rangkuman materi vektor - · pdf file13.7 besaran vektor ... karena biasanya mengubah skala...

26
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah” Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2014 Universitas Negeri Surabaya

Upload: dinhdang

Post on 01-Feb-2018

404 views

Category:

Documents


18 download

TRANSCRIPT

Page 1: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

RANGKUMAN MATERI VEKTOR

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah”

Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.

Oleh

Abdul Hayyih (147785010)

Kelas D

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2014

Universitas Negeri Surabaya

Page 2: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………………………. i

DAFTAR ISI …………………………………………………………………………… ii

BAB XIII VEKTOR …………………………………………………………………………… 1

13.1 Translasi dari Sebuah Bidang …………………………………………… 1

13.2 Vektor Aljabar ……………………………...………………………….. 3

13.3 Vektor Satuan Dasar …………………………………………………… 6

13.4 Vektor Posisi …………………………………………………………… 7

13.5 Aljabar dengan Vektor Posisi …..………………………………………… 9

13.6 Vektor dalam Dimensi Tiga …..………………………………………… 9

13.7 Besaran Vektor ….…………..…………………………………………… 15

13.8 Produk Skalar ……………….…………………………………………… 15

13.9 Produk Skalar dalam Bentuk Komponen ..……………………………… 18

13.10 Aturan Distributif (p + q).r = p.r + q.r ………………………………… 21

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………. 24

Page 3: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 1

BAB XIII

VEKTOR

Bab ini memperkenalkan gagasan vektor sebagai sebuah cara untuk mengerjakan

geometri dalam dua atau tiga dimensi. Ketika anda telah selesai, anda harus:

Memahami gagasan terjemahan, dan bagaimana ia dapat diungkapkan baik

dalam bentuk kolom atau dalam hal unit dasar vektor

Tahu dan dapat menggunakan aturan vector aljabar

Memahami gagasan perpindahan dan posisi vektor, dan menggunakannya

untuk membuktikan geometris hasil

Menghargai persamaan dan perbedaan antara geometri dalam dua dan tiga

dimensi

Tahu ,definisi di setiap scalar produk, dan ekspresi dalam istilah

komponen

Dapat menggunakan aturan vector aljabar yang melibatkan scalar produk

Dapat menggunakan scalar produk untuk memecahkan masalah dalam dua

bentuk geometris dan tiga dimensi, menggunakan vector aljabar umum

atau komponen.

13.1. Translasi dari sebuah bidang

Dalam Bagian 3.6 Anda melihat bahwa jika Anda menerjemahkan grafik y = ax2 -

bx melalui jarak c ke arah-y persamaan barunya adalah y = ax2 + bx + c. Secara

umum, jika Anda menerjemahkan grafik y = f (x) dengan jarak c satuan ke arah y,

persamaannya menjadi y = f (x) + c. Sebuah cara praktis untuk melakukan hal ini

adalah dengan menggambar grafik pada lembar transparan ditempatkan di atas

koordinat grid, dan kemudian memindahkan lembar ini diatas grid hingga c

satuan.

Fitur penting dari translasi adalah bahwa lembaran bergerak melebihi grid tanpa

berputar. Sebuah translasi umum akan memindahkan lembaran melampaui k

satuan dan l satuan diatas grid. Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 13.1, di mana

Page 4: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 2

beberapa titik bergerak dalam arah yang sama melalui jarak yang sama. Translasi

seperti ini disebut vektor, dan ditulis .

Misalnya, translasi dari y = f (x) yang dijelaskan di atas akan dilakukan oleh

vektor ; sama halnya vektor melakukan translasi dari k satuan ke arah x.

Dalam prakteknya, menggambar beberapa panah, seperti pada Gambar. 13.1,

bukanlah cara yang nyaman untuk mewakili vektor. Hal ini biasanya hanya

digambarkan dengan panah tunggal, seperti pada Gambar. 13.2. Tapi Anda harus

memahami bahwa posisi anak panah di bidang-(x, y) adalah tidak penting. Panah

ini hanyalah salah satu dari tak terhingga banyaknya yang

dapat ditarik untuk mewakili vektor.

Anda mungkin menemukan penggunaan vektor dalam konteks lain. Misalnya,

mekanik menggunakan vektor kecepatan, vektor percepatan, vektor gaya, dan

sebagainya. Bila Anda ingin membuat perbedaan, vektor yang dijelaskan di sini

disebut vektor translasi. Ini adalah satu-satunya vektor yang digunakan dalam

buku ini.

