + yz pada (1, 1, 2) dalam arah vektor 2i – j + 2k.4. Tentukan directional derivative dari z ex cos y pada (1, 0, ) dalam arah vektor i + 2j .5. Tentukan gradien dari = z sin y – xz pada titik (2, /2, 1). Bertolak dari titik itu, dalam arah

apakah mengalami penurunan paling tajam ? Tentukan directional derivative dari dalam arah vektor 2i + j.

6. Tentukan persamaan bidang tangen dan garis normal dari permukaan x2 + y2 – z = 0 pada titik (3, , 25).

6. Beberapa Pernyataan yang Berhubungan dengan ∇

Jika kita menyatakan ∇ = i

∂φ∂ x + j

∂φ∂ y + k

∂φ∂ z maka berarti ∇ = i

∂∂ x + j

∂∂ y + k

∂∂ z . Mengenai

∇ , suatu hal yang perlu diketahui adalah bahwa ∇ tidak mempunyai arti apa-apa jika tidak beroperasi terhadap fungsi apapun (seperti juga d/dx yang tidak mempunyai arti apapun apa bila tidak beroperasi pada suatu fungsi).

Selanjutnya ∇ kita sebut operator vektor dan kita definisikan:

∇ = i

∂∂ x + j

∂∂ y + k

∂∂ z (6-1)

Operator ∇ ini lebih rumit dari pada d/dx ( yang cuma operator skalar) sebab ∇ memiliki sifat-sifat vektor juga.

Sejauh ini, kita telah membahas ∇ , dengan skalar; selanjutnya kita akan membahas operasi ∇ terhadap vektor. Kita anggap saja V(x, y, z) adalah fungsi vektor, dengan Vx, Vy, Vz adalah komponen-komponennya. Hubungan antara V dan komponen-komponennya adalah:

V(x, y, z) = i Vx + j Vy + k VzSecara fisik, V menyatakan medan vektor (misal medan listrik dari sebuah titik bermuatan). Setiap titik dalam ruangan, masing-masing mempunyai V tetapi nilai dan arahnya dapat bervariasi untuk

masing-masing titik. Kita dapat membentuk dua buah kombinasi ∇ dengan V yaitu divergensi V disingkat div. V [ persamaan (6-2)] dan curl V [persamaan (6-3)

div V = ∇ . V = i

∂Vx∂ x + j

∂Vy∂ y + k

∂Vz∂ z (6-2)

curl V = ∇ x V =

|

i∂∂ xVx

j∂∂ yVy

k∂∂ zVz

|

= i (∂Vz∂ y

−∂Vy∂ z )

+ j (∂Vx∂ z

−∂Vz∂ x )

+ k (∂Vy∂ x

−∂Vx∂ y )

(6-3)

110

Analisis Vektor /

Kuantitas ∇ dalam (5-2) adalah fungsi vektor; dengan demikian kita dapat menggunakan ∇

sebagai pengganti V pada (6.2) sehingga kita memperoleh ∇ . ∇ = div ∇ = div grad = ∇ 2 yaitu:

∇ 2 ∇ . ∇

∂2 φ∂ x2

+ ∂2 φ∂ y2

+ ∂2 φ∂ z2

(Laplacian) (6-4)Laplacian merupakan bagian dari beberapa persamaan matematika fisik yang penting yaitu:

∇ 2 = 0 disebut persamaan Laplace

∇ 2 =

1a2

∂2 φ∂ t2

disebut persamaan gelombang

∇ 2 =

1

a2 ∂φ∂ t disebut persamaan difusi atau persamaan konduksi kalor

Bagaimana penyelesaian persamaan-persamaan tersebut, akan dibahas pada bab 13.

Soal 6:Hitunglah divergensi dan curl dari medan vektor berikut:1) r = x i + y j + z k 2) r = x i + y j3) V = x2 i + y2 j + z2 k 4) V = x sin y i + cos y j + xy k

Hitunglah nilai Laplacian ∇ 2 dari medan skalar berikut: 5) x3 – 3xy2 + y3 6) ln (x2 + y2 )7) xy ( x2 + y2 – 5z2) 8) (x2 + y2 + z 2) 1/2 9) ln (x2 + y2 + z2 )

Untuk r = x i + y j + z k, evaluasilah:

10) ∇ x ( k x r )

11) ∇ . ( r| r | )

12) ∇ x ( r| r | )

7. Integral garisPada paragraf 2, kita membahas fakta bahwa kerja yang dilakukan oleh gaya F pada sebuah obyek sehingga obyek itu mengalami perpindahan sepanjang dr adalah:

dW = F . dr (8-1)Dimisalkan sebuah obyek bergerak sepanjang lintasan (katakan dari A ke B), dengan gaya F beraksi padanya . Gaya F ini dapat bermacam-macam atau bervariasi sebagaimana bervariasi gerakan obyek. Sebagai contoh, jika F adalah gaya pada partikel yang bermuatan dalam sebuah medan listrik, maka F dapat berubah-ubah dari titik ke titik, atau dapat dikatakan bahwa F dapat merupakan fungsi x, y dan z. Namun, dalam sebuah kurva, variabel x, y, z bukan variabel yang sepenuhnya bebas, tetapi mereka dihubungkan oleh persamaan kurva tersebut. Dalam sistem 3 dimensi, dibutuhkan dua persamaan untuk menentukan kurva (sebagai perpotongan dari dua bidang; sebagai contoh persamaan garis lurus dalam bab 3). Jadi sepanjang kurva hanya ada sebuah variabel yang benar-benar variabel bebas; selanjutnya kita dapat menuliskan F dan dr = i dx + j dy + k dz sebagai fungsi variabel tunggal. Sehingga integral dari dW = F . dr sepanjang kurva menjadi sebuah integral ordiner (biasa) dari sebuah fungsi variabel tunggal dan kita dapat mengevaluasinya untuk

111

F

dr

AB

x

y

z

Gambar 7.1

Analisis Vektor /

mendapatkan kerja total yang dilakukan oleh F dalam gerakan obyek dari A ke B seperti ditunjukkan oleh gambar 7.1.

Integral seperti ini disebut integral garis yaitu integral sepanjang kurva (garis). Hal esensial yang harus dipahami benar dalam integral garis ini adalah bahwa di sini hanya ada sebuah variabel bebas, karena kita telah menggambarkan lintasan gerakan itu dalam sebuah kurva. Dalam dua dimensi, persamaan kurva dapat ditulis sebagai y = f(x) dengan x variabel bebas. Dalam tiga dimensi, persamaan kurva (misal garis lurus) dapat dinyatakan sebagaimana (5-6) (dimana kita dapat menentukan x sebagai variabel bebas dan mendapatkan y dan z sebagai fungsi x) atau kita tentukan sembarang variabel bebas, dan selanjutnya kita tentukan x, y dan z sebagai fungsi dari variabel bebas tersebut. Jadi untuk mengevaluasi integral garis, kita harus menuliskannya dalam bentuk integral tunggal dengan menggunakan sebuah variabel bebas.

Contoh 1:Diketahui gaya F = xyi – y2j , tentukan kerja yang dilakukan oleh F sepanjang lintasan dari (0, 0) sampai (2, 1) sebagaimana ditunjukkan oleh gambar 7.2 .Jawab:Karena r = xi + yj , maka pada bidang (x, y) kita mempunyai:

dr = i dx + j dy,sehingga:

F . dr = xy dx – y2dyKita ingin mengevaluasi:

W = ∫ (xy dx − y2dy ) (7-2)

Pertama, kita harus menulis integran dalam term satu variabel. Sepanjang lintasan 1 (garis lurus), y = ½ x, jadi dy = ½ dx. Subsitusikan nilai itu ke dalam (7-2), maka kita telah menyatakan integral dalam sebuah variabel. Batas x pada gambar 7.2 adalah 0 dan 2, jadi:

W=∫0

2

[ x .12

x dx −( 12

x)2

.12

dx]=∫0

238

x2 dx =[ x3

8 ] 0

2

= 1

x

y

1 (2, 1)

1 24

3

1. Lintasan garis lurus y = ½ x

2. Lintasan parabola y = ¼ x2

3. Lintasan garis patah

4. x = 2t3 , y = t2

112

Analisis Vektor /

Gambar 7.2

Kita juga boleh menggunakan y sebagai variabel bebas dan meletakkan x = 2y , jadi dx = 2 dy, dan dengan batas y antara 0 dan 1, persamaan (7-2) diintegralkan: Kita akan memperoleh hasil yang sama

