Koko Martono – FMIPA - ITB

057

Vektor Vektor adalah ruas garis berarah yang ditentukan oleh panjang dan arahnya. Dua vektor dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama. Vektor digambarkan sebagai ruas garis dari titik pangkal ke titik ujung dengan tanda panah diujung, dan diberi lambang huruf kecil cetak tebal.

Panjang vektor Panjang vektor v adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujungnya, dan ditulis || v ||.

Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Untuk sebarang vektor v diperoleh vektor satuan || ||

vv yang panjangnya 1.

v titik ujung

||v|| titik pangkal

v u u = v

v u u u v v

u ≠ v

z v3 v = (v1,v2,v3)

k j v2

0 y v1 (v1,v2,0) x

1 2 3v v v= + +v i j k 2 2 21 2 3|| || v v v= + +v

Vektor posisi Jika titik pangkal vektor v adalah (0,0,0) dan titik ujungnya (v1,v2,v3), maka v dina-makan vektor posisi, dan ditulis v = ⟨v1,v2,v3⟩.

Panjang vektor v = ⟨v1,v2,v3⟩ ≡ 2 2 21 2 3|| || .v v v= + +v

Vektor basis Vektor satuan i = ⟨1,0,0⟩, j = ⟨0,1,0⟩, dan k = ⟨0,0,1⟩ sebagai pembentuk ruang dinama-kan vektor basis untuk ruang 3. Vektor v dapat dinyatakan sebagai 1 2 3v v v= + +v i j k .

i

V & FsPar 058

Vektor di bidang Vektor posisi di bidang adalah v = ⟨v1,v2⟩, vektor de-ngan titik pangkal (0,0) dan titik ujung (v1,v2). Panjang vektor ini adalah

2 21 2|| || .v v= +v Basis baku di bidang terdiri dari vektor satuan i = ⟨1,0⟩

dan j = ⟨0,1⟩. Vektor v = ⟨v1,v2⟩ di bidang ditulis v = v1 i + v2 j. Vektor nol Vektor nol adalah vektor dengan titik pangkal berimpit de-ngan titik ujung, arahnya sebarang. Vektor nol di 3 adalah 0 = ⟨0,0,0⟩.

Kesamaan dua vektor posisi Vektor u = ⟨u1,u2,u3⟩ = u1 i + u2 j + u3 k dan v = ⟨v1,v2,v3⟩ = v1 i + v2 j + v3 k sama, ditulis u = v ⇔ u1 = v1, u2 = v2, u3 = v3.

Vektor dari ruas garis Jika P dan Q adalah titik di bidang (ruang), ma-ka vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q ditulis PQ . Jika titik pangkalnya Q dan titik ujungnya P, maka diperoleh vektor QP .

Penjumlahan vektor Pengurangan vektor

u+v v v u

u+v v v u

v v u −v u−v

v u−v v u u−v

Perkalian vektor dengan skalar

u

Penjumlahan vektor Untuk vektor u dan v dengan titik ujung u ≡ titik pangkal v, jumlah u dan v (ditulis u + v) adalah vektor dari titik pangkal u ke titik ujung v. Jumlah dari vektor u = ⟨u1,u2,u3⟩ dan v = ⟨v1,v2,v3⟩ ada-lah u + v = ⟨u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3⟩.

Perkalian vektor dengan skalar Hasilkali vektor u dengan skalar c (di-tulis cu) adalah vektor yang searah u jika c > 0, berlawanan arah dengan u jika c > 0, dan vektor nol jika c = 0. Hasil kali skalar dari u = ⟨u1,u2,u3⟩ dengan skalar c adalah cu = ⟨cu1,cu2,cu3⟩ dan panjangnya | c | || u ||.

Pengurangan vektor Selisih dari vektor u dan v (ditulis u − v) adalah vektor u + (−v). Selisih dari vektor u = ⟨u1,u2,u3⟩ dan v = ⟨v1,v2,v3⟩ adalah u − v = ⟨u1 − v1, u2 − v2, u3 − v3⟩.

−v

3u

−2u

V & FsPar 059

Sifat Vektor Untuk sebarang vektor u, v, w dan skalar a, b berlaku: u + v = v + u u + (−u) = 0 (a + b) u = au + bu (u + v) + w = u + (v + w) a(bu) = (ab)u 1 u = u u + 0 = 0 + u = u a(u + v) = au + av || au || = | a | || u ||.

Contoh C D Q E B A

Pada gambar diperlihatkan jajargenjang ABCD de-ngan diagonal AC dan BD yang berpotongan di E, P titik-tengah BC, dan Q titik-tengah ED. Jika AB = u dan AD = v , nyatakan ruas garis ber-arah AP , AQ , dan CQ dalam vektor u dan v.

Dari sifat jajargenjang diperoleh

DC AB= =u , BC AD= =v , CD BA= =-u , dan .CB DA= =-v

Karena P titik-tengah BC, maka 1 12 2AP AB BP BC= + = + = +u u v .

Karena Q titik- tengah ED dan E titik potong diagonal AC dan BD, maka 34BQ BD= , sehingga

3 3 3 314 4 4 44 ( )( )AQ AB BQ BD BA AD= + = + = + + = + - + = +u u u u v u v .

Dengan argumentasi yang sama diperoleh 3 3 3 3 14 4 4 4 4( ) .( )CQ CB BQ BD BA AD= + =- + =- + + =- + - + =- -v v v u v u v

Contoh Jika u = ⟨1,0,0), v = ⟨1,1,0), w = ⟨1,1,1), dan x = ⟨2,−3,4), tentu- kan konstanta a, b, dan c agar memenuhi x = au + bv + cw.

Dari x = au + bv + cw diperoleh ⟨2,−3,4⟩ = a⟨1,0,0⟩ + b⟨1,1,0⟩ + c⟨1,1,1⟩, atau ⟨2,−3,4⟩ = ⟨a + b + c,b + c,c⟩

Berdasarkan kesamaan dua vektor diperoleh a + b + c = 2, b + c = −3, dan c = 4.

Akibatnya b = −3 − c = −3 − 4 = −7, dan a = 2 − b − c = 2 − (−7) − 4 = 5. Jadi konstanta a, b, dan c yang memenuhi x = au + bv + cw adalah

a = 5, b = −7, dan c = 4.

P

V & FsPar 060

Contoh Jika u = ⟨8,1,−4⟩ dan v = ⟨6,−2,−3⟩, tentukan panjang vektor u, v, dan u − 2v.

Panjang vektor u adalah 2 2 2|| || 8 1 ( 4) 81 9= + + - = =u .

