74458078 pendulo fisico y teorema de steiner

FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II

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ALUMNO: UGARTE GALICIA CHRISTIAN JOSEF

SALAZAR AROTOMA DANN STEVEN


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INDICE

PROLOGO 2

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER3

REPRESENTACION ESQUEMATICA4

FUNDAMENTO TEORICO..5

HOJA DE DATOS..7

REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZAR.8

CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS9

CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA 10

CALCULO DEL PERIODO MINIMO...12

COMPARACION DE LOS VALORES

TEORICO Y EXPERIMENTAL DE L PARA T MINIMO .13

PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO.15

FRMULA DE MINIMOS CUADRADOS (I VS L2)..16

PENDULO SIMPLE EQUIVALENTE AL HUECO N518

OBSERVACIONES.18

CONCLUSIONES.18

RECOMENDACIONES18

BIBLIOGRAFIA.19


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PROLOGO.

El estudio y entendimiento de fenmenos fsicos por el cual se nos permite predecir ciertos

comportamientos se ven reflejados en diversos teoras fsicas las cuales son analizadas y puestas

a prueba en diversos experimentos que son metdicamente expuestos para su apreciacin

intelectual. Una de estos fenmenos cuyo estudio y corroboracin se exponen en este informe es

el estudio del PENDULO FISICO cuyas relaciones tericas y experimentales se ponen en

comparacin y anlisis. Este laboratorio titulado PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER es de

gran importancia debido a sus relaciones entre momentos de inercia, periodo, masa , etc. Que nos

facilitan ciertos clculos que de otra forma serian mucho ms complicados.


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PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER

OBJETIVOS:

Determinar experimentalmente los periodos de oscilacin de un pndulo fsico y a partir

de estos calcular los momentos de inercia.

Comparar los momentos de inercia experimentales y los momentos de inercia hallados

tericamente, con un previo anlisis de las variables que determinan el ensayo.

Analizar el comportamiento del pndulo simple mediante variaciones de longitud entre su

c.g y su eje de giro.

Relacin entre un pndulo fsico y un pendulo simple .


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REPRESENTACION ESQUEMATICA

Materiales:

barra metlica con agujeros.

cronometro.

regla milimetrada.

soporte de madera con cuchilla.

Procedimiento:

1. sujetar sobre la mesa el soporte, y sobre l, suspender la barra de la siguiente manera, con

el fin de hallar el centro de gravedad de la barra.

2. Suspender la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y procedemos

a hacerla oscilar separando su posicin de equilibrio no ms de 15.tomamos nota los

tiempos cada 18 oscilaciones y los tres ltimos agujeros adyacentes al C.G slo 9

oscilaciones; tomamos nota tambin la distancia del C.G a cada agujero del que hacemos

oscilar la barra.

Centro de giro

Centro de

gravedad

L

Centro de

gravedad L

Centro

de giro

MESA

BARRA

SOPORTE

CENTRO DE GRAVEDAD


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FUNDAMENTO TEORICO

PENDULO FISICO.

Un pndulo fsico es cualquier pndulo real que usa un cuerpo de tamao finito, en contraste con

el modelo idealizado del pndulo simple en el que toda masa se concentra en un punto. si las

oscilaciones son pequeas, el anlisis del movimiento de un pndulo real es tan sencillo como el

de uno simple.la figura de abajo muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin friccion

alrededor de un eje que pasa por el punto O. en la figura el cuerpo esta desplazado un angulo .

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causa una torca de

restitucin.

MgLsenM e

Si es el momento de inercia del pndulo respecto

al eje de suspensin ZZ y llamamos a la

aceleracin angular del mismo, el teorema del

momento angular nos permite escribir la ecuacin

diferencial del movimiento de rotacin del pndulo.

0IMgLsen

que podemos escribir en la forma

00

senI

MgL .(1)

que es una ecuacin diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que se encuentra para

el pndulo simple.

En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequea, podemos considerar

sen y la ecuacin [1] adopta la forma

00

I

MgL .(2)

que corresponde a un movimiento armnico simple.

