Kelompok 6

1. Rohmat Isro Insanu 7212030047 2. Imam Tantowi

72120300483. Ummi Halimatur R

72120300494. Choryatun

72120300535. Rahmita Oktisaviani

7212030055

Vektor Kalkulus

Pengertian Vektor Kalkulus

Vektor Kalkulus (atau sering disebut Analisis Vektor) dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua dimensi atau lebih.

Cabang Materi Vektor Kalkulus

•Diferensial panjang luas dan volume• Integral volume permukaan garis•Operator del•Gradien skalar•Diveregensi vektor dan teori diveregensi•Curl dari vektor dan teory stokes•Skalar laplacian•Klasifikasi medan vektor

Divergensi Vektor

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mengetahui bahwa arus keluar dari fluks medan vektor A dari permukaan tertutup S diperoleh dari . Divergensi pada suatu titik adalah fluks luar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup.

Divergensi Vektor

Divergensi A pada titik P adalah fluks luar per satuan volume sebagai penyusutan dari volume P.

Secara matematis dapat ditulis :

𝛻 x A=𝜕𝐵𝜕𝑡

𝑑𝑖𝑣 𝐴=𝛻 .𝐴= lim∆v → 0

∮𝑆 𝐴 .𝑑𝑆

∆ v 1.1

Divergensi Vektor

•P

•P

• P

a b c

Gambar (a) menunjukkan divergensi medan vektor yang positif karena divergensi medan vektor keluar dari P, (b) bernilai negatif karena divergensi medan vektor masuk ke dalam titik P, (c) bernilai netral karena divergensi medan vektor searah.

Divergensi Vektor

Divergensi A melalui titik P(xo, yo, zo) dalam sistem kartesian, dapat di tulis :

+

Persamaan untuk dalam sistem koordinat lainnya dapat diperoleh secara langsung dari persamaan (1.1) atau dengan mengubah persamaan (1.2)

1.2

. () + 1.3

Divergensi Vektor

Dengan mensubstitusi persamaan koordinat spherical pada persamaan 1.2, dapat diperoleh rumus divergensi A pada koordinat spherical :

() + ) + 1.4

Sifat dari divergensi vektor :

1. Menghasilkan medan skalar2. Tidak ada perbedaan antara divergensi skalar V dan div V

Teorema Divergensi

Dari pengertian divergensi A pada persamaan 1.1, diperoleh persamaan sebagai berikut :

∮𝑆 A . dS=∫𝑉 𝛻 . A dv

Persamaan diatas disebut Teorema Divergensi atau disebut Teorema Gauss-Ostrogradsky

2.1

Teorema Divergensi

Teorema divergensi menyatakan bahwa total fluks keluar medan vektor A melalui permukaan tertutup S adalah sama dengan volume integral dari divergensi A.

∮𝑆 𝐴 .𝑑𝑆=∑𝑘∮𝑆𝑘 𝐴 .𝑑𝑆=∑

𝑘

∮𝑆𝑘 𝐴 .𝑑𝑆

∆ 𝑣𝑘∆𝑣𝑘 2.2

jumlah dari integral permukaan dari Sk adalah sama dengan integral permukaan S. Dari persamaan (2.2) dan persamaan (1.1) diperoleh :

∮𝑆 A .𝑑𝑆=∫𝑉 𝛻 . A 𝑑𝑉 2.3

Teorema Divergensi

Teorema divergensi berlaku untuk setiap volume v yang dibatasi olehpermukaan tertutup S seperti yang ditunjukkan pada gambar bahwa A dan • A adalah berkesinambungan di area tersebut.

Gambar (1.1) : Volume v tertutup oleh permukaan S

Contoh Soal

Tentukan divergensi dari medan vektor di bawah ini :a. + b.Q + c.T + +

Jawaba. + +

yz +x

b. + + + +

c. ) + +

Curl Vektor

Curl A adalah vektor (atau rotasi) aksial yang besarnya perputaran maksimum A per satuan luas sebagai daerah meminjamkan ke nol dan yang arahnya adalah arah normal dari daerah ketika daerah berorientasi sehingga membuat perputaran maksimal.