Panjang vektor v adalah 2 2 2|| || 2 ( 3) ( 6) 49 7= + - + - = =v .

Karena u − 2v = ⟨8,1,−4⟩ − 2⟨6,−2,−3⟩ = ⟨8,1,−4⟩ − ⟨12,−4,−6⟩ = ⟨4, 5,−2⟩, maka panjang vektor u − 2v adalah 2 2 2|| 2 || ( 4) 5 2 45 3 5.- = - + + = =u v

60° 45° v 60° 45° w

Contoh Pada gambar diperlihatkan sebuah benda dengan berat 200 newton yang digan-tung dua kawat bersudut 60° dan 45° dengan horisontal. Jika semua gaya terletak di dalam satu bidang dan benda dalam keadaan setim-bang, tentukan besarnya gaya tegangan pada setiap kawat.

Misalkan gaya tegangan pada kawat kiri adalah vektor u, pada kawat ka-nan adalah vektor v, dan gaya berat benda adalah vektor w. Uraikan gaya tegangan u dan v atas komponen horisontal dan vertikal. Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah kiri dan ka-nan harus sama, akibatnya || || cos60 || || cos45 .=u v Dari sini diperoleh 1 12 2|| || 2 || ||=u v , sehingga || || 2 || ||=u v .

Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah atas dan ba-wah harus sama, akibatnya || || sin 60 || || sin 45 || || 200+ = =u v w .

Selesaikan persamaan ini dengan data soal dan || || 2 || ||=u v , diperoleh 1 12 23 2 || || 2 || || 200◊ + =v v ,

400 400 6 26 2 6 2 6 2

|| || 100 6 2 103,5( )-+ + -

= = ◊ = - ªv Newton.

dan || || 2 || || 2 100 6 2 200 3 1 146,4( ) ( )= = ◊ - = - ªu v Newton.

u

200

V & FsPar 061

Perkalian titik Hasilkali titik dari vektor u dan v, ditulis u vi , didefini-sikan sebagai berikut.

Untuk vektor di bidang: 1 2 1 2 1 1 2 2, ,u u v v u v u v= · Ò · Ò = +u vi i . Untuk vektor di ruang : 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , ,u u u v v v u v u v u v= · Ò · Ò = + +u vi i .

Sifat Perkalian titik Untuk vektor u, v, w dan skalar c berlaku =u v v ui i ( )+ = +u v w u v u wi i i ( ) ( )c c=u v u vi i

0=0 ui 2|| || 0= ≥u u ui , 0> ¤ πu u u 0i , 0= ¤ =u u u 0i

Kaitan hasilkali titik dengan sudut antara dua vektornya Jika u, v ≠ 0 dan θ = sudut terkecil dari u dan v, maka || || || || cos .q=u v u vi

Kriteria dua vektor saling tegak lurus 0^ ¤ =u v u vi . (Dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya nol) Dua vektor yang saling tegak lurus dinamakan ortogonal.

u − v u v θ

Bukti dari sifat || || || || cos .q=u v u vi Rumus kosinus dari segitiga pada gambar memberikan

2 2 2|| || || || || || 2 || || || || cos .q- = + -u v u v u v Dari sifat perkalian titik diperoleh

2

2 2|| || ( ) ( ) ( ) ( )

|| || || || 2- = - - = - - -

= - - + = + -u v u v u v u u v v u v

u u u v v u v v u v u vi i i

i i i i i

Samakan kedua bentuk dari 2|| ||-u v ini, diperoleh || || || || cos .q=u v u vi

Contoh Tentukan sudut antara vektor u = ⟨8,4,−1⟩ dan v = ⟨4,−4,−2⟩.

Jika u, v ≠ 0 dan θ = sudut terkecil dari u dan v, maka || || || ||cosq = u vu vi . Untuk

soal ini, 2 2 2|| || 8 4 ( 1) 81 9= + + - = =u , 2 2 2|| || 4 ( 4) ( 2) 36 6= + - + - = =v ,

dan 8(4) 4( 4) ( 1)( 2) 18= + - + - - =u vi , sehingga 18 19 6 3cosq ◊= = . Akibatnya

sudut antara vektor u dan v adalah 113cos 71 .q -= ª

Ilustrasi Vektor u = ⟨8,−1,−4⟩ dan v = ⟨1,−4,3⟩ saling tegak lurus karena 8, 1, 4 1, 4,3 8 4 12 0= · - - Ò · - Ò = + - =u vi i .

V & FsPar 062

Contoh Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus u = ⟨1,6,4⟩ dan v = ⟨1,2,2⟩.

Misalkan w = ⟨a,b,c⟩ adalah suatu vektor yang tegak lurus u dan v, maka ⟨a,b,c⟩ • ⟨1,6,4⟩ = 0 dan ⟨a,b,c⟩ • ⟨1,2,2⟩ = 0. Dari sini diperoleh persamaan

6 4 0a b c+ + = dan 2 2 0a b c+ + = . Selisih dua persamaan ini memberikan 4 2 0b c+ = , sehingga 2c b= - dan

2 2 2 4 2a b c b b b= - - = - + = .

Jadi w = ⟨a,b,c⟩ = ⟨2b,b,−2b⟩ = b⟨2,1,−2⟩ dan 2|| || (4 1 4) 3| |b b= + + =w , sehingga semua vektor satuan yang tegak lurus u dan v adalah

2,1, 2 1|| || 3| | 3 2,1, 2b

b· - Ò= = = ± · - Òw

ws .

Sudut arah dan kosinus arah z v k γ α β j 0 y i x

Sudut tak negatif terkecil antara vektor ruang v ≠ 0 dengan vektor basis i, j, k dinamakan su-dut arah dari v, dinyatakan dengan α, β, dan γ ; di sini α = ∠(v,i), β = ∠(v,j), dan γ = ∠(v,j). Dalam kaitan ini, cos α, cos β, dan cos γ dina-makan kosinus arah dari v. Jika 1 2 3v v v= + +v i j k , maka

1|| || || || || ||cos va = =v iv i vi , 2

|| || || || || ||cos vb = =v jv j vi , dan 3

|| || || || || ||cos vg = =v kv k vi

Catatan Karena

22 231 2

2 2 22 2 2

|| || || || || ||cos cos cos 1vv va b g+ + = + + =v v v , maka vek-

tor (cos α , cos β , cos γ ) panjangnya satu satuan dan searah dengan v.

Contoh Tentukan sudut arah vektor v = ⟨2,3,−6⟩.

