Solusi Persamaan DiferensialSolusi Persamaan Diferensial Dengan Transformasi Laplaceg p

Febrizal, MTFebrizal, MT

Langkah langkahLangkah‐langkah

1. Tuliskan kembali PD dalam bentuk Transformasi Laplacep

2. Masukkan kondisi awal yang diberikan3 S k b li lj b3. Susun kembali persamaan secara aljabar 

untuk mendapatkan solusi transformasinya4. Tentukan transformasi invers untuk 

memperoleh solusi khususmemperoleh solusi khusus

Transformasi dari TurunanTransformasi dari Turunan

• Misalkan f’(t) menyatakan turunan pertama dari f(t), f”(t) menyatakan turunan kedua dari f(t), dst

• Sehingga:

• Dengan mengganti f(t) menjadi f’(t), diperolehe ga e gga t (t) e jad (t), d pe o e

• Dengan cara yang sama, maka diperoleh

• Notas AlternatifNotas Alternatif– Misalkan x = f(t), pada saat t = 0, kita tulis

• Jika kita menuliskan transformasi laplace x denganJika kita menuliskan transformasi laplace x dengan      maka;

• Dan, 

• Dengan demikian, maka

Solusi PD Orde ISolusi PD Orde I

• Contoh 1– Tentukanlah solusi dari PD                             jika pada saat t = 0, x = 1

• Penyelesaian– Tuliskan kembali persamaan tsb dalam Transformasi Laplace, 

– Sehingga persamaan menjadi– Sehingga persamaan menjadi, 

– Masukkan nilai awal  t = 0  x = 1, berarti x0 = 1, sehinggaMasukkan nilai awal  t   0  x   1, berarti x0  1, sehingga

– Susun kembali persamaan diatas sehingga diperoleh persamaan dalam x

– Lakukan invers transformasi pada persamaan tsb.

• Contoh 2– Selesaikan PD                               , jika diketahui pada t = 0  x = 6

• Penyelesaian– Nyatakan persamaan diatas dalam Transformasi Laplace

– Masukkan nilai awal x0 = 6

– Susun ulang persamaan untuk mendapatkan 

– Gunakan invers laplace untuk mendapatkan x

• Contoh 3– Carilah solusi PD                                       jika diketahui t = 0  x = 0

• Penyelesaian

LatihanLatihan

Solusi PD Orde IISolusi PD Orde II

• Contoh 1– Tentukan penyelesaian PD                                            jika pada saat t = 0 

x = 5 danx = 5 dan 

• Penyelesaian– Tuliskan kembali persamaan dalam transformasi laplace.p p

– Masukkan kondisi awal, x0 = 5 dan x1 = 7

– Susun kembali persamaan

– Gunakan pecahan parsial

– A = 4; B = 0; C =  1

• Contoh 2– Tentukan solusi PD                                           jika diketahui pada t = 0 

x = 3 dan dx/dt = 4

• Penyelesaian– Nyatakan persamaan dalam transformasi laplace

– Masukkan nilai kondisi awal; x0 = 3 dan x1 = 4; 0 1

• Contoh 3– Selesaikan PD                                     jika diketahui pada t = 0  x = 0 dan

• Penyelesaian– Seperti biasa, nyatakan persamaan dalam transformasi laplace

– Uraikan lagi pecahan suku kedua dan ketiga dengan cara pecahan parsial

– Sederhanakan persamaan diatas, sehingga didapat

– Lakukan transformasi invers, maka

• =

LatihanLatihan

• Carilah solusi dari persamaan diferensial dibawah ini: