Sistem LinierMatched Filter Matched Filter (MF) adalah nama untuk sebuah filter khusus (filter ideal), memproses sinyal yang diterima untuk menghilangkan pengaruh noise. Karena itu MF dapat memaksimalkan Signal to Noise ratio (SNR) yang hasil pemfilteran. Seperti gambar berikut, misal dikirim sebuah deretan bit (a) kemudian mengalami gangguan noise kanal (b) maka diperlukan filter untuk mengurangi gangguan noise sehingga diperoleh sinyal output yang baik (c).

Sistem Linier

(a)

(b)

(c)

Bila sinyal yang dikirim adalah s(t) dan sinyal yang diterima setelah terganggu noise adalah r(t) = s(t) + n(t), n(t) adalah noise. Filter digunakan untuk menghilangkan n(t), tetapi karena tidak ada cara untuk menghilangkan noise tanpa ikut terbuang sebagian sinyalnya, maka diperlukan sebuah filter optimum yang dapat menyelesaikan permasalahan tersebut.

Sistem LinierSebenarnya yang diinginkan adalah memaksimalkan signal to noise ratio pada beberapa waktu. Bila sinyal yang diterima setelah terganggu noise adalah so(t) + no(t), maka signal to noise ratio pada satu waktu tertentu td dinyatakan seperti,

L ! SNR !

s o t d no t

2

2

.. (1)

Pada prinsipnya ingin menaikkan kwadrat nilai rata-rata pembilang atau daya sinyal, atau meminimalkan kwadrat nilai rata-rata penyebut atau daya noise.

Sistem LinierPenurunan per-tidaksamaan Schwartz menghasilkan kesimpulan sederhana berkenaan dengan filter, seperti Signal to noise ratio dapat dimaksimalkan jika impulse response filter benar-benar merupakan kebalikan (reversed) dan replika yang tertunda dari sinyal yang dikirimkan ContohSinyal yang dikirim Response impulse filter yang diinginkan

(a)

(b)

Dua jenis Matched Filter yang umum yaitu Integrate and Dump filter dan Root-raised Cosine filter

Sistem LinierLinear Time Invariant System (LTI) Konsep Linear Time Invariant System ditunjukkan seperti gambar berikut,

Sistem LinierBagian tengah adalah LTI box yang memproses sinyalsinyal masuk. Pada LTI box bisa berisi proses pemfilteran, penguatan dll. Sebuah sistem LTI dapat dimodelkan seperti berikut.x(t) h(t) y(t)

Setiap pulsa yang masuk ke h(t) akan mengalami proses transformasi, dan response kolektif dari beberapa pulsa akan menebar menurut prinsip superposisi membentuk sinyal output hasil transformasi sinyal input.

Sistem LinierPerhatikan contoh berikut,

Cara penyelesaiannya seperti berikut,

Sistem LinierPulsa pertama masuk LTI box pada t = 0, responnya seperti bentuk impulse response LTI box karena memiliki amplitudo 1.

Sistem LinierPulsa kedua masuk LTI box pada t = 1, responnya seperti bentuk impulse response LTI box dengan penguatan dua kali dan tergeser waktu t = 1.

Sistem LinierPulsa ketiga masuk LTI box pada t = 2, responnya terbalik dari bentuk impulse response LTI box karena amplitudo = - 1, tanpa penguatan dan tergeser waktu t = 2.

Sistem LinierMaka hasil lengkapnya merupakan penjumlahan dari masing-masing impulse response, seperti ditunjukkan pada gambar berikut,

Sistem LinierOutput untuk setiap kondisi (momen) dapat dituliskan seperti,

y?nA! x?0A ?nA x?A ?n 1A x?2A ?n 2A x? A ?n 3A . h 1h h 3hPersamaan diatas dapat dituliskan sebagai persamaan convolusi seperti,y?n A!

x?k Ah?n k Ak ! g

g

.. (2)

Tanda negatip k pada h[n k] mengartikan h(t) digeser berlawanan dengan x(t).

Sistem LinierPersamaan transformasi LTI dalam ranah waktu ditulis seperti,

y t ! ht * xt

.. (3)

Dengan h(t) adalah impulse response dari LTI dan y(t) adalah outputnya. Dalam ranah frekwensi ditulis seperti,Y f ! H f X f

.. (4)

Sistem LinierKerapatan spektral sinyal output ditulis seperti,S y f ! S x f

f 2

.. (5)

Daya sinyal yang diterima setelah melalui LTI ditulis seperti,E y t !2 g

g

H f X f df2

.. (6)

Sistem LinierKonvolusi dan Autokorelasi Konsep fungsi autokorelasi (ACF) sama seperti konvolusi, tetapi lebih mudah. Pada autokorelasi tidak dilakukan pembalikan sehingga dapat dituliskan seperti,

y?n A !

x?k Ah?k nAk ! g

g

.. (7)

Sistem LinierAda pernyataan seperti : Matched Filter memaksimalkan SNR sinyal hasil filtering dan memiliki sebuah impulse response yang berbentuk terbalik dan tergeser waktunya (reversed time-shifted version) dari sinyal inputnya. Misal sebuah dipancarkan sinyal s(t) dan melewatri filter dengan impulse response h(t), akan ditambah noise n(t) sepanjang pengiriman sinyal. Ouputnya seperti, s(t) so(t) + n(t)

SNR rata-rata pada saat td dapat dituliskan seperti,

Sistem Liniers o t d no t 2

L ! SNR !

2

.. (8)

Karena MF dikarakteristikkan dengan impulse response, maka perlu mencari sebuah ekspresi h(t) yang dapat memaksimalkan SNR. Ada tiga hal yang perlu dikerjakan, pertama merumuskan sinyal (pembilang), kedua merumuskan noise (penyebut) dan ketiga menggunakan pertidaksamaan Schwarz untuk mendapatkan informasi SNR yang berguna dan membuat penyataan tentang keoptimalan filter.

Sistem LinierSinyal Dimodelkan MF sebagai sebuah sistem LTI yang memiliki impulse response h(t) dan frequency response H(f). Luaran dari LTI adalah seperti,

s o t ! ht * st ! F 1 _ F S F H a

.. (9)

Dalam inverse Fourrier transform seperti,

s o t ! h t * s t !

g

g

S f H f e j 2 T ft df

.. (10)

Sistem LinierPada waktu td ditulis seperti,

s o t !

g

g

S f H f e j 2

ft d

df

.. (11)

Daya output dihitung seperti,S ! s o t !2 g 2

g

H [ S [ e j 2T[ t dt

.. (12)

Sistem LinierNoise Noise dianggap terdistribusi Gaussian dan memiliki sebuah spectral density N0/2. Noise ini adalah zero mean dan memiliki sebuah spektrum daya data atau memiliki daya yang sama pada semua spektrum frekwensi. Spektral daya noise input ditulis,S ni N0 ! 2

watt/Hz

.. (13)

Sistem LinierAngka 2 mengartikan spektrum dua sisi (side band). Dalam sebuah bandwidth B daya rata-rata noise sebesar N0B seperti penurunan dibawah,

Pn !

B

S f dfn B

B

! 2 S n f df0

.. (14)

N0 ! 2 df ! N 0 B 2 0

B

Sistem LinierSpektral daya noise output (no) setelah LTI (filter) dituliskan seperti,S no f ! S ni f H f 2

.. (15)

Dengan memasukkan nilai spektral daya noise input (ni), maka N 2 .. (16) S no [ ! 0 H f 2

Dengan menggunakan persamaan (14) diperoleh daya noise seperti,n o t 2

N0 ! 2

g

g

H f

2 df

.. (17)

Sistem LinierMemaksimumkan ratio (SNR) SNR dihitung seperti,g 2

L ! SNR !

s o t d no t

2

2

!

g

H f S f e j 2Tft d df N0 2g

.. (18)

g

H f df2

Maka digunakan pertidaksamaan Schwarz, yang menyatakan hubungan antara H(f) dan S(f) seperti,g

2

g

f1 x f 2 x dx e

g

g

f 1 x dx f 2 x dx2 2g

g

.. (19)

Sistem Linieryang berlaku jika dan hanya jikaf1 x ! k . f 2* x *

.. (20)

dengan f 2 x merupakan konjugasi kompleks dari fungsi f1 x Kondisi tersebut pentng untuk dapat merumuskan kesimpulan akhir tentang MF. Bila diatur,f1 x ! H f f 2 x ! S f e j 2Tft d

dan

Sistem Linierdengan persamaan (19) dapat dituliskang 2

g

H f S f e j 2Tft d df

g

e

g

H f df2

g

g

S f df2

.. (21)

Maka,g 2 j 2Tft d

s o t d no t

2

2

!

g

H f S f eN0 2g g

g

df !

g

H f N0 2

g 2

df

g

S f 2

2

df

H f df2

g

.. (22)

g

H f df

Sistem LinierDengan menerapkan pada persamaan (17) maka SNR akan lebih kecil sama dengan,so t d no t 2 2

2 e N0

g

g

S f df2

.. (23)

Sehingga SNR mungkin sebesar,so t d 2 2 n0 t maks

2 ! N0

g

g

S f

2

df

.. (24)

Sistem LinierKembali melihat pada persamaan (19) yang dibenarkan bila memenuhi,H f ! k .S * f

.. (25)

Berarti magnitude filter harus,H f ! S f

.. (26)

Dalam time domain dituliskan seperti,

ht ! k .s * t d t

.. (27)

k adalah sembarang bilangan konstan yang dapat berupa gain kanal.

Sistem LinierDapat disimpulkan bahwa response dari LTI atau MF sama dengan sebuah replika balik (a time reversed copy) sinyal input. Sehingga akan diperoleh SNR yang maksimum dari luaran filter.