Karena || || 4 9 36 7= + + =v , maka 27cosa = , 3

7cosb = , dan 67cosg =- ,

sehingga sudut arah dari vektor v = ⟨2,3,−6⟩ adalah α ≈ 73,4°, β ≈ 64,6° dan γ ≈ 149°.

V & FsPar 063

Vektor Proyeksi Proyeksi vektor u pada v adalah vektor 2|| ||pr =v

u vv

u vi

u θ prv u = u2 ||u|| cos θ u2 v

u prv u = u2 θ u2 − ||u|| cos θ v

120 q p£ £

u2 = (proyeksi u pada v) = kv, k > 0 ||u2|| = ||u|| cos θ = k ||v||

u • v = ||u|| ||v|| cos θ = k ||v|| ||v||

2|| ||k = u v

vi

22 || ||pr k\ = = =v

u vv

u u v vi

12p q p< £

u2 = (proyeksi u pada v) = −kv, k > 0 ||u2|| = −||u|| cos θ = k ||v||

−u • v = −||u|| ||v|| cos θ = k ||v|| ||v||

2|| ||k = - u v

vi

22 || ||pr k\ = = - =v

u vv

u u v vi

Contoh Jika u = ⟨2,2,−1⟩ dan v = ⟨1,1,2⟩, tentukan prvu dan pruv .

Untuk contoh ini, || || 6=v , || || 3=u , dan 2= =u v v ui i , sehingga

22 1 1 26 3 3 3|| ||

pr 1,1,2 , ,= = · Ò=vu vv

u vi dan 22 4 4 29 9 9 9|| ||

pr 2,2, 1 , ,= = · - Ò= -uv uu

v ui .

tali 25°

Contoh Jika sudut antara tanjakan jalan dan horisontal adalah 25°, tentukan gaya tegangan tali agar dapat me-nahan mobil seberat 2 ton dalam keadaan setimbang.

y T −a x 25° W = 2 ton

Buatlah sistem koordinat xoy dengan titik asal sebagai ti-tik pusat massa mobil. Dalam sistem koordinat ini,

W = ⟨0,−2⟩ dan T = ⟨−a,a tan 25°⟩, a > 0. Gaya tegangan tali untuk menahan mobil dalam keadaan setimbang adalah panjang proyeksi dari w pada T, yaitu

2 2| | | | 2 tan 25

|| |||| || 1 tan 25||pr || || || 0,8452a

a += = = ªT

T W T WTT

W Ti i ton.

Cara lain ||pr || || ||sin 25 2 0,4663 0,8452= = ◊ =TW W ton.

dan ||pr ||vu dinamakan proyeksi skalar dari u pada v.

a tan 25°

V & FsPar 064

Contoh Jika g ≡ ax + by + c = 0, a dan b tak semua 0, tunjukkan vektor ⟨a,b⟩ tegak lurus garis g dan jarak A(x0,y0) ke g adalah 0 0

2 2

||ax by ca b

d + ++

= .

Untuk a dan b tak semua 0, terdapat tiga kasus yang mungkin terjadi a = 0 dan b ≠ 0: g ≡ by + c = 0 ⇔ c

bg y∫ =- ⇔ g // sb-x ⇔ ⟨0,b⟩ ⊥ g.

a ≠ 0 dan b = 0: g ≡ ax + c = 0 ⇔ cag x∫ =- ⇔ g // sb-y ⇔ ⟨a,0⟩ ⊥ g.

a ≠ 0 dan b ≠ 0: ,0( )ca g- Œ dan 0,( )c

b g- Œ ⇔ ,c ca a g- Œ· Ò ⇔

⇔ , , 0c ca a a b- · Ò =· Òi ⇔ , ,c c

a a a b- ^ · Ò· Ò ⇔ ⟨a,b⟩ ⊥ g. y A(x0,y0) n

d v prnv (x1,y1)

0 x

Misalkan (x1,y1) ∈ g dan n = ⟨a,b⟩ adalah vektor yang tegak lurus garis g ≡ ax + by + c = 0. Buatlah vektor v dari (x1,y1) ke (x0,y0), maka v = ⟨x0 − x1 , y0 − y1⟩. Karena (x1,y1) ∈ g, maka ax1 + by1 + c = 0, sehingga ax1 + by1 = −c. Dengan menggunakan proyeksi vektor diperoleh

0 1 0 12

0 1 0 1 0 0 1 1 0 02 2 2 2 2 2

)

,,

| , || | | ||| || || |||| ||

| ( ) ( | | ( )| | |

jarak ( , ) ||pr || || ||

.

a ba b

x x y y

a x x b y y ax by ax by ax by ca b a b a b

d A g · Ò· Ò

· - - Ò

- + - + - + + ++ + +

= = = = =

= = =

nv n v n

nnv ni i i

Perkalian silang Hasilkali silang dari vektor ruang u = ⟨u1,u2,u3⟩ dan v = ⟨v1,v2,v3⟩, ditulis u × v, didefinisikan sebagai vektor ruang

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1, ,u v u v u v u v u v u v¥ = · - - - Òu v ; atau

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

u u u u u uu u u v v v v v vv v v¥ = = - +

i j ku v i j k (bentuk determinan)

Sifat perkalian silang Jika u dan v vektor ruang, maka u × v ⊥ u dan u × v ⊥ v (u • (u × v) = 0 = v • (u × v)) u, v, dan u × v membentuk sistem tangan-kanan || u × v || = || u || || v || sin ∠(u,v) u // v ⇔ u × v = 0

u × v u v

∠(u,v) ||u × v||

V & FsPar 065

Ilustrasi Jika u = ⟨1,6,4⟩ dan v = ⟨1,2,2⟩, maka

6 4 1 4 1 61 6 4 4 2 4 4,2, 42 2 1 2 1 21 2 2¥ = = - + = + - = · - Ò

i j ku v i j k i j k .

τ F θ

w v

v × w u

v

Torsi Pada gambar kiri diperlihatkan sebuah benda dengan titik tetap O dan P titik lain pada benda. Di P bekerja gaya F yang memutar benda terhadap sumbu yang melalui O dan tegak lurus bidang (OP,F). Vektor

OPt ¥= F dinamakan torsi, yang searah dengan sumbu putar dan besar-nya || || || || sin , ( , )OP OPq q =–F F .

