analisa solusi persamaan beda linier skripsirepository.unair.ac.id/25706/1/luthfan, v.pdf ·...

ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER

SKRIPSI

VARIAN LUTHFAN

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA

2012

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Skripsi Analisa Solusi Persamaan Beda Linier Varian Luthfan

ii

ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika

Pada Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Airlangga

Disetujui oleh

Pembimbing I

Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. NIP. 19640103 198810 1 001

Pembimbing II

Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. NIP. 19860412 200812 2 003



iii

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul : Analisa Solusi Persamaan Beda Linier Penyusun : Varian Luthfan Nomor Induk : 080810567 Tanggal Ujian : 22 September 2012

Disetujui oleh:

Pembimbing I,

Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. NIP. 19640103 198810 1 001

Pembimbing II,

Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. NIP. 19860412 200812 2 003

Mengetahui:

Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si. NIP. 19680204 199303 1 002



iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan milik Universitas Airlangga.



v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillaahirabbil’aalamiin. Puji syukur penulis panjatkan kepada

Allah SWT yang telah mengaruniakan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis

dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini yang berjudul “Analisa Solusi

Persamaan Beda Linier”.

Materi di dalam skripsi ini bukanlah sesuatu yang baru, tetapi penulis hanya

mengkaji (bedah buku) tentang solusi persamaan beda linier pada buku Difference

Equations (Kelley dan Peterson, 2001), yang belum diperoleh mahasiswa S-1

Matematika. Penulis kemudian memaparkan kembali bukti dari teorema-teorema

yang dikaji secara lebih detail dengan bahasa sendiri dan melengkapinya dengan

contoh yang memenuhi agar lebih mudah dipahami oleh pembaca. Adanya contoh

kasus sistem penggajian pegawai adalah bukti penerapan persamaan beda linier

dalam kehidupan sehari-hari.

Penulis bukanlah orang yang cukup hebat sehingga dapat menyelesaikan

skripsi ini seorang diri. Penulis mendapatkan banyak bantuan dari berbagai pihak.

Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih

yang sebesar-besarnya kepada:

1. Allah SWT, Tuhan yang telah mengaruniakan ilmu yang bermanfaat dan

selalu membimbing penulis dalam setiap langkah penulis.

2. Almarhum ayah, Fatchoer Rozy, ibu tercinta, Setianing, dan adik-adikku

tersayang, Edwin dan Noval, yang telah memberikan kasih sayang,

semangat yang begitu besar, dukungan dan doa yang terus-menerus agar

penulis dapat menyelesaikan studi S-1 dengan baik.

3. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. selaku pembimbing I dan Cicik Alfiniyah,

S.Si., M.Si. selaku pembimbing II, yang telah memberikan pengetahuan,

bimbingan, dan perhatian dengan baik dan penuh kesabaran, serta senantiasa

memberikan nasehat dan arahan kepada penulis yang telah banyak

melakukan kesalahan dalam penulisan skripsi ini.



vi

4. Dr. Eridani, M.Si. dan Nenik Estuningsih, M.Si. selaku dosen dan penguji

skripsi ini yang telah memberikan banyak koreksi penting dan masukan

yang sangat berarti.

5. Dr. Miswanto, M.Si. selaku Kepala Departemen Matematika yang telah

memberikan banyak masukan, pikiran, dan semangat.

6. Untuk Jatu Herlina yang telah setia menjadi seorang teman, sahabat,

pemberi motivasi serta semangat yang tak pernah henti. Terima kasih atas

segala do’a dan perhatiannya selama ini.

7. Teman-teman Matematika UNAIR angkatan 2008, Putu, Abi, Harun, Safik,

Rizal, Lefko, Zuda, Adis, Annas, Yani, Andri, Bambang, Athok, Kiky,

Hadi, dan teman-teman lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima

kasih atas setiap kritik, saran, masukan, dan motivasi yang kalian berikan

kepada penulis.

Semoga melalui tulisan ini, pembaca dapat memperoleh manfaat serta

perlindungan dari Allah SWT, Amiin Yaa Rabbal’aalamiin.

Surabaya, Juli 2012

Penulis

Varian Luthfan



vii

Varian Luthfan. 2012. Analisa Solusi Persamaan Beda Linier. Skripsi ini di bawah bimbingan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si dan Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. Departemen Matematika. Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

ABSTRAK

Menyelesaikan sebuah persamaan beda linier berarti menemukan semua fungsi yang jika disubstitusikan ke persamaan beda tersebut akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun, tidak semua persamaan beda mempunyai solusi. Persamaan beda linier orde mempunyai solusi tunggal jika terdapat nilai awal yang ditentukan. Pada skripsi ini persamaan beda linier dibatasi hanya untuk persamaan beda linier dengan koefisien konstan. Beberapa metode dapat digunakan untuk menentukan solusi umum dari persamaan beda linier dengan koefisien konstan, diantaranya adalah metode akar dari persamaan karakteristik untuk persamaan beda linier homogen, metode annihilator untuk persamaan beda linier tak homogen, dan metode variasi parameter untuk persamaan beda linier homogen dan tak homogen. Dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik kesetimbangan. Menentukan kestabilan solusi persamaan beda linier orde satu diperoleh dengan mencari titik kesetimbangan dari persamaan beda linier orde satu, kemudian menentukan solusinya dan limit dari solusi tersebut terhadap titik kesetimbangannya. Untuk persamaan beda linier orde lebih dari satu, kestabilan solusinya dilakukan dengan mencari nilai eigen, kemudian mencari jari-jari spektral, dan jika jari-jari spektralnya kurang dari satu, maka solusi persamaan beda linier orde lebih dari satu dikatakan stabil asimtotik. Adanya contoh kasus sistem penggajian pegawai adalah bukti penerapan persamaan beda linier dalam kehidupan sehari-hari. Kata Kunci: Persamaan Beda Linier, Metode Akar Persamaan Karakteristik,

Metode Annihilator, Metode Variasi Parameter, Kestabilan Solusi.



viii

Varian Luthfan. . Analisa Solusi Persamaan Beda Linier. This skripsi in under the guidance by Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. and Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. Mathematics Department of Science and Technology Faculty. Airlangga University.

ABSTRACT

Solving a linear difference equation means finding all the functions which, if substituted into that difference equation has true value. The function is called a solution of difference equation. But, not all difference equation has solution. The -order linear difference equation has unique solution if there are prescribed initial values. In this skripsi linear difference equation is limited for linear difference equation with constant coefficients. Several methods can be used to determine the general solution of linear difference equations with constant coefficients, including the roots of the characteristic equation method for homogeneous linear difference equations, annihilator method for nonhomogeneous linear difference equations, and variation of parameters method for homogeneous and nonhomogeneous linear difference equations. In application of difference equation, not only the solution that becomes central parts of difference equation, but also behavior of the solution around the equilibrium point. Determine the stability of solutions of first-order linear difference equation is obtained by finding the equilibrium point of first-order linear difference equation, and then define the solution and the limit of such solutions to the equilibrium point. For the higher-order linear difference equation, the stability of the solutions is done by finding the eigenvalues, then find the spectral radius and if the spectral radius less than one, then the solutions of higher-order linear difference equation is said to be asymptotically stable. Existence of employee payroll system is evidence of linear difference equations application in daily life. Keywords: Linear Difference Equation, Roots of Characteristic Equation Method,

Annihilator Method, Variation of Parameters Method, Stability of Solutions.



ix

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL .................................................................................... i

LEMBAR PERNYATAAN ...................................................................... ii

LEMBAR PENGESAHAN ...................................................................... iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ................................. iv

KATA PENGANTAR .............................................................................. v

ABSTRAK ................................................................................................ vii

ABSTRACT .............................................................................................. viii

