aljabar linier : notasi matriks

Download Aljabar linier : Notasi Matriks

Post on 19-Jun-2015

1.179 views

Category:

Documents

8 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1. Aljabar Linier Pertemuan 1

2. JadwalKuliahHari : Rabojam : 15.30SistemPenilaian UTS 30 % UAS 30 % Tugas 40 % 3. Silabus Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Invers Matriks Bab IV Sistem Persamaan Linear Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen Bab VI Matlab (SPL) Bab VII Vektor Bab VIII Perkalian Vektor Bab IX Ruang Vektor Bab X Proses Gram Schmidt Bab XI Transformasi Linier Kernel Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen Bab XIII MATLAB 4. Sub Pokok Bahasan 1 1. Matriks dan Operasinya Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya OperasiMatriks Operasi Baris Elementer Sifat OperasiMatriks Beberapa Aplikasi Matriks Representasi image (citra) Chanel/Frequency assignment Operation Research dan lain-lain. 5. Pengertian Matrix Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom. 2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang. 3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.Notasi yang digunakan Atau Atau 6. Matriks Notasi MatriksA = a 11 a21 : a m1a12.....a22....:: ....am 2a1n a2 n : amn Baris ke -1Unsur / entri /elemen kemn (baris m kolom n)Kolom ke -2 Matrix A berukuran (ordo) m x n Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B) Jika aij = bij untuk setiap i dan j 7. Jenis Matriks (i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol Sifat-sifat : A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0. (ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, .ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut. Contoh : Matriks berukuran 2x21 4 A= 2 3 8. Jenis Matriks (iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol. Contoh : 2 0 0 0 5 0 0 0 3 (iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1. Contoh : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A 9. Jenis Matriks (v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu. Contoh : A= 4 0 0 0 4 0 (vi) MATRIKS 0 0 4 ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah SEGITIGA matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0. A = 3 2 1 0 4 5 0 0 4 10. (Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0. 3 0 0 A= 1 4 0 6 9 4 (viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama A = AT dengan dirinya sendiri. 1 2 0 1 2 0 Contoh : T A = 2 3 1 A = 2 3 1 0 1 1 0 1 1 11. (ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0 Contoh : A=1 3 0 0 4 2 1 0 3 4 0 1 0 2 1 0 0 0 1 3 A = 0 4 2 1 3 4 0 1 0 2 1 0 T 12. TRANSPOSE MATRIKSJika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.Beberapa Sifat Matriks Transpose : (A+B)T = AT + BT (AT) T = A k(AT) = (kA)T (AB)T = BT AT 13. Operasi Matrix Penjumlahan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan Contoh = a.a b e c d +g f a+e b+ f = c + g d + h h b. 1 6 3 1 4 7 3 5 + 4 1 = 7 6 14. Operasi Matrix Pengurangan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan Contoh = a.b.a b e c d g f a e b f = c g d h h 1 6 3 1 2 5 3 5 4 1 = 1 4 15. Operasi Matrix Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks Contoh : p q kp kq k r s = kr ks Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn a A= e b f p q d ,B = r s g ( 2 x 3) t u (3 x 2)a A.B = e b f p q d ap + br + dt ( 2 x 3) . r s = ep + fr + gt g t u (3 x 2)aq + bs + du eq + fs + gu ( 2 x 2 ) 16. Hukum Perkalian Matriks : Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C Tidak Komutatif, A*B B*A Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan (i) A=0 dan B=0 (ii) A=0 atau B=0 (iii) A0 dan B0Bila A*B = A*C, belum tentu B = C 17. Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1OBE22 3 3 2 1 1 A= 1 2 3 b1 b2 3 2 1 0 0 2 4 2 4 4 4 0 4 1 1 0 1 1 b1 0 2 1 7 A = 0 2 1 7 4 2 1 1 3 2 1 1 3 18. OBE3 1 1 0 1 1 1 0 1 b1 +b3 A = 0 2 1 7 0 2 1 7 2 1 1 3 0 1 1 5 19. Definisi yang perlu diketahui : 1 1 1 3 B = 0 0 3 1 0 0 0 0 Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol. 20. OBE Sifat matriks hasil OBE : 1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). 2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan. 3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. 4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi Gauss) Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)