Arti geometri perkalian silang Pada gambar tengah diperlihatkan sebu-ah jajargenjang yang dibentuk oleh vektor v dan w dengan θ = ∠(v,w). Alas dan tinggi jajar genjang ini adalah || v || dan || w || sin θ, sehingga luas-nya adalah L = || v || || w || sin θ = || v × w ||. (sifat perkalian silang)

Perkalian tripel skalar Perkalian tripel skalar dari vektor u, v, dan w didefinisikan sebagai skalar u • (v × w). Jika u = ⟨u1,u2,u3⟩, v = ⟨v1,v2,v3⟩, dan w = ⟨w1,w2,w3⟩, maka

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 2

1 2 32 3 1 3 1 2

1 2 3 1 2 32 3 1 3 1 2

1 2 3

( ) , , , ,

.

v v v v v vu u u w w w w w wu u uv v v v v vu u u v v vw w w w w w w w w

¥Ê ˆ= · Ò -Á ˜Ë ¯

= - + =

u v wi i

Arti geometri Perkalian tripel skalar Pada gambar kanan diperlihatkan sebuah paralel epipedum yang dibentuk vektor u, v, dan w. Luas alasnya adalah || v × w || dan tingginya adalah || u || | cos γ |, dengan γ = ∠(u,v × w). Volume paralel epipedum ini adalah

V = || v × w || || u || | cos γ | = || u || || v × w || | cos γ | = |u • (v × w)|.

θ

||w|| sinθ

w

||u||cosγ γ

γ O P

V & FsPar 066

n Q(x,y,z) P(x1,y1,z1)

1 1 1, ,PQ x x y y z z= · - - - Ò

Persamaan kartesis bidang di ruang Pada gambar diperlihatkan bidang α yang tegak lurus vektor tak-nol n = ⟨a,b,c⟩ dan melalui titik P(x1,y1,z1). Jika titik Q(x,y,z) pada α , maka vektor 1 1 1, ,PQ x x y y z z= · - - - Ò terletak pada α . Karena PQ ^ n , maka 0PQ =ni , akibatnya α : a (x − x1) + b ( y − y1) + c (z − z1) = 0.

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk ax + by + cz = ax1 + by1 + cz1 = k, k konstanta. Jadi persamaan bidang α adalah

α : ax + by + cz = d; a, b, dan c tak semua nol. Jarak titik ke bidang Jarak titik A(x0,y0,z0) ke α : ax + by + cz = d adalah

0 0 02 2 2

||ax by cz da b c

d + + -+ +

= .

Contoh Tentukan persamaan bidang α yang melalui titik A(2,−2,−1), B(1,1,3), dan C(−2,3,1).

n

Vektor yang terletak pada bidang α adalah (1,1,3) (2, 2, 1) 1,3,4AB= - - - = ·- Ò

( 2,3,1) (2, 2, 1) 4,5,2AC = - - - - = ·- Ò Karena vektor normal bidang n memenuhi

AB^n dan AC^n , maka

1 3 4 14, 14,7 7 2,2, 14 5 2

AB AC= ¥ = - = ·- - Ò = - · - Ò-

i j kn .

Ambillah n = ⟨2,2,−1⟩, maka α : 2x + 2y − z = k, k dicari. Karena α melalui A(2,−2,−1), maka k = 4 − 4 + 1 = 1. Jadi α : 2x + 2y − z = 1.

Contoh Jika α : 2x + 2y − z = 1 dan β : x + 2y + 2z = 6, tentukan ∠(α ,β ).

Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua vektor normalnya. Di sini 2,2, 1 , 1,2,2a b= · - Ò = · Òn n dengan || || 3, || || 3a b= =n n , dan 2a b =n ni . Ka-

rena 2 2|| || || || 3 3 9cos ( , ) a b

a ba b ◊– = = =

n nn nn n

i, maka ( , ) 77,2a b– ªn n .

Q

P α

α A B

C

V & FsPar 067

Tampilan parameter kurva bidang Suatu kurva bidang dapat ditulis-kan dalam persamaan parameter x = x(t), y = y(t), t ∈ I, kedua fungsi ini kontinu pada suatu selang I. Cara penulisan lainnya adalah bentuk vektor r(t) = x(t) i + y(t) j, t ∈ I = [a,b].

Kurva tutup dan kurva sederhana Pada persamaan parameter x = x(t), y = y(t), t ∈ [a,b], titik ujung kurva adalah P(x(a), y (a)) dan titik pangkal kurva adalah Q(x (b), y (b)).

Suatu kurva dengan titik pangkal dan titik ujung berimpit dinamakan kurva tutup.

Suatu kurva yang dijalani tepat satu kali (kecuali titik pangkal dan ti-tik ujungnya) dinamakan kurva sederhana.

Contoh Tentukan persamaan parameter untuk lingkaran L: 2 2 2.x y a+ =

y

2 2 2x y a+ = (x,y) t −a 0 x a x L −a x = a cos t y = a sin t

Lintasan tutup sederhana

Persamaan parameter L adalah x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, atau r(t) = a cos t i + a sin t j, 0 ≤ t ≤ 2π. Titik pangkal L ≡ r(0) = (a,0) dan titik ujung L ≡ r(2π) = (a,0), sehingga L adalah lintasan tutup. Karena L di-jalani tepat satu kali kecuali titik (a,0), maka L adalah lintasan tutup sederhana. Dari x = a cos t dan y = a sin t diperoleh persamaan lingkaran 2 2 2.x y a+ =

Lintasan tidak tutup dan tidak sederhana Q P

Lintasan tidak tutup dan sederhana Q P

Lintasan tutup dan tidak sederhana

Lintasan tutup dan sederhana

Kurva bidang Persamaan kartesis Persamaan parameter

Elips 22

2 2 1yxa b

+ = x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π

Hiperbol 22

2 2 1yxa b

- = , x > 0 x = a sec t, y = b tan t, 1 1

2 2tp p- < < x = a cosh t, y = b sinh t, −∞ < t < ∞

y

V & FsPar 068

Keterdiferensialan fungsi parameter Jika x = x(t), y = y(t), t ∈ I mem-punyai turunan pertama yang kontinu dan x ′(t) ≠ 0 pada selang buka I, maka y adalah fungsi terdiferensialkan terhadap x dengan /

/dy dy dtdx dx dt= .

Ilustrasi Pada fungsi parameter x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ 2π untuk lingkaran L:

2 2 2x y a+ = diperoleh y adalah fungsi dari x dengan turunan / cos/ sin

dy dy dt a t xdx dx dt a t y-= = = - .

y 2a y P R

t C sikloid x 0 M N πa 2πa x

Sikloid Sikloid adalah kurva bi-dang yang merupakan jejak titik pada roda lingkaran yang digelin-dingkan sepanjang garis lurus tan-pa tergelincir.

