solusi persamaan dirac dengan pseudospin...

6 | Jurnal Sangkareang Mataram ISSN No. 2355-9292

Volume 2, No. 4, Desember 2016 http://www.untb.ac.id/Desember-2016/

SOLUSI PERSAMAAN DIRAC DENGAN PSEUDOSPIN SIMETRI UNTUK POTENSIALSCARF TRIGONOMETRIK PLUS COULOMB LIKE TENSOR DENGAN MENGGUNAKAN

METODE POLYNOMIAL ROMANOVSKIOleh:

Alpiana HidayatullohDosen Tetap pada Fakultas Teknik UNTB

Abstrak :Penelitian ini bertujuan untuk menentukan energi dari persamaan Dirac untuk potensial ScarfHiperbolik plus potensial tensor tipe coulomb untuk kasus pseudo spin symetri dengan menggunakanmetode Polynomial Romanovski . Penyelesaian persamaan Dirac dengan Polynomial Romanovskidilakukan dengan cara mereduksi persamaan differensial orde dua menjadi persamaan differensialtipe Hipergeometri melalui substitusi variabel dan fungsi gelombang yang sesuai. Denganmembandingkan persamaan differensial orde dua tipe Hipergeometri dengan persamaan differensialstandar untuk Polynomial Romanovski diperoleh persamaan energi relativistik. Fungsi gelombangrelativistik diperoleh dari fungsi bobot dan dinyatakan dalam bentuk polynomial romanovski. Karena hasilenerginya tidak bisa diselesaikan secara analitik, maka energi relativistik diperoleh dengan metodenumerik menggunakan Matlab 2011. Dan untuk kasus pseudospin symetri diperoleh energi yang selalunegatif.Kata kunci: Persamaan Dirac, Potensial Scarf Hiperbolik, Pseudospin symetri, Coulomb like tensor,

metode Polynomial Romanovski

PENDAHULUAN

Pada fisika partikel, persamaan diracmerupakan persamaan gelombang relativistik yangdiformulasikan oleh ahli ilmu fisika inggris pauldirac pada tahun 1928. Persamaan dirac selalumendiskripsikan partikel dinamik spin ½ padamekanika kuantum. Persamaan Pencarian solusiyang tepat dari persamaan Dirac dengan berbagaipotensi fisik memainkan peran penting dalam fisikanuklir dan bidang terkait lainnya. Denganmenggunakan metode yang berbeda, pencariansolusi yang tepat persamaan Dirac dengan potensialSpin dan pseudo berputar. Pada penelitiansebelumnya persamaan dirac diselesaikan secaraanalitis untuk beberapa potensial seperti jenispotensial seperti Woods – Saxon, Hulthen, Eckart,Hylleraas, dan Manning – Rosen. Dan berbagaimetode telah diadopsi untuk mencari solusi daripersamaan Dirac Metode ini termasuk metodefaktorisasi, metode aljabar , mekanika kuantummetode Supersymmetrik , metode iterasi asimtotik ,metode Nikiforov - Uvarov dan lain-lain.

METODE

a. Persamaan Dirac untuk Pseudospin SimetriPersamaan Dirac digunakan untuk

mendeskripsikan partikel yang berspin ½ ataukelipatannya dalam mekanika kuantum. Padapersamaan Dirac, untuk kasus spin simetri berlakubahwa selisih antara potensial vektor V(r) danpotensial skalar S(r) adalah konstan dan jumlahnyasama dengan potensial yang mempengaruhi sistemsedangkan untuk kasus spseudospin simetri berlaku

jumlah antara potensial vektor V(r) dan r potensialskala S(r) adalah konstan dan selisihnya samadengan potensial yang mempengaruhi sistem.

Persamaan Dirac untuk potensial vektor V(r)dan skalar S(r) dituliskan sebagai berikut:

(1)(1)

Dimana , , ,

(2)

Dengan adalah matrik tiga dimensi Pauli, I

adalah matriks identitas . Jika nilai. Dan spin Dirac dituliska sebagai berikut:

(3)

Dimana adalah spin Dirac arah atas dan

adalah spin Dirac arah bawah. adalah

spin bola harmonik dan adalahpseudospin simetri bola harmonik.Dengan memasukkan persamaan (2) dan (3)didapatkan

(4)

ISSN No. 2355-9292 Jurnal Sangkareang Mataram| 7

http://www.untb.ac.id/Desember-2016/ Volume 2, No. 4, Desember 2016

(5)

adalah komponen arah atas danadalah komponen arah bawah, sehingga kitamendapakan persamaan spin simetri danpseudopin simetri masing-masing dituliskansebagai berikut:Untuk spin simetri

(6)Dan

(7)Dimana adalah komponen spinarah atas dan adalah komponenspin arah bawah. Untuk spin symetri memiliki

dan merupakan potensial yangmempengaruhi sistem. Sedangkan pseudospinsimetri memiliki dan merupakanpotensial yang mempengaruhi system.

