❖ Uji Hipotesis untuk Rataan 1 Populasi

❖ Uji Hipotesis untuk Rataan 2 Populasi

❖ Uji Hipotesis untuk Variansi 1 Populasi

❖ Uji Hipotesis untuk Variansi 2 Populasi

1

UJI HIPOTESIS

SV Analisis Data

2

PENGERTIAN UJI HIPOTESIS

1. Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)

2. Hipotesis tandingan (H1) ; tandingan hipotesis H0, mengandung tanda , >, atau <.

▪ Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkinbenar atau tidak mengenai satu populasi ataulebih yang perlu diuji kebenarannya.

▪ Dalam statistika, hipotesis yang akan diujidibedakan menjadi:

SV Analisis Data

3

GALAT (ERROR)

H0 benar H0 salah

H0 ditolakP(menolak H0 | H0 benar)

= galat tipe I = αkeputusan benar

H0 tidakditolak

keputusan benarP(tidak menolak H0 | H0

salah)= galat tipe II = β

yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini

SV Analisis Data

4

SKEMA UJI HIPOTESIS

Hipotesis Statistik

H0

H1

•Hipotesis yang ingin diuji•Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥)•Dapat berupa

- hasil penelitian sebelumnya- informasi dari buku atau- hasil percobaan orang lain

•Hipotesis yang ingin dibuktikan•Disebut juga hipotesis alternatif•Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)

Keputusan

H0 ditolak H0 tidak ditolak

H1 benar

Kesimpulan Kesimpulan

Tidak cukupbukti untukmenolak H0

Kesalahan

Tipe I

Menolak H0 padahal H0 benar

P(tipe I) = α= tingkat signifikansi

Tipe II

Menerima H0 padahal H0 salah

P(tipe I) = β

???

mungkin terjadi

SV Analisis Data

STATISTIK UJI & TITIK KRITIS

Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenisdistribusi yang digunakan.

Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan H0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.

H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.

5

1 -

daerah

kritis = /2

titik kritis

daerah

penerimaan H0

titik kritis

0

titik kritis

1 -

daerah

penerimaan H0

daerah

kritis

daerah

kritis = /2

diperoleh dari

tabel statistikSV Analisis Data

Uji Rataan Satu Populasi 6

1. H0 : = 0 vs H1 : 0

2. H0 : = 0 vs H1 : > 0

3. H0 : = 0 vs H1 : < 0

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

uji dua arah

uji satu arah

SV Analisis Data

Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi

1. Kasus σ2 diketahui

7

0

/

−=

XZ

n

0

/

−=

XT

s n

2. Kasus σ2 tidak diketahui

~ N(0,1)

~ t(n-1)

Tabel Z (normal baku)

Tabel t

SV Analisis Data

Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi

8

σ2 diketahui σ2 tidak diketahui

Statistik uji : Z T

H0 : = 0 vs H1 : 0 Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2 T < - Tα/2 atau T > Tα/2

H0 : = 0 vs H1 : > 0 Z > Zα T > Tα

H0 : = 0 vs H1 : < 0 Z < - Zα T < - Tα

titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1

SV Analisis Data

Uji Rataan Dua Populasi 9

1. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

2. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

3. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

uji dua arah

uji satu arah

SV Analisis Data

Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi

1. Kasus σ12 dan σ2

2 diketahui

10

2. Kasus σ12 dan σ2

2 tidak diketahui dan σ12 ≠ σ2

2

( )1 2 0

H2 2

1 2

1 2

X X μZ =

σ σ

n n

− −

+

( )1 2 0

H2 2

1 2

1 2

X X μT =

S S

n n

− −

+

3. Kasus σ12 dan σ2

2 tidak diketahui dan σ12 = σ2

2

( )1 2 0

H

p

1 2

X X μT =

1 1S

n n

− −

+

dengan2 2

2 1 1 2 2p

1 2

(n 1)S (n 1)SS =

n n 2

− + −

+ −

SV Analisis Data

Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi

11

σ12, σ2

2

diketahuiσ1

2, σ22 tidak diketahui

Statistik uji : Z T

σ12 = σ2

2 σ12 ≠ σ2

2

Derajat Kebebasan n1 + n2 - 2

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

Z < - Zα/2 atauZ > Zα/2

T < - Tα/2 atau T> Tα/2

T < - Tα/2 atauT > Tα/2

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

Z > Zα T > Tα T > Tα

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0

Z < - Zα T < - Tα T < - Tα

22 2

1 2

1 2

2 22 2

1 2

1 1 2 2

S S

n nv =

S S1 1

(n 1) n (n 1) n

+

+

− −

SV Analisis Data

Uji untuk Rataan Berpasangan

Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi tidak diketahui.

