Persamaan Diferensial

Febrizal, MTFebrizal, MT

PendahuluanPendahuluan

dif i l k• Persamaan diferensial merupakan persamaanyang berkaitan dengan turunan dari suatufungsi atau memuat suku‐suku dari fungsitersebut dan atau turunannya.

• Bila fungsi tersebut tergantung pada satu peubah bebas riil maka disebut Persamaan pDiferensial Biasa (PDB). Sedangkan bila fungsiterdiri dari lebih dari satu peubah bebas makaterdiri dari lebih dari satu peubah bebas makadisebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

ContohContoh

• Persamaan berikut merupakan PDB dengan peubah bebas x dan peubah tak bebas y. 

ContohContoh

• Persamaan berikut merupakan PDP

Orde Persamaan DiferensialOrde Persamaan Diferensial

• Orde persamaan diferensial adalah besarturunan tertinggi yang terjadi pada PD gg y g j ptersebut. Dari contoh di atas persamaanBernoulli mempunyai orde 1 sedangkanBernoulli mempunyai orde 1 sedangkanpersamaan Airy, Bessel dan Van Der Polberorde 2berorde 2.

Sifat KelinieranSifat Kelinieran

• Berdasarkan sifat kelinieran dari peubah tak bebasnya, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi PD Linier danPD tidak linierPD tidak linier.

• Bentuk umum PD linier orde n diberikan :

il f( ) k di b i i• Bila f(x) = 0 maka disebut PD Linier Homogen sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD Linier takHomogen. 

• Bila tidak dapat dinyatakan seperti bentuk dip y patas dikatakan PD tidak Linier. 

• Dari contoh terdahulu persamaan Airy danDari contoh terdahulu, persamaan Airy danBessel merupakan PD Linier ( Homogen ) sedangkan persamaan Bernoulli dan Van Dersedangkan persamaan Bernoulli dan Van DerPol merupakan PD tidak linier.

LatihanLatihan

• Klasifikasikan PD berikut berdasarkan: Orde, linier atau tidaklinier, homogen atau tidak homogen

Penyelesaian PD Orde IPenyelesaian PD Orde I

• Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, kita harus mencari fungsi yang memenuhig y gpersamaan tsb, artinya yang membuatpersamaan tsb menjadi benarpersamaan tsb menjadi benar. 

• Hal ini berarti bahwa kita harus mengolahb k hpersamaan tsb sedemikian rupa sehingga

semua koefisien diferensialnya hilang dantinggallah hubungan antara y dan x.

1 Integral Langsung1. Integral Langsung

• Jika suatu PD dapat disusun dalam bentuk, maka persamaan tsb bisa diselesaikan dengan

i t l d h)(xf

dxdy

=

integral sederhana.

S i k li ki i lk f i k• Setiap kali kita mengintegralkan suatu fungsi, konstantaintegrasi C harus selalu disertakan.S ti kit k t h i b h il i C tid k d t• Seperti yang kita ketahui, bahwa nilai C tidak dapatditentukan kecuali jika diberi keterangan tambahantentang fungsi tsbtentang fungsi tsb.

• Penyelesaian PD yang masih mengandung konstanta C tersebut disebut sebagai solusi umum PD.tersebut disebut sebagai solusi umum PD.

• Jika kita diberitahu nilai y untuk nilai x tertentu, makakonstanta C bisa dihitung. Penyelesaian PD yang g y y gdiketahui nilai C nya disebut sebagai Solusi Khusus PD

74 +−= −xey

2 Pemisahan Variabel2. Pemisahan Variabel

• Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapatdipisahkan sehingga peubah x dapat dikelompokan dengan dxdan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yangdan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yang berbeda. 

• Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung denganSehingga solusi umum PD dapat secara langsung denganmengintegralkan kedua ruas.

• Bentuk umum PD yang bisa dipisahkan variabel nya adalah:y g p y

• Solusi umum PD nya didapat dengan menyelesaikan:

LatihanLatihan

3 Dengan Substitusi y = vx3. Dengan Substitusi y = vx

• Beberapa bentuk PD tak linier order satu denganpeubah tak terpisah namun koefisiennya merupakanf i h d d d di ifungsi homogen dengan order sama dapat dicarisolusinya menggunakan metode substitusi sehinggadid tk b t k PD b h t i hdidapatkan bentuk PD peubah terpisah.

• Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n єh b l k (k k ) k ( ) d b dR sehingga berlaku F(k x,k y) = knF(x, y). n disebut order 

dari fungsi homogen F(x,y).• Solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dandy/dx = v + x dv/dx ke dalam PD sehingga didapatkanbentuk PD dengan peubah terpisah.

contohcontoh

• Perhatikan persamaan berikut:

• Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttpp p pternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antarafaktor x dan faktor y nya sehingga kita tidak bisamenyelesaikan persamaan tsb dengan cara integral langsung.

• Untuk menyelesaikannya kita substitusikan persamaantsb dengan y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx

• Sehingga persamaan menjadi:Sehingga persamaan menjadi:

• Dalam bentuk yg terahir kita bisa menyele‐• Dalam bentuk yg terahir, kita bisa menyele‐saikan persamaan tsb dengan cara pemisahan

i b lvariabel

LatihanLatihan

4 Menggunakan Faktor Integral4. Menggunakan Faktor Integral

bi di l ik d f k i l• PD yang bisa diselesaikan dengan faktor integral adalah PD linier orde pertama yang berbentuk: d /d P Qdy/dx + Py = Q .

• Dengan P dan Q adalah fungsi dari x (ataukonstanta. 

• Cara penyelesaiannya yaitu dengan mengalikankedua ruas PD tsb dgn faktor integral (FI) yang berbentuk e∫P dx. 

• sehingga didapat solusi PD tsb adalah:y.FI = ∫ Q. FI dxy ∫ Q

contohcontoh

• Sehingga solusi PD nya adalah:

LatihanLatihan

Penyelesaian PD BernoulliPenyelesaian PD Bernoulli

• PD Bernoulli adalah PD yang berbentuk 

dimana P dan Q adalah fungsi x atau konstanta.• Langkah2 penyelesaian:• Langkah2 penyelesaian:

– Bagi kedua ruasnya dengan yn, sehingga diperoleh

– Misalkan z = y1‐n

Sehingga dengan mendiferensialkannya akan diperoleh– Sehingga dengan mendiferensialkannya, akan diperoleh

• Jika kita kalikan (ii) dengan (1‐n), maka suku pertamanya akan menjadi dz/dx. j /

• Dan persamaan tsb bisa ditulis menjadi:• dz/dx + (1‐n)P1z = (1‐n)Q1/ ( ) 1 ( )Q1

• Sehingga persamaan tsb bisa diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi.

contohcontoh

S l ik l h PD• Selesaikanlah PD • Jawab:

k d d 2 h d l h• Bagi kedua ruas dengan y2, sehingga diperoleh:

• Misalkan z = y1‐n, dlm hal ini z = y1‐2 = y‐1

• Kalikan persamaan tsb dg ‐1, agar suku pertama menjadi dz/dx

• Persamaan tsb menjadiPersamaan tsb menjadi 

• Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan• Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi.

Contoh 2Contoh 2

• Selesaikan• Jawaban• Pertama‐tama kita haru menuliskannya dalam bentuk

• Apa yang harus dilakukan?

• Sehingga diperoleh:

• Bagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang adaBagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang ada diruas kanan, sehingga diperoleh....

• Selanjutnya gunakan substitusi z = y1‐n yang dalam contoh ini j y g y y gadalah z = y1‐4 = y‐3

• z = y‐3, berarti dz/dx = .....

• Kalikan persamaan dengan ‐3, agar suku pertamanya menjadi dz/dx, maka kita dapatkan..

Contoh 3Contoh 3

• selesaikannlah

Contoh 4Contoh 4

• selesaikanlah

LatihanLatihan

d xyydxdy 3* =+

yeydxdy x 4* =+

xyydxdy

dx3 )1(2* −=+

xyxyddy

dx22 tantan2* =− yy

dx