Page 5: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 3

13.2 Vektor aljabar

Sering digunakan satu huruf untuk memisalkan vektor. Dalam cetakan huruf tebal

digunakan untuk membedakan vektor-vektor dari bilangan. Misalnya, dalam

풑 = , p adalah vektor tapi k dan l adalah angka, yang disebut komponen

vektor p dalam arah-x dan arah-y.

Dalam tulisan tangan vektor ditandai dengan garis bergelombang di bawah huruf: 풑~ = . Penting untuk membiasakan menulis vektor dengan cara ini, sehingga

cukup jelas dalam pekerjaan Anda tulisan yang mana yang memisalkan vektor dan

yang memisalkan bilangan.

Jika s adalah sebarang bilangan dan p adalah sembarang vektor, maka sp adalah

vektor lain. Jika s > 0, vektor sp merupakan translasi dengan arah yang sama

dengan p tapi s kali lebih besar; jika s < 0 translasi itu dalam arah yang

berlawanan dan | s | kali lebih besar. Bilangan seperti s sering disebut skalar,

karena biasanya mengubah skala vektor.

Segitiga yang sama pada Gambar. 13.3 menunjukkan bahwa 푠풑 = . Secara

khusus, (−1)풑 = , yang merupakan translasi yang sama besarnya dengan p

tetapi dalam arah yang berlawanan. Hal ini dilambangkan dengan −풑.

Vektor ditambahkan dengan melakukan transformasi satu demi satu. Dalam

Gambar. 13.4, p dan q adalah dua vektor. Untuk membentuk jumlah, misalkan

vektor tersebut sebagai sepasang anak panah yang dapat menggambarkan jalur

titik tertentu dari perpindahan lembar melalui dua panah tersebut. Dalam Gambar.

Page 6: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 4

13.5, p ditunjukkan oleh panah dari U ke V, dan q oleh panah dari V ke W.

Kemudian ketika translasi digabungkan, titik dari lembar yang semula di U akan

bergerak duluan ke V dan kemudian ke W. Jadi jumlah p + q diwakili oleh panah

dari U ke W.

Gambar. 13.5 juga menunjukkan bahwa:

Jika 풑 = dan 풒 = , maka 풑 + 풒 =

Untuk membentuk penjumlahan q + p translasi dilakukan dalam urutan terbalik.

Dalam Gambar. 13.6, q diwakili oleh panah dari U ke Z; dan karena UVWZ adalah

jajargenjang, p diwakili oleh panah dari Z ke W. Hal ini menunjukkan bahwa

p + q = q + p.

Ini disebut aturan komutatif untuk penambahan vektor.

contoh 13.2.1

Jika 풑 = , 풒 = dan 풓 = , tunjukkan bahwa ada bilangan s sedemikian

rupa sehingga p + sq = r.

Anda dapat menulis p + sq = r dalam bentuk vektor kolom sebagai

2−3 + 푠

12 =

2−3 +

푠2푠 =

2 + 푠−3 + 2푠

Jika vwktor kolom ini sama dengan r, maka baik komponen-x dan komponen-y

dari dua vektor harus sama. Hal ini memberikan dua persamaan

2 + s = 5 dan -3 + 2s = 3.

Page 7: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 5

Kedua persamaan ini dipenuhi oleh s = 3, sehingga p + 3q = r.

Ide penambahan dapat diperpanjang untuk tiga atau lebih vektor. Tetapi ketika

Anda menulis p + q + r tidaklah jelas apakah Anda menambahkan p dan q

terlebih dahulu dan kemudian menambahkan r untuk hasilnya, atau apakah Anda

menambahkan p ke hasil penambahan q dan r. Gambar. 13.7 menunjukkan bahwa

tidaklah masalah, karena hasilnya adalah sama bagaimanapun caranya. Artinya,

(p + q) + r = p + (q + r).

Ini disebut aturan asosiatif untuk penambahan vektor.

Untuk melengkapi aljabar vektor penjumlahan, simbol 0 dibutuhkan untuk vektor

nol, translasi ‘tetap-tinggal’, yang memiliki sifat-sifat yang ; untuk setiap vektor

p,

0 + p = 0, p + 0 = p, dan p + (-p) = 0.

Vector penjumlahan dan perkalian dengan skalar dapat dikombinasikan sesuai

dengan dua aturan distributif untuk vektor:

s(p + q) = sp + sq (dari segitiga yang sama pada Gambar. 13,8)

dan (s + t)p = sp + tp (lihat Gambar, 13.9)

Page 8: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 6

Pengurangan vektor didefinisikan oleh

p + x = q ⇔ x = q - p

Hal ini diilustrasikan pada Gambar. 13.10. Perhatikan bahwa untuk menunjukkan

q – p, p dan q dimisalkan dengan panah yang berawal dari titik yang sama; ini

berbeda dari penambahan, panah q berawal di mana panah p berakhir.

