Teorema de Morgan

Operasi pada Bilangan Biner

Setelah mengenal bilangan biner, maka yang selanjutnya harus dipahami adalah bagaimana mengoperasikan bilangan biner tersebut. Operasi-operasi pada bilangan biner dikenal dengan Aljabar Bool, karena diperkenalkan oleh George Bool. Karena hanya memiliki dua bilangan, maka yang dioperasikan tidak akan pernah keluar dari kedua jenis bilangan itu: 0 dan 1.

Pada dasarnya operasi-operasi logika pada bilangan biner (logika bool) melibatkan tiga operas yaitu penambahan, perkalian dan negasi, yang dalam bilangan biner dikenal dengan operasi OR, AND dan NOT.

Untuk memahami secara umum operasi-operasi pada Aljabar Bool, digunakan variabel-variabel yang isinya diambil dari salah satu nilai 0 atau 1. Operator yang digunakan dalam operasi ini adalah operator tambah (+) dan kali (.). Selain itu juga ada variabel yang dinegasikan atau dikomplemenkan, biasanya menggunakan tanda ‘, seperti a dinegasikan menjadi a’.

Di dalam Aljabar Bool, ada hukum-hukum dasar yang digunakan yaitu:

1. Hukum Identitas o a = ao a’ = a’

2. Hukum Komutatif o a . b = b . ao a + b = b + a

3. Hukum Asosiatif o a . (b . c) = a . b . co a + (b + c) = a + b + c

4. Hukum Idempoten o a . a = ao a + a = a

5. Hukum Negatif Ganda o (a’)’ = a

6. Hukum Komplemen o a . a’ = 0o a + a’ = 1

7. Hukum Interseksi o a . 1 = ao a . 0 = 0

8. Hukum Union o a + 1 = 1o a + 0 = a

9. Teorema De Morgan o (a . b)’ = a’ + b’o (a + b)’ = (a . b)’

10. Hukum Distributif o a . (b + c) = (a . b) + (a . c)o a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

11. Hukum Absorpsi o (a . (a + b) = ao a + (a . b) = a

12. Hukum Identitas Umum o a . (a + b) = a . bo a + (a . b) = a + b

Teorema de De Morgan

Um matematico chamado De Morgan desenvolveu um par de regras complementares usadas para converter a operação OU em  E e vice versa.

Para duas variaveis a lei é:

 e

Ou em termos de portas lógicas

Para você lembrar:Quando quebramos a barra longa  no primeiro termo, a operação abaixo da barra se transforma de multiplicação para soma e vice -versa.

Quando existem varias barras em uma expressão, você deve quebrar uma barra por vez, aplicando a regra cima. Para ilustrar consideremos a expressão:

A  seguir o circuito implementado com portas lógicas.

De acordo com o visto acima, quebraremos a barra maior (superior).

Como resultado, o circuito original é reduzido a dois tipos de portas (na realidade podemos usar um unico tipo de porta pois a inversão pode ser obtida com NE).

    

Observe que  no segundo caso será usado somente um CI.

Para maiores detalhes consultar  a bibliografia dada.