curl A=𝛻 x A=( lim∆𝑆→0

∮𝐿 A .𝑑𝑙∆𝑆 )𝑎𝑛 3.1

Curl Vektor

Dimana daerah ∆S dibatasi oleh kurva L dan an adalah vektor satuan normal terhadap permukaan ∆S yang ditentukan dengan menggunakan aturan tangan kanan. Untuk mendapatkan persamaan seperti persamaan di atas, hal itu diperoleh dari diferensial daerah pada bidang yz seperti pada gambar (1.2). Integral garis pada persamaan (3.1) diperoleh sebagai berikut:

∮𝐿 A .𝑑𝑙=(∫𝑎𝑏+∫𝑏𝑐+∫𝑐𝑑+∫𝑑𝑎 ) A .𝑑𝑙 3.2

Curl Vektor

Dengan memperluas komponen bidang dalam ekspansi deret Taylor di sekitar titik pusat P (xo, yo, zo) dan mengevaluasi persamaan (3.2). Di sisi ab, dl = dy ay dan z = zo – dz/2, sehingga :

∫𝑎𝑏 A .𝑑𝑙=𝑑𝑦 [𝐴𝑦 (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 ) − 𝑑𝑧2

𝜕 𝐴𝑦

𝜕 𝑧|𝑃 ]

Pada sisi bc, dl = dz az dan y = yo + dy/2, sehingga:

∫𝑏𝑐 A .𝑑𝑙=𝑑𝑧 [𝐴𝑧 (𝑥𝑜 , 𝑦 𝑜 , 𝑧𝑜 )+𝑑𝑦2

𝜕 𝐴𝑧

𝜕 𝑦|𝑃 ] 3.4

3.3

Curl Vektor

Pada sisi cd, dl = dy ay dan z = zo + dz/2, sehingga :

∫𝑐𝑑A .𝑑𝑙=−𝑑𝑦 [𝐴𝑦 (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 )+ 𝑑𝑧2

𝜕 𝐴𝑦

𝜕 𝑧|𝑃 ] 3.5

Gambar (1.2) Garis luar yang digunakan dalam mengevalusi komponen-x

Curl Vektor

Pada sisi da, dl = dz az dan y = yo - dy/2, sehingga :

∫𝑑𝑎 A .𝑑𝑙=−𝑑𝑧 [𝐴𝑧 (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 ) − 𝑑𝑦2

𝜕 𝐴𝑧

𝜕 𝑦|𝑃 ] 3.6

Dengan mensubstitusi persamaan (3.3 dan 3.6) menjadi persamaan 3.2 dengan ∆S = dydz, sehingga diperoleh persamaan :

lim∆ 𝑆→ 0

∮𝐿 A .𝑑𝑙∆𝑆

=𝜕 𝐴𝑧

𝜕 𝑦−𝜕 𝐴𝑦

𝜕 𝑧 -

3.7

Curl Vektor

Komponen x dan y dari curl A, dapat diperoleh dengan cara yang sama, seperti :

(curl A ) 𝑦=𝜕 𝐴𝑥

𝜕 𝑧−𝜕 𝐴𝑧

𝜕 𝑥

(curl A )𝑧=𝜕 𝐴𝑦

𝜕 𝑥−𝜕 𝐴𝑥

𝜕 𝑦 3.8b

3.8a

Pengertian dari pada persamaan 3.1 tidak bergantung pada sistem koordinat. Dalam koordinat cartesian, curl A mudah ditemukan dengan menggunakan :

𝛻 x A=| 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝜕𝜕𝑥

𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕 𝑧

𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

| 3.9

Curl Vektor

+ + 3.10

Dengan mengubah persamaan 3.10 dengan menggunakan titik dan teknik transformasi vektor, dapat diperoleh curl A dalam koordinat silinder, yaitu:

𝛻 x A= 1𝜌| 𝑎𝜌 𝜌𝑎∅ 𝑎𝑧

𝜕𝜕𝜌

𝜕𝜕∅

𝜕𝜕 𝑧

𝐴𝜌 𝜌 𝐴∅ 𝐴𝑧

|

Curl Vektor

atau

+ + 3.11

Dan pada koordinat spherical dapat ditulis :

𝛻 x A= 1𝑟2 sin𝜃 |𝑎𝑟 𝑟 𝑎𝜃 𝑟 sin 𝜃𝑎∅

𝜕𝜕𝑟

𝜕𝜕𝜃

𝜕𝜕∅

𝐴𝑟 𝑟 𝐴𝜃 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐴∅| 3.12

+ +

Curl Vektor

Sifat dari curl :1. Curl dari medan vektor adalah medan vektor lain.