Membandingkan Gambar. 13.10 dengan Gambar. 13.11 menunjukkan bahwa

q - p = q + (-p).

Singkatnya, aturan vektor penjumlahan, pengurangan dan perkalian dengan skalar

terlihat sangat mirip dengan aturan penambahan bilangan, pengurangan dan

perkalian. Namun diagram-diagram menunjukkan bahwa aturan untuk vektor

diinterpretasikan secara berbeda dari aturan untuk bilangan.

13.3 Vektor satuan dasar

Jika Anda menerapkan aturan vektor aljabar untuk vektor dalam bentuk kolom,

Anda bisa. melihat bahwa

Page 9: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 7

풑 =푘푙 =

푘 + 00 + 푙 =

푘0 +

0푙 = 푘

10 + 푙

01

Vektor dan yang muncul dalam ekspresi terakhir ini disebut vektor

satuan dasar dalam arah-x dan arah-y. Dilambangkan dengan huruf i dan j,

sehingga

p = ki + lj.

Hal ini diilustrasikan oleh Gambar. 13.12. Persamaan ini menunjukkan bahwa

setiap vektor dalam bidang dapat dibangun sebagai jumlah kelipatan dari dua

vektor dasar i dan j.

Vektor ki dan lj disebut vektor komponen p dalam arah-x dan arah-y;

Terdapat dua notasi alternatif untuk mengerjakan aljabar dengan vektor. Misalnya,

jika Anda ingin mencari 3p - 2q, dimana p adalah dan q adalah , Anda

dapat menulis :

325 − 2

1−3 =

615 −

2−6 =

6 − 215 − (−6) =

421

atau 3(2i 5j) - 2(i - 3j) = (6i + 15j) - (2i - 6j) = 6i + 15j - 2i + 6j = 4i + 21j.

Anda akan menemukan bahwa kadang-kadang salah satu dari bentuk ini lebih

mudah daripada yang lain, tetapi biasanya tidak ada bedanya mana yang Anda

gunakan.

13.4 Vektor posisi

Jika E dan F adalah dua titik pada grid, ada translasi yang unik yang akan

membawa Anda dari E ke F. Translasi ini dapat diwakili oleh panah yang dimulai

dari E dan berakhir di F, dan dilambangkan dengan simbol 퐸퐹⃗.

Beberapa buku menggunakan EF dalam huruf tebal daripada 퐸퐹⃗ untuk

menekankan bahwa itu adalah vektor.

Page 10: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 8

Namun, meskipun translasi ini unik, namanya tidak. Jika G dan H adalah dua titik

lainnya di grid sehingga garis EF dan GH paralel dan sama panjang (sehingga

EFGH adalah jajar genjang, lihat Gambar. 13.13), maka translasi 퐸퐹⃗ juga

membawa Anda dari G ke H, sehingga bisa juga dilambangkan oleh 퐺퐻⃗. Dalam

persamaan vektor 퐸퐹⃗ bisa digantikan oleh 퐺퐻⃗ tanpa mempengaruhi kebenaran

pernyataan tersebut.

Vektor yang ditulis seperti ini kadang-kadang disebut vektor perpindahan. Tapi

vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda, hanya vector translasinya

ditulis dengan cara yang berbeda.

Namun ada, satu vektor perpindahan yang sangat penting. Vektor perpindahan ini

adalah translasi yang dimulai pada titik asal O dan berakhir pada titik A (푂퐴⃗ pada

Gambar. 13.13), sehingga 푂퐴⃗ = 퐸퐹⃗ = 퐺퐻⃗. Translasi dari O sampai A disebut

vektor posisi A.

Ada hubungan erat antara koordinat A dan komponen-komponen vektor posisinya.

Jika A memiliki koordinat (u,v), kemudian untuk mendapatkan dari O ke A Anda

harus memindahkan u dalam arah-x dan unit v dalam arah-y, sehingga vektor 푂퐴⃗

memiliki komponen u dan v.

Vektor posisi dari titik A dengan koordinat (u,v) adalah

푂퐴⃗ =푢푣 = 푢풊 + 푣풋.