Selanjutnya kita selesaikan lintasan 2 dalam gambar 7.2, yaitu parabola y = ¼ x2, jadi dy = ½ x dx. Di sini variabel bebasnya dinyatakan dalam x dengan batas 0 dan 2, hingga kita memperoleh:

W2 = ∫0

2

( x .14

x2 dx − 116

x4 .12

x dx ) =

23

Untuk lintasan 3 [ ( lintasan garis patah (0 , 0) sampai (0, 1) dilanjutkan dari (0, 1) sampai (2, 1) ] kita harus menggunakan metode yang berbeda. Pertama kita integralkan dulu dari (0, 0) sampai (0, 1) kemudian dari (0, 1) sampai (2, 1) dan dijumlahkan. Sepanjang (0, 0) sampai (0, 1), maka x = 0 dan dx = 0, sehingga kita menggunakan y sebagai variabel bebas:

∫y= 0

1

( 0 . y . 0 − y2 dy )= −1

3Sepanjang penggal garis (0, 1) sampai (2, 1), maka y yang konstan yaitu y = 1, jadi dy = 0. Di sini kita gunakan x sebagai variabel bebas dan integralnya:

∫x= 0

2

( x . 1 . dx − 1 . 0 ) = 2

Jadi pada lintasan 3:

W3 = −1

3 + 2 =

53

Pada lintasan 4, kita gunakan t sebagai variabel bebas . Jadi x diganti 2t3, y diganti t2, dx diganti 6t2 sedang dy diganti 2t dt. Berapa batas pengintegralan t ? Di titik (0,0) t = 0, sedang di titik (2,1) t = 1, jadi batas integrasinya adalah t = 0 sampai 1. Jadi:

W4 = ∫

t = 0

1

( 2t3 . t2 . 6 t2dt− t4 . 2t dt ) = 76

Contoh 2 :

Tentukan nilai : I =

∫0

x dy − y dxx2+ y2

untuk masing-masing lintasan dari (1, 0) sampai (1, 0) seperti tampak pada gambar 7.3. ( Catatan: I

adalah W = ∫F . d r

, dengan F =

i y + x j

x2+ y2 sedang dr = i dx + j dy )

x

113

Gambar 7.3

(1, 0) (1, 0)

(, 1)

12

Analisis Vektor /

x = r cos = cos dx = sin dy = r sin = sin dy = cos dx2 + y2 = r2 = 1

Jadi:

x dy − y dxx2+ y2

=cosθ cosθ d θ− sinθ (−sin θ ) d θ

1= d θ

Bagaimana batas integrasi ? Untuk titik (1, 0) diperoleh = dan di titik (1, 0), = 0, jadi batas integralnya adalah = sampai 0, sehingga untuk lintasan 1:

I1 = ∫

θ=π

0

d θ =

Untuk lintasan 2, kita harus mengintegralkan dari (1, 0) ke (0, 1) dan dari (0, 1) ke (1, 0) dan hasilnya dijumlahkan. Persamaan garis lurus yang pertama adalah y = x + 1, jadi dy = dx dan integralnya adalah:

∫−1

0x dx −(x + 1 ) dx

x2+(x + 1 )2 = ∫−1

0− dx

2 x2+ 2x + 1=∫

−1

0− 2 dx

( 2x + 1 )2+ 1

= [−arc tg (2x + 1 )]−1

0

= arc tg 1 + arc tg (1) =

π2

Persamaan garis lurus kedua adalah y = 1 – x ; jadi dy = dx dan integralnya adalah:

−∫0

1x dx +(1 − x ) dx

x2+(1 − x )2 = ∫0

1− 2 dx

( 2x − 1 )2+ 1 = [−arc tg (2x − 1)]0

1

=

π2

Jadi nilai I pada lintasan 2 adalah I2 = .

Medan Konservatif. Perlu dicatat, bahwa pada contoh 1, jawabnya berbeda untuk masing-masing lintasan, sedang pada contoh 2, kedua lintasannya memberikan hasil yang sama. Kita dapat menjabarkan makna fisis dari fakta ini jika kita menginterpretasikan integral dalam semua kasus

Untuk lintasan 1, akan lebih mudah jika kita gunakan koordinat polar ; untuk ini r = 1 , dan kita gunakan sebagai variabel bebas. Kita tahu bahwa pada transformasi ke koordinat polar:

114

Analisis Vektor /

sebagaimana kasus kerja yang dilakukan oleh gaya pada obyek yang bergerak sepanjang lintasan yang diintegrasikan. Bayangkan kita akan membawa balok besar, menyeberangi jalan dan memasukkannya di dalam truk. Bandingkan kerja yang dilakukan bila proses itu dilakukan melalui tahapan menyeretnya lalu mengangkatnya ke dalam truk dengan mengangkatnya dulu kemudian kita ayunkan agar masuk ke dalam truk. Dalam proses yang pertama kerja harus melawan gesekan antara balok dengan permukaan jalan dan kemudian ditambah dengan kerja untuk mengangkat balok ke dalam truk; sedang pada proses yang kedua tidak diperlukan kerja untuk melawan gesekan antara balok dengan permukaan jalan. Jadi dapat kita lihat bahwa kerja memindahkan obyek dari satu titik ke titik yang lain bergantung pada lintasan yang dilalui oleh obyek tersebut; tepatnya bergantung pada besar-kecilnya gesekan antara obyek dengan lintasannya. Contoh 1 adalah kasus seperti itu.

Medan gaya yang berhubungan dengan W = ∫F . d r

yang bergantung pada lintasan yang dilalui disebut medan non konservatif ; secara fisik ini berarti bahwa sebagian energi telah hilang, katakan

saja karena gesekan. Selain itu ada medan konservatif yaitu medan yang memberikan W = ∫F . d r

yang sama untuk memindahkan sebuah obyek dari titik ke titik lain, meski lintasannya berbeda. Salah satu contoh adalah kerja untuk menaikkan benda bermassa m ke puncak bukit yang tingginya h adalah W = m g h, tidak peduli benda tersebut digendong atau diseret melalui kemiringan bukit (selama tidak ada friksi antara benda dengan lereng). Jai, medan gravitasi adalah medan konservatif.

Adalah tidak terlalu sulit untuk memahami hal itu. Kita lihat hubungan antara F dan fungsi W(x, y, z) dalam bentuk:

F = ∇W = i

∂W∂ x + j

∂W∂ y + k

∂W∂ z

(7-3)

Fx =

∂W∂ x ; Fy =

∂W∂ y ; Fz =

∂W∂ z

Kemudian dengan menggunakan fakta bahwa ∂2 W /∂ x∂ y=∂2 W /∂ y∂ x , dan seterusnya, maka dari

(7-3) kita memperoleh:∂Fx

∂ y= ∂2W∂ y∂ x

= ∂F y

∂ x dan analog dengan itu:(7-4)

∂F y

∂ z =

∂ Fz

∂ y dan

∂Fx

∂ z =

∂F z

∂ xDengan menggunakan definisi curl F ( pada paragraf 6), dapat kita lihat bahwa persamaan (7-4)

mengatakan bahwa tiga komponen dari curl F adalah nol. Jadi, jika F = ∇W, maka curl F = 0.

Dengan analogi terbalik , jika curl F = 0 , maka berlaku F = ∇W . Sekarang jika F = ∇W, kita dapat menyatakan bahwa:

F . dr = ∇W . dr =

∂W∂ x dx +

∂W∂ y dy +

∂W∂ z dz = dW,

(7-5)

Adalah sangat penting, untuk mengetahui sifat medan (konservatif atau non

konservatif) sebelum melakukan integrasi. Integrasi ∫F . d r

berada dalam medan konservatif jika curl F = 0, dan berada dalam medan non konservatif jika curl F ¿ 0

115

Analisis Vektor /

∫A

B

F . d r =∫A

B

dW = W(B) – W(A)

W(A) dan W(B) adalah nilai fungsi W di kedua ujung lintasan integrasi . Karena nilai integral hanya bergantung pada nilai ujung B dan A, maka nilai integral tidak bergantung pada lintasan yang dilalui, dan F adalah konservatif.