Curl dari medan vektor A pada titik P dapat dianggap sebagai ukuran peredaran atau berapa banyak medan curl di sekitar P. Sebagai contoh, Gambar 1.3 (a) menunjukkan bahwa curl dari medan vektor sekitar P diarahkan keluar. Gambar 1.3 (b) menunjukkan medan vektor dengan curl sama dengan nol.

Curl Vektor

Gambar 1.3 : (a) curl dari medan vektor sekitar P diarahkan keluar (b) curl pada titik P sama dengan nol

Contoh Soal

Tentukan curl dari medan vektor di bawah ini :a. + b.Q + c.T + +

Jawab

a .∇× P=(𝜕𝑃 𝑧

𝜕 𝑦−𝜕 𝑃𝑦

𝜕 𝑧 )𝑎𝑥+(𝜕𝑃𝑥

𝜕 𝑧−𝜕𝑃 𝑧

𝜕𝑥 )𝑎𝑦+(𝜕𝑃 𝑦

𝜕 𝑥−𝜕𝑃𝑥

𝜕 𝑦 )𝑎𝑧

¿ (0−0 )𝑎𝑥+(𝑥2 𝑦−𝑧 )𝑎𝑦+(0− x2 z )𝑎𝑧

¿ (𝑥2 𝑦−𝑧 ) 𝑎𝑦 − x2 z𝑎𝑧

b .∇×Q=[ 1𝜌 𝜕𝑄𝑧

𝜕∅−𝜕𝑄∅

𝜕𝑧 ]𝑎𝜌+[𝜕𝑄𝜌

𝜕 𝑧−𝜕𝑄 𝑧

𝜕 ρ ]𝑎∅+1𝜌 [ 𝜕𝜕 𝜌 (𝜌𝑄∅ ) −

𝜕𝑄𝜌

𝜕∅ ]𝑎𝑧

¿ (−𝑧ρ𝑠𝑖𝑛∅ −𝜌2)𝑎𝜌+(0−0 )𝑎∅+

1ρ(3 ρ2 z − ρ cos∅ )𝑎𝑧

¿−1𝜌

¿

Jawab

c .∇×T = 1𝑟 sin 𝜃 [ 𝜕

𝜕 𝜃 (𝑇 ∅ sin θ ) − 𝜕𝜕∅

𝑇∅ ]𝑎𝑟+1r [ 1sinθ

∂∂∅

𝑇𝑟 −∂∂ r

(r𝑇∅ )]𝑎𝜃+1𝑟 [ 𝜕𝜕𝑟 𝜕 (𝑟 𝑇 𝜃 ) − 𝜕

𝜕𝜃𝑇𝑟 ]𝑎∅

¿ 1𝑟 sin𝜃 [ 𝜕𝜕𝜃 (cos𝜃 sin 𝜃 ) − 𝜕

𝜕∅(𝑟 sin𝜃 cos∅ )]𝑎𝑟+ 1𝑟 ¿

¿1

𝑟 sin𝜃(cos 2𝜃+𝑟 sin 𝜃 sin∅ )𝑎𝑟+

1𝑟

(0− cos𝜃 )𝑎𝜃+1𝑟 (2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 cos∅+

sin 𝜃𝑟 2 )𝑎∅

¿ ( cos2𝜃𝑟 sin 𝜃+sin∅ )𝑎𝑟 −

cosθr

𝑎𝜃+(2cos∅+1

r 3 )sin θ𝑎∅

Teorema Stokes

Gambar 1.4 menentukan dl dan dS pada teorema stokes

Teorema Stokes

Dari definisi curl A pada persamaan 3.1, diperoleh :

∮𝐿 A .𝑑𝑙=∫𝑆 (𝛻 x A ) .𝑑 S

Teorema stokes menyatakan bahwa perputaran medan vektor A di sekitar path L (tertutup) sama dengan integral permukaan dari curl A di atas permukaan terbuka S yang dibatasi oleh L (Gambar 1.4) dengan ketentuan bahwa A dan bersifat kontinu terhadap S.

4.1

Teorema Stokes

Bukti dari teorema stoke mempunyai kesamaan dengan teori divergensi. Permukaan S dibagi menjadi beberapa titik seperti pada gambar 1.5. Jika sel kth mempunyai luas permukaan ∆Sk yang dibatasi oleh path Lk.

