SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEARDisusun oleh :Asistan Lab. Komputasi ProsesPERTEMUAN 2Persamaan Linear YXY=mXYXY=mX+CJika pangkat tertinggi dari variabel suatu persamaan adalah satu maka persamaan itu disebut persamaan linear.

Persamaan Linier Simultan Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebasBentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas

aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultanxi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Penyelesaian Persamaan Linier SimultanPenyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

AX = BMatrik A = Matrik KoefisienVektor x = vektor variabel vektor B = vektor konstanta.

4Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss-JordanMetode Iterasi Gauss-SeidelMetode Penyelesaian Persamaan Linier SimultanMetode Eliminasi Gauss

Salah satu metode penyelesaian persamaan linier simultan dengan cara mengubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

Metode Eliminasi Gauss JordanMetode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,,dn dan atau:

Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Untuk Lebih Jelasnya, Di Perkuliahan Metode NumerikKasus 1:Diketahui sebuah sistem persamaan linier sebagai berikut :

Please Try On MATLAB !!!

Penyelesaian :Sistem persamaan linier ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks : A X = B

X = A\B 11Kasus2Kukus lewat jenuh bertemperatur 130 C mengalir dalam sebuah pipa yang memiliki ID 20 mm (D1), dan OD 25 mm (D2). Pipa diinsulasi setebal 40 mm [(D3 D2)/2]. Koefisien konveksi kukus (hi) = 1700 W/m2.K, dan koefisien konveksi udara (ho) = 3 W/m2.K. Konduktivitas termal pipa (ks) = 45 W/m.K, dan insulasi (ki) = 0,064 W/m.K. Temperatur udara di luar insulasi = 25 C. Perkirakan temperatur T1, T2, dan T3.Aplikasi MATLABKukus, TSUdara, TaT1T2T3

Perp. Panas dari kukus ke pipa:Perp. Panas dari pipa ke insulasi:Perp. Panas dari insulasi ke udara:Jawaban :

Jawaban : (lanjutan)

Jawaban : (lanjutan)Sistem persamaan Linier...!clcclear% Input dataTs = 130; % oCTa = 25; % oCD1 = 20e-3; % Diameter dalam pipa, mD2 = 25e-3; % Diameter luar pipa, mIth = 40e-3;% Tebal insulasi, mD3 = (D2 + 2*Ith); % Diameter pipa + insulasihi = 1700; % Koefisien transfer panas bagian dalam (W/m2.K)ho = 3 ; % koefisien transfer panas bagian luar (W/m2.K)ks = 45; % Konduktivitas panas baja (W/m.K)ki = 0.064; % Konduktivitas panas insulasi (W/m.K)

kasus2.m Pemrograman MATLAB% Matriks koefisien variabelA = [2*ks/log(D2/D1)+hi*D1 , -2*ks/log(D2/D1) , 0 ks/log(D2/D1) , -(ks/log(D2/D1)+ki/log(D3/D2)) , ki/log(D3/D2) 0 , 2*ki/log(D3/D2) , -(2*ki/log(D3/D2)+ho*D3)];

% Matriks konstantac = [hi*D1*Ts ; 0 ; -ho*D3*Ta];% Menyelesaikan sis pers. linier dengan fungsi invers MATLABT = A\c

kasus2.m (lanjutan) Pemrograman MATLAB >> kasus2

T =

129.7858 129.7678 48.1191

Eksekusi program kasus2.m Masukan dan hasil di Command Window :Linierisasi Seringkali ditemukan persamaan tak linier dalam permasalahan real teknk kimia. Tentunya kita tak dapat begitu saja mengalurkan data-data dengan menggunakan pemodelan linier. Agar dapat dimodelkan dengan pemodelan linier, maka persamaan tak linier itu harus dilinierisasi terlebih dahulu. Berikut ini pemaparannya. Contoh :

K = A e(-Ea/RT)ln K = ln A (Ea/RT) LINIERISASI y= mx+c

Tabel 1 Hasil linierisasi persamaan-persamaan tak linierSubrutin MATLAB untuk regresi persamaan linear dan polinomial dapat menggunakan perintah sebagai berikut:

Kasus 3

Kasus 3 merupakan persamaan linier, maka n yang digunakan dalam subrutin polyfit adalah 1.

Berikut ini pemrograman MATLAB-nya.

Hasil Di Command window :

Reaksi pembentukan EDC dari ethylene, HCl, dan oksigen merupakan reaksi yang berlangsung secara eksotermis.

Konstanta kecepatan reaksi yang diberikan mengikuti persamaan umum kinetika menurut Arhenius :

Dimana : k = konstanta kecepatan reaksiA = faktor frekuensi tumbukanEa = energi aktivasiR = konstanta gas, 8314.34 J/kmol.KT = suhu, K

k = A *e(-Ea/RT)

Konstanta (k)240237232220T(K)400500600800Kasus 4Kasus 5Berikut ini data yang digunakan untuk menentukan hubungan antara tekanan dan suhu 1 kg nitrogen pada volume tetap .Volumenya yaitu 10 m3 T,oC-20020405070100120P,N/m275008104870093009620102001120011700Gunakan hukum gas ideal untuk menentukan berdasarkan data tersebut .

Catatan : T dalam Kelvin.

T=[-20 0 20 40 50 70 100 120]+273.15;p=[7500 8104 8700 9300 9620 10200 11200 11700]; [A,S]=polyfit(T,p,1)m=A(1)c=A(2)V=10n=1/28R=(V/n)*A(1)

On MATLAB :Sistem Distribusi Steam Pabrik KimiaTUGAS 2Di bawah merepresentasikan sistem distribusi steam dalam suatupabrik kimia. Neraca massa dan energi untuk sistem ini diberikan sebagaiberikut:

181,60 - x3 132,57 x4 x5 = y1 y2 + y5 + y4 = 5,1 (1)1,17x3 x6 = 0 (2)132,57 0,745x7 = 61,2 (3)x5 +x7 - x8 - x9 x10 + x15 = y7 + y8 - y3 = 99,1 (4)x8 + x9 + x10 + x11- x12 - x13 = -y7 = -8,4 (5)x6 - x15 = y6 - y5 = 24,2 (6)-1,15(181,60) + x3 x6 + x12 + x16 = 1,15y1 y9 + 0,4 = -19,7 (7)181,60 4,594x12 - 0,11x16 = -y1 + 1,0235y9 + 2,45 = 35,05 (8)-0,0423(181,60) + x11 = 0,0423y1 = 2,88 (9)-0,016(181,60) + x4 = 0 (10)x8 - 0,147x16 = 0 (11)x5 - 0,07x14 = 0 (12)-0,0805(181,60) + x9 =0 (13)x12 x14 + x16 = 0,4 y9 = -97,9 (14)

Terdapat empat level steam pada pabrik ini yaitu: 680, 215, 170, and 37 psia.Ke- 14 xi, i = 3,. . ., i = 16 tidak diketahui nilainya dan yi adalah parameteryang diketahui untuk sistem ini. Kedua xi dan yi memiliki satuan 1000lb/jam. Tentukan 14 paremeter xi yang tidak diketahui dari i = 3, ..., i = 16.