Potensial. Dalam mekanika, jika F = ∇W (artinya, jika F adalah konservatif), maka W adalah kerja yang dilakukan oleh F. Contohnya, jika sebuah benda bermassa m jatuh dari ketinggian z dalam medan gravitasi, kerja yang berlaku padanya adalah mgz. Namun, jika kita mengangkat benda bermassa m sehingga ketinggiannya z melawan gravitasi, kerja yang dilakukan oleh F gravitasi adalah W = mgz, karena arah gerak berlawanan dengan F. Bertambahnya energi potensial m dalam

kasus ini adalah = mgz, jadi, W = atau F = ∇ Fungsi disebut energi potensial atau potensial skalar dari gaya F. (Sudah barang tentu, dapat diganti dengan menambah sembarang konstanta; ini dapat disamakan dengan pilihan level nol dari energi potensial dan tidak berpengaruh terhadap F). Secara lebih umum, untuk sembarang vektor V, jika curl V = 0, maka ada fungsi , yang disebut potensial skalar dari V, sedemikian sehingga V = ∇ . (Ini adalah definisi yang lazim dari potensial dalam mekanika dan elektrisitas ; dalam hidrodinamika, banyak penulis membuat

definisi potensial kecepatan dalam bentuk V = +∇ ).Sekarang, anggaplah bahwa kita diberi F atau dW = F . dr , dan melalui kalkulasi kita

mendapatkan curl F = 0. Selanjutnya kita tahu bahwa ada fungsi W dan kita ingin mengetahui bagaimana mendapatkannya. Untuk mengerjakannya, kita dapat mengkalkulasi integral garis dalam (7-5) dari titik A yang direkomendasikan ke titik variabel B pada sembarang lintasan yang paling mudah (ingat bahwa jika curl F = 0 maka F konservatif sehingga lewat lintasan manapun di antara ke dua titik ujung harga W sama, oleh karena itu kita pilih lintasan yang paling mudah ) ; karena nilai integral adalah independent terhadap lintasan jika curl F = 0, akibatnya proses ini menghasilkan nilai W di titik B. (Tentu saja ada konstanta tambahan dalam W yang nilainya bergantung pada pilihan kita terhadap titik A yang direkomendasikan) .

Contoh 3:Tunjukkan bahwa:

F = (2xy – z3) i + x2 j – (3xz2 + 1) k (7-6)adalah konservatif dan tentukan energi potensial (skalar potensial) .Jawab:

curl F = ∇ x F =

|

i∂∂ x

2 xy−z3

j∂∂ yx2

k∂∂ z

−3 xz 2−1

|

= 0 (7-7)jadi F adalah konservatif. Selanjutnya:

W = ∫A

B

F . d r = ∫A

B

( 2 xy − z3 ) dx + x2 dy −(3xz2+ 1) dz(7-8)

adalah independen terhadap lintasan. Marilah kita pilih titik origin sebagai titik yang direkomendasikan dan integrasikan (7-8) dari titik origin ke titik (x, y, z). Yang kita pilih sebagai lintasan yang diintegrasikan adalah garis patah dari (0, 0, 0) ke (x, 0, 0) ke (x, y, 0) ke (x, y, z). Dari (0, 0, 0) ke (x, 0, 0) persamaan garisnya adalah y = z = 0, jadi dy = dz = 0, sehingga integral sepanjang penggalan lintasan ini adalah nol atau :

W1 = 0Selanjutnya dari titik (x, 0, 0) ke (x, y, 0), persamaan garisnya adalah x = konstan ; z = 0, jadi dx = dz = 0, sehingga integralnya adalah:

116

Analisis Vektor /

W2 =

∫0

y

x2 dy= x2∫0

y

dy = x2 y

Dari titik (x, y, 0) ke (x, y, z), persamaan garisnya adalah x = konstan ; y = konstan, jadi dx = dy = 0, sehingga integralnya adalah:

W3 =

−∫0

z

( 3x z2+ 1 ) dz =− x z3− z

Jumlah ketiga hasil integralnya adalah:

W = W1 + W2 + W3 = x2 y − x z3 − z (7-9)

jadi:

= W = − x2 y + x z3 + z (7-10)

Differensial Eksak. Differensial terhadap fungsi W(x, y, z) dalam (7-5) disebut differensial eksak. Sehingga dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa curl F = 0 adalah kondisi yang diperlukan dan cukup bagi F . dr atau dW agar menjadi differensial eksak. Untuk lebih jelasnya kita lihat beberapa contoh untuk menguji apakah F . dr merupakan differensial eksak atau tidak.

Contoh 4: Dari W = x2y – xz3 – z , selidikilah apakah dW = F . dr adalah differensial eksak:Jawab:dW adalah differensial eksak jika:

∂2 W∂ x ∂ y

= ∂2 W∂ y∂ x ;

∂2 W∂ x ∂ z

= ∂2W∂ z ∂ x dan

∂2 W∂ y ∂ z

= ∂2 W∂ z ∂ y

Kita cari dulu turunan parsial pertamanya::

∂W∂ x

= 2 x y − z3

;

∂W∂ y

= x2

;

∂W∂ z

=−3 x z2− 1 ;

Turunan parsial keduanya:

∂2 W∂ x ∂ y

= ∂∂ x

∂W∂ y

= ∂∂ x

x2= 2x

∂2 W∂ y ∂ x

= ∂∂ y

∂W∂ x

= ∂∂ y

( 2 x y − z3 )= 2x

Jadi syarat ke 1 yaitu

∂2 W∂ x ∂ y

= ∂2 W∂ y∂ x dipenuhi.

∂2 W∂ x ∂ z

= ∂∂ x

∂W∂ z

= ∂∂ x

(−3 x z2− 1 )=− 3 z2

∂2 W∂ z ∂ x

= ∂∂ z

∂W∂ x

= ∂∂ x

( 2 xy − z3 )=− 3 z2

Jadi syarat ke 2 yaitu

∂2 W∂ x ∂ z

= ∂2W∂ z ∂ x dipenuhi.

∂2 W∂ y ∂ z

= ∂∂ y

∂W∂ z

= ∂∂ y

(−3xz2− 1)= 0

∂2 W∂ z ∂ y

= ∂∂ z

∂W∂ y

= ∂∂ z

( x2 )= 0

117

Analisis Vektor /

Jadi syarat ke 3 yaitu

∂2 W∂ y ∂ z

= ∂2 W∂ z ∂ y dipenuhi.

Karena ketiga syarat dipenuhi, maka dW differensial eksak.

Contoh 5: Diketahui dW = (2xy – z3 ) dx + x2 dy + (3xz2 + 1 ) dz , selidikilah apakah dW = F . dr adalah differensial eksak:Jawab: ( Beda contoh 5 dari contoh 4 adalah pada contoh 4 yang diketahui fungsi W sedang pada contoh 5 yang diketahui adalah dW. Ini lebih mudah karena jika dW diketahui, maka turunan parsial pertamanya langsung terlihat). Turunan parsial pertamanya adalah:

∂W∂ x

= 2 x y − z3

;

∂W∂ y

= x2

;

∂W∂ z

=+3 x z2+ 1

dW adalah differensial eksak jika:∂2 W∂ x ∂ y

= ∂2 W∂ y∂ x ;

∂2 W∂ x ∂ z

= ∂2W∂ z ∂ x dan

∂2 W∂ y ∂ z

= ∂2 W∂ z ∂ y

Turunan parsial keduanya:∂2 W∂ x ∂ y

= ∂∂ x

∂W∂ y

= ∂∂ x

x2= 2x

∂2 W∂ y ∂ x

= ∂∂ y

∂W∂ x

= ∂∂ y

( 2 x y − z3 )= 2x

Jadi syarat ke 1 yaitu

∂2 W∂ x ∂ y

= ∂2 W∂ y∂ x dipenuhi.

∂2 W∂ x ∂ z

= ∂∂ x

∂W∂ z

= ∂∂ x

( 3 x z2+ 1 )= 3 z2

∂2 W∂ z ∂ x

= ∂∂ z

∂W∂ x

= ∂∂ x

( 2 xy − z3 )=− 3 z2

Jadi syarat ke 2 yaitu

∂2 W∂ x ∂ z

= ∂2W∂ z ∂ x tidak dipenuhi.

Karena salah satu syarat tidak dipenuhi maka dW pasti bukan differensial eksak. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa F yang bekerja non konservatif karena dW bukan differensial eksak.