DAFTAR ISI ............................................................................................. ix

BAB I PENDAHULUAN ......................................................................... 1

1.1. Latar Belakang Masalah ............................................................ 1

1.2. Rumusan Masalah ..................................................................... 3

1.3. Tujuan ....................................................................................... 4

1.4. Manfaat ..................................................................................... 4

1.5. Batasan Masalah ........................................................................ 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................... 6

2.1. Kalkulus Beda ........................................................................... 6

2.2. Persamaan Beda Linier ............................................................. 12

2.3. Kestabilan Solusi ....................................................................... 13

BAB III METODE PENULISAN ............................................................. 17

BAB IV PEMBAHASAN ......................................................................... 18

4.1. Penentuan Syarat Suatu Persamaan Beda Memiliki Solusi ...... 18

4.2. Penentuan Solusi Persamaan Beda Linier ................................. 24

4.2.1. Metode Akar Persamaan Karakteristik ........................... 31

4.2.2. Metode Annihilator ......................................................... 35

4.2.3. Metode Variasi Parameter ............................................... 38

4.3. Kestabilan Solusi Persamaan Beda Linier ................................ 42

4.3.1. Kestabilan Solusi Orde Satu ............................................ 43

4.3.2. Kestabilan Solusi Orde Lebih Dari Satu ......................... 44



x

4.4. Contoh Kasus Persamaan Beda Linier ...................................... 54

BAB V KESIMPULAN ............................................................................ 58

5.1. Kesimpulan ............................................................................... 58

5.2. Saran .......................................................................................... 59

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................... 60



1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Persamaan beda muncul sebagai gambaran alami dari fenomena perubahan

yang teramati dengan variabel waktu diskrit. Penerapan teori persamaan beda

berkembang pesat dalam berbagai bidang, seperti analisis numerik, teori kontrol,

matematika hingga, dan ilmu komputer (Lakshmikantham dan Trigiante,

2002). Persamaan beda seringkali digunakan sebagai alternatif penyelesaian

persamaan diferensial, karena tidak semua persamaan diferensial dapat

diselesaikan secara analitik (Penna, 2005).

Secara umum, persamaan beda dengan orde didefinisikan sebagai

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( )

dengan ( ) dan ( ) berturut-turut didefinisikan sebagai ( )

( ) ( ) dan ( ) [ ( )] , serta ( ) dan ( ) adalah fungsi

yang belum diketahui sedangkan adalah variabel bebasnya. Dalam kasus tertentu

seperti penerapannya pada bilangan Fibonacci dan masalah menara Hanoi, pada

skripsi ini, nilai interval beda yang digunakan adalah . Jika fungsi linier,

maka persamaan ( ) disebut persamaan beda linier. Jika fungsi tak linier,

yang berarti dalam fungsi tersebut terdapat variabel yang berderajat lebih/kurang

dari satu, maka persamaan ( ) disebut persamaan beda tak linier

(Lakshmikantham dan Trigiante, 2002).



2

Konsep persamaan beda linier dinilai penting untuk sejumlah alasan.

Penerapan matematika dalam kehidupan seringkali menggunakan konsep

persamaan beda linier, seperti pada bilangan Fibonacci dan masalah menara Hanoi

(Kelley dan Peterson, 2001). Selain itu, linierisasi digunakan pada persamaan

beda tak linier untuk menganalisis kestabilan dari solusinya. Oleh karena itu,

persamaan beda linier merupakan salah satu bahasan yang penting.

Persamaan beda linear adalah persamaan beda yang memiliki bentuk

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dengan definisi awal bahwa ( ) ( ) ( ) , maka persamaan ( )

dapat dibentuk menjadi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Persamaan ( ) disebut juga persamaan beda linear tak homogen orde . Jika

( ) , maka persamaan ( ) adalah persamaan beda linier homogen orde

(Kelley dan Peterson, 2001). Selain homogen dan tak homogen, adanya solusi

persamaan beda menunjukkan persamaan tersebut adalah pernyataan yang benar.

Menyelesaikan persamaan beda berarti menemukan semua fungsi yang

apabila disubstitusikan ke persamaan beda akan bernilai benar. Fungsi tersebut

disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun, tidak semua persamaan beda

mempunyai solusi, sebagai contoh, persamaan beda yang didefinisikan sebagai

[ ( ) ( )] [ ( )]

tidak punya solusi, sebab tidak ada fungsi bernilai real yang memenuhi

persamaan tersebut. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengkajian terhadap syarat

suatu persamaan beda mempunyai solusi.



3

Solusi persamaan beda dapat dicari dengan berbagai cara. Persamaan beda

dapat diselesaikan dengan proses yang sederhana, tetapi seringkali diperlukan

substitusi-substitusi tertentu pada persamaan tersebut sedemikian hingga

persamaan dapat berubah menjadi suatu bentuk yang lebih sederhana. Disamping

itu, dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan

utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik

kesetimbangan.

Berdasarkan uraian di atas dalam penulisan ini penulis tertarik untuk

membahas bagaimana syarat agar persamaan beda mempunyai solusi. Apabila

persamaan tersebut mempunyai solusi, bagaimana menentukan solusi dari

persamaan beda tersebut. Selain itu, penentuan perilaku dari solusi yang

dihasilkan dengan/tanpa mencari solusinya juga menjadi bagian penting dari

penulisan ini.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka penulis merumuskan

permasalahan sebagai berikut:

1. Apakah syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki

solusi?

2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan beda pada kasus homogen dan

tak homogen?

3. Apakah syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi

persamaan beda?



4

4. Bagaimana cara menentukan kestabilan solusi persamaan beda tanpa

mencari solusinya terlebih dahulu?

5. Bagaimana mengkonstruksi dan menyelesaikan persamaan beda linier

dalam permasalahan sehari-hari?

1.3 Tujuan

Tujuan dari skripsi ini adalah:

1. Mengetahui syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki

solusi.

2. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan beda pada kasus homogen dan

tak homogen.

3. Mengetahui syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi

persamaan beda.

4. Mengetahui cara menentukan kestabilan solusi persamaan beda tanpa

mencari solusinya terlebih dahulu.

5. Mengetahui cara mengkonstruksi dan menyelesaikan persamaan beda

linier dalam permasalahan sehari-hari.

1.4 Manfaat

Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah sebagai berikut:

1. Sebagai salah satu referensi yang terkait dengan solusi dari persamaan

beda linier.

2. Menerapkan dan mengembangkan konsep persamaan beda dalam

kehidupan sehari-hari.



5

1.5 Batasan Masalah

Mengacu pada rumusan masalah yang telah disebutkan, maka yang

dimaksud dengan persamaan beda dalam penulisan skripsi ini adalah persamaan

beda linier orde dan mempunyai solusi tunggal.



6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini, akan diberikan definisi maupun teorema yang akan

digunakan dalam pembahasan, diantaranya adalah kalkulus beda, yang berguna

untuk mempermudah dan mengkaji syarat-syarat yang diperlukan dalam

penyelesaian persamaan beda, dan persamaan beda linier, konsep yang

mendukung penulisan ini, serta kestabilan solusi, yang menjadi bagian penting

dalam penentuan kestabilan solusi.

2.1 Kalkulus Beda

Bagian dari kalkulus beda yang digunakan dalam penulisan ini antara lain

operator beda beserta sifat-sifatnya yang merupakan komponen dasar dari

perhitungan yang melibatkan beda hingga, operator geser yang merupakan bentuk

sederhana dari operator beda, jumlah tak tentu yang merupakan operator

kebalikan dari operator beda, serta fungsi faktorial yang merupakan konsep yang

mendukung dalam penyelesaian persamaan beda.