El periodo de las oscilaciones es MgL

IT 02

A

L

Mg


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En el experimento, el cuerpo solido es una barra homognea con huecos y los momentos de

inercia de esta respecto a ejes perpendiculares a la barra que pasa por cada uno de los huecos se

pueden determinar experimentalmente mediante la ecuacin

MgL

IT 02

Donde L es la longitud que separa el centro de

gravedad del centro de giro o

Sin embargo no es posible calcular experimentalmente el momento de inercia de la barra

alrededor de un eje que pase por el centro de gravedad; para ello usaremos un mtodo indirecto

El cual es conocido como el TEOREMA DE STEINER que se expresa por la siguiente igualdad:

2MLII G .

Demostracion del teorema de steiner

Se asumir, sin prdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia

perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se

encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a travs del centro de

masas, es:

centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

El primer trmino es Icm, el segundo trmino queda como mr2, y el ltimo trmino se anula, puesto

que el origen est en el centro de masas. As, esta expresin queda como:


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HOJA DE DATOS

TABLA N1

# de hueco l(cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) # de oscilaciones

Periodo T (promedio)

1 50.5 30.20 30.12 30.28 18 1.68

2 45.7 29.73 29.81 29.52 18 1.65

3 40.5 29.08 28.86 28.95 18 1.61

4 35.5 28.95 29.08 28.96 18 1.61

5 30.5 28.92 28.39 28.94 18 1.60

6 25.5 29.32 29.46 29.00 18 1.63

7 20.5 30.09 30.50 30.12 18 1.68

8 15.5 16.43 15.96 16.05 9 1.79

9 10.5 18.70 18.4 18.52 9 2.06

10 5.5 24.82 24.64 24.86 9 2.75


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REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZAR

La siguiente figura muestra la barra usada para el experimento:

Los clculos y anlisis que a continuacin se harn, se basaran considerando a la barra con los

agujeros que esta presenta, cuyo numero es de 21.

La barra es homognea y tiene las siguientes dimensiones y medidas.

VOLUMEN

V1=VOLUMEN DE LA BARRA CON AGUJEROS

ArCBAV 221..1

Reemplazando los datos:

V1=(0.7)(4.8)(110)-21(3.14)(0.752)(0.7)

V1=343.54cm3

DENSIDAD( )

33

1

41.554.343

1858

cmgr

cm

gr

V

M

M=masa de la barra con agujeros

m= masa de un cilindro solido, cuyo volumen es igual al volumen de un agujero de la barra y cuya densdidad es la misma que la de la barra.

M+21m=masa de una barra solida sin agujeros.

Z= distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos.

L=distancia entre el c.g de la barra y el eje de giro o.

C

A B

cmz

cmr

grM

cmC

cmB

cmA

agujeros

5

75.0

1858

110

8.4

7.0

21#


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CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS

Grafico T vs L.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

0 10 20 30 40 50 60

T vs L

T vs L


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CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia de la barra mostrada respecto al eje que pasa por O ser( 0I ) igual al

Momento de inercia de la barra solida ( sin agujeros 1I ) respecto al eje que pasa por O menos

el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra 2I )respecto al eje

que pasa por O.

Entonces la ecuacin sera:

210 III ..(I)

Hallando 1I :

Usando el momento de inercia de un paraleleppedo y el teorema de Steiner, tenemos :

222

1 )21()(12

21LmMCB

mMI

(II)

Donde L es igual a la distancia entre el centro de gravedad C.G y el eje de giro o

Ahora hallamos 2I .

Sea el siguiente grafico la representacin de todos los cilindros solidos, faltantes en la barra con

huecos.

Datos:

m= masa de cada cilindro

cilindrovm

grm 69.67.0)75.0(14.341.5 2

r=radio=0.75

Z=distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos.

Z=5 cm

Centro de gravedad del conjunto de

cilindros C.G

El cilindro a se encuentra de color rojo

para diferenciarlo por coincidir con el C.G


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El momento de inercia del conjunto de cilindros slidos respecto al centro de gravedad del conjunto, ser igual a la suma de los momentos de cada uno de los cilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros.

