persamaan kuadrat

Aljabar Elementer © 2014

Swaditya Rizki, M.Sc.

Persamaan Kuadrat

1. Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai

pangkat tertinggi sama dengan dua.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

0;02 acbxax

a, b, dan c elemen bilangan riil yang disebut konstanta, x disebut variabel

(peubah). Sebagai contoh, berikut akan disajikan beberapa persamaan

kuadrat yang akan diubah ke dalam bentuk standar.

1. 6)1( xx

2. 43

xx

3. 155252 xx

4. 32 xx

5. 6272 xxx

Penyelesaian:

a. Hilangkan tanda ( )

06

6

2

2

xx

xx

b. Kalikan semua ruas dengan x:

034

43

2

2

xx

xx

c. Pindahkan ruas kanan ke ruas kiri

01052 xx

d. Hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas



034

3)2(

2

2

xx

xx

e. Satukan variable sejenis

065

0627

2

2

xx

xxx

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Pemfaktoran

Cara pemfaktoran merupakan cara penyelesaian persamaan kuadrat yang

paling mudah untuk konstanta yang kecil, dengan catatan persamaan

kuadratnya dapat difaktorkan. Berikut bentuk umumnya:

(x + a)(x + b) = 0

x.x + ax + bx + ab = 0

x 2 + (a+b)x + ab = 0

Ada persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.

Berikut ini beberapa contoh persamaan kuadrat tersebut.

1. 5)4( xx

Penyelesaian: 542 xx

0542 xx

15

0105

0)1)(5(

xx

xataux

xx

2. 01032 xx

Penyelesaian:

52

0502

0)5)(2(

01032

xx

xataux

xx

xx



3. 012102 2 xx

Penyelesaian:

2

342

03042

0)3)(42(

012102 2

x

xx

xataux

xx

xx

4. 062 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………………………………..…

………..………………………………………………………………………

……..…………………………………………………………………………

……………………………..…………………………………………………

5. 816

x

x

Penyelesaian: ……………………………………………………………………………..…

………..………………………………………………………………………

………………………………..………………………………………………

…………………………………………………………………………….….

6. 02092 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………...…………………………

…..……………………………………………………………………………

…………………………..……………………………………………………

………………………………………………………………..………………

7. 092 x

Penyelesaian: ………………………………………………………..………………………

……..…………………………………………………………………………

……………………………..…………………………………………………

……………………………..…………………………………………………

8. 0213 2 aa

Penyelesaian: ………………………………………………………………………..………

………………………..……………………………………………….………

…………………………………………………..……………………………

………………………………………………………………..………………



9. 01252 2 mm

Penyelesaian: ………………………………………………………………………………..

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………

………………………………………………………………………………..

10. 02184 2 xx

Penyelesaian: …………………………………………………………………………..……

…………………………..……………………………………………………

…………………………..……………………………………………………

……………………………..…………………………………………………

11. 155

2 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………………………..…………

…………………..……………………………………………………………

…………………………………………..……………………………………

………………………………………………………..………………………

12. 329 2 x

Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………

………………………………………………………………..………………

13. 08215 2 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………

………………………………………………………………..………………

14. 031756 2 xx

Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………

15. 0169 2 x

Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………

…………………………..……………………………………………………

…………………………………………………..……………………………



Bentuk Umum Rumus Persamaan Kuadrat

Untuk mencari akar-akar persamaan dari bentuk umum persamaan kuadrat

diatas dapat diturunkan rumus sebagai berikut.

0

0;0

2

2

a

cx

a

bx

acbxax

Agar dapat dibentuk persamaan kuadrat sempurna maka harus diubah ke

dalam bentuk berikut:

222 ma

cmx

a

bx

Misalkan:

a

bm

xa

bmx

mxa

bxmmxxmx

2

2

2)( 22222

Sehingga

a

acbbx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

c

a

b

a

bx

a

b

a

c

a

bx

a

bx

ma

cmx

a

bx

2

4

2

4

2

4

4

2

4

4

2

42

22

2

2,1

2

2

2

2

22

2

22

22

2

222



Dimana acb 42 disebut diskriminan (D) dari persamaan kuadrat

02 cbxax . Diskriminan ini dapat digunakan untuk menyelidiki akar-akar

pesamaan kuadrat yaitu:

1. Jika D > 0 maka terdapat dua akar real yang tidak sama 21 xx

2. Jika D = 0 maka akar-akarnya adalah akar kembar/sama dan real 21 xx

3. Jika D < 0 maka kedua akar tidak real atau imajiner.

Contoh 1:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini:

0652 xx

Penyelesaian:

Dari persamaan di atas diketahui nilai a = 1, b = 5, dan c = 6.