Definisi (Operator Beda) Misalkan sebuah fungsi dengan variabel

bilangan real atau bilangan kompleks. Sebuah operator beda , didefinisikan

sebagai

Sebagian besar, domain dari adalah himpunan bilangan bulat berurutan,

seperti bilangan asli

(Kelley dan Peterson, hal 13-14, 2001)



7

Operator beda orde kedua ditulis sebagai

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

Secara umum, operator beda orde ke- didefinisikan sebagai

∑ (

)

Operator dasar yang sering digunakan bersama dengan operator beda

adalah operator geser.

Definisi (Operator Geser) Diberikan sebuah fungsi . Operator geser

didefinisikan sebagai

(Kelley dan Peterson, hal 14, 2001)

Dengan menerapkan operator geser dua kali akan didapatkan

[ ] [ ]

Jika diartikan sebagai operator identitas, yaitu maka

hal ini berarti bahwa

atau



8

Jika sebarang bilangan asli , maka operator geser memiliki bentuk

umum yang didefinisikan sebagai

[

]

∑ (

)

Pada operator beda berlaku sifat-sifat dasar operator beda. Teorema

berikut ini adalah sifat-sifat dasar dari operator beda.

Teorema (Sifat Operator Beda) Misalkan konstanta, sehingga

1.

2. (

) (

)

3. (

) (

)

4. (

)

5.

6. [ ] untuk semua bilangan bulat positif dan .

7. [ ] .

8. [ ] , dengan konstanta.

9. [ ]

10. *

+

.




9

Bukti:

1.

2.

(

) (

)

3.

(

) (

)

4.

(

)

5.

6. [ ] [ ]

7. [ ] [ ]

[ ] [ ]

8. [ ] [ ]

9. [ ]

,

.

10. *

+

[ ] [ ]



10

Definisi Jumlah tak tentu (atau anti beda) dari , dinotasikan ∑ ,

adalah sebarang fungsi sedemikian hingga

*∑ +

untuk setiap dalam domain dari .


Pada jumlah tak tentu berlaku pula sifat-sifat dasar jumlah tak tentu.

Teorema berikut ini adalah sifat-sifat dasar dari jumlah tak tentu.

Teorema Diberikan sebuah konstanta.

1. Untuk ,

2. ∑

3. ∑ (

)

4. ∑ (

)

5. ∑

6. ∑[ ] ∑ ∑

7. ∑ ∑ , dengan konstanta.

8. ∑[ ] ∑

9. ∑[ ] ∑


Bukti:



11

1.

2. ∑ ∑*

+

3. ∑ ∑ [ (

)

] (

)

4. ∑ ∑ [ (

)

] (

)

5. ∑ ∑[ ]

6. ∑[ ] ∑ ∑

7. ∑ ∑ .

8. ∑[ ] ∑[ ] ∑

9. ∑[ ] ∑[ ] ∑

Definisi (Fungsi Faktorial) Fungsi faktorial adalah fungsi yang didefinisikan

sebagai

yang berisi faktor.

(Spiegel, hal 5-6, 1971)

Nama faktorial muncul karena dalam sebuah kasus khusus saat

menyebabkan , yaitu faktorial. Jika

maka

Untuk bilangan bulat negatif, persamaan menjadi



12

kemudian untuk selain bilangan bulat, didefinisikan sebagai

dengan ∫

. Selain itu, dengan menggunakan operator beda

untuk semua bilangan bulat , berlaku

[ ]

sehingga dapat dituliskan sebagai

2.2 Persamaan Beda Linier

Persamaan beda linier terbentuk dari beberapa fungsi yang membentuk

sebuah persamaan linier yang memiliki bentuk khusus dan dapat memiliki

penyelesaian yang memenuhi persamaan tersebut.

Definisi (Persamaan Beda Linier Orde Pertama) Diberikan dan

adalah fungsi dengan untuk setiap . Persamaan beda linier orde pertama



Persamaan dikatakan orde pertama karena terdapat yang hanya

bernilai saat dan , seperti pada yang merupakan

operator beda orde pertama. Jika untuk setiap , maka persamaan

dapat ditulis sebagai .



13

Definisi (Persamaan Beda Linier) Persamaan beda linier orde adalah

persamaan beda yang memiliki bentuk

dengan , dan fungsi dari dan untuk

setiap .


Persamaan disebut juga persamaan beda linier tak homogen dengan

orde . Jika , maka persamaan merupakan persamaan yang

homogen. Dan jika konstanta, maka persamaan dapat

dikatakan sebagai persamaan beda linier tak homogen berorde dengan koefisien

konstanta. Persamaan ini dapat juga dituliskan sebagai

[

]

dengan .

2.3 Kestabilan Solusi

Pengujian kestabilan solusi yang dihasilkan dari sebuah persamaan akan

menentukan perilaku dari sebuah solusi. Titik kesetimbangan, matriks sekawan

serta definisi nilai eigen menjadi bagian penting dalam penentuan kestabilan.

Definisi (Titik Kesetimbangan) Diberikan persamaan beda orde satu

[ ]

dengan adalah fungsi dalam . Sebuah titik di dalam domain dari

dikatakan titik kesetimbangan dari persamaan jika titik tersebut adalah

titik tetap dari , yaitu titik yang memenuhi [ ] .

(Elaydi, hal 9, 2005)



14

Sebagai contoh, diberikan persamaan beda , dengan

[ ] Untuk mencari titik kesetimbangannya, dimisalkan

[ ] atau . Sehingga dihasilkan titik kesetimbangan

.

Definisi (Matriks Sekawan) Pandang persamaan . Persamaan

tersebut akan dibentuk menjadi sebuah sistem persamaan orde satu. Misalkan

Dengan [ ], maka

Dalam notasi vektor, sistem ini dapat dituliskan sebagai

dengan



15

(

)

(

)

dengan adalah matriks sekawan dari persamaan .

(Kelley dan Peterson, hal 125-126, 2001)

Teorema (Syarat Awal) Untuk setiap dan setiap -vektor

, persamaan mempunyai solusi tunggal yang didefinisikan

untuk , sedemikian hingga .


Bukti: Pandang persamaan Misalkan , akan dilakukan iterasi

dari .

Secara induksi, dapat ditentukan bahwa

∏

dengan

∏

{

Dari persamaan terbukti bahwa .



16

Andaikan bebas terhadap (yaitu semua koefisien dari sistem adalah

konstanta) dan . Solusi dari

yang memenuhi syarat awal , adalah .

Definisi (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Misalkan adalah matriks

sekawan yang dibentuk dari koefisien pada persamaan . Jika

mempunyai solusi tak trivial untuk beberapa , maka dinamakan nilai eigen

dari dan dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Nilai eigen dari

memenuhi persamaan karakteristik

dengan adalah matriks identitas .


Definisi (Spectrum) Spectrum dari , dinotasikan , adalah himpunan

nilai eigen dari .


Definisi (Jari-jari Spektral) Jari-jari spektral dari , yaitu ,


| |




17

BAB III

METODE PENULISAN

Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan

dalam penulisan ini adalah:

1. Mengkaji dan menunjukkan syarat-syarat yang diperlukan agar persamaan

beda memiliki solusi beserta contoh.

2. Mendefinisikan persamaan beda linier dan merumuskan penyelesaian pada

kasus homogen dan tak homogen.

i. Mendefinisikan konsep bebas linier dan matriks casorati.

ii. Mengkaji metode akar persamaan karakteristik beserta contoh.

iii. Mengkaji metode annihilator beserta contoh.

iv. Mengkaji metode variasi parameter beserta contoh.

3. Mengkaji dan menunjukkan syarat-syarat yang diperlukan untuk

menentukan kestabilan solusi persamaan beda orde satu beserta contoh.

4. Mengkaji kestabilan solusi dari persamaan beda tanpa mencari solusi dari

persamaan beda linier orde lebih dari satu beserta contoh.