Las siguientes ecuaciones representan los momentos de inercia respecto del centro de gravedad

C.G (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner).

2

2

2

2

2

)10(

)3(

)2(

)(

2

zmII

zmII

zmII

zmII

rm

I

ak

ad

ac

ab

a

Sea GCI . =momento de inercia del conjunto de cilindros respecto su centro de gravedad.

entonces GCI . ser la sumatoria de todos los momentos de inercia de todos los cilindros

respecto C.G:

22

.

2

.

2222

.

222

.

.

7702

21

77021

)1021(221

))10()2()(10(2

:

)(2

mzrm

I

mzII

mzII

zmzmzmIII

operando

IIIIII

GC

aGC

aGC

aaGC

kdcbaGC

Por lo tanto:

22

. 7702

21 mzrm

I GC

Ahora mediante el teorema de Steiner hallamos el momento de inercia del conjunto de cilindros

respecto de un centro de giro o( 2I ) paralela al C.G.

222

2 217702

21I mLmzrm

.(III)

Se tendrn que duplicar, pues solo representan los

cilindros slidos ubicados al lado derecho del

centro de gravedad y para tener en cuenta los del

lado izquierdo( por ser simtrica la barra) solo

tendremos que multiplicar por dos.


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Reemplazando (II) y (III) en (I) tenemos:

210 III

0I =222 )21()(

12

21LmMCB

mM

-(

222 217702

21 mLmzrm

)

Por lo tanto 0I representa el momento de inercia de la barra con agujeros respecto un eje que

pasa por O.

CALCULO DEL PERIODO MINIMO

A partir de la ecuacin MgL

IT 02

Con 0I =222 )21()(

12

21LmMCB

mM

-(

222 217702

21 mLmzrm

)

Encontramos un valor L para el cual el periodo sea minimo.

Reemplazando las ecuaciones tenemos:

MgL

mLmzrm

LmMCBmM

T

)217702

21()21()(12

21

2

222222

Para que el periodo sea minimo aplicamos el criterio de la primera derivada:

Derivando:

3222222

222222

)()217702

21()21()(12

21

))217702

21()21()(12

21()42)21(2(2

MgLmLmzrm

LmMCBmM

mLmzrm

LmMCBmM

MgMgLmLLmM

L

T

Si 0min

L

TimoT

Despejando L tenemos M

mzrm

CBmM

L)770

221()(

12

21 2222

.()

Analizando la anterior relacin: L es igual a la raz cuadrada de la relacin entre el momento de inercia ,del objeto en anlisis respecto su centro de gravedad, y su masa.


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Reemplazando datos en ():

cmLteorico 9.311858

16.1890159

hallamos T en MgL

mLmzrm

LmMCBmM

T

)217702

21()21()(12

21

2

222222

reemplazando datos:

sTteorico 6.1065.02

COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE L PARA T MINIMO

Del siguiente grafico experimental se elige L para un T minimo.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

0 20 40 60

T vs L

T vs L


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Un acercamiento de la imagen nos permite visualizar de mejor manera el periodo mnimo.

Hallamos el periodo mnimo experimental mediante proporcionalidad

Por lo tanto:

Experimentalmente. Tericamente

T mnimo =1.59s

T mnimo = 1.6

L=30.96 cm L=31.9 cm

Periodo mnimo

experimental


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PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

0 20 40 60

T vs L

T vs L

Las intersecciones de las dos

lneas rojas (verticales) con el

eje L, nos representan a dos

puntos cuyos periodos son los

mismos.

Hallamos los puntos mediante

proporcionalidad.

