PERSAMAAN KUADRAT DAN

PERTIDAKSAMAAN

Tugas ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliahMatematika Sekolah

Dosen Pembina :

Dr. Tatag Y. E. Siswono, M.Pd.

Oleh :

SURI KUSUMA RATNA DEWI147785033KELAS : D

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2014

1

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL..................................................................................1

DAFTAR ISI...............................................................................................2

I. PERSAMAAN KUADRAT.......................................................................3

1.1 Persamaan Kuadrat.............................................................................3

1.2 Bentuk Kuadrat Sempurna..................................................................4

1.3 Melengkapkan Kuadrat Sempurna.....................................................6

1.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat....................................................7

1.5 Diskriminan........................................................................................10

1.6 Sistem Persamaan...............................................................................11

1.7 Persamaan yang dapat direduksi menjadi Persamaan Kuadrat..........13

II. PERTIDAKSAMAAN...............................................................................14

2.1 Notasi Pertidaksamaan.......................................................................14

2.2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear..............................................15

2.3 Pertidaksamaan Kuadrat.....................................................................18

2

BAB I

PERSAMAAN KUADRAT

Pada bab ini kita akan membahas tentang persamaan kuadrat dalam bentuk

ax2+bx+c dan grafik-grafiknya. Tujuan dari pembelajaran ini, diharapkan kita

dapat :

Mengetahui bagaimana cara untuk melengkapkan kuadrat sempurna

dalam persamaan kuadrat

Mengetahui bagaimana cara menemukan titik puncak dan sumbu

simetri dari grafik persamaan kuadrat y=ax2+bx+c

Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat

Mengetahui tentang diskriminan dari persamaan kuadrat ax2+bx+c

adalah nilai dari b2−4 ac, dan bagaimana cara menggunakannya.

Mampu menyelesaikan sistem persamaan yang melibatkan persamaan

kuadrat dan persamaan linear

Mampu mengenali dan memecahkan persamaan yang dapat direduksi

menjadi persamaan kuadrat dengan substitusi

1.1 Persamaan Kuadrat

Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol

yang menyatakan bahwa dua hal adalah sama. Persamaan ditulis dengan

tanda sama dengan (=).

Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan dimana pangkat

tertinggi variabelnya adalah 2 atau dalam bentuk matematis dapat

ditulis yaitu ax2+bx+c=0 ; a ,b ,c∈R ,a ≠ 0. Persamaan kuadrat sering

juga disebut sebagai persamaan pangkat dua.

Berkaitan dengan nilai-nilai dari a , b , c dikenal beberapa persamaan

kaudrat diantaranya adalah :

1. Jika a=1, maka persamaan menjadi x2+bx+c=0 dan persamaan

seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Biasa.

3

Sumbu simetri

3

8

x

y

2. Jika b=0, maka persamaan menjadi x2+c=0 dan persamaan

seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Sempurna.

3. Jika c=0, maka persamaan menjadi x2+bx=0 dan persamaan

seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap.

4. Jika a , b , c bilangan-bilangan real, maka ax2+bx+c=0 disebut

Persamaan Kuadrat Real.

5. Jika a , b , c bilangan-bilangan rasional, maka ax2+bx+c=0

disebut Persamaan Kuadrat Rasional.

Nilai dari a , b , dan c adalah koefisien. Dalam matematika, koefisien

adalah faktor pengali dalam sebuah ekspresi. a adalah koefisien dari x2,

b adalah koefisien dari x dan c sering disebut dengan koefisien

konstan atau suku bebas.

1.2 Bentuk Kuadrat Sempurna

Kita dapat menulis suatu persamaan kuadrat, misalnya x2−6 x+8.

Faktor dari persamaan kuadrat tersebut adalah ( x−4 )(x−2), grafik

parabola dari persamaan kuadrat y=x2−6 x+8 dapat dilihat pada

Gambar 1. Bentuk persamaan (x−3)2−1 dapat digunakan untuk

mencari titik puncak pada parabola dan juga untuk menemukan daerah

hasil dari suatu fungsi f ( x )=x2−6x+8.

Gambar. 1

4

Perhatikan bahwa kita tidak selalu dapat menulis persamaan kuadrat

dalam bentuk faktor. Misalnya, x2+1 atau x2+2 x+3.

