Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah:

Dengan a,b,c R dan a 0

a merupakan koefisien x2

b merupakan koefisien x

c adalah suku tetapan atau konstanta

ax2 + bx + c = 0

serta x adalah peubah (variabel)

Jawab:

Contoh 1:

Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat berikut:

a. x2 – 3 = 0

b. 5x2 + 2x = 0

c. 10 + x2 - 6x = 0

d. 12x – 5 + 3x2 = 0

a. x2 – 3 = 0 Jadi a = , b = , dan c = 1 0 -3

b. 5x2 + 2x = 0 Jadi a = , b = , dan c = 5 2 0

c. 10 + x2 - 6x = 0 Jadi a = , b = , dan c = 1 -6 10

d. 12x – 5 + 3x2 = 0 Jadi a = , b = , dan c = 3 12 -5

Nyatakan dalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b dan c dari persamaan :

a. 2x2 = 3x - 8

b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)

C. 2x - 3 = x5

Jawab:

a. 2x2 = 3x – 8Kedua ruas ditambah dengan –3x + 8

– 3x + 8

2x2 – 3x + 8 =

Jadi, a = , b = dan c =2 -3 8

2x2 = 3x – 8 – 3x + 8

Contoh 2:

0

b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)

x2 = Kedua ruas dikurangi dengan x2

x2

x2 – 6x + 2

x2 – 6x + 2 = 0

Jadi a = , b = , dan c = 1 -6 2

c. 2x - 3 = x5

Kedua ruas dikalikan dengan x

(2x – 3)x =

2x2 – 3x =

2x2 – 3x – 5 = 0

Jadi a = , b = , dan c = 2 -3 -5

- x2= 2x2 – 6x + 2- x2

Jawab:

0 =

5

2x2 – 6x + 2

5

REMEMBER .…

(a + b)(p + q) =

(a - b)2 =

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a2 - 2ab + b2

ap + bp + aq + bq

(a + b)(a - b) = a2 - b2

1. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan

Contoh: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut

02 cbxax

(ax……) (ax…..) = 0+

a . c

b

P

QP Q

1. x2 ─ x ─ 6 = 0

(x ) (x ) = 0

x = 3 atau x = ─2 ─ 3

+ 2

+─ 6

─ 1

─ 3 + 2

(2x ) (2x ) = 0 2. 2x2 ─ 3x ─ 5 = 0

2

(2x ─ 5) (x +1 ) = 0

X=2

5Atau x = ─ 1

+ 2─ 5 ─ 10

─3+

─ 5

+ 2

a

092 x0)3)(3( xx

3x 3x

4.

atau

(– 3x ) (– 3x ) = 0

3. ─ 3x2 ─ 4x + 4 = 0

– 3

(– 3x + 2) (x +2 ) = 0

X= – 23

2x =

+ 2 – 6

─ 12

– 4+

2. Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat

Contoh:

Jika persamaan kuadrat koefisien dari x2 belum = 1 , maka ubahlah menjadi 1

Sehingga persamaan kuadratnya menjadi bentuk x2 + px + q = 0

x2 + px + q = 0

0q)())((x 22p2

2p

0822 xx

9)1( 2 x

3)1( x

31 x 31 x13 x 13 x

4 x 2x

1.

atau

atau

atau

081)1( 2 x

0)8()( 2

222

22 x

09)1( 2 x

dengan p = 2, q = -8

9)1( x

2. 2x2 –6x –5 = 0

x2 + px + q = 0

0q)())((x 22p2

2p

Karena koefisien dari x2 belum = 1 maka kita bagi 2 (supaya menjadi satu)

x2 –3x – 5/2 = 0

0)()())(( 252

232

23 x

0)()( 25

492

23 x

0)()( 410

492

23 x

0)( 4192

23 x

0)( 4192

23 x

4192

23 )( x

419

23 )( x

219

23 )( x

23

219 x

23

219

1 x2

319

23

219

2 x2

319

dengan p = -3, q = -5/2

3. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat

Jika diketahui suatu persamaan kuadrat 02 cbxax

, maka akar-akarnya adalah:

a

acbbx

2

42

2.1

Contoh:

0822 xx

)1(2

)8)(1(422 2

2.1

x

2

32422.1

x

2

622.1

x

2

621

x

2

622

x

41 x 22 x

, jadi a=1, b=2, c=-8

atau

atau

Diskriminan (D) adalah: acbD 42 Diskriminan dapat menentukan jenis-jenis akar kuadrat, yaitu:

1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.

a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional

b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional

Contoh:0322 xx

acbD 42 )3)(1(4)2( 2 D

124

16Karena D=16>0 dan berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya berlainan dan rasional

DISKRIMINAN

0322 xx0)1)(3( xx

3 x 1x atau

Contoh:

0522 xxacbD 42

)5)(1(422 24204

Karena D=24>0 tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional

0522 xx

1.2

)5(1.4)2(2 2

2.1

x

2

20422.1

x

2

2422.1

x

atau

Jadi akar-akarnya adalah:

2

6222.1

x

2

)61(22.1

x

612.1 x

61x 61x

2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama ( akar kembar )

Contoh:

0424

1 2 xx

acbD 42 .