5. Mengkaji contoh kasus persamaan beda linier.



18

BAB IV

PEMBAHASAN

Pada bab ini memuat pembahasan tentang analisa solusi persamaan beda

linier, yaitu bagaimana syarat agar persamaan beda memiliki solusi, bagaimana

menentukan solusinya, serta bagaimana menentukan kestabilan solusinya. Subbab

pertama membahas syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki

solusi. Kemudian subbab kedua membahas tentang penentuan solusi persamaan

beda linier. Pada subbab ketiga membahas tentang kestabilan solusi persamaan

beda.

4.1 Penentuan Syarat Suatu Persamaan Beda Memiliki Solusi

Berdasarkan bentuk solusi yang dihasilkan dari suatu persamaan beda,

solusi persamaan beda terdiri atas dua macam, yaitu solusi umum dan solusi

khusus. Solusi khusus adalah solusi yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai

awal yang telah ditentukan sebelumnya, sedangkan solusi umum adalah solusi

yang didalamnya terdapat sebarang konstanta, misalkan .

Pada skripsi ini, terlebih dahulu dibahas tentang syarat adanya solusi,

terutama solusi khusus. Tidak semua persamaan beda memiliki solusi umum

maupun khusus, sehingga pemeriksaan syarat perlu ditinjau sebelumnya untuk

mengetahui adanya solusi dari persamaan beda.

Menyelesaikan persamaan beda linier berarti menemukan semua fungsi

yang jika disubstitusikan ke persamaan beda tersebut akan bernilai benar. Fungsi

tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun karena beberapa



19

persamaan beda mempunyai banyak solusi dan terkadang tidak mempunyai solusi,

sangat penting untuk mengetahui bahwa untuk persamaan beda linier, selalu dapat

ditemukan paling sedikit satu solusi dan dalam kondisi tertentu, hanya satu solusi.

Kondisi tertentu yang dimaksud adalah kondisi saat persamaan beda memiliki

nilai awal yang telah ditentukan sebelumnya (Goldberg, 1958).

Sebelum membuktikan teorema ketunggalan dan eksistensi solusi khusus

untuk persamaan beda linier dengan orde , pertama akan dibahas untuk kasus

khusus orde dua. Persamaan beda linier orde dua mempunyai bentuk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dengan ( ) ( ) untuk setiap . Untuk , persamaan ( )

menjadi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dengan hanya mengetahui satu nilai dari ( ), ( ), atau ( ), tidak

dapat digunakan untuk menemukan dua solusi lainnya. Namun jika diketahui dua

nilai berurutan dari tiga solusi di atas, misalkan ( ) dan ( ), maka dapat

ditemukan nilai yang lainnya, yaitu ( ). Sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dan karena ( ) , maka kedua ruas pada persamaan ( ) dapat dibagi oleh

( ), sehingga diperoleh ( ) Selanjutnya digunakan pasangan ( )

dan ( ) untuk menemukan ( ). Dengan , persamaan ( )

menjadi

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



20

Seperti sebelumnya, dengan pembagian oleh ( ) maka didapatkan (

) yang tunggal. Dengan nilai ( ) yang telah didapatkan sebelumnya, maka

( ) juga akan memuat ( ) dan ( ). Sehingga solusi dari persamaan

orde dua ( ) memuat dua nilai ( ) dan ( ).

Setiap pasangan lain dari nilai-nilai ( ) yang berurutan penggunaannya

serupa dengan yang dijelaskan sebelumnya untuk menentukan sebuah solusi yang

tunggal. Sehingga, jika ( ) dan ( ) ditentukan, sebagai contoh, maka

dapat digunakan persamaan beda secara berturut-turut untuk mendapatkan

( ), ( ), ( ), ( ), dan ( ) begitu juga dengan ( ),

( ), .

Eksistensi dan ketunggalan solusi khusus orde ke diberikan dalam

Teorema berikut ini.

Teorema Diberikan persamaan beda linier orde sebagai berikut

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Jika ( ) ( ) dan ( ) merupakan fungsi yang terdefinisi untuk

dan untuk setiap , ( ) dan ( ) , maka untuk

sebarang * + dan sebarang bilangan terdapat

hanya satu ( ) yang memenuhi persamaan ( ) untuk dan ( )

untuk


Bukti: Diketahui nilai awal ( ) ( ) ( ), dengan

* +. Diketahui pula ( ) ( ) dan ( ) merupakan fungsi yang



21

terdefinisi untuk dan untuk setiap , ( ) . Berdasarkan

persamaan ( ) diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )

( )

ada dengan tunggal. Kemudian akan dibuktikan bahwa terdapat dengan tunggal

nilai ( ) untuk dan .

Pembuktian untuk dilakukan dengan induksi matematik, yaitu

untuk setiap , terdapat dengan tunggal ( ). Untuk , misalkan

, maka

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) ,

maka ( ) ada dengan tunggal.

Misalkan untuk , nilai ( ) ada dengan tunggal. Akan

dibuktikan bahwa untuk nilainya ada. Misalkan ,

maka

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) ,

maka ( ) ada dengan tunggal.

Kemudian, untuk , dengan dengan bilangan bulat non

negatif. Pembuktian dilakukan dengan menentukan nilai dari ( ) (

) ( ). Untuk , maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )



22

Karena terdapat nilai awal ( ) , dan ( ) , maka

( ) ada dengan tunggal. Untuk , maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )


( ) ada dengan tunggal.

Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan dengan tunggal untuk ( ),

yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )


( ) ada dengan tunggal. Dengan demikian, penyelesaian ( ) saat dapat

ditentukan.

Contoh Diberikan persamaan beda

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dengan

Misalkan , dengan ( ) dan ( ) untuk

Berdasarkan persamaan ( ) diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )

Penyelesaian untuk dilakukan dengan iterasi, yaitu untuk mendapatkan

nilai dari ( ) ( ) dan seterusnya, serta akan dibuktikan nilai untuk

yaitu ( ) ( ) ( ). Untuk , dengan ( )

dan ( ) ada dengan tunggal, diperoleh nilai



23

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

ada dengan tunggal. Kemudian untuk , dengan ( ) dan ( )

ada dengan tunggal, diperoleh nilai

( ) ( ) ( ) ( )

( ),( )( ) - ( )

ada dengan tunggal. Untuk nilai ( ) ( ) diperoleh dengan tunggal

menggunakan cara yang sama seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.

Selanjutnya nilai untuk , yaitu dan , akan dibuktikan

ada dengan tunggal. Saat , dengan ( ) dan ( ) ada dengan

tunggal, diperoleh nilai

( ) ( ) ( ) ( )



( ) ( ) ( ) ( )

( )( )



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ),( )( ) -

ada dengan tunggal. Dengan demikian, nilai ( ) untuk setiap ada dan tunggal.



24

4.2 Penentuan Solusi Persamaan Beda Linier

Sebelumnya, pada subbab pertama telah dibahas syarat suatu persamaan

beda memiliki solusi yang tunggal. Kemudian dari hasil yang didapatkan akan

digunakan untuk menentukan solusinya. Namun, pola/formula solusi khususnya

tidak dapat ditentukan melalui Teorema . Oleh karena itu, diperlukan metode

khusus untuk menentukan solusi umum dari persamaan beda tersebut. Beberapa

metode dapat digunakan untuk menentukan solusi umum dari persamaan ( ),

diantaranya adalah metode akar dari persamaan karakteristik, metode annihilator,

serta metode variasi parameter.

Sebelum membahas masing-masing metode dalam menentukan solusi,

terlebih dahulu dikaji beberapa definisi dan teorema yang digunakan untuk

menunjang metode-metode tersebut. Misalkan persamaan beda linier homogen

orde didefinisikan sebagai berikut.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Teorema (Sifat Dasar Solusi)

a. Jika ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), maka ( ) ( )

juga solusi dengan sebarang konstanta dan .

b. Jika ( ) solusi dari persamaan ( ) dan ( ) solusi dari persamaan

( ), maka ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).

c. Jika ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), maka ( ) ( )

solusi dari persamaan ( ).