Metode penyelesaian persamaan diferensialorde dua yang belum banyak diaplikasikan untukpenyelesaian persamaan schrodinger adalahmenggunakan polynomial Romanovski.Persamaan Schrodinger satu dimensi untukpotensial shape invariance dapat diubah menjadipersamaan diferensial orde dua fungsiHipergeometri dengan substitusi variabel yangsesuai. Bentuk dari Persamaan Schrodinger satudimensi:

(8)Persamaan tipe Hipergeometri yang diperoleh daripersamaan schrodinger (8) dengan substitusivariabel yang sesuai, dimana tipe umum persamaanHipergeometri adalah:

(9)Persamaan diferensial tipe Hipergeometri yangdapat diselesaikan dengan menggunakanpolynomial Romanovski yang mula-muladiusulkan oleh S.J Routh dan kemudiandikembangkan oleh Romanovski, pers

(10)

Dengan dan

DanDimana persamaan (10) adalah persamaan yangself-adjoint dan fungsi bobotnya dinyatakansebagai w(x) memenuhi persamaan diferensialpearson yang disajikan sebagai:

(11)Fungsi bobot yang diperoleh dari penyelesaiandifferensial pada persamaan (11) adalah

(12)Persamaan (12) diatas disusun dari persamaanrodrigues yang dinyatakan sebagai

(13)Dengan nilai-nilai parameter pada persamaan (13)adalah

dan denganp > 0Dengan memasukkan nilai parameternya kepersamaan (13) maka didapatkan fungsi bobot,yaitu:

(14)

Dengan memasukkan nilai , dan dan nilaiparameternya pada persamaan (12) makadidapatkan bentuk Persamaan diferensialpolynomial Romanovski

(15)Dan untuk penyelesaian persamaan fungsigelombang pada polynomial Romanovski adalah:

(16)Dengan memasukkan persamaan fungsi gelombangpada persamaan (14) kedalam persamaan (13) danmemasukkan nilai parameternya maka didapatkanfungsi bobotnya yaitu:

(17)

HASIL DAN PEMBAHASANa. Persamaan Dirac dengan potensial scarf

trigonometrik plus Coulomb Like TensorMenggunakan psudo Simetri.

Dengan menggunakan persamaan (6) dan

memasukkan potensial ( ) yang mempengaruhinya



dimana:

(18)

Dengan U yang merupakan Coulomb like tensordimana

(19)

(20)

Dimana Dengan memasukkan

nilai Maka persamaan (20) menjadi

(21)Dengan melakukan permisalan maka persamaan(21) dengan

Maka persamaan (21) menjadi

(22)

b. Solusi Energi Persamaan Dirac denganMenggunakan Pseudospin Simetri untukPotential scarf trigonometrik denganMetode Polynomial Romanovski

Dengan menggunakan substitusi varibel padacot α maka didapatkan

(23)

Dengan memasukkan permisalan diatas makapersamaan (23) menjadi

(24)

Kemudian penyelesaian secara umum fungsigelombang pada metode polynomial Romanovskipada persamaan (16) didefferensialkan ordepertama dan kedua, maka persamaan (23) menjadi

(25)

Dari Persamaan (25) didapatkan nilai dansebagai berikut:

Persamaan (25) didapatkan

(25)

Dengan memasukkan nilai dan makadidapatkan nilai energy sebagai berikut

ISSN No. 2355-9292 Jurnal Sangkareang Mataram| 9

http://www.untb.ac.id/Desember-2016/ Volume 2, No. 4, Desember 2016

(26)

Dari persamaan (26) didapatkan nilai energy yangdihitung dengan menggunakan matlab, adapaunhasilnya dapat dilihat pada tabel dibawah ini

Tabel 1. Spektrum energi potensia scarftrigonometrik dengan Coulomb liketensor untuk a=0.06, V0=3,M=3, Cps=-5 dan V1=2