Sebuah konvensi yang berguna adalah dengan menggunakan tulisan yang sama

untuk titik dan vektor posisinya. Misalnya, vektor posisi titik A dapat

Page 11: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 9

dilambangkan dengan a. 'alfabet-konvensi' ini akan digunakan dalam buku ini. Ini

memiliki keuntungan yang ekonomis pada huruf abjad dan menghindari

kebutuhan untuk definisi berulang.

13.5 Aljabar dengan vektor posisi

Perkalian dengan skalar memiliki interpretasi sederhana dalam hal vektor posisi.

Jika vektor sa adalah vektor posisi titik D, maka:

• Jika s > 0, D terletak pada arah garis OA (diproduksi jika perlu) sehingga OD =

sOA.

• Jika s < 0, D terletak pada arah garis AO diproduksi sedemikian rupa sehingga

OD = | s |OA.

Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 13.14 untuk 푠 = dan 푠 = − .

Untuk mengidentifikasi titik dengan vektor posisi a + b tidak begitu mudah,

karena anak panah dari O ke A dan dari O ke B tidak berhubungan dengan cara

yang dibutuhkan untuk penambahan (lihat Gambar. 13.5). Oleh karena itu

diperlukan untuk menyelesaikan jajar genjang OACB, seperti pada Gambar. 13.15.

kemudian

Page 12: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 10

a + b = 푂퐴⃗ + 푂퐵⃗ = 푂퐴⃗ + 퐴퐶⃗ = 푂퐶⃗

Ini disebut aturan jajar genjang penjumlahan untuk vektor posisi.

Pengurangan dapat ditampilkan dalam salah satu dari dua cara. Jika Anda

membandingkan Gambar. 13.16 dengan Gambar. 13.10, Anda akan melihat

bahwa b - a adalah vektor perpindahan 퐴퐵⃗. Untuk menafsirkan ini sebagai vektor

posisi, tarik garis OE sama dan sejajar dengan AB, sehingga 푂퐸⃗ = 퐴퐵⃗. Kemudian

E adalah titik dengan vektor posisi b - a.

Atau, Anda dapat menulis b - a sebagai b + (-a), dan kemudian terapkan aturan

jajar genjang penjumlahan ke titik-titik dengan vektor posisi b dan -a. Dengan

membandingkan Gambar. 13.16 dan 13.17 Anda dapat melihat bahwa ini

mengarah ke titik yang sama E.

Contoh 13.5.1

Titik A dan B memiliki vektor posisi a dan b. Cari vektor posisi dari

(a) titik tengah M dari AB,

(b) titik tiga bagian T sehingga 퐴푇 = 퐴퐵.

(a) Metode 1. Perpindahan vector 퐴퐵⃗ = 퐛 − 퐚, jadi 퐴푀⃗ = (풃 − 풂).

Oleh karena itu

퐦 = 푂푀⃗ = 푂퐴⃗ + 퐴푀⃗ = 풂+ (풃 − 풂) = 풂+ 풃.

Page 13: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 11

Metode 2 Jika jajar genjang OACB diselesaikan (lihat Gambar. 13.15)

maka c = a + b. Karena Diagonal OACB membagi dua sama lain, titik

tengah M dari AB juga merupakan titik tengah dari OC. Oleh karena itu

퐦 =12 풄 =

12

(풂 + 풃) =12풂+

12풃.

(b) Metode pertama dari (a) dapat dimodifikasi. Vektor perpindahan

퐴푇⃗ = 퐴퐵⃗ = (풃 − 풂), sehingga

풕 = 푂퐴⃗ + 퐴푇⃗ = 풂 + (풃 − 풂) = 풂+ 풃.

Hasil contoh ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema penting

tentang segitiga.

Contoh 13.5.2

Dalam segitiga ABC pertengahan titik dari BC, CA dan AB adalah D, E dan F.

Buktikan bahwa garis AD, BE, dan CF (disebut median) bertemu pada titik G,

yang merupakan titik tiga bagian dari masing-masing median (lihat Gambar.

13.18).

Dari contoh 13.5.1, 풅 = 풃 + 풄, dan titik tiga bagian pada median AD dekat ke

D memiliki vektor posisi

13풂+

23풅 =

13풂 +

23

12풃+

12 풄

Page 14: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 12

=13풂 +

13풃 +

13 풄

Ekspresi terakhir ini simetris dalam a, b dan c. Oleh karena itu juga merupakan

titik tiga bagian pada median BE dekat dengan E, dan titik tiga bagian pada CF

dekat dengan F.

Oleh karena itu tiga median saling bertemu pada suatu titik G, dengan vektor

posisi 품 = (풂 + 풃 + 풄). Titik ini disebut pusat massa segitiga.