Bukti:



25

a. Misalkan ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), yaitu memenuhi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh

( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )-

( ), ( ) ( )-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

, ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )-

Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) juga solusi dari persamaan ( ) dengan

sebarang konstanta dan

b. Misalkan ( ) dan ( ) berturut-turut solusi dari persamaan ( ) dan

( ), yaitu memenuhi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )




26

( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )-

( ), ( ) ( )-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).

c. Misalkan ( ) dan ( ) solusi dari persamaan ( ), yaitu memenuhi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )-

( ), ( ) ( )-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )-



27

( ) ( )

Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).

Akibat Jika ( ) adalah solusi dari persamaan ( ), maka setiap solusi

( ) dari persamaan ( ) membentuk

( ) ( ) ( )

dengan ( ) merupakan beberapa solusi dari persamaan ( ).


Bukti: Misalkan ( ) dan ( ) berturut-turut adalah solusi dari persamaan ( )

dan ( ), yaitu memenuhi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ), ( ) ( )- ( ), ( )

( )- ( ), ( ) ( )-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )



28

( ) ( )

Hal ini berarti bahwa ( ) ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ).

Berdasarkan Akibat permasalahan untuk menemukan semua solusi

dari persamaan ( ) dapat disederhanakan menjadi dua masalah.

a. Menemukan semua solusi dari persamaan ( ).

b. Menemukan sebuah solusi dari persamaan ( ).

Definisi-definisi berikut ini dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah pertama.

Definisi (Bergantung Linier) Himpunan fungsi { ( ) ( )} disebut

bergantung linier pada himpunan jika terdapat konstanta

tidak semuanya nol, sedemikian hingga

( ) ( ) ( ) ( )

untuk Jika tidak, maka himpunan tersebut bebas linier.


Kemudian didefinisikan sebuah matriks yang sangat berguna dalam

persamaan linier.

Definisi (Matriks Casorati) Matriks casorati didefinisikan sebagai

( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

) ( )

dengan adalah fungsi yang telah diberikan. Determinan dari ( )

( ) ( )

dinamakan casoratian.



29


Teorema Diketahui ( ) ( ) solusi dari persamaan ( ) untuk

Himpunan { ( ) ( )} bergantung linier untuk

jika dan hanya jika ( ) untuk beberapa .


Bukti: Misalkan ( ) ( ) bergantung linier. Maka terdapat konstanta

, tidak semua nol, sedemikian hingga

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

untuk Karena sistem persamaan beda linier homogen ini

mempunyai suatu solusi nontrivial , determinan dari matriks koefisien

( ) adalah nol untuk

Sebaliknya, misalkan diambil sebarang * +, dengan

( ) , dan ( ) ( ) ( ) ( ). Berdasarkan

Teorema , maka adalah solusi dari persamaan ( ), sehingga berlaku

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

)(

) (

( )

( )

( )

)

Karena ( ) maka

( ) ( ) ( )



30

Berdasarkan Teorema , maka ( ) untuk setiap . Akibatnya

terdapat konstanta , tidak semua nol, sedemikian hingga himpunan

* + bergantung linier.

Pentingnya himpunan solusi yang bebas linier dari persamaan ( ) adalah

konsekuensi dari teorema berikutnya.

Teorema Misalkan ( ) ( ) adalah solusi dari persamaan ( ). Jika

* + bebas linier, maka setiap solusi ( ) dari persamaan ( )

dapat dituliskan dalam bentuk

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dengan beberapa konstanta .


Bukti: Misalkan solusi dari persamaan ( ) dan * +

bebas linier. Berdasarkan Teorema , diperoleh ( ) untuk semua .

Akibatnya, ( ) untuk Sehingga sistem dari persamaan

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

mempunyai solusi tunggal . Karena tunggal, maka ( )

tunggal. Berdasarkan Teorema , solusi dari persamaan ( ) secara tunggal

ditentukan oleh nilai-nilai pada , sehingga didapatkan

( ) ( ) ( )



31

untuk setiap .

4.2.1 Metode Akar Persamaan Karakteristik

Metode akar persamaan karakteristik digunakan untuk menyelesaikan

persamaan beda linier homogen dengan koefisien konstan. Karena , maka

dapat digunakan untuk membagi kedua ruas dari persamaan ( ) dengan dan

menuliskan kembali persamaan ( ) menjadi

( ) ( ) ( ) ( )

dengan konstanta dan .

Definisi (Akar Persamaan Karakteristik)

a. Polinomial dinamakan polinomial karakteristik

dari persamaan ( ).

b. Persamaan adalah persamaan karakteristik

dari persamaan ( ).

c. Solusi dari persamaan karakteristik adalah akar-akar

karakteristik.

d. Solusi mempunyai kelipatan , dengan , jika terdapat faktor

( ) pada persamaan karakteristik dari persamaan ( ).


Contoh Diberikan persamaan beda orde tiga

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Pertama akan dibentuk menjadi persamaan ( ) dan diubah menjadi bentuk

operator geser, sehingga



32

(

* ( )

(

* ( ) ( )

Persamaan karakteristiknya adalah

(

* ( )

dengan

dan √ . Fungsi ( ) .

/

, ( ) ( √ ) , dan

( ) ( √ ) adalah solusi dari persamaan ( ) sebab jika disubstitusikan

ke persamaan ( ), yaitu untuk ( ) .

/

, maka

( ) ( ) ( ) ( )

(

*

(

*

(

*

(

*

(

*

(

*

dan untuk ( ) ( √ ) , maka

( ) ( ) ( ) ( )

( √ )

( √ )

( √ )

( √ )

( √ ) ( √ √ )

memenuhi persamaan ( ). Kemudian untuk ( ) ( √ ) , maka

( ) ( ) ( ) ( )

( √ )

( √ )

( √ )

( √ )

( √ ) ( √ √ )



33

juga memenuhi persamaan ( ). Karena

( )

(

(

*

( √ ) ( √ )

(

*

( √ )

( √ )

(

*

( √ )

( √ )

)

(

*

( √ ) ( √ )

(

( √ ) ( √ )

)

(

*

( √ ) ( √ )

( √ √

√

√

)

(

*

( √ ) ( √ )

(

√

)

berdasarkan Teorema , * + bebas linier, sehingga berdasarkan Teorema

solusi umum dari persamaan ( ) adalah

( ) ( ) ( ) ( ) (

*

( √ ) ( √ )

Diketahui bahwa ( ) | | ( ), dengan

dan

| | √ . Maka ( ) dapat dituliskan sebagai

( ) (

*

√ .

/ √ .

/

dengan dan sebarang konstanta.

Teorema Jika persamaan ( ) mempunyai akar karakteristik

dengan kelipatan yang berurutan, maka persamaan ( )



34

mempunyai himpunan solusi yang bebas linier *

+.


Bukti: Persamaan ( ) dapat dituliskan dalam bentuk operator geser

( ) ( )

atau

( ) ( )

( ) ( )

dengan dan orde dari faktornya diabaikan. Karena ,

maka setiap akar karakteristiknya tidak nol.

Misalkan didefinisikan

( ) ( ) ( )

Setiap solusi dari persamaan ( ) juga merupakan solusi dari persamaan

( ).

Jika , maka persamaan ( ) menjadi ( ) ( ), yang

mempunyai solusi ( ) . Jika , misalkan ( ) ( ) merupakan

solusi dari persamaan ( ), maka

( )

( ) ∑. / ( )

( )

∑. / ( )

( )

∑.

/ ( ) ( )

( ) ( )



35

( )

Misalkan ( ) , akan dibuktikan bahwa tidak ada fungsi

yang memenuhi ( ) , kecuali ( ). Misalkan ( ) dengan

. Jika dan , maka diperoleh

( )

,( ) -

( )

, ( ) ( )-

Akibatnya persamaan ( ) mempunyai solusi dan

berdasarkan definisi , diperoleh himpunan solusi * + bebas

linier. Dengan menerapkan pada setiap faktor dari persamaan ( ), didapatkan

solusi dari persamaan ( ) yang bebas linier.