Gambar ini adalah roda lingkaran berpusat di C dan berjari-jari a dige-lindingkan sepanjang sumbu-x dengan jejak titik P mulai dari (0,0).

Pilih parameter t sudut searah jarum jam antara CP dengan posisi ver-tikalnya saat P di titik O. Karena ,ON PN at= = maka x dan y adalah

x = OM = ON − MN = at − a sin t = a(t − sin t) y = MP = NR = NC + CR = a + (−a cos t) = a(1 − cos t)

Persamaan parameter sikloid adalah x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t > 0.

Turunan y terhadap x adalah 22/ sin

/ (1 cos )ay ydy dy dt a t

dx dx dt a t y± -

-= = = , karena

2 2 2cos 1 sin 1 cos 1 1 2 .( )y yaat a t a t a ay y= - fi = ± - = ± - - = ± -

Dari sini diperoleh 0 ≤ y ≤ 2a, titik minimumnya tercapai di x = k⋅2πa dan titik maksimumnya tercapai di x = πa + k⋅2πa, k bilangan bulat.

Luas daerah di bawah satu busur sikloid dan di atas sumbu-x adalah

( )

2 2 22 20 0 0

2 22 200

2

31 1 12 2 2 4

(1 cos ) ( sin ) (1 cos )

1 2cos cos2 2sin sin 2

3 .

( )

( )

aL y dx a t d a t t a t dt

a t t dt a t t t

a

p p p

p p

p

= = - - = -

= - + + = - +

=

Ú Ú ÚÚ

V & FsPar 069

Fungsi Parameter di Bidang dan Ruang Fungsi parameter di bidang adalah ( ) ( ) ( ) ,t x t y t ta b= + £ £r i j dan di ruang adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ,t x t y t z t ta b= + + £ £r i j k . Fungsi parameter ini bernilai vektor dengan peubah skalar.

Fungsi ini memuat informasi titik pangkal, titik ujung, arah, dan berapa kali kurva dijalani; arahnya terbalik jika t diganti dengan (−t). (kekuatan)

Suatu kurva dapat ditulis sebagai fungsi parameter dengan lebih dari sa-tu cara, aturannya tidak tunggal. (kelemahan)

Fungsi Parameter di Bidang y 2

t = α r = r(t) t = α ttkpkl t =β t ttkujung

j r(t)

t = β 0 i x

( ) ( ) ( ) ,t x t y t ta b= + £ £r i j

x = x(t), y = y(t) ≡ fungsi real

Fungsi Parameter di Ruang z

t =α 3 ttkpkl t = α r = r(t) t k t = β r(t) ttkujung 0 j y t = β i

x ( ) ( ) ( ) ( ) ,t x t y t z t ta b= + + £ £r i j k

x = x(t), y = y(t), z = z(t) ≡ fungsi real

y L2 q (p,q) a p i + q j

−a 0 a p x L1 −a

1: ( ) cos sin , 0 2yx

L t a t a t t p= + £ £r i j

2 2 2x y afi + =

2: ( ) ( cos ) ( sin ) ,0 2L t a t p a t q t p= + + + £ £s i j 2 2 2( ) ( )x p y q a-fi - + =

z tabung x2 + y2 = a2 heliks lingkaran ( ) cos sint a t a t bt= + +r i j k atau,t tŒ - < <• • y Lintasan spiral x melilit tabung

} 2 2 2( ) cos( ) sin

x x t a t x y ay y t a t= = fi + == =

( ) cos sin ,y zx

t a t a t bt t= + + -•< <•r i j k

tabung lingkaran

a

a 0

t = 0

V & FsPar 070

Contoh Tentukan persamaan parameter dari 24 , 0 4y x x x= - £ £ , arah, titik

pangkal, titik ujung, gambarkan kurva, dan arah terbalik dari kurva. y 4 t = 2 y = 4x − x2

t =0 t = 4 0 titik titik 4 x pangkal ujung

Persamaan parameter: 2( ) (4 ) , 0 4t t t t t= + - £ £r i j .

arah: dari titik pangkal (0,0) ke titik ujung (4,0) t = 0 t = 4Jika arah kurva dibalik, aturan fungsinya:

2( ) ( 4 ) , 4 0t t t t t= - + - - - £ £s i j . titik pangkal: r(−4) = 4 i + 0 j = (4,0) titik ujung: r(0) = 0 i + 0 j = (0,0)

Contoh Tentukan persamaan parameter dan persamaan kartesis garis di ruang dengan vektor arah b ≠ 0 dan vektor penyangga a.

z

x a x b 0 y x

Persamaan parameter: x = x(t) = a + tb, b ≠ 0, tŒ . Jika ( , , ),x y z=x 1 2 3( , , ),a a a=a dan 1 2 3( , , ),b b b=b ma-ka 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )x y z a a a t b b b= + . Samakan kompo-nennya, diperoleh 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , )x y z a tb a tb a tb= + + + . Eliminasi t dari 1 1 2 2, ,x a tb y a tb= + = + dan 3 3,z a tb= +

diperoleh 31 2

1 2 31 2 3, , , 0.z ax a y a

b b b b b b-- -= = π

Contoh Tentukan persamaan kurva yang merupakan perpotongan dari ta- bung lingkaran x2

+ y2 = a2 dengan bidang z = y kemudian gambarkan.

z tabung x2 + y2 = a2 bidang z = y y

Karena persamaan kurva harus memenuhi x2

+ y2 = a2, maka x = a cos t, y = a sin t, a > 0.

Karena persamaan kurva harus memenuhi z = y, maka ambillah z = a sin t, a > 0.

Persamaan parameter dari kurva adalah r(t) = a cos t i + a sin t j + a sin t k, 0 ≤ t ≤ 2π.

Bentuk kurva adalah elips yang dijalani satu kali dengan sumbu panjang 2 2a dan sumbu pendek 2a.

(2,4)

0

r = r(t) x

V & FsPar 071

Limit fungsi parameter Untuk fungsi parameter r = r(t), α ≤ t ≤ β dan α ≤ t0 ≤ β,

00lim ( ) jika 0 0 0 | | || ( ) ||

t tt t t te d d e

Æ= " > $ > ' < - < fi - <r L r L .