∮𝐿 A .𝑑 l=∑𝑘∮𝐿𝑘 A .𝑑 l=∑

𝑘

∮𝐿𝑘 A .𝑑 l

∆𝑆𝑘

∆𝑆𝑘4.2

Gambar 1.5 ilustrasi dari teorema stokes

Teorema Stokes

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.5, ada pembatalan pada setiap jalur interior, sehingga jumlah dari integral garis di sekitar Lk adalah sama dengan integral garis yang dibatasi oleh kurva L. Oleh karena itu, batas dari sisi kanan pada persamaan 4.2 ΔSk -> 0 dan menggabungkan persamaan 3.1, diperoleh :

∮𝐿 A .𝑑 l=∫𝑆 (𝛻 x A ) .𝑑S 4.3

Arah dl dan dS pada persamaan 4.1 harus dipilih dengan menggunakan aturan tangan kanan. Dalam penggunaan aturan tangan kanan, jika kita membiarkan titik jari ke arah dl, ibu jari akan menunjukkan arah dS (lihat Gambar. 1.4). Padahal teori divergensi berkaitan dengan permukaan integral dan volume integral, teorema stokes berhubungan dengan integral garis pada permukaan terpisahkan.

Teorema Stokes

Skalar Laplacian

Laplacian skalar medan V, dapat ditulis sebagai V yang merupakan divergensi dari gradien V.

Pada koordinat cartesian, Laplacian V =

.

yaitu :

5.1

Skalar Laplacian

Laplacian dari V dalam sistem koordinat lainnya dapat diperoleh dari persamaan 5.1 dengan cara transformasi. Dalam koordinat silinder,

+ 5.2

Dan pada spherical koordinat :

∇2V= 1𝑟2

𝜕𝜕𝑟 (𝑟 2 𝜕𝑉𝜕𝑟 )+ 1

𝑟 sin 𝜃𝜕𝜕𝜃 (𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝑉𝜕𝜃 )+ 1

𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃𝜕2𝑉𝜕∅ 2 5.3

Sebuah skalar medan V dikatakan harmonis di area tertentu, jika Laplacian hilang di area tersebut. Dengan kata lain, jika

Skalar Laplacian

∇2V=0terpenuhi di area tersebut, penyelesaian untuk V pada persamaan 5.4 adalah dengan bentuk sinus atau kosinus. Persamaan 5.4 disebut persamaan Laplace.

5.4

Laplacian operator adalah operator skalar. Hal ini juga memungkinkan untuk menentukan Laplacian dari vektor A. Dalam konteks ini tidak harus dilihat sebagai divergensi gradien dari A. Sebaliknya, didefinisikan sebagai gradien dari divergensi curl A, artinya :

∇2 A=∇ (∇ . A ) −∇ x∇ x A 5.5

Skalar Laplacian

Persamaan 5.5 dapat diterapkan dalam mencari dalam sistem koordinat. Dalam sistem kartesian, persamaan 5.1 menjadi :

+ +

Contoh SoalTentukan laplacian dari medan skalar berikut :

Jawaba .∇2V=∂2V

∂ x2+ ∂2V

∂ y2+ ∂2V

∂ z2

¿𝜕𝜕𝑥

(2𝑒− 𝑧 cos2𝑥 cosh 𝑦 )+ 𝜕𝜕 𝑦

(𝑒− 𝑧cos 2𝑥 sinh 𝑦 )+ 𝜕𝜕 𝑧

(−𝑒− 𝑧 sin 2𝑥 cosh 𝑦)

¿−4 𝑒− 𝑧 sin 2𝑥cosh 𝑦+𝑒− 𝑧 sin 2𝑥 cosh 𝑦+𝑒− 𝑧 sin 2 𝑥cosh 𝑦

¿−2𝑒− 𝑧 sin 2 𝑥cosh 𝑦

b.

¿1𝜌

𝜕𝜕 𝜌

(2𝜌 2𝑧 cos 2∅ ) − 1

𝜌24 𝜌 2𝑧 cos 2∅+0

¿ 4 𝑧 cos 2∅ −4 𝑧 cos 2∅

¿0

Jawabc.