4.2.2 Metode Annihilator

Pada subbab 4.2.1, metode akar persamaan karakteristik digunakan untuk

memperoleh solusi dari persamaan ( ) yang homogen dengan koefisien

konstan. Pada subbab ini, akan dibahas metode untuk memperoleh solusi dari

persamaan ( ) yang tak homogen dengan koefisien konstan. Didefinisikan

persamaan beda orde dengan koefisien konstan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode annihilator jika ( ) adalah

sebuah solusi persamaan beda homogen dengan koefisien konstan.

Teorema (Metode Annihilator) Jika ( ) solusi dari persamaan ( ),

yaitu,

( ) ( ) ( )



36

dan ( ) yang memenuhi

( ) ( )

maka ( ) memenuhi

( )(

) ( ) ( )


Bukti: Misalkan ( ) solusi dari persamaan ( ). Persamaan ( ) dapat

dituliskan dalam bentuk operator geser

( ) ( ) ( )

Pembuktian dilakukan dengan menerapkan operator geser

pada kedua ruas kepada persamaan ( ) yang telah diubah menjadi

operator geser. Sehingga,

( )(

) ( )

( ) ( )

Karena ( ) ( ) , maka memenuhi persamaan

( ).


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Persamaan ( ) dapat dituliskan dalam bentuk operator geser,

(

* ( )

(

*

( ) ( )

Karena memenuhi persamaan homogen



37

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

maka berdasarkan Teorema dan Teorema , ( ) memenuhi

( ) (

*

( ) ( )

(Disini ( ) adalah annihilator, yang mengeliminasi fungsi tak nol pada ruas

kanan dari persamaan.)

Berdasarkan definisi , diperoleh

( )

(

*

(

*

( )

Langkah selanjutnya adalah mensubstitusikan persamaan ( ) di atas ke

persamaan ( ) untuk menentukan koefisiennya. Diketahui bahwa .

/

.

/

( ) memenuhi bagian homogen dari persamaan ( ), sehingga

cukup dengan mensubstitusikan ( ) ke persamaan ( ), yaitu

( )

( )

( )

( )

( )

Kemudian diperoleh

sehingga

dan

. Oleh karena itu,



38

( )

(

*

(

*

( )

adalah solusi dari persamaan ( ).

4.2.3 Metode Variasi Parameter

Metode variasi parameter adalah metode umum yang digunakan untuk

menentukan solusi dari persamaan ( ) dengan mengetahui semua solusi dari

persamaan ( ) terlebih dahulu.

Teorema (Metode Variasi Parameter) Jika * ( ) ( )+ himpunan

solusi yang bebas linier dari persamaan ( ), maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

adalah solusi dari persamaan ( ), dengan yang memenuhi sistem

persamaan dari matriks

( ) [ ( )

( )]

[ ( )

( )]


Bukti: Misalkan * ( ) ( )+ himpunan solusi yang bebas linier dari

persamaan ( ). Pada subbab 4.2 telah dijelaskan bahwa setelah menemukan

semua solusi dari persamaan ( ), akan dicari solusi yang memenuhi persamaan

( ). Misalkan ( ) memiliki bentuk,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dengan yang akan ditentukan. Pembuktian dilakukan dengan iterasi

untuk .



39

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Kemudian dieliminasi kondisi yang memiliki ( ) ( ) dari ekspresi

terakhir dengan memilih sedemikian hingga

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Kemudian dilakukan iterasi menggunakan persamaan yang telah diketahui

sebelumnya.

Untuk iterasi kedua, akan digunakan ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Sama seperti sebelumnya, akan dieliminasi beberapa ekspresi terakhir, yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Untuk iterasi ketiga diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Sama seperti sebelumnya, akan dieliminasi beberapa ekspresi terakhir, yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Kemudian akan dibuktikan untuk , yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )



40

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Sekarang akan disubstitusikan ekspresi-ekspresi ( ) ( ) ( ) yang

telah ditentukan ke persamaan ( ) dan mengumpulkan kondisi yang meliputi

( ), kondisi ( ), hingga kondisi yang meliputi ( ) untuk mendapatkan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ), ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )-

( ), ( ) ( ) ( ) ( )-

( ), ( ) ( ) ( ) ( )-

( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

( ), ( ) ( ) ( ) ( )-

( ), ( ) ( ) ( ) ( )-

( ), ( ) ( ) ( ) ( )-

( ), ( ) ( ) ( ) ( )-

Karena memenuhi persamaan ( ), selain ekspresi terakhir akan

bernilai nol. Sehingga diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ), ( ) ( ) ( ) ( )-

Karena ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )



41

Singkatnya, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) adalah solusi dari Persamaan

( ) jika ( ) ( ) ( ) memenuhi persamaan linier ( ) ( )

hingga ( ). Untuk mendapatkan ( ) ( ) ( ) yang tunggal,

maka persamaan linier ( ) ( ) hingga ( ) dibentuk menjadi sistem

persamaan linier

( ) [ ( )

( )]

[ ( )

( )]

Sehingga ( ) ( ) ( ) memiliki solusi yang tunggal karena matriks

( ) memiliki determinan tak nol berdasarkan Teorema .

Contoh Diberikan persamaan beda orde dua tak homogen

( ) ( ) ( ) ( )

Dua solusi yang diperoleh dari bentuk homogen dari persamaan ( ) adalah

dan ( ) . Persamaan ( ) harus memenuhi sistem persamaan

dari matriks

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dengan solusi

( )

(

*

( )

(

*

Kemudian

( ) ∑

(

*

∑ (

*



42

* ( ) (

*

∑( ) (

*

+

(

* (

*

*( ) (

* ( ) (

*

+

(

* (

*

(

*

( ) ∑

(

*

∑ (

*

* (

* (

*

∑(

* (

*

+

(

* (

*

*(

* (

* (

* (

*

+

(

* (

*

(

*

Secara keseluruhan,

( ) ( ) ( )( )

* (

* (

*

(

*

+

* (

* (

*

(

*

+ ( )

(

*

(

*

( )

( )

4.3 Kestabilan Solusi Persamaan Beda Linier

Setelah mengetahui bagaimana menentukan solusi dari persamaan beda,

pada subbab ini akan dibahas kestabilan solusi persamaan beda linier. Dalam



43

pembahasannya akan memanfaatkan definisi titik kesetimbangan, matriks

sekawan serta definisi nilai eigen yang telah dibahas pada subbab .

Dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi

kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di

sekitar titik kesetimbangan. Solusi yang berada di sekitar titik kesetimbangan

menunjukkan bahwa solusi tersebut tidak berubah-ubah seiring dengan waktu

yang lama. Dalam aplikasinya, baik ilmu ekonomi maupun yang lain, perilaku

dari solusi sangat diperlukan untuk mendapatkan informasi pada waktu yang akan

datang.

4.3.1 Kestabilan Solusi Orde Satu

Untuk menentukan kestabilan solusi orde satu, digunakan definisi titik

kesetimbangan pada subbab dan definisi kestabilan berikut ini.

Definisi (Kestabilan Solusi Orde Satu)

a. Titik kesetimbangan ( ) stabil jika diberikan terdapat

sedemikian hingga | ( ) ( )| yang mengakibatkan | ( )

( )| . Jika tidak, maka dikatakan tidak stabil.

b. Titik ( ) dikatakan stabil asimtotik jika terdapat sedemikian hingga

| ( ) ( )| yang mengakibatkan ( ) ( ).