Soal 7:

1) Evaluasilah integral garis ∫( x2− y2 ) dx − 2xy dy dari (0, 0) sampai (1, 2) melalui lintasan:

a) y = 2x2

b) x = t2 , y = 2t

2) Evaluasilah integral garis ∮ (x+2 y )dx− 2x dy dengan arah berlawanan jarum jam dalam lintasan

tertutup berupa:

a) lingkaran x2 + y2 = 1b) segi empat yang sudut-sudutnya berada pada titik-titik (1, 1) , (1, 1), (1, 1) dan (1, 1)c) segi empat yang sudut-sudutnya berada pada titik-titik (0, 1) , (1, 0), (0, 1) dan (1, 0)

3) Evaluasilah integral garis ∫ xy dx + x dy dari

titik (0, 0) sampai (1, 2) sepanjang lintasan yang ditunjukkan oleh gambar di samping.

a) dari (0, 0) langsung ke (1, 2)b) dari (0, 0) ke (0, 2) ke (1, 2)c) dari (0, 0) ke (3, 0) ke (1, 2)

(1, 2)

(0, 0) 1 2 3

1

2y

x

118

Analisis Vektor /

4) Tentukan kerja yang dilakukan oleh gaya F = x2y i – x y2j dari (1, 1) sampai (4, 2) melalui lintasan:

a) dari (1, 1) langsung ke (4, 2)b) dari (1, 1) ke (1, 0) ke (4, 0) ke (4, 2)

6) Tentukan kerja yang dilakukan oleh gaya F = (2 xy – 3 ) i + x2 j ketika memindahkan obyek dari (1, 0) ke (0, 1) melalui lintasan:

a) garis lurus dari (1,0) ke (0, 1)b) busur ¼ lingkaran melalui (1, 0) ke (0, 1)c) garis patah dari (1, 0) ke (1, 1) ke (0, 1)

Ujilah apakah medan gaya berikut konservatif, kemudian tentukan energi potensialnya.7) F = i – z j – y k8) F = (3x2y z – 3y ) i + (x3z – 3x ) j + (x3y + 2 z ) k9) Diketahui F1 = 2 x i – 2 y z j - y2 k dan F2 = y i – x j

a) Mana yang merupakan gaya konservatif ? Tentukan energi potensial untuk gaya yang konservatif).

b) untuk yang non konservatif tentukan kerja yang dilakukan jika gaya itu bekerja pada obyek sehingga obyek itu berpindah dari titik (1, 1) ke

titik (1, 1), melalui lintasan (lihat sket):

b.1) busur lingkaranb.2) lurus dari (1, 1) langsung ke (1, 1)b.3) dari (1, 1) ke (1, 1) ke (1, 1)

10. a) Mana medan gaya yang konservatif : F1 = y i + x j + z k atau F2 = y i + x j + z k

b) Untuk masing-masing medan tentukan kerja ( W1 dan W2 ) yang dilakukan untuk memindahkan obyek dari (0, 0, 0) ke (x, y, z).

c) Tentukan dW1 atau dW2 yang differensial eksak

*8. Teorema Green dalam BidangTeorema fundamental dalam kalkulus mengatakan bahwa integral dari differensial sebuah

fungsi adalah fungsi itu, atau lebih tepatnya:

∫a

bd

dx f ( x ) dx=[ f ( x ) ] a

b = f (b )− f (a )(8-1)

(4, 2)

(1, 1)

(0, 1)

(1, 0)

ab

c

x

y

y

x

(1, 1)

(1, 1)

x

y

119

Analisis Vektor /

Kita akan membahas beberapa generalisasi dari teorema ini dalam dua dan tiga dimensi. Kita misalkan P(x, y) dan Q(x, y) adalah fungsi yang turunan parsial pertamanya kontinum. Kita akan

membahas integral dobel dari

∂∂ x

Q( x, y )ke seluruh

permukaan segi empat dalam gambar 8.1 dan menunjukkan bahwa hasil integral dobel tersebut sama dengan integral garis sekeliling garis batas segi empat. Pertama kita tulis integral dobel dan lakukan integrasi atas x dengan menggunakan (8-1) untuk memperoleh:

∬A

∂ Q(x, y )∂ x

dx dy =∫c

d

∫a

b ∂ Q(x, y )∂ x

dx dy

= ∫c

d

[Q( x , y )] ab

dy =∫c

d

[Q (b, y − Q (a,y )] dy (8-2)

Selanjutnya evaluasi ∮Q( x , y ) dy sepanjang keliling C dengan arah berlawanan jarum jam,

sedemikian rupa sehingga A selalu berada di sebelah kiri ketika kita mengelilingi C. Sepanjang sisi horisontal A dalam gambar 8.1, dy = 0, jadi integralnya juga nol. Sepanjang sisi sebelah kanan, x = b, dan y bergerak dari c ke d. Sepanjang sisi sebelah kiri, x = a, dan y bergerak dari d ke c. Jadi,

∮C

Q( x , y ) dy =∫c

d

Q( b , y ) dy + ∫d

c

Q(a , y ) dy

= ∫c

d

[Q(b , y )− Q (a , y ) ] dy(8-3)

Selanjutnya melalui (8-2) dan (8-3) kita mempunyai:

∬A

∂Q∂ x

dx dy = ∮C

Q dy(8-4)

Dengan cara yang sama kita dapat memperoleh:

∬

A

∂ P∂ y

dx dy = ∮C

P dx(8-5)

Kombinasi (8-4) dan (8-5), kita peroleh:

∮C

P dx + Q dy=∬A(∂Q∂ x

−∂P∂ y ) dx dy

(8-6)Kita telah melakukan pembuktian untuk segi empat. Selanjutnya kita bahas area A dalam bidang (x , y) yang dibatasi oleh kurva tertutup. Kita asumsikan bahwa A dapat dipandang sebagai himpunan sejumlah besar segi empat kecil-kecil (lihat gambar 8.2). Jumlah dari seluruh integral dobel dalam (8-6) untuk seluruh segi empat dalam gambar 8.2 adalah integral dobel untuk seluruh area A. Integral garis seluruh interior batas segi empat, saling menghilangkan satu sama lain; sebagai contoh perhatikan integral untuk segi empat 1 dan

Gambar 8.2

D

E

A

C

120

Analisis Vektor /

2. Pada sisi DE terdapat dua integral yang berada dalam arah yang berlawanan; hal seperti itu juga terjadi pada sisi-sisi segi empat yang lain. Dengan demikian, jika kita mengambil arah C berlawanan dengan jarum jam maka persamaan (8-6) adalah valid untuk dikenakan pada area A pada gambar 8.2.

Selanjutnya marilah kita gunakan notasi ∂ A (yaitu batas atau boundary dari A) untuk menyatakan kurva C dalam gambar 8.2. sedemikian rupa sehingga kita mempunyai:

Dengan teorema Green kita dapat lebih mudah dalam menghitung integral garis keliling lintasan tertutup maupun integral dobel untuk area terbuka. Contoh 1. Dalam contoh 1 paragraf 7, kita telah memperoleh integral garis (7-2) melalui beberapa lintasan (gambar 7.2). Anggaplah kita akan menghitung integral garis pada lintasan tertutup (gambar 8.3) dari (0, 0) ke (2, 1) dan arah baliknya sebagaimana tampak pada gambar. Gunakan teorema Green.Jawab:Dari paragraf 7 contoh 1, masalah ini merupakan kerja yang dilakukan sepanjang lintasan 2 dikurangi kerja yang dilakukan sepanjang lintasan 3 (karena sekarang, kita mengambil arah berlawanan); kita memperoleh:

W2 – W3 =

23−5

3 = 1.Marilah kita lakukan perhitungan yang sama, tetapi dengan menggunakan teorema Green. Dari (7-2) dan (8-7) kita peroleh:

W =

∮∂ A

xy dx − y2 dy=∬A[ ∂∂ x

(− y2 )− ∂∂ y

xy ] dx dy

= ∬

A

− x dx dy =

∫y=0

1

∫x=0

2√ y

x dx dy

= ∫

y=0

1

12

(2√ y )2 dy = 1

Tampak bahwa hasil yang kita peroleh sama.

Soal 8:1) Turunkan peramaan (8-5) dengan cara yang sama dengan cara memperoleh persamaan (8-4).

Untuk nomor 2 sampai dengan 4, gunakan teorema Green (8-7) untuk mengevaluasi::

2) ∮2 x dy − 3y dxdari sebuah bujur sangkar yang dibatasi oleh (0, 2) , (2, 0) , (2, 0) dan (0, 2)

Teorema Green untuk Bidang:

∬A(∂Q∂ x

−∂P∂ y ) dx dy = ∮

∂ A

P dx + Q dy (8-7)

Integral garis berarah berlawanan arah jarum jam; P = P(x , y) dan Q = Q(x , y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinum di sembarang titik pada A.

(2, 1)

3

y

2

x(0, 0)

Gambar 8.3

x = 2√ y

121

vt

A vA’

Unit normalthd A

Gambar 9.1

Analisis Vektor /

3) ∮C

xy dx + x2 dy dengan C sebagaimana tampak

pada gambar .

4) ∮C

e x cos y dx − ex sin y dy dengan C adalah

garis patah-patah dari A (ln2, 0) ke D (0, 1) kemudian ke B (ln2 , 0).