¿ 1𝑟2

𝜕𝜕𝑟

(10𝑟 2𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠∅ )+ 1𝑟 2𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕𝜕 𝜃

(10𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠∅ ) − 10𝑟 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠∅

𝑟 2𝑠𝑖𝑛2𝜃

¿ 20𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠∅𝑟

+ 20𝑟 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠∅𝑟 2𝑠𝑖𝑛𝜃

+ 10𝑟 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑐𝑜𝑠∅𝑟 2𝑠𝑖𝑛𝜃

−10𝑐𝑜𝑠∅

𝑟

¿10𝑐𝑜𝑠∅

𝑟(2𝑠𝑖𝑛2𝜃+2𝑐𝑜𝑠2𝜃+2𝑐𝑜𝑠2𝜃−1 )

¿10𝑐𝑜𝑠∅

𝑟(1+2cos 2𝜃)

Klasifikasi Medan Vektor

Sebuah medan vektor secara unik ditandai dengan divergensi dan curl. Baik divergensi atau curl yang mengambarkan medan vektor. Medan vektor dapat diklasifikasikan dalam hal divergensi atau curl sebagai berikut :

Klasifikasi Medan Vektor

Gambar 1.6 Tipe medan vektor

Klasifikasi Medan Vektor

Sebuah medan vektor A dikatakan solenoidal (atau divergenceless) jikaSebuah medan vektor A dikatakan irrotational (atau potensial) jika

Jadi dalam bidang irrotational A, perputaran A di sekitar path tertutup sama dengan nol. Ini menyiratkan bahwa integral garis A tidak bergantung dari path yang dipilih. Oleh karena itu, bidang irrotational juga dikenal sebagai bidang konservatif. Contoh bidang irrotational termasuk medan elektrostatik dan medan gravitasi. Secara umum, bidang gradien V (untuk setiap skalar V) adalah murni karena irrotational.

Dari persamaan teorema stoke, diperoleh :

∫𝑆(∇ x A ).𝑑S=∮ 𝐿 A .𝑑 l=0 6.1

Klasifikasi Medan Vektor

6.2∇ x (∇V )=0

Dengan demikian, bidang irrotational A selalu dapat dinyatakan dalam medan skalar V, yaitu jika lalu dan

Oleh karena itu, A dapat disebut sebagai medan potensial dan V adalah potensial skalar dari A.

Sebuah vektor A dapat ditentukan dari divergensi dan curlnya. Jika dan

dapat dianggap sebagai kepadatan sumber A dan kepadatan peredarannya. Setiap vektor A berdasarkan persamaan sebelumnya, dengan kedua dan yang menghilang dapat ditulis sebagai jumlah dari dua vektor: satu irrotational (curl nol), dan solenoidal lainnya (divergensi nol). Ini disebut Helmholtz 's Teorema. Dengan demikian kita dapat menulis :

Klasifikasi Medan Vektor

A=−∇V +∇ x B 6.3

Jika dan

Contoh Soal

Buktikan bahwa medan vektor A bersifat konservatif jika A memiliki salah satu dari dua sifat:a. Integral garis komponen tangensial A dari titik P ke titik Q tidak

bergantung dari path.b. Integral garis komponen tangensial A di sekitar path yang tertutup

adalah nol.

Jawaba. Jika A bersifat konservatif, maka terdapat V potensial, sehingga :

A=−∇V =−[𝜕𝑉𝜕 𝑥 𝑎𝑥+𝜕𝑉𝜕 𝑦

𝑎𝑦+𝜕𝑉𝜕 𝑧

𝑎𝑧 ]Oleh karena itu,

∫𝑃

𝑄

A .𝑑 l=−∫𝑃

𝑄

[𝜕𝑉𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑉𝜕 𝑦

𝑑𝑦+ 𝜕𝑉𝜕 𝑧

𝑑𝑧 ]¿−∫

𝑃

𝑄

[ 𝜕𝑉𝜕 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑠

+ 𝜕𝑉𝜕 𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑠

+ 𝜕𝑉𝜕 𝑧

𝑑𝑧𝑑𝑠 ]𝑑𝑠

¿−∫𝑃

𝑄𝑑𝑉𝑑𝑠

𝑑𝑠=−∫𝑃

𝑄

𝑑𝑉

∫𝑃

𝑄

A .𝑑 l=𝑉 (𝑃 ) −𝑉 (𝑄)atau

Hal tersebut menunjukkan bahwa integral garis hanya bergantung pada titik akhir kurva. Dengan demikian untuk medan konservatif hanyalah perbedaan potensial pada titik akhir.

Jawab

b. Jika path tertutup, P dan Q saling berhimpit, maka:

∮ A 𝑑 l=𝑉 (𝑃 ) −𝑉 (𝑃 )=0