(Elaydi, hal 11, 2005)

Menentukan kestabilan orde satu dilakukan dengan mencari titik

kesetimbangan dari persamaan beda orde satu dan memeriksa kestabilannya,

apakah stabil atau tidak, dengan definisi yang telah diberikan.

Contoh Diberikan persamaan beda orde satu



44

( ) ( ) ( )

dengan ( ) terdefinisi untuk Dengan menggunakan definisi jumlah

tak tentu, solusi dari persamaan ( ) adalah

( ) ∑ ( )

Untuk menentukan kestabilannya, maka akan ditunjukkan bahwa ( )

ada. Oleh karena,

( )

[∑ ( )

] ∑ ( )

dan agar ( ) ada maka deret ∑ ( ) harus konvergen. Dengan

demikian harus diberikan syarat awal bahwa deret ∑ ( ) harus konvergen agar

solusi dari persamaan ( ) stabil.

4.3.2 Kestabilan Solusi Orde Lebih Satu

Untuk kestabilan solusi dengan orde lebih dari satu, digunakan definisi

matriks sekawan, nilai eigen dan vektor eigen, serta jari-jari spektral yang terdapat

pada subbab . Selain itu juga digunakan teorema kestabilan orde lebih dari satu

berikut ini.

Teorema (Kestabilan Solusi Orde Lebih Dari Satu) Pandang persamaan

( ). Jika sebuah matriks dengan ( ) maka memenuhi

( ) . Hal ini menyebabkan solusi dari persamaan tersebut stabil

asimtotik.




45

Bukti: Pertama, akan dilakukan substitusi nilai pada persamaan

( ).

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Misalkan .

/, maka

| | |

|

( ) ( )

( ) √, ( )- ( )

Misalkan dan adalah eigen dari A dan ( * dan (

*

adalah vektor eigen dari A. Maka ( ) (

*. Kemudian akan

dicari invers dari .

(

*

(

)



46

Dengan .

/ adalah baris ke-1 dari dan

.

/ adalah baris ke-2 dari .

Diketahui ( ) ∑

. Karena banyaknya nilai eigen dari

adalah 2, maka nilai .

( ) ∑

( * (

*

(

* (

*

Misalkan dan ( ), maka

( * (

( )

( )

* ( * (

( )

( )

*

[ ( * (

( )

( )

* ( * (

( )

( )

*]

[(

* ( ( )

( )

* (

* ( ( )

( )

*]

[

(

( )

( )

( )

( ) )

(

( )

( )

( )

( ) )

]

[

(

( )

( )

( )

( ) )

]



47

[

(

*

(

( )

( )

( )

( ))

]

[

(

* (

*

(

( )

( )

( )

( ))

]

[

(

* (

*

(

( )

( )

( )

( ))

]

(

*

(

*

( )

Kemudian akan ditentukan apakah ( ) .

( )

| ( )|

| |

|∑

|

|∑

|

|∑

|

∑| |

|∑

|

Karena | | maka ( ) .

Adapun langkah yang harus dilakukan yaitu membentuk persamaan beda

linier menjadi sistem persamaan beda linier terlebih dahulu dan mencari nilai

eigen dari sistem persamaan beda tersebut. Selanjutnya diperiksa apakah nilai



48

eigennya memenuhi definisi jari-jari spektral. Setelah itu, berdasarkan Teorema

yang menjelaskan bahwa jika jari-jari spektral kurang dari satu, maka solusi

dari persamaan beda tersebut stabil asimtotik.


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dari persamaan tersebut dapat dibentuk menjadi sistem persamaan beda sebagai

berikut, misalkan

( ) ( ) ( )

dan

( ) ( ) ( )

Akibatnya,

( ) ( ) ( ) ( )

sehingga,

( )

( )

( )

( ) ( )

Dari persamaan ( ),( ) dan ( ) diperoleh

(

( ) ( ) ( )

) (

( ) ( )

( )

( )

( )

) (

)(

( ) ( ) ( )

)

dengan ( ) ( ( ) ( ) ( )

) dan (

). Sehingga dapat dituliskan

menjadi

( ) ( ) ( )



49

Nilai eigen λ adalah nilai yang bersesuaian dengan matriks . Dengan kata lain,

nilai eigen dari diperoleh jika terdapat vektor tak nol ( ) ( ( ) ( ) ( )

) dengan

( ) (

( ) ( ) ( )

) (

( ) ( ) ( )

) ( )

( ) ( )

Jika (

), maka

(

) (

( ) ( ) ( )

) (

( ) ( ) ( )

)

Matriks di atas dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan beda sebagai berikut:

{

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

atau

{

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) (

* ( )

Dengan substitusi didapat

( )

( )

( )

( )

[

( )]

[

( )] (

* ( )



50

(

* ( )

Berdasarkan definisi nilai eigen yang menyatakan bahwa vektor ( ) tak nol,

maka nilai ( ) , sehingga .

/ . Sehingga didapat

( )

Misalkan dan adalah akar dari persamaaan ( ). Diketahui bahwa jika

( ) *| | * ++ , maka solusi dari persamaan beda ( )

stabil asimtotik. Dalam hal ini, penentuan nilai ( ) terbagi dalam dua kasus,yaitu

a. Nilai eigen , yang di dalamnya terdapat nilai yang sama atau

semua berbeda. Jika ( ) | | maka syarat yang diperlukan agar

memenuhi ( ) adalah | | atau . Jika ( )

| |, maka syarat yang diperlukan adalah | | atau .

Dengan cara yang sama, jika ( ) | |, maka syarat yang diperlukan

adalah | | atau .

b. Nilai eigen , yang didalamnya juga terdapat nilai yang sama

atau berbeda. Misalkan dengan . Diketahui | |

√ . Jika ( ) | | √ maka syarat yang diperlukan

agar memenuhi ( ) adalah √ atau . Jika

( ) | | maka syarat yang diperlukan adalah √ atau

. Dengan cara yang sama, jika ( ) | |, maka syarat yang

diperlukan adalah √ atau .



51

Dengan demikian, agar solusi persamaan ( ) stabil asimtotik, maka

syarat yang diperlukan adalah

dan .

Contoh Diberikan sistem persamaan beda linier tak homogen

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Sebelum menentukan kestabilan solusi dari sistem persamaan ( ), terlebih

dahulu akan diselesaikan secara homogen. Misalkan , maka sistem

tersebut menjadi

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Kemudian akan dibentuk sebuah matriks yang didefinisikan sebagai

( ) ( )

dengan ( ) . ( ) ( )

/ ( ) . ( ) ( )/ dan .

/. Selanjutnya akan

dicari nilai eigen dari . Jika .

/, maka

.

/ ( ( )

( )) (

( )

( ))

{ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

{( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Dengan substitusi, didapat

( )

( ) ( )



52

[

( ) ( )] ( ) ( )

[

( ) ( )] ( )

Karena ( ) , maka 0

( ) ( )1 . Sehingga diperoleh

√( ) ( )

Jika ( ) | √( ) ( )

|, maka syarat yang dipenuhi agar

solusi yang dihasilkan stabil asimtotik adalah

| √( ) ( )

|

√( ) ( )

√( ) ( )

Sedangkan untuk ( ) | √( ) ( )

|, syaratnya adalah

| √( ) ( )

|

√( ) ( )

√( ) ( )

Dengan demikian, agar solusi sistem persamaan ( ) stabil asimtotik,

maka syarat yang diperlukan adalah

√( ) ( ) dan

√( ) ( ) .



53

Selanjutnya, untuk sistem persamaan beda linier tak homogen, tahap

pengerjaannya adalah menghomogenkan terlebih dahulu kemudian menentukan

kestabilan menggunakan cara yang telah dijelaskan sebelumnya.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Sehingga menjadi

( ) ( )

( ) ( )

Kemudian dicari solusinya menggunakan metode cramer.