(r(t) dapat dibuat sebarang dekat ke L dengan cara membuat t cukup de-kat ke t0 tetapi t ≠ t0)

Kekontinuan fungsi parameter Fungsi parameter r = r(t) kontinu di t0, α ≤ t0 ≤ β, jika

00lim ( ) ( )

t tt t

Æ=r r dan kontinu pada suatu selang jika fungsi

r = r(t) kontinu di setiap titik pada selang itu. Sifat limit dan kekontinuan fungsi parameter Untuk fungsi parameter r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, α ≤ t ≤ β, α ≤ t0 ≤ β, dan 1 2 3( , , )=L ,

0 0 0 0

1 2 3lim ( ) lim ( ) , lim ( ) , dan lim ( )t t t t t t t t

t x t y t z tÆ Æ Æ Æ

= ¤ = = =r L ,

r = r(t) kontinu di t0 ⇔ x = x(t), y = y(t), dan z = z(t) kontinu di t0. Turunan fungsi parameter Turunan fungsi parameter

z C : r = r(t) r(t0) garis singgung r(t0 + h) − r(t0) r(t0 + h) 0 y garis singgung: s(t) = r(t0) + t r ′(t0) x

r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, α ≤ t ≤ β di t0 ∈ (α ,β ), ditulis r ′(t0), didefinisikan sebagai

0 00 0

( ) ( )( ) limh

t h tht

Æ

+ -=¢ r rr .

Turunan fungsinya di t ∈ [α ,β ], didefini-sikan sebagai

0

( ) ( )( ) limh

t h tht

Æ

+ -=¢ r rr

Arti geometri r ′(t0) ≡ vektor singgung di r (t0) pada kurva C: r = r(t), per-samaan garis singgung di r (t0) pada kurva C adalah s(t) = r(t0) + t r ′(t0). Arti fisis r ′(t0) ≡ vektor kecepatan di r (t0) pada gerak partikel sepanjang kurva C: r = r(t).

Sifat turunan fungsi parameter Turunan dari fungsi parameter r = r(t)

= x(t) i + y(t) j + z(t) k, α ≤ t ≤ β adalah ( ) ( ) ( ) ( )t x t y t z t= + +¢ ¢ ¢ ¢r i j k . Jika fungsi r = r(t) dan s = s(t) terdiferensialkan di t ∈ [α ,β ], maka

(r + s)′(t) = r ′(t) + s ′(t) (r • s)′(t) = r(t) • s ′(t) + r ′(t) • s(t) (r − s)′(t) = r ′(t) − s ′(t) (r × s)′(t) = r(t) × s ′(t) + r ′(t) × s(t) 3di ( )

V & FsPar 072

Gerakan partikel sepanjang kurva Jika suatu partikel bergerak sepan-jang kurva ruang C: r = r(t), maka untuk setiap saat t ∈ [α ,β ] berlaku:

Vektor posisi: r = r(t). Vektor kecepatan: v = v(t) = r ′(t); laju: v = v(t) = || v(t) ||. Vektor percepatan: a = a(t) = v ′(t) = r ″(t); percepatan: a = a(t) = || a(t) ||.

Integral fungsi parameter Integral tak-tentu dari fungsi r = r(t) pada selang I didefinisikan se-bagai anti diferensialnya, ( ) ( )t dt t= +Úr s C ⇔ s′(t) = r(t) ∀t ∈ I.

Integral tentu dari fungsi r = r(t), α ≤ t ≤ β didefinisikan sebagai limit

jumlah Riemann, 1|| || 0

( ) lim ( )nk kkP

t dt c tb

a =Æ= DÂÚ r r , P suatu partisi untuk

[α ,β ], ∆tk = tk − tk−1, ck ∈ [tk−1 , tk], dan ||P|| = maks {∆tk : 1 ≤ k ≤ n}. Sifat integral fungsi parameter Jika r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, α ≤ t ≤ β, maka ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )t dt x t dt y t dt z t dt= + +Ú Ú Ú Úr i j k

( ) ( ) ( ) ( )t dt x t dt y t dt z t dtb b b b

a a a aÊ ˆ Ê ˆ Ê ˆ= + +Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯Ú Ú Ú Úr i j k

y C: r = r(t), α ≤ x ≤ β yi ∆bi y = f (x) yi−1 a ≤ x ≤ b 0 a x i−1 xi b y

Panjang busur kurva Untuk kurva C: y = f (x), a ≤ x ≤ b, f ′ kontinu pada [a,b],

∆bi = busur ke-i ≈ talibusur ke-i

( )22 2 1 iii i i i

yxb x y xD

DD ª D +D = + D .

Panjang busur: 21 ( )( )b

aL f x dx= + ¢Ú

Untuk kurva C: r(t) = x(t) i + y(t) j dengan r′(t) = x′(t) i + y′(t) j kontinu pa-da [α ,β ] dan 2 2|| ( )|| ( ) ( )( ) ( )t x t y t= +¢ ¢ ¢r , dari ∆bi = busur ke-i ≈ talibusur

ke-i diperoleh ( ) ( )2 22 2 i i

i ii i i ix yt tb x y tD D

D DD ª D +D = + D .

Panjang busur: 2 2( ) ( ) || ( )||( ) ( )L x t y t dt t dtb b

a a= + =¢ ¢ ¢Ú Ú r .

Rumus || ( )||L t dtb

a= ¢Ú r berlaku untuk untuk kurva ruang r = r(t), α ≤ t ≤ β.

∆yi ∆xi

V & FsPar 073

Contoh Hitunglah 0

ln (1 ) 1 sin 2lim ( )t

t

t e tt t tÆ

+ -+ +i j k

Karena 0 0

ln (1 ) 1/(1 )1lim lim 1

t t

t ttÆ Æ

+ += = , 0 0

11lim lim 1

t t

t t

e etÆ Æ

- -= = - , dan

0 0

sin 2 2 cos 21lim lim 2

t t

t ttÆ Æ

= = , maka 0

lim ( ) (1, 1,2) 2t

tÆ

= - = - +r i j k .

Contoh Tentukan persamaan kartesis garis singgung di titik A(−1,0,π) pa- da kurva C: r(t) = cos t i + sin t j + t k, tŒ .

Titik A(−1,0,π) terletak pada C karena r(π) = −i + 0 j + π k = (−1,0,π). Turunan fungsi r = r(t) adalah r ′(t) = −sin t i + cos t j + k, sehingga vek-tor singgungnya adalah r ′(π) = 0 i − j + k = (0,−1,1).

Karena titik A tercapai pada saat t = π, maka persamaan garis singgung di A pada kurva C adalah s(t) = r(π) + t r ′(π) = (−1,0,π) + t(0,−1,1).

Untuk menentukan persamaan kartesisnya, misalkan s(t) = (x,y,z), maka x = −1, y = −t, dan z = π + t. Eliminasi t menghasilkan −y = z − π. Jadi persamaan kartesis garis singgungnya adalah x = −1 dan y = π − z.