32

15atau2

2

15Jadi

2

15

1.2

24255

1.2

6.1.455

2

4

21

2

2

2,1

xx

a

acbbx

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat 04)2(2 xpx mempunyai

akar-akar kembar.

Penyelesaian:

Agar suatu persamaan mempunyai akar kembar maka diskriminannya harus

sama dengan nol:



2atau6

0)2)(6(

0124

01644

04.1.4)]2([

04

21

2

2

2

2

pp

pp

pp

pp

p

acb

Melengkapi Kuadrat Sempurna

Jika suatu persamaan kuadrat dapat dinyatakan ke dalam bentuk

0dengan)( 2 qqpx , maka persamaan itu disebut kuadrat sempurna.

Apabila bentuk persamaan kuadrat belum merupakan bentuk kuadrat

sempurna, maka harus diubah dahulu ke dalam bentuk kuadrat sempurna.

Langkah-langkah penyelesaian dengan melengkapi kuadrat sempurna:

1. Ubah persamaan 02 cbxax ke dalam bentuk cbxax 2 .

2. Apabila 1a , maka bagilah kedua ruas dengan a sehingga

a

cx

a

bx 2

3. Lengkapi persamaan kuadrat dengan menambahkan 2

2

a

bpada

kedua ruas, sehingga 22

2

22

a

b

a

c

a

bx

a

bx

4. Tulislah ruas kiri dari persamaan awal sebagai kuadrat sempurna

sehingga bentuknya menjadi qpx 2)(

5. Gunakan sifat penarikan akar.

6. Selesaikan persamaan-persamaan linier yang diperoleh untuk mencari

akar-akarnya.

Contoh 3:

Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut dengan melengkapi kuadrat

sempurna: 0542 xx .

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikannya ikuti seperti langkah-langkah di atas:



1. Ubah persamaan 0542 xx ke dalam bentuk 542 xx .

2. Karena a=1 maka langkah 2 dilewati.

3. Cari nilai 2

2

a

b yaitu 4)2(

1.2

4

2

2

22

a

b

4. Sehingga diperoleh

944

4544

2

2

xx

xx

Selanjutnya ubah ke bentuk qpx 2)( dimana

9)2(

944

2

2

x

xx

5. 39)2( x (sifat penarikan akar)

6. Penyelesaian untuk mencari akar-akar

5

3)2(

x

x atau

1

3)2(

x

x

Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah x = 5 atau x = -1.

2. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misal akar-akar dari persamaan kuadrat 02 cbxax adalah 1x dan

2x ,

maka dapat ditulis 0))(( 21 xxxx

0)( 2121

2 xxxxxx ……………. (1)

02 cbxax

02

a

cx

a

bx ……………………… (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat sifat-sifat akar persamaan kuadrat:

1. a

bxx 21

2. a

cxx 21.

3. a

Dxx 21



Bentuk 21 xx dan 21.xx merupakan bentuk simetri dari akar-akar

persamaan kuadrat 02 cbxax , dimana setiap bentuk simetri tersebut

dapat dinyatakan ke dalam bentuk 21 xx dan 21.xx . Misalkan:

a. 21

2

21

2

2

2

1 2)( xxxxxx

b. )(3)( 2121

3

21

3

2

3

1 xxxxxxxx

c. ))(.( 2121

2

2

2

1 xxxxxx

d. 2

21

22

2

2

1

4

2

4

1 )(2)( xxxxxx

Contoh 4:

Jika diketahui suatu persamaan 0642 2 xx . Tentukan nilai 2

2

2

1 xx

tanpa mencari 21 dan xx

Penyelesaian:

2

3.2)2(

2)()(

32

6

22

4

0642

2

21

2

21

2

2

2

1

21

21

2

xxxxxx

a

cxx

a

bxx

xx

Diketahui

Contoh 5:

Salah satu akar 062

1 pxx adalah dua kali yang lain. Hitunglah p?

