aljabar linier

RUANG HASIL KALI DALAM (RKHD)

ORTOGONAL DAN ORTONORMAL, KOMPLEMEN ORTOGONAL,

PROSES ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT

Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear

Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

Disusun oleh :

Kelompok 10/ Kelas VI A3

Nikmah Wulandari 13144100090

Isti Yuliani 13144100095

Yunika Noviyanti 13144100115

PROGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

i

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI..............................................................................................................................ii

A. Ortogonal dan otonormal....................................................................................................1

1. Ortogonal.........................................................................................................................1

2. Ortonormal......................................................................................................................2

3. Komplemen Ortogonal....................................................................................................3

B. Pengantar Metode Gram-Schmidt......................................................................................5

C. Basis Ortonormal dan Ortogonal........................................................................................6

D. Proses Ortogonalisasi Gram–Schmidt..............................................................................10

SOAL LATIHAN.....................................................................................................................19

PEMBAHASAN......................................................................................................................22

DAFTAR PUSTAKA..............................................................................................................31

ii

RUANG HASIL KALI DALAM (RKHD)

A. Ortogonal dan otonormal

1. Ortogonal

Sebuah himpunan vektor-vektor di dalam sebuah ruang perkalian dalam

dinamakan himpunan ortogonal (ortogonal set) jika semua pasangan

vektor-vektor yang beda di dalam himpunan tersebut ortogonal.

Definisi :

Dua vektor u dan v di dalam sebuah ruang Hasil kali dalam di katakan

ortogonal jika

Vektor u dan v yang ortogonal dinyatakan dengan dan

dibaca ortogonal pada , atau ortogonal pada . Menurut definisi

tersebut, vektor nol ortogonal pada setiap vektor di , subhimpunan

dari , dikatakan ortogonal jika setiap dua vektor di

yang berbeda senantiasa ortogonal. Himpunan ortogonal mungkin memuat

vektor nol, khususnya akan dipandang himpunan ortogonal yang hanya

memuat vektor tak nol.

Ortogonal untuk

Contoh :

Diketahui: pada . Apakah

himpunan vektor S = {u1, u2, u3} merupakan himpunan ortogonal?

Penyelesaian :

=

=

=

=

=

1

=

=

= = = 0

Jadi, himpunan vektor adalah ortogonal.

2. Ortonormal

Sebuah himpunan ortogonal yang mana setiap vektornya mempunyai norm

1 dinamakan himpunan ortonormal (ortonormal set)

Definisi :

Subhimpunan dari ruang hasil kali dalam dikatakan

ortonormal jika ortogonal dan tiap vektor pada mempunyai panjang

Ortonormal: untuk

untuk

Contoh :

Diketahui: dan pada .

Apakah himpunan vektor merupakan himpunan ortonormal?

Penyelesaian :

=

=

=

=

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

dan

Jadi, himpunan vektor adalah ortonormal.

3. Komplemen Ortogonal

Definisi :

Misalkan adalah sebuah subruang dari sebuah ruang hasil kali

dalam . Sebuah vektor u pada V dikatakan ortogonal terhadap

jika vektor tersebut ortogonal terhadap setiap vektor pada , dan

himpunan semua vektor di dalam yang ortogonal terhadap

disebut sebagai komplemen ortogonal dari .

Komplemen ortogonal sebuah subruang W dinotasikan dengan

(dibaca “ tegak lurus”).

Teorema:

3

Sifat-Sifat Komplemen Ortogonal

Jika adalah sebuah subruang daru suatu ruang hasil kali dalam

berdimensi terhingga , maka:

a. adalah subruang dari

b. Satu-satunya vektor yang merupakan milik bersama dan

adalah .

c. Komplemen ortogonal dari adalah , yaitu .

Bukti :

a. Pertama-tama perhatikan bahwa untuk setiap vektor

di dalam , sehingga mengandung setidaknya vektor nol. Kita

hendak menunjukkan bahwa bersifat tertutup terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian skalar, yaitu, kita hendak menunjukkan

bahwa jumlahan dua vektor di dalam adalah ortogonal dengan

setiap vektor pada dan kelipatan skalar sehingga dari sebuah

vektor di dalam jiga ortogonal dengan setiap vektor pada .