Contoh Suatu partikel bergerak dengan r(t) = cos t i + sin t j + et k , .tŒ

Tentukan sudut antara vektor kecepatan dan percepatannya pada saat 0.

Vektor kecepatan partikel ≡ v(t) = r ′(t) = −sin t i + cos t j + et k, sehingga

vektor kecepatannya pada saat t = 0 ≡ v(0) = (0,1,1). Vektor percepatan partikel ≡ a(t) = r ″(t) = −cos t i − sin t j + et

k, sehingga vektor percepatannya pada saat t = 0 ≡ a(0) = (−1,0,1).

Gunakan v(0) • a(0) = || v(0) || || a(0) || cos ∠(v(0),a(0)) dengan v(0) • a(0) = (0,1,1) • (−1,0,1) = 1, || v(0) || = 2 , dan || a(0) || = 2 , diperoleh

1 = 2 cos ∠(v(0),a(0)), atau cos ∠(v(0),a(0)) = 12

.

Jadi ∠(vektor kecepatan,vektor percepatan) di 0 ≡ ∠(v(0),a(0)) = 60°.

Contoh Hitunglah panjang busur (keliling) lingkaran berjari-jari a > 0.

Tulislah lingkarannya dalam bentuk C: r(t) = a cos t i + a sin t j, 0 ≤ t ≤ 2π.

Karena || r ′(t) || = a, maka 2 2

0 0keliling || ( )|| 2 .L C t dt a dt a

p pp= = = =¢Ú Úr

V & FsPar 074

Contoh Jika r(t) = sin t i + sin2t j + sin3t k, hitunglah ( )t dtÚr dan0

( ) .t dtpÚ r

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 3

31 1 12 4 3

( ) sin sin sin

cos sin 2 cos cos

t dt t dt t dt t dt

t t t t t

= + +

= - + - + - +Ú Ú Ú Úr i j k

i j k C

( ) ( )( )30 0

1 1 1 1 12 4 3 2 3( ) cos sin2 cos cos 2 1t dt t t t t t

ppp= - + - + - = + +Ú r i j k i j k .

Contoh Hitunglah panjang busur heliks lingkaran C: r(t) = a cos t i + a sin t j + bt k, 0 ≤ t ≤ 2π.

Karena r ′(t) = −a sin t i + a cos t j + b k, dengan || r ′(t) || = 2 2 ,a b+ maka

panjang busur C adalah 2 2 2 2 2 20 0

|| ( )|| 2 .L t dt a b dt a bp p

p= = + = +¢Ú Úr

Contoh y v

v0 lintasan θ peluru 0 x

Sebutir peluru ditembakkan dari titik asal O dengan laju awal v0 m/det dan ∠(peluru,sb-x positif) = θ. Ji-ka gesekan udara diabaikan, tentukan vektor posisi untuk gerakan peluru ini dan tunjukkan lintasan pe-lurunya berbentuk parabol.

Percepatan yang terkait dengan gaya gravitasi adalah a(t) = −9,8 j m/det2 dengan kondisi awalnya r(0) = 0 dan v(0) = v0 cosθ i + v0 sinθ j. Tentu-kan r = r(t) dengan mengintegralkannya dua kali.

Dari a(t) = −9,8 j diperoleh 1( ) ( ) ( 9,8 ) 9,8t t dt dt t= = - = - +Ú Úv a j j C de-

ngan C1 ditentukan dari v(0) = v0 cosθ i + v0 sinθ j. Karena v(0) = C1, maka 1 0 0cos sinv vq q= +C i j, sehingga 0 0( ) ( cos ) ( sin 9,8 )t v v tq q= + -v i j .

Dari sini diperoleh 20 0 2( ) ( ) ( cos ) ( sin ) 4,9( )t t dt v t v t tq q= = + - +Úr v i j C

dengan C2 ditentukan dari r(0) = 0. Karena r(0) = 0, maka C2 = 0. Jadi vektor posisinya adalah 2

0 0( ) ( cos ) ( sin ) 4,9( )t v t v t tq q= + -r i j. Dari vektor posisi ini diperoleh x = (v0 cosθ )t dan y = (v0 sinθ )t − 4,9t

2.

Karena 0cos

xvt q= , maka

20

2 2 2 20 0 0

2( sin ) 4,9cos cos cos

4,9 (tan )v x xv v v

y x xqq q q

q= - = - .

sehingga y fungsi kuadrat dalam x dan lintasan pelurunya adalah parabol.

SOAL LATIHAN MA 1201 – KALKULUS 2A Pokok Bahasan: Vektor dan Fungsi Bernilai Vektor

Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.

No. Pernyataan Jawab

1. Vektor nol selalu tegak lurus dan sejajar dengan sebarang vektor ruang. B − S

2. Untuk vektor ruang u dan v, jika u // v dan ∠(u,v) = θ, 0 ≤ θ ≤ π, maka θ = 0. B − S

3. Untuk vektor ruang u dan v, jika u • v = 0 dan u • w = 0, maka v sejajar dengan w. B − S

4. Jika vektor ruang u, v ≠ 0 terletak pada bidang α, maka nα = k (u × v), k konstanta. B − S

5. Untuk vektor ruang u dan v, jika ∠(u,v) = θ, 120 ,q p< < maka || || tan .q¥ =u v

u vi B − S

6. Untuk sebarang sudut θ kurva x(t) = t cos θ dan y(t) = t sin θ, tŒ adalah lingkaran. B − S

7. Jika v adalah vektor singgung pada kurva y = x2 di titik (1,1), maka ⟨2,−1⟩ ⊥ v. B − S

8. Jika a(t) • v(t) = 0 ∀ tŒ , maka kurva gerakan partikelnya adalah lingkaran. B − S

9. Vektor percepatan pada gerakan sepanjang heliks lingkaran selalu tegak lurus sb-z. B − S

10. Pada suatu gerakan partikel, jika || r(t) || = konstan, maka || r ′(t) || = 0 (lajunya nol). B − S

Kumpulan Soal Vektor di Bidang dan Ruang

11. Jika P adalah titik berat ∆ABC, ,AB = u dan ,AC = v nyatakan ruas garis AP, BP, dan CP da-lam u dan v.

12. Jika u, v, w mempunyai titik pangkal sama, ∠(u,v) = ∠(u,w) = ∠(v,w) = 120°, u + v + w = 0, dan ||u|| = ||v|| = 1, tentukan ||w||.

13. Jika A(−2,0), B(3,−1), dan C(5,2), tentukan titik D sehingga ABCD berbentuk jajargenjang ke-mudian tentukan ( , )AB AD– dan ( , )DA DC– .