Resultando:

L1=22.5cm

L2=46.2cm


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TABLA N 2

# de hueco eje de oscilacin

L(cm) T*T(s2) Momento de

inercia (gr/cm2) L*L (cm2)

1 50.5 2.81 6477612.73 2550.25

2 45.7 2.72 5664333.14 2088.49

3 40.5 2.59 4778172.49 1640.25

4 35.5 2.60 4197920.61 1260.25

5 30.5 2.55 3545563.38 930.25

6 25.5 2.64 3070425.33 650.25

7 20.5 2.82 2635915.00 420.25

8 15.5 3.20 2263041.33 240.25

9 10.5 4.24 2030385.32 110.25

10 5.5 7.56 1895321.12 30.25

FRMULA DE MINIMOS CUADRADOS (I VS L2)

Reemplazando valores

FUNCION RESULTANTE:

1812596.557.1818 xy

2

cgI1812596.557.1818 MLxy

POR COMPARACIN:

M=1818.7 gr

IC.G=1812596.55 gr/cm2

0 1( )F X a a x

0 1

1

2

0 1

1 1 1

n

i

i

n n n

i i i i

i i i

Y a n a x

Y X a X a X

0 1

10

0 1

10

0 1

10

0 1

1

0

37069927.72 10 9902.5

4.94 10 9902.5 16356550.36

3.67 10 9902.5 9805950.36

4.94 10 9902.5 16356550.36

1938.75

1787427.42

a a

a a

a a

a a

a

a


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GRAFICA MOMENTO DE INERCIA VS (LONGITUD)2

0.00

1000000.00

2000000.00

3000000.00

4000000.00

5000000.00

6000000.00

7000000.00

8000000.00

-1000 0 1000 2000 3000 4000

MO

MEN

TO D

E IN

ERC

IA

lONGITUD AL CUADRADO

I vs L.L

I vs L.L

Linear (I vs L.L)


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Comparando valores terico y experimental.

Pndulo simple equivalente al hueco N5

OBSERVACIONES.

Los resultados presentados en este ensayo fueron elaborados con el mayor cuidado

posible pues se intento reducir la mayor cantidad de variaciones en el laboratorio, como

pueden ser :

Tener distintos ngulos iniciales de oscilacin, para evitar ello se uso un transportador, de

modo que se puede tener un mayor control sobre los ngulos iniciales antes de iniciar la

oscilacin. en nuestra experiencia se trato de tener, para todas nuestras pruebas, un

Angulo aproximado de 15.

Considerar a la barra tal y como se est usando en el laboratorio, en nuestro caso la barra

contaba con 21 agujeros. Esto nos permiti tener valores tericos muy cercanos a los

experimentales.

Existen ciertas variables que difcilmente se pueden controlar, como por ejemplo la

friccin entre el eje de rotacin y la barra, resistencia del aire, temperatura, malas

mediciones, aparatos deficientes, etc.

CONCLUSIONES.

este ensayo nos muestra el comportamiento del pndulo fsico cada ves que varia la

distancia del C.G al eje de giro. Podemos ver segn las graficas que mientras el centro de

giro se acerque al C.G el periodo tiende a aumentar , sin embargo tambin mientras la

distancia supera cierto periodo mnimo el periodo aumentara mientras tambin la

longitud de c.g a eje de giro aumente.

La facilidad de poder hallar momentos de inercia usando la teora del pndulo fsico es de

gran importancia pues ya no es necesario tener en cuenta la geometra exacta del objeto.

Un pndulo fsico puede ser equivalente a un pndulo simple con una cierta longitud y un

cierto periodo experimental

RECOMENDACIONES

Tener presente la mayor cantidad posible de variaciones que puedan afectar el ensayo e

intentar homogenizar las pruebas para tener menos error.

Probar el funcionamiento correcto de los instrumentos a utilizar antes de empezar el

laboratorio.

2 1.6 2 0.6369.81

L lT l m

G


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BIBLIOGRAFIA

Manual de laboratorio de fsica general (UNI- FACULTAD DE CIENCIAS) /2004 ; pag81

Fisica universitaria- Young Freedman- sears zemansky pag303; pag438.


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APENDICE

Momento de inercia de un paralelopipedo

Dividimos el paraleppedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx. El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetra es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es

El momento de inercia del slido en forma de paraleppedo es

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un

cilindro de masa M, radio R1 y

longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del

eje de rotacin. El elemento es una capa

cilndrica cuyo radio interior es x,

exterior x+dx, y de longitud L, tal como se

muestra en la figura. La masa dm que contiene

esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

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