Misalkan u dan adalah vektor-vektor sebalarang dalam ,

adalah sebuah skalar sebarang, dan adalah sebuah vektor

sebarang pada . Maka dari definisi tentang kita akan

memperoleh dan . Dengan menggunakan sifat-

sifat dasar hasil kali dalam kita akan memperoleh

Yang membuktikan bahwa dan ku keduanya berada di

dalam

4

b. Jika v adalah vektor yang menjadi milik bersama dan ,

maka , yang mengimplikasikan bahwa

berdasarkan aksioma 4 untuk hasil kali dalam.

Contoh :

Catatan. Karena dan adalah komplemen ortogonal satu

dengan lainya dengan merujuk pada bagian (c) dari teorema di atas,

kita dapat mengatakan bahwa dan adalah komplemen

ortogonal.

Secara grafik:

Gambar 1 Ortogonal dan komplemen ortogonal

B. Pengantar Metode Gram-Schmidt

1. Pengertian Metode Gram-Schmidt

Jika kita mempunyai sebuah basis dari ruang vektor , tetapi basis tersebut

bukan basis ortogonal. Ada suatu algoritma atau prosedur yang dapat kita gunakan

untuk mengubah sebarang basis tersebut menjadi basis ortogonal dan ortonormal.

Algoritma ini disebut Algoritma Gram-Scmidt.

5

2. Pengertian ortogonalisasi dan ortonormalisasi

Proses mengubah sebarang basis menjadi basis ortogonal disebut

ortogonalisasi. Sedangkan proses mengubah sebarang basis menjadi basis

ortonormal disebut ortonormalisasi.

C. Basis Ortonormal dan Ortogonal

Definisi

Misalkan ruang vektor dilengkapi hasil kali dalam. Basis

disebut basis ortogonal bagi jika semua komponennya saling ortogonal,

yaitu memenuhi syarat :

Jika basis tersebut memenuhi:

Untuk setiap maka basis tersebut disebut basis ortonormal

Contoh:

Diketahui: diberikan himpunan pada dengan

Apakah himpunan tersebut ortogonal dan normal?

6

Penyelesaian:

Adalah vektor-vektor di yang dilengkapi hasil kali dalam Euclid

diperoleh

Jadi, himpunan tersebut merupakan basis ortogonal karena memenugi syarat.

Selanjutnya untuk menentukan normalnya maka dihitung norm dari setiap

vektor di sebagai berikut :

Karena setiap vektor di V adalah ortogonal dan bernorm 1 maka V adalah

ortonormal. Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang kali dalam

maka vektor mempunyau norm 1 karena

Definisi

Proses perkalian suatu vektor tak nol v dengan kebalikan panjangnya

(norm) untuk memperoleh suatu vektor dengan norm 1 disebut dengan

penormalan atau normalisasi (normalizing) v

7

Teorema

Jika adalah ortonormal, maka

Untuk dan

Akibatnya setiap vektor dihimpunan ortonormal adalah bebas linear.

Suatu basis dari ruang hasil kali dalam V yang ortonormal disebut basis

ortonormal atau basis satuan dari V. jika basisnya hanya ortogonal maka

disebut basis ortogonal. Teorema berikut memperlihatkan bahwa

sederhana sekali untuk menyatakan suatu vektor dalam suku – suku dari

suatu absis ortonormal.

Teorema

Jika adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil

kali dalam V dan u adalah sebarang vektor di V, maka

dan

8

Contoh :

Diberikan vektor – vektor

Mudah diperiksa bahwa himpunan adalah basis ortonormal

untuk dengan hasil kali dalam Euclid. Selanjutnya diambil suatu vektor

dan akan dicari kombinasi linearnya dari vektor – vektor di S.

Berdasarkan teorema di atas diperoleh :

Teorema

Diberikan himpunan ortonormal diruang hasil kali dalam

V. jika W adalah ruang yang direntang oleh maka setiap

vektor bisa dinyatakan dalam bentuk :

Dengan dan ortogonal terhadap W yang dirumuskan :

Berikut ilustrasi dari Torema di atas ruang

9

Berdasarkan gambar diatas, vektor disebut proyeksi ortogonal dari u

dan disingkat , sedangkan vektor disebut komponen dari u

yang ortogonal terhadap W.

