ALJABAR LINIER & MATRIKS

MATRIKS

PENGERTIAN MATRIKS

• Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom

• Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang

• Matriks adalah himpumam suatu bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom

• Bilangan tersebut disebut entri / elemen

NOTASI MATRIKS

• Lambang matrik huruf besar• Lambang elemen huruf kecil• Notasi yang dipakai:

atau

atau

NOTASI MATRIK

• A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

....

::::

....

.....

21

22221

11211

Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n)

Baris ke -1

Kolom ke -2

Matrik A berukuran (ordo) m x n

Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B)Jika untuk setiap i dan jijij ba

JENIS MATRIKS

• MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol Sifat-sifat : A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0.

• MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.

Contoh : Matriks berukuran 2x2

A =

32

41

• MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.

Contoh :

 

• MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.

Contoh :

• Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A

300

050

002

100

010

001

• MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.

Contoh :  

A=

• MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.

A =

400

040

004

400

540

123

• MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.

A=

496

041

003

• MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

Contoh :

A = =

TAA

110

132

021TA

110

132

021

• MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang transposenya adalah negatif dari matriks tersebut.

Maka AT=-A dan aij=-aij,

elemen diagonal utamanya = 0

Contoh :

A

0120

1043

2401

0310

TA

0120

1043

2401

0310

• MATRIK PARTISI : sebuah matrik dapat dibagi menjadi bagian yang lebih kecil dengan garis pemisah/partisi mendatar dan vertikal.

1 0 0 2 -1

0 1 0 1 3

A 0 0 1 4 0

0 0 0 1 7

0 0 0 7 2

1 0 0 2 -1

0 1 0 1 3

0 0 1 4 0

0 0 0 1 7

0 0 0 7 2

MATRIK PARTISI

dimana:•I adalah matrik identitas 3 x 3, •B adalah matrik 3 x 2•O adalah matrik nol 2 x 3•C adalah matrik 2 x 2

Dengan cara partisi tersebut, kita dapat lihat bahwa matrik A adalah sebagai matrik 2 x 2

OPERASI MATRIKS

• Penjumlahan Matriks

Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan

Contoh =

a.

b.

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

67

74

14

13

53

61

• Sifat-sifat penjumlahan Matriks• [ A ] + [ B ] = [ B ] + [ A ] Komutatif• [ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ]

Assosiatif

• Pengurangan Matriks

Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan

Contoh =

a.

b.

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

41

52

14

13

53

61

• Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks

Contoh :

Perkalian Matriks dengan Matriks

Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn

Syarat : A X B haruslah q = m ,

hasil perkalian AB , berordo pxn

kskr

kqkp

sr

qpk

)23()32(

,

xx ut

sr

qp

Bgfe

dbaA

)22()23(

)32( ..x

x

x gufseqgtfrep

dubsaqdtbrap

ut

sr

qp

gfe

dbaBA

• Sifat-sifat perkalian skalar matrik: k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B]

k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k

• Sifat-sifat perkalian matrik:• [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]

sifat distributif• ( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C]

sifat distributif• [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] sifat

assosiatif• [A] [B] ≠ [B] [A]

• [A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]

Latihan

TUGAS 1

1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:

Jika mungkin, maka hitunglaha. AB d. CB + D g. BA + FDb. BA e. AB + DF h. A(BD)c. A(C + E) f. (D + F)A

204

321A

51

42

13

B

211

543

132

C

21

32D

243

512

301

E

14

32F

TUGAS 2