Evaluasilah integral berikut dengan cara yang anda sukai:

5) ∮ (2 y dx − 3x dy ) untuk bujur sangkar yang dibatasi oleh x = 3, x = 5, y = 1 dan y = 3.

6. ∫( y2−x2 ) dx +(2 xy + 3) dy sepanjang sumbu x dari (0, 0) sampai (√5 , 0) kemudian

sepanjang busur lingkaran dari (√5 , 0 ) sampai (1, 2).

*9. Divergensi dan Teorema DivergensiPada paragraf sebelum ini, kita telah mendefinisikan divergensi terhadap vektor V(x , y, z) yaitu:

div V = ∇ . V =

∂V x

∂ x+∂V y

∂ y+∂V z

∂ z (9-1)Kita sekarang akan melakukan investigasi terhadap arti dan penggunaan divergensi dalam aplikasi fisik. Bayangkanlah suatu aliran air. Kita dapat imajinasikan bahwa di setiap titik ada sebuah vektor v yang sama dengan kecepatan air di titik itu. Selanjutnya fungsi vektor v dianggap mewakili sebuah medan vektor. Garis singgung kurva terhadap v disebut stream line. Dengan pola pikir yang sama, pembahasan ini, dapat pula diaplikasikan untuk aliran gas, aliran arus listrik dan aliran partikel (misal yang berasal dari sumber radioaktif).Kita akan menunjukkan bahwa jika v mewakili kecepatan aliran sembarang zat di atas, maka div V dihubungkan dengan banyaknya substansi yang mengalir keluar per unit volume. Div V bisa jadi berbeda dari yang seharusnya. Hal ini dapat disebabkan karena perubahan dalam densitas (lebih banyak udara yang mengalir keluar dibandingkan di dalam, jika ruangan dipanaskan) atau karena perbedaan sumber penghasil aliran. Jika pembahasan aliran air ini akan diaplikasikan untuk medan listrik atau medan magnet, maka v tinggal diganti dengan E atau B sedang matematik yang diaplikasikan persis sama. Kuantitas yang berhubungan dengan aliran suatu substansi disebut flux.

y = 1 / √x

C

4x

x

y

y

0

D

AB

122

Analisis Vektor /

Untuk contoh kita yaitu tentang aliran air, kita misalkan V = v , dengan adalah densitas air. Kemudian banyaknya air yang melintas dalam waktu t dan melintasi area seluas A ’ yang tegak lurus terhadap arah aliran air adalah (lihat gambar 9.1) adalah banyaknya air di dalam silinder yang penampangnya A’ dan panjangnya vt. Jadi banyaknya air adalah:

( v t ) ( A’ ) ( ) (9-2)Air dalam jumlah yang sama akan melewati area seluas A (lihat gambar 9.1) yang garis normalnya membentuk sudut sebesar terhadap arah v. Karena A’ = A cos , maka:

v t . A’.v t A cos (9-3)Kemudian, seandainya air mengalir dalam arah v dan membentuk sudut terhadap normal n , maka banyaknya air yang melalui unit luas permukaan per unit waktu adalah:

v cos = V cos = V . n (9-4)jika n adalah vektor unit.

Sekarang kita perhatikan elemen volume dx dy dz dalam daerah yang dilalui air. Air dengan volume dx dy dz mengalir masuk atau keluar melalui 6 permukaan elemen volume (gambar 9.2) ; kita akan mengkalkulasi aliran ini. Dalam gambar 9.2, laju aliran air ke dalam dx dy dz melalui permukaan 1 (kiri) adalah [(menggunakan persamaan (9-4) ] V . i per satuan luas atau (V . i ) dy dz melalui area pada permukaan 1. Karena V . i = Vx , maka kita peroleh bahwa laju aliran air melalui permukaan 1 adalah Vx dy dz. Hasil yang sama juga diperoleh dari permukaan 2, tetapi sudah barang tentu Vx nya adalah komponen x dari V pada permukaan 2 (permukaan kanan). Kita ingin mengetahui perbedaan kedua harga Vx pada dua buah titik, satu di permukaan 1 yang lain di permukaan 2, yang saling berlawanan arah secara langsung. Beda nilai kedua harga V x ini adalah sebesar Vx yang dapat diaproksimasi dengan dVx. Untuk y dan z konstan, maka harga dVx = (∂V x /∂ x ) dx . Jadi aliran air yang keluar dari kedua permukaan adalah:

[(Vx pada permukaan 2) – (Vx pada permukaan 1)] dy dz = (∂V x

∂ x dx) dy dz

. (9-5)Kita akan memperoleh pernyataan yang sama untuk kedua pasang permukaan yang lain, yaitu:

∂V y

∂ y dx dy dz

untuk permukaan atas dan bawah dan

(9-6)∂V z

∂ z dx dy dz

untuk permukaan depan dan belakang.Jadi total laju keluarnya air dari segmen dx dy dz adalah:

(∂V x

∂ x+∂V y

∂ y+∂V z

∂ z ) dx dy dz =div V dx dy dz

atau: (9-7)

∇ . V dx dy dz atau ∇ . V dJika (9-7) dibagi dengan dx dy dz, maka kita peroleh laju berkurangnya air per unit volume. Inilah makna fisik (physical meaning) dari divergensi: yaitu laju bersih aliran keluar (outflow) per

Sekarang kita perhatikan elemen volume dx dy dz dalam daerah yang dilalui air. Air dengan

y

x

z

dx

dy

dz

1

Gambar 9.2

2

y

x

dy

1 2

123

Analisis Vektor /

volume dx dy dz mengalir masuk atau keluar melalui 6 permukaan elemen volume (gambar 9.2) ; kita akan mengkalkulasi aliran ini. Dalam gambar 9.2, laju aliran air ke dalam dx dy dz melalui permukaan 1 (kiri) adalah [(menggunakan persamaan (9-4) ] V . i per satuan luas atau (V . i ) dy dz melalui area pada permukaan 1. Karena V . i = Vx , maka kita peroleh bahwa laju aliran air melalui permukaan 1 adalah Vx dy dz. Hasil yang sama juga diperoleh dari permukaan 2, tetapi sudah barang tentu Vx nya adalah komponen x dari V pada permukaan 2 (permukaan kanan). Kita ingin mengetahui perbedaan kedua harga Vx pada dua buah titik, satu di permukaan 1 yang lain di permukaan 2, yang saling berlawanan arah secara langsung. Beda nilai kedua harga V x ini adalah sebesar Vx yang dapat diaproksimasi dengan dVx. Untuk y dan z konstan, maka harga dVx = (∂V x /∂ x ) dx . Jadi aliran air yang keluar dari kedua permukaan adalah:

[(Vx pada permukaan 2) – (Vx pada permukaan 1)] dy dz = (∂V x

∂ x dx) dy dz

. (9-5)Kita akan memperoleh pernyataan yang sama untuk kedua pasang permukaan yang lain, yaitu:

∂V y

∂ y dx dy dz

untuk permukaan atas dan bawah dan

(9-6)∂V z

∂ z dx dy dz

untuk permukaan depan dan belakang.Jadi total laju keluarnya air dari segmen dx dy dz adalah:

(∂V x

∂ x+∂V y

∂ y+∂V z

∂ z ) dx dy dz =div V dx dy dz

atau: (9-7)

∇ . V dx dy dz atau ∇ . V dJika (9-7) dibagi dengan dx dy dz, maka kita peroleh laju berkurangnya air per unit volume. Inilah makna fisik (physical meaning) dari divergensi: yaitu laju bersih aliran keluar (outflow) per unit volume, dievaluasi pada titik tertentu (sebut saja dx dy dz atau juga biasa ditulis d untuk menyatakan titik itu). Ini merupakan outflow aktual dari suatu substasi cair, gas atau partikel; laju outflow ini disebut flux jika diaplikasikan pada medan listrik atau magnet. Kita perlu mengingat bahwa ini merupakan sesuatu yang mirip dengan densitas. Densitas adalah massa per unit volume, yang di evaluasi pada sebuah titik, yang boleh divariasi dari titik ke titik. Sama dengan itu, divergensi juga dievaluasi pada sebuah titik yang boleh divariasi dari titik ke titik.