14. Jika u = ⟨2,2,0⟩, v = ⟨1,−1,1⟩, dan w = ⟨−2,2,1⟩, tentukan ∠(u,v), ∠(u,w), dan ∠(v,w). 15. Jika u = ⟨2,k⟩ dan v = ⟨3,5⟩, tentukan kontanta k agar (a) u // v dan (b) u ⊥ v. 16. Tentukan konstanta k agar vektor u = ⟨k,k,1⟩ tegak lurus vektor v = ⟨k,5,6⟩. 17. Jika A(3,0,2), B(4,3,0), dan C(8,1,−1), tunjukkan ∆ABC siku-siku dan sudut mana yang 90°. 18. Jika vektor u dan v memenuhi ||u − v|| = ||u|| + ||v||, tentukan ∠(u,v). 19. Jika ||u|| = 4, ||v|| = 5, dan ∠(u,v) = 120°, tentukan ||2u + 3v||. 20. Tentukan proyeksi vektor u = ⟨−4,3,−4⟩ pada vektor v = ⟨2,−2,1⟩ dan panjang proyeksinya. 21. Jika bidang α yang melalui (1,1,−1) mempunyai vektor normal n = ⟨3,−2,−1⟩, tentukan persa-

maan bidang α. Kemudian, jika β : 2x − 4y + 3z = 1, tentukan sudut antara bidang α dan β. 22. Tentukan jarak dari titik A(1,−1,−2) ke bidang α : 2x + 3y + 6z = 1. 23. Tentukan semua vektor yang tegak lurus pada kedua vektor u = i + 2 j + 3 k dan v = i − j + 2 k. 24. Tentukan luas ∆ABC yang titik sudutnya A(3,2,1), B(2,4,6), dan (−1,2,5). 25. Jika α : x − 3y + 2z = 7 dan β : 2x − 2y −z = −3, tentukan persamaan bidang γ yang melalui titik

(1,2,−3), γ tegak lurus α , dan γ tegak lurus β.

75

Kumpulan Soal Fungsi Bernilai Vektor

26. Tentukan persamaan kartesis dari x = 2t, y = 1t + , t ≥ −1 dan gambarkan kurvanya.

27. Tentukan persamaan kartesis dari x = 4 − t, y = t , 0 ≤ t ≤ 4 dan gambarkan kurvanya.

28. Tentukan persamaan kartesis dari x = cos t, y = −2sin22t, −∞ ≤ t ≤ ∞ dan gambarkan kurvanya. 29. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva x = t2, y = t3 di t = 2 dan gambarkan kurvanya. 30. Tentukan turunan pertama dan kedua dari x = 1 − cos t, y = 1 + sin t, t ≠ nπ, n bilangan bulat. 31. Tentukan suatu vektor singgung di titik (1,1) pada kurva (a) y = x2 dan (b) y = 2x3 − x4. 32. Tentukan luas daerah di antara kurva x = e2t, y = e−t dari t = 0 sampai t = ln 5. 33. Hitunglah panjang busur kurva x = 3t2, y = t3, 0 ≤ t ≤ 2.

34. Jika ln (1 )sin sin1 cos tan 1( ) ,t

tt t t tt t et ++

- -= + +r i j k tentukan r(0) agar fungsi ini kontinu di 0.

35. Jika r(t) = e−t i − 2 ln t j, tentukan turunan pertama dari fungsi f (t) = r(t) • r″(t).

36. Pada gerakan partikel r(t) = cos t i + sin t j + et k, tΠ, tentukan sudut antara vektor kecepatan

dan vektor percepatannya pada saat t = 0. 37. Jika persamaan gerak suatu partikel adalah 2 2 21

2( ) 6 7) ( 4) ( 10)(t at t t t= - + + - + -r i j k dan v(1) tegak lurus a(1), tentukan konstanta a.

38. Jika suatu partikel bergerak menelusuri lingkaran x2 + y2

= 25 dari titik (5,0) dengan laju sudut 6 radian per detik, tentukan persamaan gerak, vektor kecepatan, laju, dan vektor percepatannya.

39. Hitunglah (a) ( )1 20

t t tte te te dt- + +Ú i j k dan (b) ( )2

2 2 2

1

01

1 1 1t t

t t t dt+ + ++ +Ú i j k

40. Hitunglah panjang busur kurva r(t) = cos 3

t i + sin 3

t j, 0 ≤ t ≤ 2π. 41. Hitunglah panjang busur kurva r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j + t2 k, 0 ≤ t ≤ 2π.

Kunci Jawaban

1. B 2. S 3. S 4. B 5. B 6. S 7. B 8. S 9. B 10. S 11. 1 1 2 1 1 23 3 3 3 3 3, ,AP BP CP= + =- + = -u v u v u v

12. ||w|| = 1 13. ( , ) 67,6 ,AB AD– = ( , ) 112,4DA DC– = 14. ∠(u,v) = ∠(u,w) = 90°, ∠(v,w) = 125,26°

15. (a) 103k = (b) 6

5k = - 16. k = −2 atau k = −3 17. ∠B 18. 180° 19. 13 20. ⟨−4,4,−2⟩, ||pr || 6=vu

21. α : 3x − 2y − z = 2 dan ∠(α , β ) = 56,9° 22. 2 23. c(7i + j − 3k), cŒ 24. 4 6 25. 7x + 5y + 4z = 5 26. x = 2( y2− 1), y ≥ 0 27. y2 = 4− x, 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 2 28. y = −8x2(1− x2), −1 ≤ x ≤ 1 29. y− 8 = 3(x − 4) y 1 −2 0 x

y

2 0 4 x

y 0 −1 1 x

−2

y gs 8 t = 2 0 4 x

30. 2

23cot ; cscdy d y

dx dxt t= = - 31. (a) ⟨1,2⟩ (b) ⟨6,−4⟩ 32. 8 33. 16 2 8- 34. r(0) = 2 i + 2 j − k

35. 2 3 3( ) 2 4 8 lntf t e t t t- - -= - - +¢ 36. sudut antara v(0) dan a(0) adalah 60° 37. a = 2 atau a = 4

38. r(t) = 5cos 6t i + 5sin 6t j; v(t) = −30sin 6t i + 30cos 6t j, v(t) = 30; a(t) = −180cos 6t i + 180sin 6t j

39. (a) 22 141 ( 1)( )e e- + + +i j k ; (b) 1 1

4 4ln 2 1( )p p+ + -i j k 40. 6 41. 2 22 1 4 ln 1 4 2( )p p p p+ + + +

76