13.6 Vektor dalam dimensi tiga

Kekuatan metode vektor paling dihargai ketika mereka digunakan untuk

mengerjakan geometri dalam tiga dimensi. Hal ini memerlukan pengaturan sumbu

dalam tiga arah, seperti pada Gambar. 13.19. Konvensi biasa adalah untuk

menentukan sumbu-x dan sumbu-y pada bidang horizontal (yang diarsir), dan

menambahkan sumbu-z menunjuk vertikal ke atas.

Sumbu ini dikatakan 'tangan kanan': jika jari telunjuk terentang, tangan kanan

Anda menunjuk ke arah-x, dan Anda membungkukkan jari tengah Anda untuk

menunjuk dalam arah y, maka ibu jari Anda secara alami dapat menunjuk sampai

di arah-z.

Posisi titik diberikan oleh tiga koordinat (x, y, z).

Sebuah vektor p dalam dimensi tiga adalah terjemahan dari seluruh ruang relatif

terhadap koordinat kerangka tetap. (Anda bisa bayangkan Gambar. 13.1 sebagai

hujan badai, dengan panah yang menunjukkan .suatu translasi tetesan individu.)

Hal ini ditulis sebagai , yang merupakan translasi dari l, m dan n satuan dalam

arah-x ,arah-y dan arah-z. Hal ini juga dapat ditulis dalam bentuk li + mj + nk,

dimana 풊 = , 퐣 = ,퐤 = adalah vektor-vektor dasar dalam arah-x, arah-y

dan arah-z.

Page 15: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 13

Hampir segala sesuatu yang Anda tahu tentang koordinat dalam dimensi dua

dibawa lebih ke dalam dimensi tiga dengan cara yang jelas, tetapi Anda harus

melihat beberapa perbedaan:

• Sumbu dapat diambil dalam pasangan-pasangan untuk menentukan koordinat

bidang. Misalnya, sumbu-x dan sumbu-y mrupakan bidang horizontal, yang

disebut bidang-xy. Semua titik dalam bidang ini memiliki koordinat-z nol,

sehingga persamaan bidangnya adalah z = 0. Demikian pula bidang-xz dan

bidang-yz memiliki persamaan y = 0 dan x = 0; kedua merupakan bidang vertikal.

• Ide gradien garis tidak terbawa ke dalam dimensi tiga. Namun, Anda masih

dapat menggunakan vektor untuk menggambarkan arah garis. Ini adalah salah satu

alasan utama mengapa vektor berguna dalam tiga dimensi.

• Dalam dimensi tiga garis yang tidak sejajar mungkin atau mungkin tidak

bertemu. Garis Non-paralel yang tidak memenuhi dikatakan condong.

contoh 13.6.1

Poin A dan B memiliki koordinat (-5,3,4) dan (-2,9,1). Selidiki apakah titik C

dengan koordinat (-4,5,2) terletak pada garis yang melewati A dan B.

Perpindahan vektor 퐴퐵⃗ adalah

풃 − 풂 =−291

−−534

=36−3

= 312−1

Vektor perpindahan 퐴퐶⃗ adalah

풄 − 풂 =−452

−−534

=12−2

Page 16: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 14

c - a adalah bukan kelipatan dari b - a, tidak sejajar dengan b - a. Titik B

dan C tidak dalam arah yang sama (atau berlawanan arah) dari A, sehingga

C tidak terletak pada garis yang melewati A dan B.

Perhatikan bahwa jika Anda mengubah C pada koordinat-z ke 3, maka C akan

terletak pada garis AB.

Contoh 13.6.2

Titik P, Q dan R memiliki koordinat (1,3,2); (3, l; 4) dan (4,1, -5) masing-masing

(a) Tentukan vektor perpindahan 푃푄⃗ dan 푄푅⃗ yang berkenaan dengan vektor dasar

i, j dan k.

(b) Cari 2푃푄⃗ − 푃푅⃗ + 푄푅⃗ yang berkenaan dengan vektor dasar i, j dan k, dan

koordinat titik tercapai jika Anda mulai di R dan melakukan teranslasi 2푃푄⃗ −

푃푅⃗ + 푄푅⃗.

(a) 푃푄⃗ = q - p = (3i + j + 4k) - (i + 3j + 2k) = 2i - 2j + 2k.

푄푅⃗ = r - q = (4i + j - 5k) - (3i + j + 4k) = i - 9k.

(b) Catatan pertama bahwa 푃푅⃗ = r - p = (4i + j - 5k) - (i + 3j + 2k) = 3i - 2j - 7k.