Sebagaimana telah kita nyatakan, bahwa div V dapat berbeda dari yang seharusnya karena adanya variasi waktu dari densitas atau dari sebab-sebab yang lain tidak semua partikel yang mengalir dari sumber masuk kedalam kotak penampung. Misalkan:

= massa bersih yang dialirkan per unit volume = densitas asalnya dikurangi dengan densitas yang nyasar. = densitas fluida = massa per unit volume

∂ ρ /∂ t = laju pertambahan densitas = laju pertambahan massa per unit volumeKemudian:

Laju pertambahan massa dalam dx dy dz = laju aliran masuk – laju aliran keluaratau jika dinyatakan dengan simbol:

x1 2

124

d

n

Gambar 9.3

Analisis Vektor /

∂ ρ∂ t

dx dy dz = dx dy dz ∇ . V dx dy dz

Jadi:∂ ρ∂ t = ∇ . V

atau:

∇ . V =

∂ ρ∂ t (9-8)

Jika tidak ada sumber fluida dan yang nyasar, maka = 0; dan persamaan (9-8) dengan = 0 biasa disebut persamaan kontinyuitas yaitu:

Jika

∂ ρ∂ t yang = 0, maka:

∇ . V = (9-10)Untuka kasus medan listrik maka V diganti D sehingga (9-10) menjadi:

div D = ∇ . D = dengan D adalah perpindahan arus listrik dan adalah densitas muatan. Untuk medan magnet, maka digunakan B sebagai pengganti V , dan nya adalah kotub magnet, tetapi karena tidak ada kutub magnet yang bebas, maka div B selalu = 0 .

Telah kita ketahui bahwa massa fluida yang melalui bidang yang luasnya satu unit luas adalah V . n , jadi massa yang melalui bidang yang luasnya A adalah AV . n dengan n adalah vektor normal unit terhadap A. V adalah v dengan v adalah kecepatan dan adalah densitas. Bayangkan sembarang permukaan dan anggaplah d adalah elemen luas pada permukaan itu (gambar 9.3). Untuk bidang d = dx dy sedang dalam

koordinat spherik d = r2 sin d d. Karena n adalah vektor normal unit terhadap A, maka ia juga vektor normal unit terhadap d dan arah n berbeda-beda di tiap-tiap titik pada permukaan (ingat permukaan yang dibicarakan adalah permukann spherik, jadi buka permukaan datar). Massa fluida yang mengalir keluar melalui dA menurut persamaan (9-4) adalah V . n d sehingga total massa yang keluar dari volume berpenampang d adalah :

∬V . n dσ(9-11)

Integral dobel di atas dievaluasi untuk seluruh permukaan. Telah kita ketahui sebelumnya [ pada persamaan (9-7)] bahwa untuk elemen volume d , maka yang mengalir melalui d adalah:

∇ . V d (9-12)Berikut ini merupakan cara lain yang baik untuk mendefinisikan divergensi [(selain yang

telah kita bahas pada paragraf 6 persamaa (6-2)]. Jika kita menulis (9-11) untuk permukaan dari elemen volume d, maka kita mempunyai dua ekspresi untuk menyatakan total aliran yang keluar dari d, dan keduanya harus sama. Jadi:

∇ . V d

∬ dτ ¿

¿ permukaan ¿¿(9-13)

Sudah barang tentu nilai dari ∇ . V di ruas kiri adalah nilai rata-rata dari ∇ . V dalam d tetapi jika (9-13) kita bagi d , maka kita memperoleh definisi lain dari divergensi yaitu:

∇ . V +

∂ ρ∂ t = 0 Persamaan kontinyuitas (9-9)

125

ab

Gambar 9.4

x

y

z

h

a

Analisis Vektor /

∇ . V limdτ→0

1dτ

∬ dτ ¿

¿ permukaan ¿¿(9-14)

Jika kita mulai dengan (9-14) sebagai definisi dari ∇ . V , maka diskusi akan membawa kepada

pengakuan bahwa (9-7) adalah merupakan pembuktian bahwa ∇ . V sebagaimana didefinisikan pada

(9-14) adalah sama dengan ∇ . V dalam (6-2).

Teorema Divergensi

Bayangkanlah sebagai volume yang besar; bayangkan pula bahwa volume dipotong-potong menjadi tak terhingga banyaknya, dan masing-masing potongan disebut elemen volume di (penampangnya tampak pada gambar 9.4). Aliran massa yang keluar dari masing-masing d i adalah ∇ .Vd i ; jika semua kita jumlahkan, akan kita peroleh:

∑i

∇ . Vd i (9-15)

Akan ditunjukkan bahwa (9-15) adalah aliran keluar dari velume besar . Aliran dari elemen ke elemen lain ditandai dan a dan b dalam gambar 9.4.

Aliran keluar ( outflow) dari a ke b disebut inflow (outflow negatif) dari b ke a, jadi jumlah (9-15) untuk aliran antar permukaan dua elemen volume yang berdampingan adalah nol (saling menghilangkan). Dengan demikian jumlah dalam (9-15) sama dengan jumlah aliran keluar dari volume besar . Karena ukuran dari masing-masing elemen volume cenderung mendekati nol (sangat-sangat kecil) maka jumlah yang dinyatakan oleh (9-15) dapat ditulis sebagai integral triple berikut:

∭ ∇ . V d (9-16)Kita telah tahu bahwa (9-11) dan (9-16) adalah sama yaitu total aliran keluar dari volume besar ; kesamaan keduanya itu disebut teorema divergensi yaitu:

Tampak bahwa teorema divergensi dapat mengkonversi integral volume menjadi integral area permukaan dan sebaliknya.

Dalam (9-17) kita telah menuliskan integral volume dengan 3 buah tanda integral dan integral permukaan dengan 2 tanda integral. Ekspresi itu sebenarnya terlalu berlebihan. Yang lazim, baik integral volume maupun integral permukaan cukup ditulis dengan 1 tanda integral.

Orang harus sudah sendirinya tahu bahwa integrasi d pasti integral tripel sedang integrasi d pasti integral dobel.

Contoh Aplikasi Teorema Divergensi

Diketahui : V = x i + y j + z k. Evaluasilah ∮V . n d σ yang

melalui seluruh permukaan yang menutup silinder pada gambar 9.5. Jawab:

∭ ∇ . V d ∬V . n dσ Teorema divergensi (9-17)

126

O

qd

n

r

dA

d D = E

Penampang permukaan

Gambar 9.6

Analisis Vektor /

Dengan teorema divergensi, kita tahu bahwa nilai yang

ditanyakan adalah sama dengan ∫∇ .V d τ dari seluruh

volume silinder.

∇ .V =

∂ x∂ x

+∂ y∂ y

+∂ z∂ z = 3

Jadi:

∫∇ .V d τ = ∫3 d τ= 3 ∫ dτ

= 3 kali volume silinder = 3 a2 h

Jadi:

∮V . n d σ = ∫∇ .V d τ

= 3 a2 h

Hukum GaussTeorema divergensi sangat penting dalam elektrisitas. Untuk menunjukkan bagaimana menggunakannya, akan kita bahas hukum tentang elektrisitas yang dikenal dengan nama hukum Gauss. Marilah kita turunkan hukum ini dari hukum yang lebih familiar yaitu hukum Coulomb. Hukum Coulomb adalah mengenai medan listrik di sebuah titik yang berjarak r dari titik bermuatan q yang berada di origin, yang persisnya adalah:

dengan er adalah vektor unit arah r, jadi er = r/r. Perpindahan listrik (electric displacement) D

didefinisikan sebagai D = E, jadi:

D = 1

4 π

q

r2er

(9-19)

Marilah kita misalkan adalah permukaan yang menutup daerah di sekeliling titik yang bermuatan q. Dengan demikian d adalah elemen luas permukaan di suatu titik pada r dan n adalah unit normal terhadap d (gambar 9.3 dan 9.6). Selain itu (gambar 9.6) misalkan pula dA sebagai proyeksi d pada bola berjari-jari r yang berpusat di O dan dan d adalah sudut solid yang besarnya:

d =

1

r2 dA

(9-20)Dari gambar 9.6 serta persamaan (9-19) dan (9-20) kita peroleh:

D . n d D cos d = D dA =

q

4 πr2 r 2 d = 1

4 π q d

(9-21)Kita ingin menentukan integral permukaan dari D . n d ke seluruh permukaan yang menyelimuti q. Nilai yang kita inginkan itu adalah integral tertutup dari (9-21), yaitu:

E =

14 πε

q

r2er

Hukum Coulomb (9-18)

(dalam sistem internasional ¼ dalam ruang hampa = 9 . 109 )

127

∮tertutup σ ¿

¿ pemukaan ¿¿

∫ dibatasi σ ¿

¿ volume yang ¿¿. ( Hukum Gauss ) (9-24)

Analisis Vektor /

∮permukaan σ ¿

¿ seluruh ¿¿ ( q di dalam ) (9-22)

