Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 19

2. 3. Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan.

Persamaan Kuadrat (PK) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Diskriminan

𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Persamaan Kuadrat Fungsi Kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝐷 ≥ 0 𝐷 < 0 𝐷 > 0 𝐷 = 0 𝐷 < 0 akar real akar imajiner memotong menyinggung terpisah 𝐷 > 0 𝐷 = 0 𝑎 > 0, 𝐷 < 0 𝑎 < 0, 𝐷 < 0 berbeda kembar definit positif definit negatif 𝐷 = 𝑟2 rasional

TRIK SUPERKILAT. Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis!

“Persamaan kuadrat 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai 𝑝 = ….“ “Fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai 𝑝 yang memenuhi adalah ….” “Grafik 𝑦 = 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 memotong garis 𝒚 = 𝟎 di dua titik. Batas-batas nilai 𝑝 yang memenuhi adalah ….”

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 𝐃𝐔𝐀 akar real 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆 sumbu X di 𝐃𝐔𝐀 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆 garis di 𝐃𝐔𝐀 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀

} ⇒ 𝐷 > 0

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 akar real 𝐊𝐄𝐌𝐁𝐀𝐑 (= 𝐒𝐀𝐓𝐔)𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 sumbu X di 𝐒𝐀𝐓𝐔 titik𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 garis di 𝐒𝐀𝐓𝐔 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀

} ⇒ 𝐷 = 0

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 akar real𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆/𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 sumbu X 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆/𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 garis

} ⇒ 𝐷 < 0

Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar. Jadi 𝐷 ≥ 0.

Halaman 20 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Soal yang sering ditanyakan PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda.

Contoh: Jika persamaan kuadrat 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 akan memiliki dua akar berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 diperoleh:

𝑎 = 𝑝, 𝑏 = (𝑝 + 2), dan 𝑐 = (−𝑝 + 4) Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 > 0

𝐷 > 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0⇔ (𝑝 + 2)2 − 4(𝑝)(−𝑝 + 4) < 0

⇔ 𝑝2 + 4𝑝 + 4 + 4𝑝2 − 16𝑝 < 0

⇔ 5𝑝2 − 12𝑝 + 4 < 0

⇔ (5𝑝 − 2)(𝑝 − 2) < 8

⇔ 𝑝 <2

5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 > 2

⇔ 𝑚 <2

3

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah 𝑚 <2

3.

Persamaan kuadrat memiliki akar kembar.

Contoh: Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat 𝑥2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 = 0 memiliki dua akar kembar. Maka nilai 𝑘 yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat 𝑥2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 = 0 diperoleh:

𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑘 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

𝐷 = 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0⇔ (𝑘 − 3)2 − 4(1)(4) = 0

⇔ (𝑘 − 3)2 − 16 = 0

⇔ 𝑘2 − 6𝑘 + 9 − 16 = 0⇔ 𝑘2 − 6𝑘 − 7 = 0⇔ (𝑘 + 1)(𝑘 − 7) = 0⇔ 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 3

Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 7.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 21

Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner) Contoh:

Persamaan kuadrat 1

2𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 +

7

2) = 0 tidak memiliki akar real untuk nilai 𝑝 = ….

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat 1

2𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 +

7

2) = 0 diperoleh:

𝑎 =1

2, 𝑏 = (𝑝 + 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = (𝑝 +

7

2)

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0.

𝐷 < 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0

⇔ (𝑝 + 2)2 − 4 (1

2) (𝑝 +

7

2) < 0

⇔ 𝑝2 + 4𝑝 + 4 − 2𝑝 − 7 < 0

⇔ 𝑝2 + 2𝑝 − 3 < 0

⇔ (𝑝 + 3)(𝑝 − 1) < 0⇔ 𝑝 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 1 (𝑝𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai −1 < 𝑝 < 3.

3 −1

− + +

Halaman 22 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

FUNGSI KUADRAT Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong).

Contoh: Grafik 𝑦 = 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 diperoleh:

𝑎 = 𝑝, 𝑏 = (𝑝 + 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = (−𝑝 + 4) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 > 0

𝐷 > 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0⇔ (𝑝 + 2)2 − 4(𝑝)(−𝑝 + 4) < 0

⇔ 𝑝2 + 4𝑝 + 4 + 4𝑝2 − 16𝑝 < 0

⇔ 5𝑝2 − 12𝑝 + 4 < 0

⇔ (5𝑝 − 2)(𝑝 − 2) < 8

⇔ 𝑝 <2

5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 > 2

⇔ 𝑚 <2

3

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah 𝑚 <2

3.

Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 menyinggung sumbu X pada satu titik. Maka nilai 𝑘 yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 diperoleh:

𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑘 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

𝐷 = 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0⇔ (𝑘 − 3)2 − 4(1)(4) = 0

⇔ (𝑘 − 3)2 − 16 = 0

⇔ 𝑘2 − 6𝑘 + 9 − 16 = 0⇔ 𝑘2 − 6𝑘 − 7 = 0⇔ (𝑘 + 1)(𝑘 − 7) = 0⇔ 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 3

Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 7.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 23

Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah) Contoh:

Fungsi kuadrat 𝑦 =1

2𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 +

7

2) tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X

untuk nilai 𝑝 = …. Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat 𝑦 =1

2𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 +

7

2) diperoleh:

𝑎 =1

2, 𝑏 = (𝑝 + 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = (𝑝 +

7

2)

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0.

𝐷 < 0 ⇒ (𝑝 + 2)2 − 4 (1

2) (𝑝 +

7

2) < 0

⇔ 𝑝2 + 4𝑝 + 4 − 2𝑝 − 7 < 0

⇔ 𝑝2 + 2𝑝 − 3 < 0

⇔ (𝑝 + 3)(𝑝 − 1) < 0⇔ 𝑝 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 1 (𝑝𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai −1 < 𝑝 < 3.

3 −1

− + +

Halaman 24 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong). Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 memotong garis 𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Substitusikan 𝑦 = 3𝑥 + 4 dan 𝑦 = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4

⇒ 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 = 3𝑥 + 4⇔ 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 − 3𝑥 − 4 = 0⇔ 𝑥2 + (𝑏 − 3)𝑥 = 0

Koefisien-koefisien persamaan kuadrat

𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑏 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 0 Kurva memotong garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi D > 0

𝐷 = 0 ⇒ (𝑏 − 3)2 − 4(1)(0) > 0

⇔ (𝑏 − 3)2 − 0 > 0

⇔ (𝑏 − 3)2 > 0⇔ 𝑏 − 3 > 0⇔ 𝑏 > 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b > 3.

Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK? Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 menyinggung garis 𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Kurva menyinggung garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

𝐷 = 0 ⇒ (𝑏 − 3)2 − 4(1)(0) = 0

⇔ (𝑏 − 3)2 − 0 = 0

⇔ (𝑏 − 3)2 = 0⇔ 𝑏 − 3 = 0⇔ 𝑏 = 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai 𝑏 = 3.

Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 tidak memotong dan tidak menyinggung garis 𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Kurva terpisah garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0

𝐷 = 0 ⇒ (𝑏 − 3)2 − 4(1)(0) < 0

⇔ (𝑏 − 3)2 − 0 < 0

⇔ (𝑏 − 3)2 < 0⇔ 𝑏 − 3 < 0⇔ 𝑏 < 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai 𝑏 < 3.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 25

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Persamaan kuadrat 042)2(2 mxmx mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang

memenuhi adalah ....

A. 2m atau 10m

B. 10m atau 2m

C. 2m atau 10m

D. 102 m

E. 210 m

2. Persamaan kuadrat 0)4(22 2 pxpx mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang

memenuhi adalah ....

A. 2p atau 8p

B. 2p atau 8p

C. 8p atau 2p

D. 82 p

E. 28 p

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Akar-akar real ⇒ 𝐷 ≥ 0

𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0⇒ (𝑚 − 2)2 − 4 . 1 . (2𝑚 − 4) ≥ 0

⇔ 𝑚2 − 12𝑎 + 20 ≥ 0⇔ (𝑚 − 2)(𝑚 − 10) ≥ 0

𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ 𝑚 − 2 = 0 atau 𝑚 − 10 = 0

⇒ 𝑚 = 2       𝑚 = 10

+ +

−

2 10

Jadi daerah penyelesaian: 𝑚 ≤ 2 atau 𝑚 ≥ 10

Akar-akar real berbeda ⇒ 𝐷 > 0

𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0

⇒ (2(𝑝 − 4))2

− 4 . 2 . 𝑝 ≥ 0

⇔ 4𝑝2 − 40𝑝 + 64 ≥ 0

⇔ 4(𝑝 − 2)(𝑝 − 8) ≥ 0𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶

𝑝 − 2 = 0 atau 𝑝 − 8 = 0⇒ 𝑝 = 2       𝑝 = 8

+ +

−

2 8

Jadi daerah penyelesaian: 𝑝 < 2 atau 𝑝 > 8