Penyelesaian:

Akar-akar itu dimisalkan 1x dan 12x .

Jumlahnya adalah

2

63

6)2(

1

1

11

x

x

a

bxx

Jadi akar-akar tersebut adalah 2 dan 4. Hasil kalinya adalah



84.2. 21 pa

cxx

nilai p = 8.

3. Akar Persekutuan

Dua buah persamaan kuadrat dapat dikatakan mempunyai akar

persekutuan apabila dari kedua persamaan tersebut terdapat akar-akar yang

nilainya sama.

Perhatikan persamaan kuadrat dibawah ini:

2

3;2

0)32)(2(0672).2

2;4

0)2)(4(082).1

43

2

21

2

xx

xxxx

xx

xxxx

Dari akar-akar persamaan 1) dan 2) di atas dapat dilihat 232 xx

Jadi, kedua persamaan di atas mempunyai akar persekutuan.

Perhatikan apabila kedua persamaan itu kita kurangkan:

211

22

02211

_067210672).2

016422082).1

22

22

x

x

xxxx

xxxx

Disini juga dapat kita lihat bahwa akar persekutuan itu dapat diperoleh dari

persamaan selisih.

Secara umum:

Bila dua persamaan 02 qpxx dan 02 tsxx mempunyai sebuah

akar persekutuan, maka akar persekutuan itu didapat dari persamaan

selisih.



Bukti:

Akan ditunjukkan:

1. 02 qpxx akar-akarnya 21 dan xx

2. 02 tsxx akar-akarnya 31 dan xx

x1 memenuhi 1 dan 2, jadi:

npersekutuaakarMerupakansp

qtx

qtxsp

tqxsp

tsxx

qpxx

1

1

1

1

2

1

1

2

1

)(

0)(

_0

0

Contoh 5:

Persamaan 0422 pxx dan 0652 2 pxx mempunyai sebuah akar

persekutuan. Hitung p dan akar-akarnya.

Penyelesaian.

px

px

pxxpxx

pxxpxx

2

02

_065210652

08422042

22

22

Jadi, akar persekutuannya adalah px 2 atau 2

xp . kemudian masukkan

ke dalam persamaan satu, didapat.

4atau0

0)4(

04

02

42

042

21

2

2

2

xx

xx

xx

xxx

pxx

Untuk 01 x maka p = 0 dan

Untuk 42 x

maka p = 2.



Latihan:

1. Selesaikan persamaan kuadrat berikut menggunakan rumus abc:

0442 xx Penyelesaian:

2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut menggunakan pemfaktoran dan

kuadrat sempurna: 02032 2 xx

Penyelesaian:



3. Selidiki banyaknya akar-akar 022 pxx untuk macam-macam harga p.

Penyelesaian:

4. Buktikan bahwa akar-akar dari persamaan 0962 xx adalah nyata dan sama besar.

Penyelesaian:

5. Sepasang persamaan berikut axxdanaxx 622 22

mempunyai

akar persekutuan. Hitunglah a! Penyelesaian:



5. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 5 dan -2. Penyelesaian:

6. Apabila a adalah bilangan nyata, selidikilah banyaknya akar-akar

persamaan 0)23()3(2 axax

Penyelesaian:

7. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 01662 xx . Hitunglah:

a. 21 xx

b. 21 xx

c. 21xx

d. )( 2

2

2

1 xx



e. )( 3

2

3

1 xx

f. )( 4

2

4

1 xx

8. Carilah 3

2

3

1

11

xx jika diketahui bahwa x1 dan x2 merupakan akar-akar dari

persamaan 0562 xx Penyelesaian:



9. Diketahui dan adalah akar-akar persamaan 0422 xx .

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya

dan

adalah …

Penyelesaian:

10. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar dari akar-akar

persamaan 02123 2 xx adalah…

Penyelesaian:

persamaan kuadrat

Education