Kasus di atas adalah kasus sederhana dari hukum Gauss, yaitu jika hanya ada satu titik bermuatan q. Untuk tujuan yang lebih kompleks, kita gunakan hukum Gauss dalam bentuk (9-23) atau (9-24) di bawah ini. Tetapi sebelum menurunkannya, hal penting yang harus diingat adalah bahwa pada (9-22) muatan q adalah berada di dalam permukaan tertutup . Jika kita ulangi penurunan (9-22) tetapi dengan q berada di luar permukaan, maka akan diperoleh:

∮σ tertutup

D . n d σ = 0

Selanjutnya, seandainya ada beberapa muatan q i di dalam , maka kita dapat menyatakan persamaan

seperti (9-22) untuk masing-masing q i dan D i yang berhubungan dengannya. Sedang untuk total perpindahan D dapat diperoleh dengan menjumlahkan semua vektor Di . Jadi:

∮σ tertutup

D . n d σ = ∑i

∮σ tertutup

Di . n d σ = ∑ qi

Oleh karena itu, pernyataan hukum Gauss untuk sembarang distribusi muatan di bagian dalam permukaan tertutup adalah:

Jika, kita mempunyai distribusi dengan densitas muatan , maka total muatan di bagian dalam

permukaan adalah ∫ ρ . d τ,

Karena muatan yang berada di luar permukaan tertutup tidak memberikan konstribusi terhadap nilai integral, maka tentu saja (9-23) atau (9-24) (yang sebenarnya hanya berhubungan dengan muatan yang berada di bagian dalam) boleh saja dipandang sebagai total perpindahan listrik yang ditimbulkan oleh muatan baik yang di luar maupun yang di dalam permukaan. Namun, total muatan di ruas kanan dari persamaan (9-23) atau (9-24) di atas hanya berasal dari muatan yang berasal dari bagian dalam.

Penggunaan Teorema Divergensi Yang Berhubungan Dengan Hukum Gauss.Dengan teorema divergensi, maka integral permukaan pada ruas kiri (9-23) atau (9-24)

adalah sama dengan:

∮tertutup σ ¿

¿ pemukaan ¿¿ ∫ dibatasi σ ¿

¿ volume yang ¿¿ =

∫ dibatasi σ ¿

¿ volume yang ¿¿

(9-25)

∮tertutup σ ¿

¿ permukaan ¿¿ Total muatan di bagian dalam permukaan tertutup.

( Hukum Gauss ) (9-23)

128

Analisis Vektor /

= total muatan yang diselimuti oleh

Bertolak dari hukum Gauss, kita dapat menentukan D, untuk selanjutnya hukum Coulomb E dapat dengan mudah diturunkan darinya; secara lebih umum, kita dapat selalu menggunakan hukum Gauss untuk menyatakan medan listrik yang diproduksi oleh distribusi muatan yang diketahui, sebagaimana contoh berikut.Contoh: Tentukan medan listrik E di atas pelat konduktor yang mempunyai muatan C Coulomb per meter persegi, pada masing-masing permukaannya. Jawab:Jika kita berbicara tentang elektrostatika maka medan listrik di bagian dalam sebuah konduktor adalah nol. Arah medan listrik adalah tegak lurus terhadap arah perpindahan listrik sebagaimana tampak pada gambar 9.7.

Sekarang kita menentukan ∮D . n d σ seluruh box

yang ditunjukkan oleh garis putus-putus. Integral seluruh bagian alas adalah nol karena D = 0 di bagian dalam konduktor. Integral untuk sisi yang vertikal, juga nol karena D tegak lurus n. Pada permukaan atas D . n = D jadi:

∮D . n d σ = D . (luas permukaan)

Dengan menggunakan (9-25) nilai ini sama dengan muatan di bagian dalam box, yaitu C kali luas permukaan. Dengan demikian, maka:

D . (luas permukaan ) = C . (luas permukaan)atau:

D = C ; dan karena D = E, maka E = D / hingga:E = D / C /

Soal 9:1) Evaluasilah kedua ruas dari (9-17) jika V = r = x i + y j + x k dan adalah volume dari x2 + y2 +

z2 < 1 dan simpulkanlah teorema divergensi untuk kasus ini. 2) Diketahui V = x2 i + y2 j+ z2 k. Integralkan V . n d ke seluruh permukaan kubus yang rusuknya =

1 dan empat titik sudutnya berada di (0, 0, 0) , (0, 0, 1) , (0, 1, 0) dan (1, 0, 0). Evaluasilah integral yang sama dengan menggunakan teorema divergensi.

Evaluasilah integral pada nomor 3 sampai 5 berikut dengan salah satu cara, yaitu integral volume atau integral permukaan yang menurut anda lebih mudah.

3) ∬ r .n dσ ke seluruh permukaan silinder yang dibatasi oleh x2 + y2 = 1, z = 0 dan z = 3 ; dengan

r = x i + y j + z k .

4) ∭ (∇ . F ) d ke seluruh daerah x2 + y2 + z2 < 25 dengan F = (x2 + y2 + z2) (x i + y j + z k )

5) ∭ (∇ . V ) d ke seluruh volume x2 + y2 < 4 ; 0 < z < 5 dengan F = (√ x2+ y2

) (x i + y j )

*10. Curl dan Teorema Stoke

Kita telah tahu bahwa curl V = ∇ x V dan telah membahas sebuah aplikasinya yaitu untuk menentukan ada tidaknya ketergantungan integral garis terhadap lintasan integrasi (paragraf 7). Selain itu, ada aplikasi lain dari curl, yang akan kita bahas sekarang. Anggaplah ada sebuah batang kaku, diputar (dirotasikan) dengan kecepatan angular yang konstan yaitu ; ini berarti bahwa : adalah besarnya kecepatan angular sedang adalah vektor kecepatan angular. Telah ditunjukkan pada paragraf 2, bahwa kecepatan v dari partikel atau titik pada batang kaku adalah v = x r , dengan r adalah vektor jari-jari dari sebuah titik pada sumbu rotasi sampai ke titik kedudukan

+ + + + + + + + + + + + +

Pelat Konduktor

+ + + + + + + + + + + + +

Gambar 9.7

n

D

E E

129

Analisis Vektor /

partikel itu. Marilah kita lakukan kalkulasi ∇ x v = ∇ x ( x r ) ; kita dapat menghitungnya melalui metode pada paragraf 6. Kita menggunakan formula untuk triple vector product yaitu:

A x ( B x C ) = ( A . C ) B ( A . B ) Cdan hati-hati, bahwa ∇ bukanlah vektor biasa, melainkan vektor yang juga bersifat sebagai operator differensial, jadi ia harus ditulis sebelum variabel yang akan didifferensialkan. Jadi:

∇ x ( x r ) = (∇ . r ) (∇ ) r (10-1)Karena adalah konstan, maka suku pertama ruas kanan (10-1) adalah:

(∇ . r ) = (∂ x∂ x

+ ∂ y∂ y

+ ∂ z∂ z ) = 3 (10-2)

Suku kedua ruas kanan seharusnya adalah (∇ .) r , tetapi karena maka ∇ hanya beroperasi pada

r, hingga ditulis (∇ ) r, yang bila dijabarkan, suku kedua ruas kanan ini adalah:

(ωx∂∂ x

+ωy∂∂ y

+ωz∂∂ z )(x i + y j + z k ) = (ωxi+ω y j+ωz k )

Jadi:∇ x v = ∇ x ( x r ) = 3 - = 2

atau:

=

12 (∇ x v ) (10-3)

Untuk kasus ini, curl v menghasilkan kecepatan angular rotasi. Untuk kasus yang lebih kompleks misal aliran fluida, nilai curl v pada suatu titik adalah ukuran kecepatan angular dari fluida di sekitar

titik itu. Jika semua titik dalam suatu daerah, nilai∇ x v = 0 , maka medal kecepatan v di daerah itu disebut irrotational. Perlu di catat bahwa ini adalah kondisi matematik yang sama seperti kondisi F yang konservatif.