12

0 ;/d

D μT =

S n

−

1. H0 : d = 0 vs H1 : d 0

2. H0 : d = 0 vs H1 : d > 0

3. H0 : d = 0 vs H1 : d < 0

SV Analisis Data

Contoh 113

Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikandugaan bahwa rata-rata usia meninggal di ASlebih dari 70 tahun.a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan

hipotesis statistikb. Untuk tingkat signifikansi 5%, benarkah dugaan

tersebut?

www.arlingtonnational.com

SV Analisis Data

Solusi 14

Diketahui :

Ditanya:

a. Hipotesis statistik

b. Kesimpulan uji hipotesis

Jawab:

Parameter yang akan diuji : μ

a. Rumusan hipotesis:

H0: μ = 70

H1: μ > 70 (uji satu arah)

X 71.8,= s 8.9,=0 70, = 0,05 =

SV Analisis Data

b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t0.05,(99) = 1.66

c. Menghitung statistik uji:

0x 71,8 70t 2,02

s 8,9n 100

− −= = =

d. Karena t > t0.05,(99) , maka t berada pada

daerah penolakan sehingga keputusannya

H0 ditolak.

Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata

usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.

15SV Analisis Data

Contoh 216

Suatu percobaan dilakukan untukmembandingkan keausan karenagosokan dari dua bahan yang dilapisi.Dua belas potong bahan 1 diuji denganmemasukan tiap potong bahan ke dalammesin pengukur aus. Sepuluh potongbahan 2 diuji dengan cara yang sama.Dalam tiap hal, diamati dalamnyakeausan. Sampel bahan 1 memberikanrata-rata keausan (sesudah disandi)sebanyak 85 satuan dengan simpanganbaku sampel 4, sedangkan sampel bahan2 memberikan rata-rata keausansebanyak 81 dengan simpangan bakusampel 5. Dapatkah disimpulkan, padataraf keberartian 5%, bahwa rata-ratakeausan bahan 1 melampaui rata-ratakeausan bahan 2 lebih dari dua satuan?Anggaplah kedua populasi berdistribusihampir normal dengan variansi yangsama.

sympatex.com

SV Analisis Data

Solusi 17

Misalkan: μ1 dan μ2 menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahanadalah sama. Rumusan hipotesis yang diujiadalah:a. Pernyataan hipotesis:

H0 : μ1 - μ2 = 2H1 : μ1 - μ2 > 2 (uji satu arah)

SV Analisis Data

18

b. Tingkat keberartian, α = 0.05 (hanya 1 arah)

c. Menghitung statistik

1 1 1

2 2 2

x 85, s 4, n = 12

x =81, s =5, n =10

= =

d. Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak

diketahui tapi dianggap sama, yaitu( )1 2 0

H

p

1 2

x x μt =

1 1S

n n

− −

+

dengan 2 2

1 1 2 2p

1 2

(n 1)S (n 1)S (11)(16) (9)(25)S = 4.478

n n 2 12 10 2

− + − += =

+ − + −

Maka diperoleh

( )1 2 0

H

p

1 2

x x μ (85 81) 2t = 1.04

1 1 4.478 (1/12) (1/10)S

n n

− − − −= =

++

SV Analisis Data

e. Daerah kritis

dk = n1+n2-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik

kritisnya adalah t0.05,20 = 1.725.

f. Kesimpulan : karena t < 1.725, maka H0 tidak

ditolak.

Artinya, tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata

keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan

bahan 2 lebih dari 2 satuan. Atau tidak cukup

bukti untuk mengatakan bahwa rata-rata keausan

bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2

lebih dari 2 satuan.

19SV Analisis Data

Contoh 3 (data berpasangan)20

Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut

www.cottonmesawhitetail.com

SV Analisis Data

N0 Kadar androgen

(ng/ml) sesaat

setelah disuntik

Kadar androgen

(ng/ml) 30 menit

setelah disuntik

Selisih

(di)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

2.76

5.18

2.68

3.05

4.10

7.05

6.60

4.79

7.39

7.30

11.78

3.90

26.00

67.48

17.04

7.02

3.10

5.44

3.99

5.21

10.26

13.91

18.53

7.91

4.85

11.10

3.74

94.03

94.03

41.70

4.26

-2.08

2.76

0.94

1.11

3.21

7.31

13.74

0.52

-2.45

-0.68

-0.16

68.03

26.55

24.66

21SV Analisis Data

22

Anggap populasi androden sesaat setelahsuntikan dan 30 menit kemudian berdistribusinormal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%,apakah konsentrasi androgen berubah setelahditunggu 30 menit.

SV Analisis Data

Solusi23

Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit

percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran

Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata

konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30

menit kemudian.

Rumusan hipotesis yang diuji adalah

H0 : μ1 = μ2 atau μD = μ1 - μ2 = 0

H1 : μ1 ≠ μ2 atau μD = μ1 - μ2 ≠ 0

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05

SV Analisis Data

Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih

( di ) adalah

dd 9.848 dan s 18.474= =

Statistik uji yang digunakan adalah

0

d

d dt =

s / n

−

Dalam hal ini9.848 0

t = 2.0618.474 / 15

−=

24SV Analisis Data

Statistik uji t berdistribusi t-student dengan dk = n – 1

= 15 – 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, H0

ditolak jika t < - t0.025,14 = -2.145 atau t > t0.025,14 =

2.145.

Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada

daerah penolakan. Dengan demikian, H0 tidak

ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati

nilai t0.025,14 = 2.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar

peredaran androgen tidak bisa diabaikan.

25SV Analisis Data

Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi 26

Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah

2 2 2 2

0 0 1 01. H : = vs H :

2 2 2 2

0 0 1 02. H : = vs H :

2 2 2 2

0 0 1 03. H : = vs H :

Dengan menyatakan suatu konstantamengenai variansi yang diketahui.

2

0

SV Analisis Data

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga

hipotesis di atas adalah :

22

2

0

( 1)−=

n S

Jika H0 benar, maka statistik uji tersebut

berdistribusi chi-square dengan dk = n-1

27SV Analisis Data

Untuk hipotesis , tolak H0

pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 0 1 0H : = vs H :

2 2 2 2

1 ,( 1) ,( 1)2 2

atau − − −

n n

Untuk hipotesis , tolak

H0 pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 2

0 0 1 0H : = vs H :

2 2

1 ,( 1)− − n

Untuk hipotesis , tolak

H0 pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 2

0 0 1 0H : = vs H :

2 2

,( 1)− n

merupakan nilai-

nilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat

kebebasan n - 1

2

,( 1)2

,−n

2

1 ,( 1)2

,− −n 2

,( 1) , dan−n2

,( 1)−n

28SV Analisis Data

Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi29

Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah

2 2 2 2

0 1 2 1 1 21. = H : vs H :

2 2 2 2

0 1 2 1 1 22. = H : vs H :

2 2 2 2

0 1 2 1 1 23. = H : vs H :

Dengan σ12 dan σ2

2 masing-masing adalah

variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2

SV Analisis Data

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga

hipotesis di atas adalah 2

1

2

2

=S

FS

Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi

Fisher dengan derajat kebebasan v1 = n1 – 1 dan

v2 = n2 – 1.

30SV Analisis Data

Untuk hipotesis , tolak H0

pada tingkat keberartian α jika :

Untuk hipotesis , tolak H0

pada tingkat keberartian α jika :

Untuk hipotesis , tolak H0

pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2= H : vs H :

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

atau −

v v v v

F f F f

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2= H : vs H :

1 21 ,( , )− v vF f

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2= H : vs H :

1 2,( , ) v vF f

1 2 1 2 1 2 1 2,( , ) 1 ,( , ) /2,( , ) 1 /2,( , ), , , dan − −v v v v v v v vf f f f adalah nilai-nilai

dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan

v1 dan v231SV Analisis Data

Contoh 432

Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf keberartian 5%!

www.facebook.com

SV Analisis Data

33

Solusi

Rumusan Hipotesis :H0 : σ2 = 0.81H1 : σ2 > 0.81 (uji satu arah)α = 0.05simpangan baku sampel, s = 1.2Statistik uji

Titik kritis adalah

Karena , maka H0 tidak ditolak. Jadi, simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9 .

22

2

0

( 1) (9)(1.44)16

0.81

−= = =

n s

2 2

, 1 0.05,9 16.919− = =n

2 2

0.05,9

SV Analisis Data

Contoh 534

Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.

sympatex.com

SV Analisis Data

Solusi 35

Misalkan σ12 dan σ2

2 adalah variansi populasi dari masing-masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah

H0: σ12 = σ2

2

H1: σ12 ≠ σ2

2

α = 0.10

SV Analisis Data

Statistik uji f = s12/ s2

2 = 16 / 25 = 0.64

H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

atau −

v v v v

f f f f

Dalam hal ini α = 0.10, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 ,

dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9.

Maka

1 2

0.95,(11.9)1 ,( , )

2

0.34−

= =v v

f f dan1 2

0.05,(11.9),( , )

2

3.11= =v v

f f

Karena , maka jangan tolak H0.

Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk

menyatakan bahwa variansinya berbeda.

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

−

v v v vf f f

36SV Analisis Data

Latihan

Berikut ini data durasi film yang diproduksi oleh dua rumah produksi (RP):

Ujilah hipotesis bahwa rataan durasi film yang diproduksi RP 2 melebihi RP 1 sebesar 10 menit dengan alternatif bahwa perbedaannya kurang dari 10 menit. Gunakanlah taraf keberartian 0,1 dan anggap distribusi durasi hampir normal dengan variansi berbeda.

37

RP Durasi (Menit)

1 102 86 98 109 92

2 81 165 97 134 92 87 114

tgrmusic.com

SV Analisis Data

Referensi38

Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

SV Analisis Data