Then 2푃푄⃗ − 푃푅⃗ + 푄푅⃗ = 2 (2i - 2j + 2k) − (3i - 2j - 7k) + (i - 9k)

= 4i - 4j + 4k - i + j + k + i - k

= 3i - 3j + 3k.

Jika Anda mulai dari R, maka titik yang telah dicapai memiliki vektor posisi

r + (3i - 3j + k) = (4i + j - 5k) + (3i - 3j + 3k) = 7i - 2j - 2k.

Oleh karena itu titiknya adalah (7, -2, -2).

Page 17: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 15

13.7 Besaran vektor

Setiap translasi dapat dijelaskan dengan memberikan besar dan arah. Notasi yang

digunakan untuk besarnya vektor p, mengabaikan arahnya, adalah | p | .

Jika Anda memiliki dua vektor p dan q yang tidak sama, tetapi memiliki besaran

yang sama, maka Anda dapat menulis | p | = | Q |.

Jika s merupakan kelipatan skalar dari p, maka berikut dari definisi sp (lihat

Bagian 13.2) yang | sp | = | s || p |. Hal ini berlaku meskipun s positif atau negatif

(atau nol).

Simbol untuk besarnya vektor sama dengan simbol untuk modulus bilangan real,

karena konsepnya serupa. Bahkan, bilangan real x berperilaku seperti vektor xi

dalam dimensi satu, di mana i adalah vektor satuan dasar. Vektor xi merupakan

perpindahan pada garis bilangan, dan modulus | x | mengukur besarnya

perpindahan, apakah itu dalam positif atau arah negatif.

Sebuah vektor besarnya 1 disebut vektor satuan. Vektor satuan dasar i, j, k

adalah contoh dari vektor satuan, tetapi ada yang lain: ada vektor satuan di setiap

arah.

Vektor satuan kadang-kadang dibedakan dengan Accenta sirkumfleksa ^ diatas

huruf. Sebagai contoh, sebuah vektor satuan dalam arah r dapat dinotasikan

dengan 푟̂. Notasi ini terutama sering digunakan pada mekanika, tetapi tidak akan

digunakan dalam bab ini.

13.8 Produk skalar

Sejauh ini vektor telah ditambahkan, dikurangi dan dikalikan dengan skalar, tetapi

belum dikalikan bersama-sama. Langkah berikutnya adalah untuk menentukan

produk dari dua vektor:

Produk skalar, atau dot produk, dari vektor p dan q adalah jumlah (atau skalar)

| p || q | cos θ, di mana θ adalah sudut antara arah p dan q. Hal ini ditulis p.q dan

diucapkan 'p dot q'.

Page 18: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 16

Sudut θ mungkin lancip atau tumpul, tetapi penting bahwa sudut itu adalah sudut

antara p dan q, dan bukanlah (misalnya) sudut antara p dan -q. Cara terbaik untuk

menunjukkan θ dalam diagram di mana vektor-vektor diwakili oleh panah dengan

ekornya pada titik yang sama, seperti pada Gambar. 13.20.

Alasan untuk menyebutnya 'produk skalar', bukan hanya produk, adalah bahwa

matematikawan juga menggunakan produk lain, yang disebut 'vector produk'.

Tetapi penting untuk membedakan produk skalar dari 'perkalian dengan skalar'.

Untuk menghindari kebingungan, banyak orang lebih suka menggunakan nama

alternatif 'dot product'.

Untuk alasan yang sama, Anda harus selalu memasukkan 'titik' antara p dan q

untuk produk skalar, tetapi Anda tidak harus menyisipkan titik antara s dan p

ketika mengalikan dengan skalar.

Misalnya, Anda tidak dapat memiliki produk skalar dari tiga vektor, p .q .r.

Lihatlah dalam Bagian 13.2 bahwa jumlah ketiga vektor tersebut dapat dianggap

sebagai (p + q) + r atau sebagai p + (q + r), dan ungkapan-ungkapan ini adalah

sama. Tapi (p.q).r tidak ada artinya: p.q adalah skalar, dan Anda tidak dapat

membentuk produk titik dari sebuah skalar dengan vektor r. Demikian pula,

p.(q.r) tidak ada artinya.

Namun, s(p.q), dimana s adalah skalar, tidak memiliki arti; seperti yang Anda

harapkan,

s(p.q) = (sp) .q

Buktinya tergantung pada ‘apakah s positif (lihat Gambar. 13.21) atau negatif

(lihat Gambar. 13.22)’.

