aljabar linier

19/04/23 08:43 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerMA1223

3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen


Ruang Hasilkali Dalam (RHD)

Sub Pokok Bahasan– Definisi RHD– Himpunan Ortonormal– Proses Gramm Schmidt

Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi,

seperti metode least square dalam peminimuman error dalam berbagai bidang rekayasa.


Definisi RHDMisalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:

1. (Simetris)

2. (Aditivitas)

3. untuk suatu kR,

(Sifat Homogenitas)

4. , untuk setiap

dan

(Sifat Positifitas)

Vvu ,

vu , uv ,

wvu , wvwu ,,

vuk , vku , vuk ,

0, uu

0, uu 0 u

u


Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh :

yang didefinisikan oleh :

Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn )Misalkan , Rn maka

= (u12 + u22 + …..+un2)½

0, 21

uuu

u

u

nnvuvuvuvu ..., 2211u v

0, 21

uuu


Contoh 2 :

Misalnya W R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali , dimana Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam

Jawab :

Misalkan

2u1v1 + u2v2 + 3u3v3

= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3

(terbukti simetris)

332211 32, vuvuvuvu

Wvu ,

Wwvu ,,

vu ,

uv ,


<(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>

= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3

= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3

= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3

(bersifat aditivitas)

(iii) untuk suatu kR, <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>

= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3

= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3

(bersifat

homogenitas)

wvu ,)ii(

wvwu ,,

vuk ,

vku , vuk ,


Jelas bahwadan

Contoh 3 :Tunjukan bahwa

bukan merupakan hasil kali dalamJawab :

Perhatikan

Pada saat 3u32 > u1

2 + 2u22

maka

23

22

21 32,)iv( uuuuu

uuu setiapuntuk 0, 21

0jika hanya0, uuu

112211 32, vuvuvuvu

23

22

21 32, uuuuu

0, uu

Tidak memenuhi

Sifat positivitas


cfadvu ,

),,( cbau ),,( fedv

vu ,

Contoh 4 : Diketahui

dimana dan

Apakah merupakan hasil kali dalam?

uu , 0

)0,2,0(u 0, uu

0u

vu ,

Jelas bahwa = ( a2 + c2 )

Misalkan diperoleh

Padahal ada

Aksioma terakhir tidak terpenuhi.Jadi

ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.

Jawab :


Himpunan Ortonormal

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam

dinamakan himpunan ortogonal

jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam

himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak

lurus).

Himpunan ortonormal himpunan ortogonal yang

setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.


Secara Operasional

Misalkan, pada suatuRHD

T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika

untuk setiap i ≠ j

Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal

jika untuk setiap i berlaku

ncccT ,...,, 21

0, ji cc

1ic


Contoh 5 : 1.

Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.

2.

Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal.

3.

Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.

0

1-

0

1

,

A

1-

0

0

1

,

B

21

21

212

1

C


Misalkan

adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika adalah sembarang vektor pada V, maka

Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :

Karena S merupakan himpunan ortonormal dan

nvvvS ,...,, 21

u

nnvkvkvku ...2211

inni vvkvkvkvu ,..., 2211

inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211

ivv ii setiapuntuk 1, jivv ji setiapuntuk 0, dan


Sehingga, untuk setiap i berlaku

ii kvu ,

nn vvuvvuvvuu ,...,, 2211

nnvkvkvku ...2211Kombinasi linear

Ditulis menjadi

Contoh 6 :Tentukan kombinasi linear dari

2

1a

pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun

21

21

u

21

21

vdan


Jawab :

vvauuaa ,,

vua

21

21

21

21

,2

1,

2

1

2

1

vua 21

21

Perhatikan …..u dan v mrp

Basis ortonormal

vkuka 21


Proses Gramm-Schmidt

ncccS ,, 21

nwwwB ,...,, 21

basis bagi suatu RHD V

basis ortonormal bagi V

1

11.1

c

cw

Langkah yang dilakukan


2. Langkah kedua

2c

1w 1p

1q

2w

2w2c

1121

11221 ,

,1

wwcw

wwccproyp w

121 pcq

2122

11222

,,

,

wwcc

wwccw

Vektor satuan searah 1q


3. Langkah ketiga 3w3c

W

3c

1w 2w

2p

2q

3w

22311332 ,, wwcwwccproyp W 232 pcq

2231133

22311333 ,,

,,

wwcwwcc

wwcwwccw

Vektor satuan

Yang tegak lurusBidang W


Contoh 7 :Diketahui :

B merupakan basis pada RHD Euclides di R3.Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal

Jawab :Langkah 1.