)4)(4

1(422 44 0

Karena D=0, maka kedua akarnya kembar

0424

1 2 xx4

01682 xx

0)4)(4( xx

4x atau

Jadi akar akarnya adalah:

4x

3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ).

Contoh:0342 2 xx

acbD 42 )3)(2(442 2416 8

2.2

)3(2.444 2

2.1

x

4

241642.1

x

4

842.1

x 4

842.1

x0342 2 xx

atau

Jadi akar akarnya adalah:

4

84 x 4

84 x

Karena D=-8<0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai akar-akar real (akar-akarnya imaginer).

Pengertian Bilangan Imaginer

Akar pangkat dua dari bilangan negatif adalah bilangan imaginer.

Satuan imaginer didefinisikan sebagai

maka setiap bilangan imaginer dapat dinyatakan dalam satuan imaginer i

1i

Contoh:

i24)1()4)(1(4

i3327)1()27)(1(27

Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat dg Akar-akarnya Memiliki Ciri-ciri Sifat Tertentu

Contoh:

Diketahui persamaan kuadrat 0)32(22 ppxx

a.Carilah diskriminan persamaan kuadrat tersebut!

b. Tentukan nilai atau batas nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:

•Mempunyai dua akar yang berbeda

Mempunyai dua akar sama (akar kembar)

Tidak mempunyai akar-akar real

Jawab

a. acbD 42

)32)(1(4)2( 2 pp 1284 2 pp

b. nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:

0D01284 2 pp

0322 pp

0)3)(1( pp

1p 3p atau

•Mempunyai dua akar yang berbeda Mempunyai dua akar sama (akar kembar)

0D

01284 2 pp

0322 pp

0)3)(1( pp

1p 3p atau

Tidak mempunyai akar-akar real

01284 2 pp

0322 pp

0)3)(1( pp

0D31 p

JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat

02 cbxax

maka

a

bxx 21 dan a

cxx 21.

Contoh:

0822 xx0)2)(4( xx

41 x 22 x atau a

bxx 21 1

2 2

a

cxx 21.

1

8 8

0822 xx

22421 xx

82).4(. 21 xx

Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persmaan Kuadrat

Sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari dua variabel disebut simetri atau setangkup, jika letak variabel tersebut ditukar, maka nilai dari bentuk aljabar tersebut tidak berubah.

Contoh:

Bentuk-bentuk simetri

ba abba 22 ba 2222 abba

ba

11

abba

1111

, karena

, karena

, karena

ba abba 22 ba 2222 abba

ba

11

abba

1111

Bentuk-bentuk tidak simetri

, karena

, karena

, karena

Bentuk-bentuk simetri dari akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan tanpa menghitung akar-akarnya terlebih dahulu.

Contoh:

0822 xxAkar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2.

Tanpa menentukan akar-akarnya, tentukanlah:

21 xx

21.xx

22

21 xx

21

11

xx

a.

b.

c.

d.

Jawab:

a

bxx 21 2

1

2

a

cxx 21. 8

1

8

a.

b.

22

21 xx c. 21

221 .2)( xxxx

)8(2)2( 2 164 20

21

11

xxd.

21

12

xx

xx

8

2

4

1

Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Memiliki Cri-ciri Tertentu

Contoh:

Diketahui persamaan kuadrat 0)3(102 kxx

Jika salah satu akarnya empat kali akar yang lain, hitunglah nilai k

Jawab:

Salah satu akarnya empat kali akar yang lain.

Jadi 21 4xx Rumus jumlah akar-akar:

101

1021

a

bxx

104 22 xx

105 2 x

22 x

21 4xx

82.41 x

Dari , maka

Rumus hasil kali akar-akar:

a

cxx 21. 3

1

3

kk

38.2 k

316 kk 316

13k

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax

Sifat : Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

0)( 21 bxx

cax

x )1

(2

1

0)0( 1 cxa

bx 2

0a

c

0a

c

1.Akar-akarnya berlawanan

2. Akar-akarnya berkebalikan

3. Sebuah akarnya sama dengan 0 dan

4. Kedua akarnya bertanda sama

5. Kedua akarnya berlainan tanda

Tentukan nilai p dalam persamaan kuadrat

Contoh:

0)43()12( 22 ppxpx

agar salah satu akarnya sama dengan nol.

Supaya salah satu akarnya sama dengan nol haruslah 0c

0432 pp

0)4)(1( pp

1p 4p

Jadi:

atau