persamaan non linier - · pdf filepenyelesaian persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dapat...
TRANSCRIPT
1
Persamaan Non
Linier
2
Persamaan Non Linier
� Metode Tabel
� Metode Biseksi
� Metode Regula Falsi
� Metode Iterasi Sederhana
� Metode Newton-Raphson
� Metode Secant.
3
Persamaan Non Linier
� Penentuan akar-akar persamaan non linier.
� Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalahnilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol.
� Akar persamaan f(x) adalah titik potongantara kurva f(x) dan sumbu X.
4
Persamaan Non Linier
5
Persamaan Non Linier
� Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana
m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan :
mx + c = 0
x = -
� Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.
m
c
a
acbbx
2
42
12
−±−=
6
Penyelesaian Persamaan Non
Linier
� Metode Tertutup
� Mencari akar pada range [a,b] tertentu
� Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar
� Hasil selalu konvergen � disebut juga metode
konvergen
� Metode Terbuka
� Diperlukan tebakan awal
� xn dipakai untuk menghitung xn+1
� Hasil dapat konvergen atau divergen
7
Metode Tertutup
� Metode Tabel
� Metode Biseksi
� Metode Regula Falsi
8
Metode Terbuka
� Metode Iterasi Sederhana
� Metode Newton-Raphson
� Metode Secant.
9
Theorema� Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan
f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0
� Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut:
Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar.
Karena f(a).f(b)>0 maka padarange x=[a,b] tidak dapatdikatakan terdapat akar.
10
Metode Table
� Metode Table atau
pembagian area.
� Dimana untuk x di
antara a dan b dibagi
sebanyak N bagian
dan pada masing-
masing bagian dihitung
nilai f(x) sehingga
diperoleh tabel :f(b)x
n=b
…………
f(x3)x
3
f(x2)x
2
f(x1)x
1
f(a)x0=a
f(x)X
11
Metode Table
12
Contoh
� Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range
x =
� Untuk mendapatkanpenyelesaian daripersamaan di atas range x =
dibagi menjadi 10 bagian sehinggadiperoleh :
1,000000,0
0,80484-0,1
0,61873-0,2
0,44082-0,3
0,27032-0,4
0,10653-0,5
-0,05119-0,6
-0,20341-0,7
-0,35067-0,8
-0,49343-0,9
-0,63212-1,0
f(x)X
[ ]0,1−
[ ]0,1−
13
Contoh
� Dari table diperoleh penyelesaian berada di
antara –0,6 dan –0,5 dengan nilai f(x) masing-
masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat
diambil keputusan penyelesaiannya di x=-0,6.
� Bila pada range x =
dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan
nol pada x = -0,57 dengan F(x) = 0,00447
[ ]5,0,6,0 −−
14
Metode Tabel
f=inline('x+exp(x)')
%----first-----
x=linspace(-1,0,10)
y=f(x)
a=[x' y']
%-----second-----
x=linspace(a(4,1),a(5,1),10)
y=f(x)
a=[x' y']
%-----third------
x=linspace(a(9,1),a(10,1),10)
y=f(x)
a=[x' y']
%----fourth------
x=linspace(a(1,1),a(2,1),10)
y=f(x)
a=[x' y']
%----fifth-------
x=linspace(a(5,1),a(6,1),10)
y=f(x)
a=[x' y']
15
Kelemahan Metode Table
� Metode table ini secara umum sulit
mendapatkan penyelesaian dengan error yang
kecil, karena itu metode ini tidak digunakan
dalam penyelesaian persamaan non linier
� Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran
awal mengetahui area penyelesaian yang benar
sebelum menggunakan metode yang lebih baik
dalam menentukan penyelesaian.
16
Metode Biseksi
� Ide awal metode ini adalah metode table,
dimana area dibagi menjadi N bagian.
� Hanya saja metode biseksi ini membagi range
menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih
bagian mana yang mengandung dan bagian
yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini
dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar
persamaan.
17
18
Metode Biseksi
� Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahuluditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudiandihitung nilai tengah :
c =
� Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaanakar. Secara matematik, suatu range terdapat akarpersamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda ataudituliskan :
f(a) . f(b) < 0
� Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan rangedari bagian yang mempunyai akar.
2
ba +
19
Algoritma Biseksi
20
Contoh Soal
� Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan
menggunakan range x=[-1,0], maka diperoleh
tabel biseksi sebagai berikut :
21
f=inline(‘x.*exp(-x)+1')%----first-----a=-1;b=0;c=(a+b)/2;x=linspace(a,b,10)y=f(x)Iterasi(1,:)=[a b c f(c) f(a)] % f(a)*f(c) < 0 thena=a;b=c;c=(a+b)/2;%-----second------Iterasi(2,:)=[a b c f((a+b)/2) f(a)] % f(a)*f(c) > 0 thena=c;b=b;c=(a+b)/2;
%-----third--------Iterasi(3,:)=[a b (a+b)/2 f((a+b)/2)
f(a)]% f(a)*f(c) > 0 thena=c;b=b;c=(a+b)/2;%------fourth---------Iterasi(4,:)=[a b (a+b)/2 f((a+b)/2)
f(a)]% f(a)*f(c) < 0 thena=a;b=c;c=(a+b)/2;%-----fifth------Iterasi(5,:)=[a b (a+b)/2 f((a+b)/2)
f(a)]%and so on….
22
Contoh Soal
� Dimana x =
Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066
� Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukandengan menggunakan toleransi error atau iterasimaksimum.
� Catatan : Dengan menggunakan metode biseksidengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya)maka semakin besar jumlah iterasi yangdibutuhkan.
2
ba +
23
Metode Regula Falsi
� Metode pencarian akar persamaandengan memanfaatkan kemiringan danselisih tinggi dari dua titik batas range.
� Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier.
� Dikenal dengan metode False Position
24
Metode Regula Falsi
25
Metode Regula Falsi
cb
bf
ab
afbf
−
−=
−
− 0)()()(
)()(
))((
afbf
abbfbc
−
−−=
)()(
)()(
afbf
abfbafc
−
−=
26
Algoritma Metode Regula Falsi
1. definisikan fungsi f(x).2. tentukan batas bawah, a, dan batas atas, b.
3. tentukan toleransi error, e, dan iterasi maksium, n.
4. hitung Fa = f(a) dan Fb = f(b)5. untuk iterasi, I = 1 s/d n, atau error > e
a. hitung Fc = f(c)b. hitung error = Fcc. jika Fa.Fc < 0, maka b = c dan Fb = Fc, jika tidak a=c dan Fa=Fc
6. akar persamaan adalah c
FaFb
bFaaFbc
−
−=
..
27
Contoh Soal� Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [-1,0]
Akar persamaan diperoleh di c=-0.56709 dengan kesalahan =0,000142 (iterasi ke-8)
28
f=inline('x*exp(-x)+1')
a=-1;
b=0;
c= (f(b)*a-f(a)*b)/(f(b)-f(a));
%---first----
Iterasi(1,:)=[a c b f(a) f(c) f(b)]
% f(a)*f(c) < 0 then
a=a;
b=c;
c= (f(b)*a-f(a)*b)/(f(b)-f(a));
%----second----
Iterasi(2,:)=[a c b f(a) f(c) f(b)]
% f(a)*f(c) < 0 then
a=a;
b=c;
c= (f(b)*a-f(a)*b)/(f(b)-f(a));
%----third-----
Iterasi(3,:)=[a c b f(a) f(c) f(b)]