1

0

0

,

1

1

0

,

1

1

1

321 uuuB

1

11 u

uv

3

1,1,1

3

13

13

1


Langkah 2

22

222

1

1

uproyu

uproyuv

v

v

3

1,

3

1,

3

2

3

1,

3

1,

3

1

3

21,1,0

, 112222 1vvuuuproyu v

36

91

91

94

22 1 uproyu v

6

16

16

2

2v

Sementara itu,

Karena itu,

sehingga :


Langkah 3

Sementara itu,

sehingga :

33

333

uproyu

uproyuv

W

W

2

1,

2

1,0

6

1,

6

1,

6

2

6

1

3

1,

3

1,

3

1

3

11,0,0

,, 223113333 vvuvvuuuproyuW

21

21

3

0

v


Jadi,

321 ,, vvv

merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3

dengan hasil kali dalam Euclides

21

21

616

16

2

313

13

1 0

,,=


Contoh 8 :

1

1

0

,

1

0

1

1

1

1

u

Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruang dari RHD Euclides di R3

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.


Jawab :

1

1

0

,

1

0

1

21 vv

Diketahui

Selain membangun subruang pada RHD

Karena

merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.

himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan).

21 , vv

Langkah awal :Basis tersebut basis ortonormal.


2

1 , 0 ,

2

1

2

1 , 0 , 1

101

1 , 0 , 1

222

1

11 v

vw

2

12

100

2

1 ,0 ,

2

1 1 , 1 , 0, 12

wvPerhatikan bahwa :


2

1 , 0 ,

2

1

2

1 , 0 ,

2

1

2

1 , 112 wwv

2

1 , 1 ,

2

1

2

1 , 0 ,

2

11 , 1 , 0 , 1122 wwvv

62

14

6

4

11

4

1

2

11

2

1 ,

22

2

1122

wwvv

Sehingga:

Akibatnya :


Akhirnya, diperoleh

6

1 ,

6

2 ,

6

1

62

12

1 , 1 ,

2

1

,

,

1122

11222

wwvv

wwvvw

6

16

2 6

1

,

2

102

1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb

=


1

1

1

u

uoy WPr 2211 , , wwuwwu

2

2

22

1 0

2

1

2

1 , 0 ,

2

1 1 , 1 , 1, 1

wu

Proyeksi Orthogonal Vektor

pada bidang tersebut adalah

Perhatikan bahwa :


Sementara itu :

6

2 6

1

6

2

6

1

,

1

1

1

,

616

26

1

2

wu


uoy WPr2211 , , wwuwwu

3

13

2

3

1

1

0

1

3

43

2

3

2

Dengan demikian,

=


1

1

0

,

1

0

1

1

1

1

u

Contoh 9 :

Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruang dari RHD Euclides

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.

21 , vv

1v 2v

Jelas bahwa

merupakan basis bagi bidang tersebut, karena dan

saling bebas linear

Jawab


Basis tersebut akan ditransformasikan

menjadi basis ortonormal.

2

1 , 0 ,

2

1

2

1 , 0 , 1

101

1 , 0 , 1

222

1

11 v

vw


Perhatikan bahwa :

2

12

100

2

1 ,0 ,

2

1 1 , 1 , 0, 12

wv

Sehingga:

2

1 , 0 ,

2

1

2

1 , 0 ,

2

1

2

1 , 112 wwv

2

1 , 1 ,

2

1

2

1 , 0 ,

2

11 , 1 , 0 , 1122 wwvv

akibatnya


6

1 ,

6

2 ,

6

1

62

12

1 , 1 ,

2

1

,

,

1122

11222

wwvv

wwvvw

6

16

2 6

1

,

2

102

1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :


u

uoy WPr 2211 , , wwuwwu

Proyeksi Orthogonal Vektor

pada bidang W adalah:

3

13

2

3

1

1

0

1

3

43

2

3

2

=


Latihan Bab VI

vu ,

vu ,

vu ,

1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan

= u12v1 + u2v2

2 di R2

= u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3

= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3

a.

b.

c.

2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !


0

1

1

1

0

1

2

1

1

3. W merupakan subruang RHD euclides di 3

yang dibangun oleh vektor

dan

Tentukan proyeksi orthogonal vektor

pada W

aljabar linier

Documents