Contoh :

Diberikan ruang vektor dengan hasil kali dalam Euclid dan ruang

vektor W yang direntang oleh vektor–vektor ortonormal.

Proyeksi ortogonal dari vektor pada W adalah:

Sedangkan komponen u yang orthogonal terhadap W adalah

Teorema

Setiap ruang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi berhingga

mempunyai suatu basis ortonormal.

D. Proses Ortogonalisasi Gram–Schmidt

Proses ortogonalisasi Gram–Schmidt adalah proses mengkonversikan

suatu basis sebarang di V (V adalau suatu ruang hasil kali dalam) menjadi

basis ortogonal. Diambil ruang hasil kali dalam tak nol V yang berdimensi

10

n, dan suatu himpunan sebagai basis untuk V . Langkah–

langkah berikut, dikenal dengan nama ortogonalisasi Gram–Schmidt,

akan menghasilkan suatu basis

ortogonal untuk V .

Langkah 1 : Mengambil

Langkah 2 : Membentuk vektor yang ortogonal terhadap dengan

cara menghitung komponen dari yang ortogonal

terhadap ruang yang direntang oleh , yaitu

Langkah 3 : Membentuk vektor yang ortogonal terhadap dan

dengan cara menghitung komponen dari yang ortogonal

terhadap ruang yang direntang oleh dan , yaitu

Langkah 4 : Membentuk vektor yang ortogonal terhadap , dan

dengan cara menghitung komponen dari yang

ortogonal terhadap ruang yang direntang oleh ,

dan

Apabila kita melakukan hal ini, setelah langkah ke-n memperoleh

himpunan vektor – vektor ortogonal yang terdiri dari n

vektor bebas linear di V dan merupakan suatu basis ortogonal untuk V.

11

penormalan vektor – vektor di basis ortogonal akan menghasilkan basis

ortonormal.

Rumus Gram–Schmidt dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut :

Contoh :

Diberikan dengan hasil kali dalam Euclid. Terapkan algoritma

Gram – Schmidt untuk mengubah vektor – vektor basis ,

, menjadi sebuah basis ortogonal

kemudian normalisasikan vektor basis ortogonal untuk memperoleh

sebuah basis ortonormal

Penyelesaian :

Cek ortogonal dari setiap vektor :

Himpunan vektor tersebut tidak ortogonal sehingga merupakan basis

sebarang. Menerapkan proses ortogonalisasi Gram – Schmidt :

Langkah 1 :

Langkah 2 :

12

=

=

=

Langkah 3:

=

Jadi,

13

Cek ortogonnalitasnya :

= =0

= (1,-1,1) = 0

= = 0

Terbukti membentuk sebuah

basis orthogonal untuk

Norma vektor-vektor ini adalah :

Jadi , basis ortonormal untuk adalah

14

Contoh : diberikan dengan hasil kali dalam Euclid. Terapkan

algoritma Gram- Schmidt untuk mengubah vektor-vektor basis

menjadi sebuah basis orthogonal

kemudian normalisasikan vektor basis orthogonal untuk

memperoleh sebuah basis ortonormal

Penyelesaian :

Cek orthogonal dari setiap vektor:

Himpunan vektor tersebut tidak orthogonal sehingga merupakan basis

sebarang. Menerapkan proses ortogonalisasi Gram – Schmidt:

15

Langkah 1:

Langkah 2 :

Langkah 3 :

Jadi,

16

Cek ortogonalittasnya:

Terbukti membentuk sebuah

basis ortogonal untuk R3.

Norma vektor-vektor ini adalah :

Jadi , basis ortonormal untuk R3 adalah {q1 , q2 , q3 }

17

SOAL LATIHAN

1. Tentukan apakah himpunan S= di bawah ini merupakan himpunan

ortogonal dalam R3

S =

2. Tentukan apakah himpunan A= di bawah ini merupakan

himpunan ortogonal dalam R3

A =

3. Tunjukkan bahwa himpunan S= adalah himpunan yang oronormal

dalam R3 dengan = dan =

4. Apakah matriks berikut merupakan matriks ortogonal

A=


B=

19

6. Diberikan adalah bidang di dengan persamaan dan

, tentukan proyeksi ortogonal pada dan komponen yang

ortogonal kepada .