Page 19: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 17

Jika s > 0, maka sudut antara sp dan q adalah θ, sehingga

(sp).q = | sp || q | cos θ = | s || p | q | cos θ = | s | (| p || q | cos θ) = s(p.q).

Jika s < 0, maka sudut antara sp dan q adalah π - θ, dan s = -| s |, sehingga

(sp).q = | spl || q | cos (π - θ) = | s || p || q | (-cos θ) = - | s | (| p || q | cos θ) =

s(p.q)

Properti lain dari produk skalar adalah bahwa p.q = q.p, yang langsung mengikuti

definisi. Ini disebut aturan komutatif untuk produk skalar.

Ada dua kasus khusus yang sangat penting, yang Anda dapatkan dengan

mengambil θ = 0 dan menempatkan p = q , dan mengambil θ = π, dalam definisi

produk skalar.

p•p = | p |2 (p•p kadang-kadang ditulis sebagai p2).

Jika p atau q bukan vektor nol,

p.q = 0 jika dan hanya jika p dan q dalam arah tegak lurus.

Properti ini memungkinkan Anda untuk menggunakan vektor untuk menemukan

panjang dan untuk mengidentifikasi sudut yang benar.

Page 20: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 18

13.9 Produk skalar dalam bentuk komponen

Aturan di bagian terakhir menunjukkan bahwa aljabar dengan produk skalar lebih

seperti aljabar biasa, kecuali untuk beberapa ekspresi (seperti produk skalar dari

tiga vektor) tidak memiliki makna. Anda perlu satu aturan yang lebih untuk dapat

menggunakan vektor-vektor untuk mendapatkan hasil geometris. Ini adalah

aturan distributif untuk mengalikan kurung:

(p + q).r = p.r + q.i

Untuk saat ini, ini akan dianggap benar.

Dalam kasus-kasus khusus pada akhir Bagian 13.8, ambil p dan q menjadi vektor

satuan dasar. Anda kemudian mendapatkan:

Untuk vektor satuan dasar i, j, k,

i.i = j.j = k.k = 1 dan j.k = k.i = i.j = 0

Oleh karena itu, jika vektor p dan q ditulis dalam bentuk komponen sebagai p = li

+ mj + nk dan q = ui + vj + wk, maka

p.q = (li + mj + nk). (ui + vj + wk)

= lui.i + lvi.j + lwi.k + muj.i + mvj.j + mwj.k + nuk.i + nvk.j + nwk.k

(menggunakan aturan distributif)

= lu x 1 + lv x 0 + lw x 0 + mu x 0 + mv x 1 + mw x 0 + nu x 0 + nv x 0 + nw

x 1

= lu + mv + nw.

Dalam bentuk komponen, produk scalar adalah

Page 21: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 19

푙푚푛

∙푢푣푤

= (li + mj + nk). (ui + vj + wk) = lu + mv + nw.

Hasil ini memiliki banyak aplikasi. Secara khusus, p.p = l2 + m2 + n2, memberikan

panjang p:

| p | = √푙 + 푚 + 푛 .

Dalam dimensi dua, jika p = li + mj dan q = ui + vj, maka

p.q = lu + mv

Jadi dalam bentuk komponen

푙푚 .

푢푣 = 푙푢 + 푚푣

Contoh 13.9.1

Tunjukkan bahwa vektor dan tegak lurus.

Menulis p = dan q = , dan gunakan p.q = lu + mv

p.q = . = 3 x (- 2) + 2 x 3 = -6 + 6 = 0,

Karena baik p maupun q adalah vektor nol dan p.q = 0, maka vektor ini tegak

lurus.

Contoh 13.9.2

Cari sudut antara vektor p = 2i - 2j + k dan q = 12i + 4j - 3k, berikan jawaban

benar Anda untuk kesepuluh derajat terdekat.

Besaran p dan q diberikan oleh

|풑| = 2 + (−2) + 1 = √4 + 4 + 1 = √9 = 3

dan

|풒| = 12 + 4 + (−3) = √144 + 16 + 9 = √169 = 1

Page 22: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 20

Menggunakan p.q = | p || q | cos θ = lu + mv + nw, di mana θ° adalah sudut antara

p and q,

3 x l3 x cos θ° = 2 x l2 + (-2) x 4 + l x (-3) = 24 – 8 - 3 = 13,

memberikan

cos θ° = = , dan θ = 70.5

Sudut yang dibutuhkan adalah 70.5 °.

Vektor dapat memberikan metode yang baik untuk menemukan sudut antara dua

garis lurus, di mana hal itu mungkin tidak mudah atau tidak mungkin untuk

menggambar segitiga yang berisi dua baris.