Jika kita menulis persamaan dari grafik y=x2−6 x+8 dalam bentuk

y=(x−3)2−1 , kita dapat menemukan sumbu simetri dan titik

maximum/minimum dengan cukup mudah. Karena (x−3)2 adalah

sebuah bentuk kuadrat sempurna yang nilainya selalu lebih besar atau

sama dengan 0, dan 0 hanya ketika x=3. Artinya, (x−3)2≥ 0, dan

karena y=(x−3)2−1, maka y ≥−1. Karena (x−3)2=0 ketika x=3,

titik puncak berada pada koordinat (3,-1). Sumbu simetri berada pada

x=3.

(x−3)2−1 adalah Bentuk Kuadrat Sempurna. Berikut adalah

beberapa contoh penggunaannya.

Contoh 1:

Carilah titik puncak dan sumbu simetri dari grafik persamaan kuadrat

y=3−2(x+2)2!

Karena 2(x+2)2≥ 0 , dan 2(x+2)2=3− y , hal ini menunjukkan

bahwa 3− y≥ 0 , maka y ≤3

Karena (x+2)2=0 ketika x=−2, titik puncak pada grafik adalah

terletak pada koordinat (-2,3), nilai terbesar dari y adalah 3 dan

sumbu simetri adalah x=−2

Contoh 2:

Selesaikanlah persamaan 3(x−2)2−2=0!

Karena 3(x−2)2−2=0, 3(x−2)2=2 dan (x−2)2=23

Maka ( x−2 )=±√ 23

, jadi x=2 ±√ 23

5

1.3 Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Ketika kita menulis persamaan kuadrat x2+bx+c dalam melengkapi

bentuk kuadrat, kuncinya adalah mencatat bahwa ketika bentuk kuadrat

x+12

b , kita mendapatkan :

(x+12

b)2

=x2+bx+ 14

b2 , jadi x2+bx=(x+ 12

b)2

−14

b2

Sekarang tambahkan c untuk kedua ruas :

x2+bx+c=(x2+bx )+c = {(x+ 12

b)2

−14

b2}+c

Sekarang tambahkan a untuk kedua ruas :

ax2+bx+c = a (x¿¿2+ ba

x)+c ¿

= a [(a+12

ba )

2

−14 ( b

a )2]+c

❑

¿a (x+ 12

ba )

2

− b2

4a+c

❑

¿a (x+ b2 a )

2

−b2−4 ac4 a

❑

¿a (x+ b2 a )

2

− D4 a

Sehingga y=a x2+bx+c

y=a(x+ b2a )

2

− D4 a

Contoh 3:

Tulislah persamaan x2+10 x+32 dengan melengkapkan bentuk

kuadrat!

x2+10 x+32=( x2+10 x )+32= {(x+5)2−25}+32=(x+5)2+7

Jangan mencoba untuk menghafal bentuk x2+bx+c =

(x+ 12

b)2

−14

b2+c. Pelajari bahwa kita membagi dua dari koefisien x,

6

dan menulis x2+bx = (x+ 12

b)2

−14

b2. Kemudian tambahkan c untuk

kedua ruas.

Jika kita perlu menulis ax2+bx+c dalam bentuk kuadrat, tetapi

koefisien a dari x2 adalah bukan 1, kita dapat menulis ulang

ax2+bx+c dengan mengeluarkan faktor dari dua suku pertama :

ax2+bx+c=a(x2+ ba

x)+c

1.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Kita terbiasa menyelesaikan persamaan kuadrat dalam bentuk

x2+6 x+8=0 dengan memfaktorkan dalam bentuk ( x−2 )(x−4),

kemudian mengambil kesimpulan:

Jika ( x−2 ) ( x−4 )=0

Maka x−2=0 atau x−4=0

Jadi x=2 atau x=4

Penyelesaian dari persamaan kuadrat x2+6 x+8=0 adalah x=2 atau

x=4. 2 dan 4 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat.

Jika persamaan kuadrat memiliki faktor-faktor yang dapat kita temukan

dengan mudah, maka hal ini adalah cara tercepat untuk memecahkan

suatu persamaan kuadrat. Namun seringkali kita kesulitan menemukan

faktor-faktor dari persamaan kuadrat, contohnya pada persamaan

berikut: 30 x2+11 x+30

7

Jika kita tidak dapat memfaktorkan persamaan kuadrat dengan mudah,

gunakan rumus berikut :

Penyelesaian dari persamaan kuadrat ax2+bx+c , dimana a≠ 0,

adalah :

x=−b ±√b2−4 ac2a

Bukti :

Hal ini digunakan untuk mengetahui bagaimana rumus ini diperoleh

dengan persamaan ax2+bx+c dalam menyelesaikan bentuk kuadrat.