7. tentukan basis ortogonal untuk ruang bagian(subruang) dari bila:

8. Diberikan beserta perkalian dalam Euclid dengan mempergunakan proses

ortonormalisasi Gram-Schmidt transformasikan vektor-vektor basis

dan menjadi basis yang ortonormal.

9. Tentukan basis ortogonal untuk yang memuat vektor .

10. Terapkan proses ortogonalsasi Gram-Schmidt untuk menentukan basis

ortogonal dan kemudian basis ortonormal untuk subruang dari yang

direntang oleh .

20

PEMBAHASAN

1. Tentukan apakah himpunan S= di bawah ini merupakan


S =

Jawab :

Karena ada tiga vektor dalam himpunan A, maka terdapat tiga pasang

yang berbeda dari himpunan tersebut. Kita dapat mengeceknya sebagai

berikut.

22

Jadi,S adalah himpunan ortogonal.

2. Tentukan apakah himpunan A= di bawah ini merupakan


A =

Jawab:

23

Jadi, A bukan termasuk himpunan oerogonal.

3. Tunjukkan bahwa himpunan S= adalah himpunan yang oronormal

dalam R3 dengan = dan =

Jawab :

Jadi, terbukti S merupakan himpunan ortonormal.


A=

Jawab :

Jelas bahwa


B=

Jawab:24

6. Diberikan adalah bidang di dengan persamaan dan

, tentukan proyeksi ortogonal pada dan komponen yang

ortogonal kepada .

Jawab:

Basis ortogonal untuk adalah dan .

Maka :

Sehingga :

25

Dapat anda buktikan bahwa ( ) di , serta dapat pula anda

tunjukkan bahwa tegak lurus .

7. tentukan basis ortogonal untuk ruang bagian(subruang) dari bila:

Jawab :

Kita mempunyai persamaan :

sehingga

atau

sehingga

dan adalah basis untuk , tetapi mereka tidak

ortogonal karena

, sehingga kita akan mencari vektor

tak nol yang lain, yang ortogonal dengan salah satu vektor dan .26

Andai adalah sebuah vektor di yang ortogonal dengan maka

karena di dan karena sehingga

Sehingga kita akan menyelesaikan SPL :

dan dan didapat penyelesaikannya adalah

dan dengan adalah sembarang bilangan real. Dengan

demikian, atau lebih khususnya diambil .dan dapat

dilihat bahwa adalah himpunan ortogonal di . Sehingga

merupakan basis yang ortogonal untuk dan dim .

8. Diberikan beserta perkalian dalam Euclid dengan mempergunakan

proses ortonormalisasi Gram-Schmidt transformasikan vektor-vektor basis

dan menjadi basis yang ortonormal.

Jawab :

27

Membentuk basis ortonormal untuk

9. Tentukan basis ortogonal untuk yang memuat vektor .

Jawab :

Dapat diambil dua vektor sembarang yang lain. Misal dan , sehingga

adalah basis untuk (dapat anda buktikan sendri).

Sekarang digunakan proses Gramm-Schimidt untuk mendapatkan basis baru

yang ortogonal sebagai berikut.

Langkah 1 :

Langkah 2:

28

Langkah 3:

Jadi, adalah basis ortogonal untuk yang memuat

10. Terapkan proses ortogonalsasi Gram-Schmidt untuk menentukan basis

ortogonal dan kemudian basis ortonormal untuk subruang dari

yang direntang oleh .

Jawab :

1. Pertama-tama tetapkan

2. Hitunglah

Terapkan

3. Hitungllah

29

Hilangkan pecahan-pecahan yang ada sehingga diperoleh

Jadi membentuk basis ortogonal untuk . Normalisasikan

vektor-vektor ini sehingga diperoleh basis ortonormal dari

. Kita memperoleh , maka

30

DAFTAR PUSTAKA

Abdul Aziz Saefudin. 2015. Modul Aljabar Linear. Yogyakarta: Universitas PGRI

Yogyakarta.

Andrilli, Stephen and David Hecke. 2010. Elementary Linear Algebra Fourth

Edition.Canada: Elsevier.

Anton, Howard and Chris Rores. 2004. Elementary Linear Algebra Applications

version. Jakarta: Erlangga.

Santosa Gunawan R. 2009. Aljabar Linear Dasar. Yogyakarta: Andi Offset.

31

aljabar linier

Education