BAB 3 SISTEM PERSAMAAN LINIER OlehSyaiful Anam Applied Mathematical Modeling and Computation LaboratoryMathematics DepartmentBrawijaya University

PendahuluanSuatu sistem persamaan linier adalah sistem persamaan yang terdiri dari sejumlah persamaan (berhingga) dan sejumlah variabel (berhingga). Mencari solusi suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variable-variabel tersebut, sehingga memenuhi semua sistem persamaan tersebut.

Dua metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier Metode langsung, yang terdiri dari metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, metode matriks invers dan metode dekomposisi LU.Metode tak langsung yaitu metode iterasi, yang terdiri dari metode iterasi Jacobi dan metode iterasi Gauss-Seidel, dimana dalam metode iterasi ini harus diberikan solusi awal ( merupakan tebakan ).

Bentuk Umum SPL

Persamaan pada slide sebelumnya dapat diubah menjadi

Catatan

Beberapa kemungkinan yang terdapat pada SPL seperti persamaan 3.1,

SPL mempunyai tepat sebuah solusi / solusi unik SPL mempunyai banyak solusi SPL tidak mempunyai solusi

UPPER-TRIANGULAR LINEAR SYSTEMDefinisi 1Sebuah matriks N x N disebut upper-triangular jika memenuhi ai,j =0 untuk i>j. Matriks N x N A=(ai,j) disebut lower-triangular jika memenuhi ai,j=0 untuk i

Teorema 1Andaikan AX=B adalah sebuah sistem upper-triangular dengan bentuk

Jika ak,k0 untuk k=1,2,3,maka ada solusi tunggal sistem persamaan (1)1

Eliminasi Gauss dan PivotingElementary TransformationDefinisi 2Operasi berikut diterapkan pada sistem linier dan menghasilkan sistem yang ekivalenPenskalaanInterchangesReplacement

OPERASI BARISDefinisi 3Operasi berikut diterapkan pada matrik yang diperbesar dan menghasilkan sistem yang ekivalen PenskalaanInterchangesReplacement

Eliminasi GaussContoh

Contoh

Jawab

Lanjutan

PIVOTDefinisi 4Bilangan ar,r pada posisi r,r yang digunakan untuk mengeliminasi xr pada baris r+1,r+2, N disebut elemen pivot ke r dan baris r disebut baris pivot

GAUSSIAN ELIMINATION WITH BACK SUBTITUTIONTeorema 2 : Andaikan Matriks A N x N adalah non singular;Ada sistem yang Ekivalen UX=Y dimana U adalah Upper Triangular Matrix dengan uk,k0. Setelah U dan Y dibentuk, Back Subtitution dapat digunakan untuk menyelesaikan UX=Y

Metode Eliminasi Gauss - Jordanmetode eliminasi Gauss-Jordan ini digunakan untuk menyelesaikan sebuah persamaan linier dengan cara menggandeng matriks bujur sangkar A dengan vektor kolom B, kemudian matriks A dibentuk menjadi matriks identitas, I. dengan cara melakukan sejumlah transformasi elementer pada baris.

Metode iterasi Jacobi

Contoh

Jawab

Lanjutan

Lanjutan

Lanjutan

Lanjutan

Iterasi Gauss SeidelDidalam metode Jacobi, nilai x1 yang dihitung dari persamaan pertama tidak digunakan untuk menghitung nilai x2 dengan persamaan kedua. Demikian juga nilai x2 tidak digunakan untuk mencari x3, sehingga nilai-nilai tersebut tidak dimanfaatkan. Sebenarnya nilai-nilai baru tersebut lebih baik dari nilai-nilai yang lama. Di dalam metode Gauss-Seidel nilai-nilai tersebut dimanfaatkan untuk menghitung variabel berikutnya.

Lanjutan

Contoh

Faktorisasi TriangularDefinisi 1Matriks A non singular mempunyai faktorisasi jika A dapat diekspresikan sebagai hasil kali matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas U A=LU

Faktorisasi Triangular

A non singular maka uk,k0 untuk semua k.mi,j =li,j

Metode Dekomposisi LUJika matrik A non singular maka ia dapat difaktorkan ( diuraikan atau di dekomposisi) menjadi matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U:A=LUDalam bentuk matriks, pemfakoran ini ditulis sebagai:=

Metode Dekomposisi LU

Penyelesaian Ax=b dengan metode dekomposisi LU adalah sebagai berikut :Ax=BFaktorkan A menjadi L dan U sedemikian sehingga A=LUJadi,Ax=bLUx=bMisalkan Ux=yMaka Ly=b

Metode Dekomposisi LU Untuk memperoleh y1,y2,..,yn digunakan metode penyulihan maju. = diperoleh y1,y2,..,yn

Metode Dekomposisi LU Dan untuk memperoleh solusi SPL x1,x2,..,xn digunakan teknik penyulihan mundur Ux=y

= diperoleh x1,x2,..,xn

Contoh

Jawab

Lanjutan

Lanjutan

Lanjutan

Metode CroutKalikan L dan U=