Mulailah dengan membagi kedua sisi persamaan dengan a :

x2+ ba

x+ ca=0

Melengkapi bentuk kuadrat dari persamaan yang berada di sisi kiri :

x2+ ba

x+ ca=(x+ b

2 a )2

− b4 a2 +

ca=(x+ b

2a )2

−b2−4ac4 a2

Dilanjutkan dengan persamaan,

(x+ b2a )

2

−b2−4ac4 a2 =0, maka (x+ b

2a )2

=b2−4ac4 a2

Terdapat 2 kemungkinan,

x+ b2 a

=+√ b2−4 ac4 a2 atau−√ b2−4 ac

4 a2

Maka

x=−b2 a

±√ b2−4 ac2 a

=−b ±√b2−4 ac2a

Hal ini menunjukkan bahwa ax2+bx+c dan a ≠ 0, maka

x=−b ±√b2−4 ac2a

8

Contoh 4:

Gunakan rumus kuadrat dalam menyelesaikan persamaan :

a. 2 x2−3x−4=0

b. 2 x2−3 x+4=0

c. 30 x2−11 x−30=0

a. a=2 , b=−3 , dan c=−4, maka

x=−(−3)±√(−3)2−4(2)(−4)2 x2

=3±√9+324

=3±√414

3+√414

≈ 2.35

Dan 3−√414

≈−0.85.

b. a=2, b=−3, dan c=4

x=−(−3)±√(−3)2−4 (2 ) (−4 )2 x2

=3 ±√9−324

=3 ±√−234

Tetapi −23 tidak memiliki akar kuadrat. Hal ini

menunjukkan bahwa persamaan 2 x2−3 x+4=0 tidak

memiliki akar.

c. a=30, b=−11, dan c=−30

x=−(−11)±√(−11)2−4 (30 ) (−30 )2 x 30

=11±√121+360060

=11±√372160

=11± 6160

Jadi x=7260

=65 atau x=

−5060

=−56

1.5 Diskriminan b2−4 ac

Diskriminan adalah suatu nilai pada persamaan kuadrat yang digunakan

untuk membedakan berbagai jenis akar persamaan kuadrat.

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 , a ≠ 0 adalah

9

x=−b ±√b2−4 ac2a

=−b ±√D2a

Dengan D=b2−4 ac

D disebut Diskriminan Persamaan Kuadrat

Jika kita melihat kembali Contoh 4, kita akan melihat bahwa pada

bagian (a) akar dari persamaan adalah bilangan irasional, pada bagian

(b) tidak memiliki akar, dan pada bagian (c) akar yang pecahan.

Persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki

sebuah atau dua buah akar yang berbeda dimana akar-akarnya dapat

berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Terdapat 3 kemungkinan:

Diskriminan bersifat positif, maka akan terdapat dua akar

berbeda dan keduanya riil. Untuk persamaan kuadrat yang

koefisiennya berupa bilangan bulat dan diskriminanya adalah

kuadrat sempurna maka akar-akarnya adalah bilangan rasional,

atau sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irasional

kuadrat.

Diskriminan bernilai 0 maka akan terdapat eksak satu akar dan

riil. Hal ini terkadang disebut sebagi akar ganda, dimana

nilainya adalah x=−b2 a

Diskriminan bernilai negatif maka tidak terdapat akar riil

Contoh 5:

Apa yang dapat kita simpulkan dari nilai-nilai diskriminan dari

persamaan kuadrat berikut?

a. 2 x2−3x−4=0

b. 2 x2−3x−5=0

c. 2 x2−4 x+5=0

d. 2 x2−4 x+2=0

10

a. a=2, b=−3, dan c=−4,

b2−4 ac=(−3)2−4 × 2× (−4 )=9+32=41

Diskriminan bernilai positif, maka persamaan

2 x2+3 x−4=0 memiliki 2 akar. Karena 41 bukan kuadrat

sempurna maka akarnya adalah bilangan irasional.

b. a=2, b=−3, dan c=−5,

b2−4 ac=(−3)2−4 × 2× (−5 )=9+40=49

Diskriminan bernilai positif, maka persamaan

2 x2+3 x−5=0 memiliki 2 akar. Karena 49 adalah

merupakan kuadrat sempurna, maka akarnya adalah bilangan

rasional.

c. b2−4 ac=(−4)2−4×2×5=16−40=−24. Diskriminan

bernilai negatif, persamaan 2 x2−4 x+5=0 tidak memiliki

akar.

d. b2−4 ac=(−4)2−4×2×2=16−16=0. Diskriminan

bernilai 0, persamaan 2 x2−4 x+2=0 memiliki satu akar

dan riil dan dapat disebut dengan akar ganda.

1.6. Sistem Persamaan

Contoh 6:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dan

gambarkan perpotongan kedua grafik pada satu bidang Cartesius!

y=x2−2 x

y=6x−x2

Penyelesaian :

Substitusikan persamaan y=x2−2 xke persamaan y=6 x−x2

x2−2 x=6 x−x2

11

x

y

o

4,8

y=x2−2 x

y=6 x−x2

6

2 x2−8 x=0

2 x( x−4)=0

2 x=0 atau x−4=0

x=0 atau x=4

x=0 , maka y=o ; x=4, maka y=8

Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah

{(0,0); (4,8)}. Grafiknya dalam bidang Cartesius tersaji di bawah ini:

Gambar 2

Contoh 7:

Berapa banyak titik yang terletak pada x+2 y=3 dan memenuhi kurva

2 x2+ y2=4?

12

Penyelesaian :

Dari persamaan x+2 y=3, x=3−2 y. Substitusikan nilai x ke

persamaan 2 x2+ y2=4, 2(3−2 y)2+ y2=4, jadi

2(9−12 y+4 y¿¿2)+ y2=4¿, maka 9 y2−24 y+14=0

Diskriminan dari persamaan ini adalah

242−4 ×9 ×14=576−504=72. Diskriminan ini bernilai

positif, maka persamaan ini memiliki 2 akar, sehingga garis

memenuhi kurva di dua titik

1.7 Persamaan yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat

Kadang-kadang kita menemukan persamaan yang bukan persamaan

kuadrat, namun yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat,

biasanya dengan menggunakan cara substitusi.

Contoh 8:

Selesaikan persamaan berikut : t 4−13 t 2+36=0 !

Penyelesaian :

Persamaan ini disebut dengan persamaan quartic karena

memiliki bentuk t 4, tetapi jika kita mengasumsikan x berada

pada t 2, persamaanya menjadi x2−13 x+36=0, yang merupakan

persamaan kuadrat dalam x.

Maka (x−4)(x−9)=0, jadi x=4 atau x=9

Sekarang ingat bahwa x=t 2, jadi t 2=4 atau t 2=9, maka

t=± 2❑ atau t=± 3❑

BAB II

PERTIDAKSAMAAN

13

0 b a

Pada bab ini akan dibahas tentang hubungan dan bagaimana menyelesaikan

pertidaksamaan. Tujuan dari pembelajaran ini adalah:

Mengetahui aturan tentang simbol pertidaksamaan

Mampu memecahkan pertidaksamaan linear

Mampu memecahkan pertidaksamaan kuadrat

2.1 Notasi Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan salah satu

simbol >, >, ≤, dan ≥.

Kita sering membandingkan suatu bilangan dengan bilangan yang lain

dan menyatakan yang lebih besar. Perbandingan ini dapat dinyatakan

dalam simbol-simbol pertidaksamaan : >, >, ≤, dan ≥.

Simbol a>b menyatakan bahwa a lebih besar dari b . Kita dapat

menggambarkannya dalam geometri seperti pada Gambar 3

Gambar 3

a>b , alebih besar dari b

b<a , b kurang dari a

Simbol a ≥ b menyatakan’ a>b atau a=b ; ' artinya, a lebih besar atau

sama dengan b. Begitu juga dengan simbol a ≤ b menyatakan’ a<b atau

a=b’. Artinya, a kurang dari atau sama dengan b.

2.2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear

Menambah atau mengurangi bilangan yang sama pada kedua ruas

14

b b + c a a + c

c adalah positif

b + c b a + c a

c c

c adalah negatif

c c

Kita dapat menambah atau mengurangi bilangan yang sama pada kedua

ruas dari sebuah pertidaksamaan. Sebagai contoh kita dapat

menambahkan 11 pada kedua ruas.

(3 x+10)+11>(10 x−11)+11

3 x+21>10 x

Langkah tersebut menunjukkan bahwa‘ jika a>b maka a+c>b+c’

Hal ini menyatakan bahwa a berada di sebelah kanan garis bdalam garis

bilangan, maka a+c berada di sebelah kanan dari b+c. Gambar 4

menunjukkan c pada saat bernilai positif dan negatif.