Sebuah medan vektor V (sebagai contoh V = v , untuk aliran air, atau V = gaya F ). Kita definisikan bahwa sirkulasi adalah integral garis

∮V . d r sekeliling kurva bidang tertutup. Jika F

adalah gaya, maka integral (sirkulasi ) tersebut adalah kerja yang dilakukan oleh gaya itu. Untuk aliran air, kita dapat memperoleh gambaran fisik dari makna sirkulasi dengan cara berikut. Bayangkan untuk meletakkan kincir pengontrol (gambar 10.1c) pada sembarang pola aliran di gambar 10.1. Jika kecepatan fluida pada sisi roda yang satu lebih besar dari pada di sisi lain [seperti pada (c) ] maka roda kincir akan berputar. Misal

kita akan menghitung ∮V . d r sekeliling sumbu

dari roda kincir sepanjang kurva tertutup pada bidang yang tegak lurus sumbu ( jadi bidang kertas dalam gambar 10.1). Jika V = v pada sisi roda yang satu lebih besar dari pada di sisi lain, maka terjadi sirkulasi (sirkulasi tidak nol), sementara itu, jika V di kedua sisi adalah sama sebagaimana di (b) maka sirkulasinya adalah nol. Akan ditunjukkan bahwa komponen dari curl V sepanjang sumbu roda kincir adalah

limdσ→ 0

1

dσ∮V . d r(10-4)

(a) Vortex/pusaran

(b) aliran paralel kecepatan konstan

(c) aliran paralel kecepatan variabel

(d) aliran sekitar sudut

kincir pengontrol

Gambar 10.1

130

kurva pengikatGambar 10.3

permukaanterbuka

n

Analisis Vektor /

dengan d adalah area yang dibatasi oleh sepanjang kurva yang sirkulasinya akan kita kalkulasi. Roda kincir dalam hal ini berfungsi sebagai pengukur untuk mengukur curl V ; jika roda tidak berputar, maka curl V = 0 ; jika berputar maka curl V ¿ 0. Di (a) , curl V ¿ 0 pada pusat vortex (pusaran) , Di (b), curl V = 0. Di (c), curl V ¿ 0, meskipun faktanya adalah bahwa garis-garis alirannya merupakan garis-garis paralel. Di (d), ada kemungkinan curl V = 0 , walaupun terjadi garis aliran di sekeliling sudut; sebenarnya, untuk air yang berputar di sudut, curl V memang = 0. Perlu diketahui bahwa nilai curl V pada suatu titik hanya bergantung pada sirkulasi disekeliling titik itu dan tidak pada pola aliran secara menyeluruh.

Kita ingin menunjukkan hubungan antara

sirkulasi ∮V . d r dengan curl V untuk medan

vektor V yang diketahui. Ditentukan sebuah titik P dan arah n. Marilah kita cari komponen dari curl V dalam arah n di titik P. Gambarlah sebuah bidang melalui P tegak lurus terhadap n dan pilihlah sumbu sedemikian rupa sehingga bidang (x , y) dengan n paralel terhadap k. Tentukan sirkulasi sekeliling (d = dx dy) segi empat kecil yang berpusat di P (gambar 10.2). Karena n paralel terhadap k, maka dengan menggunakan persamaan (8-17) diperoleh:

∮keliling d σ

V . d r = ∬dσ

(curl V ). k dx dy =

∬dσ

(curl V ). n d (10-5)

Kita berasumsi bahwa turunan pertama dari komponen V bersifat kontinum; sehingga curl V juga kontinum. Dengan demikian nilai (curl V) . n untuk seluruh d hampir sama dengan (curl V) . n di titik P, jadi integral dobel pada (10-5) secara aproksimasi merupakan nilai dari (curl V) . n di P dikalikan dengan d . Jika (10-5) kita bagi dengan d dan meletakkan limit d0, maka kita mempunyai persamaan eksak:

(∇ x V) . n = lim

dσ→ 0

1dσ∮V . d r

(10-6)

Persamaan tersebut dapat digunakan untuk sebagai definisi dari curl V ; jadi diskusi di atas menunjukkan bahwa [lihat persamaan 8-16)] komponen curl V adalah yang telah dinyatakan dalam definisi kita sebelumnya (6-3).Dalam mengevaluasi integral garis, kita harus mengelilingi elemen area d sebagaimana dalam gambar 10.2 yaitu dengan meletakkan area selalu di sebelah kiri. Cara lain untuk menyatakan ini adalah bahwa kita mengelilingi d dengan arah yang ditunjukkan oleh n dan aturan tangan kanan , yaitu, jika ibu jari tangan kanan menunjukkan arah n, arah yang ditunjuk oleh ke empat jari yang lain adalah arah dalam mengelilingi batas dari d dalam melakukan kalkulasi integral garis. (Lihat gambar 10.2 dengan n = k ).

Teorema Stoke. Teorema ini menghubungkan sebuah integral permukaan terbuka dengan integral garis sekeliling kurva yang mengikat permukaan tersebut. Jaring penangkap kupu-kupu adalah model yang sesuai dengan yang sedang kita bicarakan. Jaringnya, adalah permukaan terbuka, sedang kawat kerangkanya adalah kurva pengikat permukaan. Permukaan yang kita bahas di sini

( dan juga yang muncul dalam aplikasi) adalah permukaan yang dapat diperoleh melalui pembeberan bentuk hemisphere ( bentuk seperti jaring penangkap kupu-kupu, gambar 10.3) Kita misalkan permukaan yang sesuai dengan deskripsi kita itu kita bagi-bagi menjadi begitu banyak elemen area d dengan jaringan kurva sebagai pembatas antara area kecil yang satu dengan yang lain seperti pada gambar 10.4Tariklah sebuah vektor unit n tegak lurus terhadap masing-masing elemen area. Sudah tentu, masing-

Gambar 10.2

P

dx

y

x

dy

d = dx dy

131

Analisis Vektor /

masing n arahnya berbeda, tetapi semua n harus berada pada sisi yang sama dari dua-muka pada permukaan itu. Masing-masing elemen area merupakan aproksimasi dari bidang singgung terhadap permukaan di sebuah titik pada d. Jadi, seperti pada (10-5) kita di sini memperoleh:

∮keliling d σ

V . d r =∬dσ

(∇ xV ). n d (10-7)

untuk masing-masing elemen; jika semua persamaan kita jumlahkan menjadi satu untuk semua elemen area pada seluruh permukaan, maka kita peroleh:

∑semua d σ

∮ V . d r =

∬permukaan σ

(∇ xV ). n d (10-8)

Dari gambar 10.5 kita tahu bahwa interior dari integral garis saling menghilangkan karena arah dua integral yang berdekatan tetapi berbeda d adalah berlawanan. Sehingga ruas kiri dari (11-8) hanya jumlah dari garis integral keliling luar kurva pengikat permukaan. Jadi (11-8) boleh ditulis:

Yang diperhatikan benar mengenai teorema Stoke ini adalah bahwa penggunaannya adalah untuk permukaan terbuka yang dibatasi oleh kurva pengikat seperti jaring kupu-kupu. Teorema ini

mengatakan bahwa integral garis ∮V. dr adalah sama dengan integral dari (∇ xV) . n ke seluruh

sembarang permukaan terbuka yang dibatasi oleh kurva ; dengan kata lain, nilai integral tidak akan berubah jika bentuk jaring kupu-kupu itu diubah. Cara mudah untuk menentukan arah integrasi pada integral garis adalah dengan membayangkan jaring kupu tersebut diletakkan pada sebuah bidang; jadi "permukaan” yang dimaksud adalah area bidang yang dibatasi oleh kurva dan n nya adalah n bidang. Arah integrasi adalah sesuai dengan aturan tangan kanan sebagaimana telah kita bahas bersama.

Contoh 1: Diketahui V = 4y i + x j + 2z k ; tentukan ∫(∇ x V) . n d ke seluruh hemisphere

x2+ y2+ z2= a2 ; z ≥ 0Jawab:Dengan menggunakan (6-3), kita peroleh ∇ x V = 3k . Adalah beberapa cara yang dapat kita lakukan untuk menyelesaikan problem ini: (a) mengintegralkan ekspresi tersebut seperti apa adanya,

(b) menggunakan teorema Stoke dan mengevaluasi ∮V . dr sekeliling lingkaran x

2+ y2 = a

2

dalam bidang (x, y) ; dan (c) menggunakan teorema Stoke untuk menyatakan bahwa integralnya adalah sama untuk sembarang permukaan yang dibatasi oleh kurva (dalam hal ini lingkaran ), dan untuk ini permukaan yang mudah untuk diselesaikan adalah area di dalam lingkaran itu. Kita akan kerjakan dulu dengan metode (c).(c) Karena area bidang ini berada pada bidang (x, y), maka:

∮pengikat σ ¿

¿ kurva ¿¿ =

∬permukaan σ

(∇ xV ). n d (10-9)

Persamaan (10-9) itu disebut teorema Stoke.

132

Analisis Vektor /

n = k , hingga ( ∇ . V ) . n = 3 k . k = 3Jadi integralnya adalah:

∫permukaan σ

(∇x V) . n d = 3

∫permukaan σ

dσ

= 3 kali luas permukaan = 3 kali luas lingkaran berjari-jari a = 3 kali luas lingkaran berjari-jari a

= 3π a2

133