( ) |

|

|

|

( ) |

|

|

|

Misalkan

( ) ( ) (

*

( ) ( ) (

*

dan

( ) ( ) (

*

( ) ( ) (

*

maka,



54

[ ( ) (

*] [ ( ) (

*]

dan

[ ( ) (

*] [ ( ) (

*]

Kemudian disederhanakan menjadi

( ) ( ) (

* (

*

dan

( ) ( ) (

* (

*

Setelah itu menggunakan cara yang telah dijelaskan sebelumnya. Dengan

demikian, solusi sistem persamaan ( ) dapat ditentukan kestabilan

asimtotiknya.

Solusi dikatakan stabil atau tidak stabil menunjukkan bagaimana solusi di

sekitar titik kesetimbangan. Sehingga setelah solusi dikatakan stabil atau tidak

stabil, secara tidak langsung, solusi yang dihasilkan dapat diprediksi apakah

berada di sekitar atau menjauhi titik kesetimbangan pada waktu yang akan datang.

4.4 Contoh Kasus Persamaan Beda Linier

Saat ini, banyak perusahaan yang kurang transparan terhadap pegawainya

dalam hal pemberian gaji bulanan. Walaupun ada yang acuh tak acuh terhadap

jumlah gaji yang mereka terima, namun tidak sedikit yang ingin mengetahui

rincian dari gaji yang mereka peroleh. Beberapa hal yang menjadi poin penting

dalam menentukan jumlah gaji yang diterima yaitu gaji pokok yang sesuai dengan



55

jabatan mereka, tunjangan untuk keluarga, serta upah tambahan yang berasal dari

kerja lembur.

Berdasarkan ketentuan tentang waktu kerja lembur dan upah kerja lembur

diatur dalam Undang –Undang no.13 tahun 2003 tentang ketenagakerjaan pasal 78

ayat (2), (4), pasal 85 dan lebih lengkapnya diatur dalam kepmenakertrans

no.102/MEN/VI/2004 mengenai waktu dan upah kerja lembur, diasumsikan

seorang pegawai mempunyai sistem penggajian bulanan ( ) berdasarkan gaji

pokok, upah kerja lembur, serta tunjangan keluarga, yang dapat ditulis sebagai

( ) ( ) ( ) ( )

dengan diukur dalam bulan dan dalam rupiah. Sedangkan dan


( ) Gaji pokok,

( ) Upah kerja lembur,

( ) Tunjangan keluarga.

Asumsi yang sesuai dengan model di atas adalah sebagai berikut

a. Gaji pokok ( ) sebanding dengan gaji yang diterima bulan lalu ( )

saat bulan sebelumnya, sehingga

( ) ( )

dengan adalah prosentase gaji pokok yang diterima.

b. Upah lembur ( ) sebanding dengan lama waktu lembur yang dikerjakan

dan gaji yang diterima bulan lalu, sehingga

( )

( )

dengan adalah lama waktu lembur dalam jam.



56

c. Tunjangan keluarga ( ) sebanding dengan gaji yang diterima bulan lalu,

sehingga

( ) ( )

dengan adalah prosentase tunjangan yang diterima.

Dari asumsi yang telah dijelaskan, dihasilkan persamaan beda linier orde satu

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

* ( ) ( )

Untuk mendapatkan solusi dari persamaan ( ), metode yang digunakan adalah

metode akar persamaan karakteristik yang telah dijelaskan pada subbab .

Persamaan ( ) diubah dalam bentuk operator geser menjadi

[ (

*] ( )

Persamaan karakteristik dari persamaan di atas adalah

(

*

sehingga

(

*

adalah akar persamaan karakteristik dari persamaan ( ). Fungsi ( )

.

/

adalah solusi dari persamaan ( ), sebab jika disubstitusikan ke

persamaan ( ), yaitu



57

( ) (

* ( )

(

*

(

* (

*

maka memenuhi persamaan ( ). Karena

( ) (

*

berdasarkan Teorema , * + bebas linier, sehingga berdasarkan Teorema

solusi umum dari persamaan ( ) adalah

( ) ( ) (

*

dengan sebarang konstanta.



58

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada Bab IV diperoleh kesimpulan sebagai

berikut:

1. Persamaan beda linier mempunyai solusi khusus jika memenuhi persamaan

beda linier dengan nilai awal yang telah ditentukan.

2. Penyelesaian persamaan beda linier dengan koefisien konstan dapat

dilakukan dengan tiga metode. Metode pertama adalah metode akar

persamaan karakteristik yang digunakan untuk persamaan beda linier

homogen. Metode kedua adalah metode annihilator untuk persamaan beda

linier tak homogen. Metode ketiga adalah metode variasi parameter sebagai

metode untuk menyelesaikan bentuk umum persamaan beda linier.

3. Solusi persamaan beda linier dikatakan stabil jika limit tak hingga dari

solusinya ada. Sedangkan solusi dikatakan stabil asimtotik jika limit tak

hingga dari solusinya menuju ke titik kesetimbangannya.

4. Menentukan kestabilan solusi persamaan beda linier orde lebih dari satu

dapat dilakukan tanpa mencari solusinya terlebih dahulu, yaitu dengan

mengubah persamaan beda linier tersebut menjadi sebuah sistem persamaan

beda linier. Kemudian mencari nilai eigen dari sistem persamaan beda

tersebut dan memeriksa jari-jari spektralnya. Jika jari-jari spektralnya

kurang dari satu, maka solusi dari persamaan beda tersebut stabil asimtotik.



59

5. Berdasarkan asumsi gaji pokok, upah kerja lembur, serta tunjangan

keluarga, model sistem penggajian pegawai adalah

( ) (

) ( )

Solusi persamaan beda linier tersebut adalah

( ) (

)

dengan adalah prosentase gaji pokok yang diterima, adalah

lama waktu lembur dalam jam, dan adalah prosentase tunjangan yang

diterima.

5.2 Saran

Mengingat bahwa pada skripsi ini, persamaan beda linier yang dibahas

adalah persamaan beda linier dengan koefisien konstan, penulis menyarankan

mengembangkan pembahasan untuk metode penyelesaian persamaan beda linier

homogen dan tak homogen dengan koefisien variabel. Selain itu, tidak menutup

kemungkinan untuk menindak-lanjuti analisa kestabilan untuk persamaan beda tak

linier beserta penerapan dalam kehidupan sehari-hari.



60

DAFTAR PUSTAKA

1. Elaydi, Saber., 2005, An Introduction to Difference Equations, Springer Science+Business Media, Inc., USA hal 9-11

2. Goldberg, Samuel., 1958, Introduction to Difference Equations, John Wiley & Sons, Inc., USA hal 60

3. Kelley, Walter G. dan Peterson, Allan C., 2001, Difference Equations,

Academic Press, San Diego hal 13-15, 20-22, 43, 50-61, 125-127, 134

4. Kwakernaak, Huibert. dan Sivan, Raphael., 1972, Linear Optimal Control Systems, John Wiley & Sons, Inc., USA

5. Lakshmikantham, V. dan Trigiante, Donato., 2002, Theory of Difference

Equations:Numerical Methods and Applications, Marcel Dekker,Inc., USA hal iii, 36

6. Penna, Michael., 2005, Differential vs. Difference Equations,

Brooks/Cole:A division of Thomson Learning, Inc., Indianapolis hal 1

7. Spiegel, Murray R. Ph.D., 1971, Calculus of Finite Differences and Difference Equations, McGraw-Hill, Inc., USA hal 5-6

8. http://www.gajimu.com/main/pekerjaan-yanglayak/upah-kerja. Diakses tanggal: 23 Juli 2012

9. http://www.gajimu.com/main/pekerjaan-yanglayak/upah-lembur. Diakses tanggal: 23 Juli 2012



analisa solusi persamaan beda linier skripsirepository.unair.ac.id/25706/1/luthfan, v.pdf ·...

Documents