N l K<0

J = l+½

Enk > 0 H=0

Enk > 0H=0.5

0 0 -1 0s1/2 -4.334 -4.3200 1 -2 0p3/2 -4.387 -4.3560 2 -3 0d5/2 -4.504 -4.4330 3 -4 0f7/2 -4.937 -4.6251 0 -1 s1/2 -4.132 -4.1191 1 -2 p3/2 -4.180 -4.1521 2 -3 d5/2 -4.284 -4.2221 3 -4 f7/2 -4.507 -4.3852 0 -1 2s1/2 -3.945 -3.9332 1 -2 2p3/2 -3.989 -3.9632 2 -3 2d5/2 -4.082 -4.0272 3 -4 2f7/2 -4.337 -4.178N l K>0 j = l-1/2 Enk>0 H=0 Enk>0 ,

H=0.50 1 2 0s1/2 -4.334 -4.3560 2 3 0p3/2 -4.387 -4.4330 3 4 0d5/2 -4.504 -4.6250 4 5 0f7/2 -4.937 -9.9081 1 2 s1/2 -4.132 -4.1521 2 3 p3/2 -4.180 -4.2221 3 4 d5/2 -4.284 -4.3851 4 5 f7/2 -4.597 -9.2852 1 2 2s1/2 -3.945 -3.9632 2 3 2p3/2 -3.989 -4.0272 3 4 2d5/2 -4.082 -4.1702 4 5 2f7/2 -4.337 -9.462

Dari hasil energi pada tabel 1 kita bisamenggambarkan grafik energinya seperti dibawahini

Gambar 1a. Grafik energi untuk pseudospinsimetri untuk n=0,1 dan 2 dengan H=0

Gambar 1b. Grafik energi untuk pseudospinsimetri untuk n=0,1 dan 2 denganH=0,5

PENUTUP

Penyelesaian persamaan Dirac denganpolinomial Romanovski dilakukan dengan caramereduksi persamaan differensial orde duamenjadi persamaan differensial tipeHipergeometri melalui substitusi variabel. Denganmembandingkan persamaan differensial orde duatipe Hipergeometri dengan persamaan differensialstandar untuk Polynomial Romanovski diperolehpersamaan energi relativistik. Karena hasilenerginya tidak bisa diselesaikan secara analitik,maka energi relativistik diperoleh dengan metodenumerik menggunakan Matlab 2011, untuk kasuspseudospin simetri diperoleh energi yang selalunegatif.

DAFTAR PUSTAKA

A.Suparmi, C.Cari and U.A. Deta, Exact Solutionof Dirac Equation for Scarf Potential withNew Tensor Coupling Potential for spinand Pseudospin Symmetri UsingRomanovski Polynomial, diterima untukdipublikasikan pada journal ChinesePhysics B sebagai artikel no. 140287akan dipublikasikan pada juli 2014 hal12.

A.suparmi,and C,Cari, Solution of Dirac Equationfor q-Deformed Eckart Potential withYukawa-type Tensor Interaction for Spinand Pseudospin Symmetry UsingRomanovski Polynomial, AtomIndonesia, vol.39, no.3,2013, hal 112-123.

A.Suparmi,C, Cari, at el, Approximate Solution ofSchrodinger Equation for ModifiedPosch-Teller plus Trigonometric Rosen-Morse Non-Central Potentials inTerm ofFinite Romanovski polynomial, IOSRJournal of Applied Physics, vol.2,no.2,



2012,pp. 43-51.Cari, Mekanika Kuantum-penyelesian potensial

non-central dengansupersimteri,hypergeometri,NikivarofUvarof dan Polynomial Romanovski,UPT Penerbitan; Surakarta Jawa Tengah,2013.

Cari, Suparmi, at al, Solution of Dirac Equtaion forCotangent Potential with Coulomb-typeTensor Interaction for Spin andPseudospin Symetri Using Romanovskipolynomial, makara journal of scienceVol.17, No.3, 2013. hal 93-102.

Suparmi, Mekanika Kuantum II, Jurusan FisikaFakultas MIPA Universitas SebelasMaret; Surakarta, 2011.

Taskin,Ferhat and Kocak,Gokhan, Spin SymmetricSolution of Dirac equation with Poschl-Teller potential, Chin.Physic.B,vol.20,N0.7,2011, hal.070302-5

solusi persamaan dirac dengan pseudospin...

Documents