Contoh 13.9.3

Sebuah gudang (Gambar. 13.23) memiliki lantai persegi panjang ABCD dari

dimensi 6 m dengan 12 m. Tepi AP, BQ, CR dan DS masing-masing vertikal dan

tinggi 5 m. Punggungan UV simetris ditempatkan di atas PQRS, dan tinggi 7 m di

atas ABCD. Hitung kesepuluh derajat sudut terdekat antara garis AS dan UR.

Ambil vektor satuan i, j dan k dalam arah BC, BA dan BQ.

Misalkan 퐴푆⃗ = e dan 푈푅⃗ = f.

Kemudian

e = 12i + 5k dan f = 12i - 3j - 2k,

Page 23: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 21

jadi | e | = √12 + 0 + 5 = √169 = 13

dan | f | = 12 + (−3) + (−2) = √157.

Menunjukkan sudut antara garis dengan θ°.

Kemudian 13 x √157 cosθ° = 12 x l2 + 0 x (-3) + 5 x (-2) = 134, memberikan θ =

34.6, benar untuk tempat desimal 1.

Jadi sudut antara AS dan UR adalah 34.6°.

Dalam contoh ini AS dan UR adalah garis miring. Karena AS sejajar dengan BR,

sudut antara AS dan UR sama dengan sudut antara AS dan BR.

13.10* Aturan distributif (p + q).r = p.r + q.r

Bukti ini membutuhkan hasil awal. Gambar. 13.24 menunjukkan arah garis l dan

dua titik A dan B (dalam dimensi tiga). Jika garis AD dan BE ditarik tegak lurus

terhadap l, arah panjang DE disebut proyeksi vektor perpindahan 퐴퐵⃗ pada l.

Berikut kata 'diarahkan' berarti bahwa arah positif dipilih pada l, dan itu (dalam

diagram ini) DE positif dan ED negatif.

Teorema Jika p adalah vektor perpindahan 퐴퐵⃗, dan u adalah vektor satuan dalam

arah l, maka proyeksi 퐴퐵⃗ ke l adalah p.u.

Page 24: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 22

Bukti Anda mungkin akan menemukan bukti paling mudah untuk diikuti jika

saya ditarik garis vertikal, seperti pada Gambar. 13.25. Ingat bahwa AD dan BE

tegak lurus terhadap l, dan juga horisontal. Bayangan segitiga ADM dan NEB

terletak pada bidang horisontal melalui D dan E. Titik N adalah sedemikian rupa

sehingga AN sejajar dengan l dan tegak lurus terhadap NB.

Kemudian DE = AN, dan u adalah vektor satuan dalam arah AN. Jika sudut BAN

dilambangkan dengan θ, maka

p.u = | p | x 1 x cosθ = AB cosθ = AN = DE,

• - yang merupakan proyeksi 퐴퐵⃗ pada l.

Perhatikan bahwa, jika B berada di bawah A, maka sudut antara p dan u akan

tumpul, sehingga p.u akan negatif. Pada l, E akan berada di bawah D, sehingga

panjang arah DE juga akan negatif.

Teorema Untuk setiap vektor p, q dan r, (p + q) .r = p.r + p.q;

Bukti Dalam Gambar. 13.26 perpindahan vektor 퐴퐵⃗, 퐵퐶⃗ dan 퐴퐶⃗

merepresentasikan p, q dan p + q. Garis l dalam arah r; menunjukkan garis

vertikal. Bidang-bidang horisontal melalui A, B dan C memotong l di D, E dan F

masing-masing, sehingga AD, BE dan CF tegak lurus terhadap l. Misalkan u

adalah vektor satuan dalam arah r, dan dinotasikan | r | oleh s, sehingga r = su.

Page 25: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 23

Kemudian

p.r = p.(su) = s(p.u) = s x DE,

dan juga q.r = s x EF dan (p + q).r = s x DF.

Karena DE, EF dan DF arah panjang, maka selalu benar bahwa DE + EF = DF,

apapun urutan titik D, E dan F pada l.

Oleh karena itu

(p + q).r = s x DF = s x (DE + EF) = s x DE + s x EF = p.r + q.r.

Page 26: RANGKUMAN MATERI VEKTOR -  · PDF file13.7 Besaran Vektor ... karena biasanya mengubah skala vektor. ... vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda,

Chapter 13_Vektor_2014 24

DAFTAR PUSTAKA

Neill, Hugh dan Douglas Quadling. 2002. Advance Level Mathematics: Pure Mathematics 1. Cambridge: Cambridge University Press.