Gambar 4

Karena mengurangi c sama dengan menambahkan – c, kita juga dapat

mengurangi jumlah bilangan yang sama dari kedua ruas.

Dalam contoh, jika kita mengurangi 3 x dari kedua ruas, maka kita

dapatkan:

15

b cb a ca0

0cb b caa

cacb b 0a

(3 x+21)−3x>10 x−3 x ,

21>7 x

Mengalikan 2 ruas dengan bilangan positif

Kita dapat mengalikan (atau membagi) dua ruas dari pertidaksamaan

dengan bilangan positif. Suatu contoh, kita dapat membagi dua ruas

dengan bilangan positif 7 (atau mengalikan dengan 17 ) didapat:

21 × 17>7 x × 1

7 ,

3>x

Berikut langkahnya,

Jika c>0 dan a>b, maka ca>cb

Jika a>b, a berada di sebelah kanan b dalam garis bilangan.

Jika c>0, ca dan cb adalah perbesaran dari posisi adan b yang relatif

terhadap bilangan 0.

Gambar 5 menunjukkan bahwa a dan b adalah positif dan negatif, ca

berada di sebelah kanan dari cb

Gambar 5

Mengalikan 2 ruas dengan bilangan negatif

Jika a>b, dan kita mengurangi a+b dari kedua ruas, maka kita

mendapatkan – b>−a, atau– a←b. Hal ini menunjukkan bahwa jika

kita mengalikan kedua ruas dari pertidaksamaan dengan −1, maka kita

16

cb bca 0 a

mengubah arah pertidaksamaan. Misalnya kita akan mengalikan

pertidaksamaan a>b dengan -2. Hal ini sama dengan mengalikan

– a←b dengan 2, jadi −2a←2b.

Kita dapat menyimpulkannya bahwa jika kita kalikan (atau membagi)

kedua ruas dari sebuah pertidaksamaan dengan bilangan negatif, Kita

harus mengubah arah pertidaksamaan. Maka jika c<0 dan a>b, maka

ca<cb (Lihat Gambar 6)

Gambar 6

Aturan operasi bilangan pada pertidaksamaan

Kita dapat menambah atau mengurangi bilangan yang sama

pada kedua sisi dari pertidaksamaan

Kita dapat mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan

bilangan positif

Kita dapat mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan

bilangan negatif, tetapi kita harus mengubah arah

pertidaksamaan tersebut

Contoh 9:

Selesaikan pertidaksamaan berikut : 13

(4 x+3 )−3(2 x−4)≥ 20

Penyelesaian :

13

(4 x+3 )−3(2 x−4)≥ 20

17

(4 x+3 )−9 (2 x−4)≥60

4 x−3−18 x+36 ≥ 60

−14 x+39 ≥60

−14 x ≥21

x≤−32

2.3 Pertidaksamaan Kuadrat

Dalam Bab 4, Kita melihat bahwa fungsi:

f (x)=ax2+bx+c bentuk biasa

f (x)=a(x−p)(x−q) bentuk faktor

f ( x )=a ( x−r )2+s bentuk melengkapkan kuadrat

Jika kita menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat dari bentuk

f ( x )<0 , f ( x )>0 , f ( x ) ≤0 , atau f (x )≥ 0 , sejauh ini bentuk paling mudah

untuk digunakan adalah bentuk faktor..

Berikut adalah contoh yang menunjukkan cara-cara pemecahan

pertidaksamaan kuadrat.

Contoh 10:

Selesaikan pertidaksamaan ( x−2 )−( x−4 )<0!

18

y

x

y=(x−2)(x−4)

2 40

Penyelesaian :

Gambar grafik dari y= (x−2 )−( x−4 ).

Grafik memotong di sumbu x pada x=2 dan x=4. Karena

koefisien dari x2 adalah positif, maka parabola terbuka ke atas,

terlihat pada Gambar 7

Gambar 7

Kita perlu menemukan nilai-nilai x sehingga y<0. Dari grafik

kita dapat melihat bahwa hal ini terjadi ketika x diantara 2 dan

4, artinya x>2 dan x<4.

Ingat bahwa x>2 adalah sama dengan 2<x, kita dapat

menulisnya 2<x<4, artinya bahwa x adalah lebih besar dari 2

dan kurang dari 4.

Sebuah pertidaksamaan dengan tipe r<x<s (atau r<x ≤ s atau r ≤ x<s

atau r ≤ x ≤ s) disebut dengan interval

19